高考數學核心考點專題訓練專題13導數在解決實際問題中的應用(原卷版+解析)

專題13導數在解決實際問題中的應用一、單選題某蓮藕種植塘毎年的固定成本是1萬元，毎年最大規(guī)模的種植是8萬斤，毎種植一斤藕，成本增加0.5元，如果銷售額函數是f(x)=?18x3+916ax2+1A.8萬斤 B.6萬斤 C.3萬斤 D.5萬斤第14屆全運會將于2020年在陜西西安舉行，其中水上項目將在西安奧體中心游泳跳水館進行，為了應對比賽，大會組委會將對泳池進行檢修，已知泳池深度為2m，其容積為2500m3，如果池底每平方米的維修費用為150元，設入水處的較短池壁長度為x，且據估計較短的池壁維修費用與池壁長度成正比，且比例系數為425kk>0，較長的池壁維修費用滿足代數式2500kA.25 B.30 C.35 D.40如果圓柱的軸截面的周長l為定值，則圓柱體積的最大值為(????)A.(l6)3π B.19設曲線y=sinx上任一點(x,y)處切線斜率為g(x)，則函數y=x2g(x)的部分圖象可以為A. B.

C. D.一窗戶的上部是半圓，下部是矩形，大致圖形如圖所示，如果窗戶面積為S，為使窗戶周長最小，用料最省，圓的半徑應為(????)A.3Sπ+4

B.Sπ+4

C.2Sπ+4如圖，將邊長為1的正六邊形鐵皮的六個角各切去一個全等的四邊形，再沿虛線折起，做成一個無蓋的正六棱柱容器．當這個正六棱柱容器的底面邊長為(????)時，其容積最大．A.34

B.23

C.13一個等腰三角形的周長為10，四個這樣相同等腰三角形底邊圍成正方形，如圖，若這四個三角形都繞底邊旋轉，四個頂點能重合在一起，構成一個四棱錐，則圍成的四棱錐的體積的最大值為(????)A.500281 B.500227 C.5傳說《西游記》中孫悟空的“如意金箍棒”原本是東海海底的一枚“定海神針”作為兵器，“如意金箍棒”威力巨大，且只有孫悟空能讓其大小隨意變化。假定孫悟空在使用“定海神針”與各路妖怪打斗時，都將其變化為底面半徑為4cm至10cm之間的圓柱體?，F(xiàn)假定孫悟空剛與一妖怪打斗完畢，并降伏了此妖怪，此時“定海神針”的底面半徑為10cm，長度為dcm。在此基礎上，孫悟空使“定海神針”的底面半徑以每秒1cm勻速縮短，同時長度以每秒40cm勻速增長，且在這一變化過程中，當“定海神針”的底面半徑為7cm時，其體積最大，此時“定海神針”的長度d為(

)cmA.20 B.40 C.60 D.80已知a>0，b∈R，且ex≥a(x?1)+b對x∈R恒成立，則a2A.12e5 B.13e5某蓮藕種植塘每年的固定成本是1萬元，每年最大規(guī)模的種植量是8萬斤，每種植一斤藕，成本增加0.5元.如果銷售額函數是f(x)=?18x3+916ax2+12x(xA.8萬斤 B.6萬斤 C.3萬斤 D.5萬斤若關于x的不等式xlnx+12x2?2x?kx?k<0的解集為a,ba<b，且a,b內只有一個整數，則實數kA.[?34,ln4?23) B.[如圖，有一塊半圓形鋼板，計劃裁剪成等腰梯形ABCD的形狀，它的下底AB是圓O的直徑，上底CD的端點在圓周上.為研究這個梯形周長的變化情況，有以下兩種方案，方案一：設腰長AD=x，周長為f?(x)；方案二：設∠BAD=θ，周長g(θ)，當x，θ在定義域內增大時

(

)

A.f(x)先增大后減小，g(θ)先減小后增大

B.f(x)先增大后減小，g(θ)先增大后減小

C.f(x)先減小后增大，g(θ)先增大后減小

D.f(x)先減小后增大，g(θ)先減小后增大二、填空題如圖，有一塊半徑為2的半圓形鋼板，計劃裁剪成等腰梯形ABCD的形狀，它的下底AB是圓O的直徑，上底C、D的端點在圓周上，則所裁剪出的等腰梯形面積最大為________．某廠生產某種產品x件的總成本C(x)=1200+127x2(單位：萬元)，又知產品單價的平方與產品件數x成反比，生產100件這樣的產品單價為50為滿足人民對美好生活的向往，環(huán)保部門要求相關企業(yè)加強污水治理，排放未達標的企業(yè)要限期整改，設企業(yè)的污水排放量W與時間t的關系為W=f(t)，用?f(b)?f(a)b?a的大小評價在[a,b]這段時間內企業(yè)污水治理能力的強弱，已知整改期內，甲、乙兩企業(yè)的污水排放量與時間的關系如下圖所示．給出下列四個結論：①在t1②在t2③在t3④甲企業(yè)在0,t1,其中所有正確結論的序號是____________________．如圖，平面內△AOB，△COD均為等腰直角三角形，∠AOB=∠COD=90°，OA=2，OC=1，點C在△AOB的內部(不包括邊界)，△ACB，△BOD的面積分別記作S1，S2，則S1S2專題13導數在解決實際問題中的應用一、單選題某蓮藕種植塘毎年的固定成本是1萬元，毎年最大規(guī)模的種植是8萬斤，毎種植一斤藕，成本增加0.5元，如果銷售額函數是f(x)=?18x3+916ax2+A.8萬斤 B.6萬斤 C.3萬斤 D.5萬斤【答案】B【解析】解：設銷售利潤為g(x)，得g(x)=?18x3+916ax2+12x?1?12x

=?18x3+916ax2?1，

當x=2時，g(2)=?第14屆全運會將于2020年在陜西西安舉行，其中水上項目將在西安奧體中心游泳跳水館進行，為了應對比賽，大會組委會將對泳池進行檢修，已知泳池深度為2m，其容積為2500m3，如果池底每平方米的維修費用為150元，設入水處的較短池壁長度為x，且據估計較短的池壁維修費用與池壁長度成正比，且比例系數為425kk>0，較長的池壁維修費用滿足代數式A.25 B.30 C.35 D.40【答案】A【解析】解：設泳池維修的總費用為y元，則由題意得

y=1250×150+825kx+2500kx2k>0

則y'=825k?5000kx3．

令y'=0，解得x=25．

當0<x<25時，y'<0；

當x>25時，y'>0，

如果圓柱的軸截面的周長l為定值，則圓柱體積的最大值為(????)A.(l6)3π B.19【答案】A【解析】解：圓柱底面半徑R，高H，圓柱軸截面的周長l為定值：

4R+2H=l，

H=l2?2R，

V=SH=πR2H=πR2(l2?2R)=πR2l2?2πR3，

求導：

V'=πRl?6πR2，令V'=0，

πRl?6πR設曲線y=sinx上任一點(x,y)處切線斜率為g(x)，則函數y=x2A. B.

C. D.【答案】C【解析】解：曲線y=sinx上任一點(x,y)處切線斜率為g(x)，

∴g(x)=cosx，

則函數y=x2g(x)=x2?cosx，

設f(x)=x2?cosx，

f(?x)=?x2·cos?x=x2·cosx=f(x)，

∴y=f(x)一窗戶的上部是半圓，下部是矩形，大致圖形如圖所示，如果窗戶面積為S，為使窗戶周長最小，用料最省，圓的半徑應為(????)A.3Sπ+4

B.Sπ+4

C.2Sπ+4【答案】C【解析】解：設窗戶面積為S，周長為L，圓的半徑為x，矩形高為h，

則，，

∴窗戶的周長，

，由L'=0，得，

時，L'<0，時，L'>0，

∴當時，L取最小值，

故選C．

如圖，將邊長為1的正六邊形鐵皮的六個角各切去一個全等的四邊形，再沿虛線折起，做成一個無蓋的正六棱柱容器．當這個正六棱柱容器的底面邊長為(????)時，其容積最大．A.34

B.23

C.13【答案】B【解析】設被切去的全等四邊形的一邊長為x，如圖所示，

則正六棱柱的底面邊長為1?2x，高為

3x，

所以正六棱柱的體積V=6×12×sin60°×(1?2x)2×

3x

=6×

34(1?2x)

?2×

3x

=

92(4x

?3?4x

?2+x)

0<x<12，

則V'=

92(12x

?2?8x+1)．

令V'=0，得x=

12(舍去)或x=

16．

當x∈一個等腰三角形的周長為10，四個這樣相同等腰三角形底邊圍成正方形，如圖，若這四個三角形都繞底邊旋轉，四個頂點能重合在一起，構成一個四棱錐，則圍成的四棱錐的體積的最大值為(????)A.500281 B.500227 C.5【答案】A【解析】解：四棱錐如圖，

設底面正方形邊長的一半為x，

則有AO=(5?x)2?x2?x2=?x2?10x+25，

V=43?x2??x2?10x+25=43?x6?10x5+25x4．

設y=?x6?10x5+25傳說《西游記》中孫悟空的“如意金箍棒”原本是東海海底的一枚“定海神針”作為兵器，“如意金箍棒”威力巨大，且只有孫悟空能讓其大小隨意變化。假定孫悟空在使用“定海神針”與各路妖怪打斗時，都將其變化為底面半徑為4cm至10cm之間的圓柱體?，F(xiàn)假定孫悟空剛與一妖怪打斗完畢，并降伏了此妖怪，此時“定海神針”的底面半徑為10cm，長度為dcm。在此基礎上，孫悟空使“定海神針”的底面半徑以每秒1cm勻速縮短，同時長度以每秒40cm勻速增長，且在這一變化過程中，當“定海神針”的底面半徑為7cm時，其體積最大，此時“定海神針”的長度d為(

)cmA.20 B.40 C.60 D.80【答案】A【解析】解：依題意，設變化時間為x，變化過程中，其底面半徑為10?x(cm)，長度為d+40x(cm)，

可得f(x)=π(10?x)2(d+40x)，

由4?10?x?10可得0≤x≤6.

f'(x)=2π(x?10)(40x+d)+40π(x?10)2=2π(x?10)(60x+d?200)，

令f'(x)=0可得x=10(舍)或x=d?20060，

∵金箍棒底面半徑為7cm時，其體積最大．

故x=3為f(x)的一個極大值點，∴d?200已知a>0，b∈R，且ex≥a(x?1)+b對x∈R恒成立，則aA.12e5 B.13e5【答案】B【解析】解：設f(x)=ex?a(x?1)?b，

可得f'(x)=ex?a，

當a≤0時，f'(x)>0，f(x)遞增，f(x)無最小值；

當a>0時，x>lna時，f'(x)>0，f(x)遞增；x<lna時，f'(x)<0，f(x)遞減，

可得x=lna處，f(x)取得最小值2a?alna?b，

由ex≥a(x?1)+b對x∈R恒成立，可得b≤2a?alna，

則a2b≤2a3?a3lna，

設g(a)=2a3?a3lna，g'(a)=6a2?(3a2lna+a2)=5a2某蓮藕種植塘每年的固定成本是1萬元，每年最大規(guī)模的種植量是8萬斤，每種植一斤藕，成本增加0.5元.如果銷售額函數是f(x)=?18x3+916ax2+1A.8萬斤 B.6萬斤 C.3萬斤 D.5萬斤【答案】B【解析】解：設銷售利潤為g(x)，得g(x)=?18x3+916ax2+12x?1?12x=?18x3+916ax2?1，

當x=2時，g(2)=?若關于x的不等式xlnx+12x2?2x?kx?k<0的解集為a,ba<b，且a,bA.[?34,ln4?23) B.[【答案】D【解析】解：不等式，

即，

令，

gx=kx+k，

f'x=lnx+x?1，

gx過點M?1,0，當x=1時，

f'x=0，當x>1時，f'x>0,fx為增函數，

當0<x<1時，f'x<0,fx為減函數，

則fx的最小值為f(1)=?32，

記A1,?32，，記B2,ln4?2，如圖，有一塊半圓形鋼板，計劃裁剪成等腰梯形ABCD的形狀，它的下底AB是圓O的直徑，上底CD的端點在圓周上.為研究這個梯形周長的變化情況，有以下兩種方案，方案一：設腰長AD=x，周長為f?(x)；方案二：設∠BAD=θ，周長g(θ)，當x，θ在定義域內增大時

(

)

A.f(x)先增大后減小，g(θ)先減小后增大

B.f(x)先增大后減小，g(θ)先增大后減小

C.f(x)先減小后增大，g(θ)先增大后減小

D.f(x)先減小后增大，g(θ)先減小后增大【答案】A【解析】解：方案一：如圖所示，連接OD，OC，則OC=OD=OA=OB=R，

在△OAD中，設∠AOD=θ，AD=x，由余弦定理，得

x2=2R2?2R2?cosθ，θ∈(0,90°)，

∴cosθ=2R2?x22R2；x∈(0,2R)．

在△OCD中，∠COD=180°?2θ，

同理DC2=2R2?2R2?cos(180°?2θ)

=2R2(1+cos2θ)=2R2?2cos2θ=4R2?cos2θ，

∴DC=2R?cosθ=2R?2R2?x22R2=2R?x2二、填空題如圖，有一塊半徑為2的半圓形鋼板，計劃裁剪成等腰梯形ABCD的形狀，它的下底AB是圓O的直徑，上底C、D的端點在圓周上，則所裁剪出的等腰梯形面積最大為________．【答案】3【解析】解：連接OD，過C，D分別作DE⊥AB，CF⊥AB，垂足分別為E，F(xiàn)．

設∠AOD=θ(θ∈(0,π2))．

OE=2cosθ，DE=2sinθ．

可得CD=2OE=4cosθ，

∴梯形ABCD的面積S=12(4+4cosθ)×2sinθ

=4sinθ(1+cosθ)，

S2=16sin2θ(1+2cosθ+cos2θ)

=16(1?cos2θ)(1+2cosθ+cos2θ)

令cosθ=t∈(0,1)．

則S2=16(1?t2)(1+2t+t2)=f(t)．

則f'(t)=?32(t+1)2(2t?1)．

f某廠生產某種產品x件的總成本C(x)=1200+127x2(單位：萬元)，又知產品單價的平方與產品件數x成反比，生產100【答案】225【解析】【解答】解：設產品單價為m，

因為產品單價的平方與產品件數x成反比，所以m2=kx(其中k為非零常數)，

又生產100件這樣的產品時，單價為50萬元，

所以502=k100，解得k=250000，則m2=250000x．

記生產x件產品時，總利潤為f(x)，

則f(x)=mx?C(x)=500x?1200?127x2(x>0)，f'(x)=250x?227x，

由f'(x)>0為滿足人民對美好生活的向往，環(huán)保部門要求相關企業(yè)加強污水治理，排放未達標的企業(yè)要限期整改，設企業(yè)的污水排放量W與