錫林郭勒市重點(diǎn)中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高二上期末統(tǒng)考試題含解析

錫林郭勒市重點(diǎn)中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高二上期末統(tǒng)考試題考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫(xiě)在試卷密封線(xiàn)內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫(xiě)在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫(xiě)在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知向量，．若，則（）A. B.C. D.2．已知空間向量，，，則（）A.4 B.-4C.0 D.23．正三棱錐的側(cè)面都是直角三角形，，分別是，的中點(diǎn)，則與平面所成角的余弦值為（）A. B.C. D.4．如圖，修建一條公路需要一段環(huán)湖彎曲路段與兩條直道平滑連接（相切）.已知環(huán)湖彎曲路段為某三次函數(shù)圖象的一部分，則該函數(shù)的解析式為（）A.B.C.D.5．在一次體檢中，發(fā)現(xiàn)甲、乙兩個(gè)單位的職工中體重超過(guò)的人員的體重如下（單位：）.若規(guī)定超過(guò)為顯著超重，從甲、乙兩個(gè)單位中體重超過(guò)的職工中各抽取1人，則這2人中，恰好有1人顯著超重的概率為（）A. B.C. D.6．函數(shù)在的最大值是（）A. B.C. D.7．在等比數(shù)列中，，，則（）A. B.或C. D.或8．若連續(xù)拋擲兩次骰子得到的點(diǎn)數(shù)分別為m，n，則點(diǎn)P(m，n)在直線(xiàn)x＋y＝4上的概率是()A. B.C. D.9．已知條件，條件表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則p是q的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既非充分也非必要條件10．已知直線(xiàn)過(guò)拋物線(xiàn)C的焦點(diǎn)，且與C的對(duì)稱(chēng)軸垂直，與C交于A，B兩點(diǎn)，P為C的準(zhǔn)線(xiàn)上一點(diǎn)，若的面積為36，則等于（）A.36 B.24C.12 D.611．已知數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為1的等差數(shù)列，數(shù)列滿(mǎn)足．若對(duì)任意的，都有成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A.， B.C.， D.12．在區(qū)間內(nèi)隨機(jī)取一個(gè)數(shù)，則方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓的概率是A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設(shè)函數(shù)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，已知，且，則使得成立的x的取值范圍是_________.14．傳說(shuō)古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家用沙粒和小石子來(lái)研究數(shù).他們根據(jù)沙粒或小石子所排列的形狀把數(shù)分成許多類(lèi)，下圖中第一行的稱(chēng)為三角形數(shù)，第二行的稱(chēng)為五邊形數(shù)，則三角形數(shù)的第10項(xiàng)為_(kāi)_________，五邊形數(shù)的第項(xiàng)為_(kāi)_________.15．已知實(shí)數(shù)，，，滿(mǎn)足，，，則的最大值是______16．已知函數(shù)，若，則________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知圓C經(jīng)過(guò)，，三點(diǎn)，并且與y軸交于P，Q兩點(diǎn)，求線(xiàn)段PQ的長(zhǎng)度.18．（12分）已知拋物線(xiàn)C的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，點(diǎn)在拋物線(xiàn)C上（1）求拋物線(xiàn)C的方程；（2）過(guò)拋物線(xiàn)C焦點(diǎn)F的直線(xiàn)l交拋物線(xiàn)于P，Q兩點(diǎn)，若求直線(xiàn)l的方程19．（12分）已知：在四棱錐中，底面為正方形，側(cè)棱平面，點(diǎn)為中點(diǎn)，.（1）求證：平面平面；（2）求直線(xiàn)與平面所成角大小；（3）求點(diǎn)到平面的距離.20．（12分）某企業(yè)搜集了某產(chǎn)品的投人成本x（單位：萬(wàn)元）與銷(xiāo)售收入y（單位：萬(wàn)元）的六組數(shù)據(jù)，并將其繪制成如圖所示的散點(diǎn)圖.根據(jù)散點(diǎn)圖可以看出，y與x之間是線(xiàn)性相關(guān)的.（1）試用最小二乘法求出y關(guān)于x的線(xiàn)性回歸方程；（2）若投入成本不高于10萬(wàn)元，則可以根據(jù)（1）中的回歸方程估計(jì)產(chǎn)品銷(xiāo)售收入；若投入成本高于10萬(wàn)元，投入成本x（單位：萬(wàn)元）與銷(xiāo)售收入y（單位：萬(wàn)元）之間的關(guān)系式為.若該企業(yè)要追求更高的毛利率（毛利率），試問(wèn)該企業(yè)對(duì)該產(chǎn)品的投入成本選擇收人7萬(wàn)元更好，還是選擇12萬(wàn)元更好？說(shuō)明你的理由.參考公式：回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為.參考數(shù)據(jù)：.21．（12分）如圖，在長(zhǎng)方體中，，，，M為上一點(diǎn)，且（1）求點(diǎn)到平面的距離；（2）求二面角的余弦值22．（10分）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，離心率為，圓：過(guò)橢圓的三個(gè)頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)（斜率存在且不為0）與橢圓交于兩點(diǎn)（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（2）證明：在軸上存在定點(diǎn)，使得為定值，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】根據(jù)給定條件利用空間向量平行的坐標(biāo)表示直接計(jì)算作答.【詳解】向量，，因，則，解得，所以，B，D都不正確；，C不正確，A正確.故選：A2、A【解析】根據(jù)空間向量平行求出x,y，進(jìn)而求得答案.【詳解】因?yàn)?，所以存在?shí)數(shù)，使得，則.故選：A.3、C【解析】以P為原點(diǎn)，PA為x軸，PB為y軸，PC為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出PB與平面PEF所成角的正弦值.【詳解】∵正三棱錐的側(cè)面都是直角三角形，E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點(diǎn)，∴以P為原點(diǎn)，PA為x軸，PB為y軸，PC為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，，，，，設(shè)平面PEF的法向量，則，取，得，設(shè)PB與平面PEF所成角為，則，∴PB與平面PEF所成角的正弦值為.故選：C.4、D【解析】由題設(shè)，“需要一段環(huán)湖彎曲路段與兩條直道平滑連接（相切）“可得出此兩點(diǎn)處的切線(xiàn)正是兩條直道所在直線(xiàn)，由此規(guī)律驗(yàn)證四個(gè)選項(xiàng)即可得出答案【詳解】由函數(shù)圖象知，此三次函數(shù)在上處與直線(xiàn)相切，在點(diǎn)處與相切，下研究四個(gè)選項(xiàng)中函數(shù)在兩點(diǎn)處的切線(xiàn)A：，將0代入，此時(shí)導(dǎo)數(shù)為，與點(diǎn)處切線(xiàn)斜率為矛盾，故A錯(cuò)誤B：，將0代入，此時(shí)導(dǎo)數(shù)為，不為，故B錯(cuò)誤；C：，將2代入，此時(shí)導(dǎo)數(shù)為，與點(diǎn)處切線(xiàn)斜率為3矛盾，故C錯(cuò)誤；D：，將0，2代入，解得此時(shí)切線(xiàn)的斜率分別是，3，符合題意，故D正確；故選：D.5、B【解析】列舉出所有選取的情況，再找出滿(mǎn)足題意的情況，根據(jù)古典概型的概率計(jì)算公式即可求解.【詳解】不妨用表示每種抽取情況，其中是指甲單位抽取1人的體重，代表從乙單位抽取人的體重.則所有的可能有16種，如下所示：，，，，，，，，，，，，，，，其中滿(mǎn)足題意的有6種：，，，，，故抽取的這2人中，恰好有1人顯著超重的概率為：.故選：.6、C【解析】利用函數(shù)單調(diào)性求解.【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)是單調(diào)遞增函數(shù)，所以函數(shù)也是單調(diào)遞增函數(shù)，所以.故選：C7、C【解析】計(jì)算出等比數(shù)列的公比，即可求得的值.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，則，所以，.故選：C.8、D【解析】利用分布計(jì)數(shù)原理求出所有的基本事件個(gè)數(shù)，在求出點(diǎn)落在直線(xiàn)x+y=4上包含的基本事件個(gè)數(shù)，利用古典概型的概率個(gè)數(shù)求出.解：連續(xù)拋擲兩次骰子出現(xiàn)的結(jié)果共有6×6=36，其中每個(gè)結(jié)果出現(xiàn)的機(jī)會(huì)都是等可能的，點(diǎn)P（m，n）在直線(xiàn)x+y=4上包含的結(jié)果有（1，3），（2，2），（3，1）共三個(gè)，所以點(diǎn)P（m，n）在直線(xiàn)x+y=4上的概率是3:36=1:12,故選D考點(diǎn)：古典概型點(diǎn)評(píng):本題考查先判斷出各個(gè)結(jié)果是等可能事件，再利用古典概型的概率公式求概率，屬于基礎(chǔ)題9、A【解析】根據(jù)條件，求得a的范圍，根據(jù)充分、必要條件的定義，即可得答案.【詳解】因?yàn)闂l件表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，所以，解得或，所以條件是條件q：或的充分不必要條件.故選：A10、C【解析】設(shè)拋物線(xiàn)方程為，根據(jù)題意由求解.【詳解】設(shè)拋物線(xiàn)方程為：，因?yàn)橹本€(xiàn)過(guò)拋物線(xiàn)C的焦點(diǎn)，且與C的對(duì)稱(chēng)軸垂直，所以，又P為C的準(zhǔn)線(xiàn)上一點(diǎn)，所以點(diǎn)P到直線(xiàn)AB的距離為p，所以，解得，所以，故選：C11、D【解析】由等差數(shù)列通項(xiàng)公式得，再結(jié)合題意得數(shù)列單調(diào)遞增，且滿(mǎn)足，，即，再解不等式即可得答案.【詳解】解：根據(jù)題意：數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為1的等差數(shù)列，所以，由于數(shù)列滿(mǎn)足，所以對(duì)任意的都成立，故數(shù)列單調(diào)遞增，且滿(mǎn)足，，所以，解得故選：12、D【解析】若方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則，解得，，故方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓的概率是，故選D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，即可得到答案；【詳解】，令，，單調(diào)遞減，且，，x的取值范圍是，故答案為：14、①.②.【解析】對(duì)于三角形數(shù)，根據(jù)圖形尋找前后之間的關(guān)系，從而歸納出規(guī)律利用求和公式即得，對(duì)于五邊形數(shù)根據(jù)圖形尋找前后之間的關(guān)系，然后利用累加法可得通項(xiàng)公式.【詳解】由題可知三角形數(shù)的第1項(xiàng)為1，第2項(xiàng)為3=1+2，第3項(xiàng)為6=1+2+3，第4項(xiàng)為10=1+2+3+4，，因此，第10項(xiàng)為；五邊形數(shù)的第1項(xiàng)為，第2項(xiàng)為，第3項(xiàng)為，第4項(xiàng)為，…，因此，，所以當(dāng)時(shí)，,當(dāng)時(shí)也適合，故，即五邊形數(shù)的第項(xiàng)為.故答案為：55；.15、10【解析】采用數(shù)形結(jié)合法，將所求問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)到直線(xiàn)的距離和的倍，結(jié)合梯形中位線(xiàn)性質(zhì)和三角形三邊關(guān)系可求得答案.【詳解】由，，，可知，點(diǎn)在圓上，由，即為等腰直角三角形，結(jié)合點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式可理解為圓心到直線(xiàn)的距離，變形得，即所求問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)到直線(xiàn)的距離和的倍，作于于，中點(diǎn)為，中點(diǎn)為，由梯形中位線(xiàn)性質(zhì)可得，，作于，于，連接，則，當(dāng)且僅當(dāng)與重合，三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，有最大值，由點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式可得，由幾何性質(zhì)可得，，此時(shí)，故的最大值為.故答案為：10.16、【解析】求出導(dǎo)函數(shù)，確定導(dǎo)函數(shù)奇函數(shù)，然后可求值【詳解】由已知，它是奇函數(shù)，∴故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，考查函數(shù)的奇偶性，確定函數(shù)的奇偶性是解題關(guān)鍵三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、【解析】設(shè)圓的方程為，代入點(diǎn)的坐標(biāo)，求出，，，令，即可得出結(jié)論【詳解】解：設(shè)圓的方程為，則，，，，，即,令，可得，解得、，所以、，或、，，18、（1）（2）或【解析】(1)把點(diǎn)的坐標(biāo)代入方程即可；(2)設(shè)直線(xiàn)方程，解聯(lián)立方程組，消未知數(shù)，得到一元二次方程，再利用韋達(dá)定理和已知條件求斜率.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)閽佄锞€(xiàn)C的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，所以設(shè)拋物線(xiàn)方程為又因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線(xiàn)C上，所以，解得，所以?huà)佄锞€(xiàn)的方程為；【小問(wèn)2詳解】拋物線(xiàn)C的焦點(diǎn)為，當(dāng)直線(xiàn)l的斜率不存在時(shí)，，不符合題意；當(dāng)直線(xiàn)l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)l的方程為，設(shè)直線(xiàn)l交拋物線(xiàn)的兩點(diǎn)坐標(biāo)為，，由得，，，，由拋物線(xiàn)得定義可知，所以，解得，即，所以直線(xiàn)l的方程為或19、（1）證明見(jiàn)解析；（2）；（3）.【解析】（1）以AB所在的直線(xiàn)為x軸，以AD所在的直線(xiàn)為y軸，以AP所在的直線(xiàn)為z軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，求出平面PCD的法向量為，平面的法向量為，即得證；（2）設(shè)直線(xiàn)與平面所成角為，利用向量法求解；（3）利用向量法求點(diǎn)到平面的距離.【小問(wèn)1詳解】證明：PA平面ABCD，ABCD為正方形，以AB所在的直線(xiàn)為x軸，以AD所在的直線(xiàn)為y軸，以AP所在的直線(xiàn)為z軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系.由已知可得A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0），P（0，0，1）M為PD的中點(diǎn)，，所以，，，所以，又PDAM，，平面PCDAM平面PCD.平面PCD的法向量為.設(shè)平面的法向量為,，令，則，..平面MAC平面PCD.【小問(wèn)2詳解】解：設(shè)直線(xiàn)與平面所成角為，由(1)可得：平面PCD的法向量為，，，即直線(xiàn)與平面所成角大小.【小問(wèn)3詳解】解：，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，.點(diǎn)到平面的距離為.20、（1）（2）該企業(yè)對(duì)該產(chǎn)品的投入成本選擇收人12萬(wàn)元更好，理由見(jiàn)解析.【解析】（1）根據(jù)公式計(jì)算出和，求出線(xiàn)性回歸方程；（2）分別求出投入成本7萬(wàn)和12萬(wàn)時(shí)的毛利率，比較出大小即可得到答案.【小問(wèn)1詳解】，，，所以y關(guān)于x的線(xiàn)性回歸方程為；【小問(wèn)2詳解】該企業(yè)對(duì)該產(chǎn)品的投入成本選擇收人12萬(wàn)元更好，理由如下：當(dāng)時(shí)，，此時(shí)毛利率為×100％≈34％；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)毛利率為=40％，因?yàn)?0％>34％，所以該企業(yè)對(duì)該產(chǎn)品的投入成本選擇收人12萬(wàn)元更好.21、（1）（2）【解析】（1）以A為原點(diǎn)，以AB、AD、所在直線(xiàn)分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解，（2）求出和的法向量，利用空間向量求解【小問(wèn)1詳解】以A為原點(diǎn)，以AB、AD、所在直線(xiàn)分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系由，，，，所以，，，因此，，，設(shè)平面的法向量，則，，所以，取，則，，于是，所以點(diǎn)到平面的距離【小問(wèn)2詳解】由，，設(shè)平面的法向量，則，，所以，取，則，，于是，由（1）知平面的法向量為，記二面角的平面角為，則，由圖可知二面角為銳角，所以所求二面角的余弦值為22、（1）；（2）見(jiàn)解析，定點(diǎn)【解析】（1）先判斷圓經(jīng)過(guò)橢圓的上、下頂點(diǎn)和右頂點(diǎn)，