2025屆廣東省越秀外國語學(xué)校高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末質(zhì)量檢測試題含解析

2025屆廣東省越秀外國語學(xué)校高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末質(zhì)量檢測試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．直線過點且與雙曲線僅有一個公共點，則這樣的直線有（）A.1條 B.2條C.3條 D.4條2．已知三棱錐O-ABC，點M，N分別為AB，OC的中點，且，用表示，則等于（）A. B.C. D.3．函數(shù)是偶函數(shù)且在上單調(diào)遞減，，則的解集為（）A. B.C. D.4．已知直線l的方向向量，平面α的一個法向量為，則直線l與平面α的位置關(guān)系是（）A.平行 B.垂直C.在平面內(nèi) D.平行或在平面內(nèi)5．從直線上動點作圓的兩條切線，切點分別為、，則最大時，四邊形（為坐標原點）面積是（）A. B.C. D.6．拋物線的焦點到準線的距離為（）A. B.C. D.7．已知橢圓：的離心率為，則實數(shù)（）A. B.C. D.8．設(shè)函數(shù)在定義域內(nèi)可導(dǎo)，的圖像如圖所示，則導(dǎo)函數(shù)的圖象可能為（）A. B.C. D.9．已知直線的方程為，則該直線的傾斜角為（）A. B.C. D.10．一直線過點，則此直線的傾斜角為（）A.45° B.135°C.－45° D.－135°11．已知平面直角坐標系內(nèi)一動點P，滿足圓上存在一點Q使得，則所有滿足條件的點P構(gòu)成圖形的面積為（）A. B.C. D.12．若，都是實數(shù)，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若命題“，使得”為假命題，則實數(shù)a的取值范圍是___________14．設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，已知函數(shù)，則______.15．若函數(shù)解析式，則使得成立的的取值范圍是___________.16．函數(shù)的圖象在點處的切線方程為______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在①，②這兩個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并作答.設(shè)數(shù)列的前項和為，且__________.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前項和.18．（12分）已知為數(shù)列的前項和，且（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前項和（3）設(shè)，若不等式對一切恒成立，求實數(shù)取值范圍19．（12分）已如橢圓C：＝1（a＞b＞0）的有頂點為M（2，0），且離心率e＝，點A，B是橢圓C上異于點M的不同的兩點（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）設(shè)直線MA與直線MB的斜率分別為k1，k2，若k1?k2＝，證明：直線AB一定過定點20．（12分）如圖，在正四棱柱中，是上的點，滿足為等邊三角形.（1）求證：平面；（2）求點到平面的距離.21．（12分）已知橢圓的焦距為4，其短軸的兩個端點與長軸的一個端點構(gòu)成正三角形.（1）求橢圓C的標準方程；（2）設(shè)斜率為k的直線與橢圓C交于兩點，O為坐標原點，若的面積為定值，判斷是否為定值，如果是，求出該定值；如果不是，說明理由.22．（10分）已知橢圓（）的左、右焦點為，，，離心率為（1）求橢圓的標準方程（2）的左頂點為，過右焦點的直線交橢圓于，兩點，記直線，，的斜率分別為，，，求證：

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】根據(jù)直線的斜率存在與不存在，分類討論，結(jié)合雙曲線的漸近線的性質(zhì)，即可求解.【詳解】當直線的斜率不存在時，直線過雙曲線的右頂點，方程為，滿足題意；當直線的斜率存在時，若直線與兩漸近線平行，也能滿足與雙曲線有且僅有一個公共點.綜上可得，滿足條件的直線共有3條.故選：C.【點睛】本題主要考查了直線與雙曲線的位置關(guān)系，以及雙曲線的漸近線的性質(zhì)，其中解答中忽視斜率不存在的情況是解答的一個易錯點，著重考查了分析問題和解答問題的能力，以及分類討論思想的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.2、D【解析】根據(jù)空間向量的加法、減法和數(shù)乘運算可得結(jié)果.【詳解】.故選：D3、D【解析】分析可知函數(shù)在上為增函數(shù)，且有，將所求不等式變形為，可得出關(guān)于實數(shù)的不等式，由此可解得實數(shù)的取值范圍.【詳解】因為函數(shù)是偶函數(shù)且在上單調(diào)遞減，則該函數(shù)在上為增函數(shù)，且，由可得，所以，，可得或，解得或.因此，不等式的解集為.故選：D.4、D【解析】根據(jù)題意，結(jié)合線面位置關(guān)系的向量判斷方法，即可求解.【詳解】根據(jù)題意，因為，所以，所以直線l與平面α的位置關(guān)系是平行或在平面內(nèi)故選：D5、B【解析】分析可知當時，最大，計算出、，進而可計算得出四邊形（為坐標原點）面積.【詳解】圓的圓心為坐標原點，連接、、，則，設(shè)，則，，則，當取最小值時，，此時，，，，故，此時，.故選：B.6、B【解析】根據(jù)拋物線的幾何性質(zhì)可得選項.【詳解】由得，所以，所以拋物線的焦點到準線的距離為1，故選：B.7、C【解析】根據(jù)題意，先求得的值，代入離心率公式，即可得答案.【詳解】因為，所以所以，解得.故選：C8、D【解析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到導(dǎo)數(shù)的正負，從而得到函數(shù)的圖象.【詳解】由函數(shù)的圖象可知，當時，單調(diào)遞增，則，所以A選項和C選項錯誤；當時，先增，再減，然后再增，則先正，再負，然后再正，所以B選項錯誤.故選：D.【點睛】本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，意在考查學(xué)生對該知識的掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.一般地，函數(shù)在某個區(qū)間可導(dǎo)，，則在這個區(qū)間是增函數(shù)；函數(shù)在某個區(qū)間可導(dǎo)，，則在這個區(qū)間是減函數(shù).9、C【解析】設(shè)直線的傾斜角為，則，解方程即可.【詳解】由已知，設(shè)直線的傾斜角為，則，又，所以.故選：C10、A【解析】根據(jù)斜率公式求得直線的斜率，得到，即可求解.【詳解】設(shè)直線的傾斜角為，由斜率公式，可得，即，因為，所以，即此直線的傾斜角為.故選：A.11、D【解析】先找臨界情況當PQ與圓C相切時，，進而可得滿足條件的點P形成的圖形為大圓（包括內(nèi)部），即求.【詳解】當PQ與圓C相切時，，這種情況為臨界情況，當P往外時無法找到點Q使，當P往里時，可以找到Q使，故滿足條件的點P形成的圖形為大圓（包括內(nèi)部），如圖，由圓，可知圓心，半徑為1，則大圓的半徑為，∴所有滿足條件的點P構(gòu)成圖形的面積為.故選：D.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵是找出臨界情況時點所滿足的條件，進而即可得到動點滿足條件的圖形，問題即可解決.12、A【解析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義判斷即可得正確選項.【詳解】若，則，可得，所以，可得，故充分性成立，取，，滿足，但，無意義得不出，故必要性不成立，所以是的充分不必要條件，故選：A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、(-1，0]【解析】將題意的命題轉(zhuǎn)化條件為“，”為真命題，結(jié)合一元二次不等式恒成立即可得解.【詳解】因為命題“，使得”是假命題，所以其否定“，”為真命題，即在R上恒成立.當時，不等式為，符合題意；當時，則需滿足，解得；綜上，實數(shù)的取值范圍為.故答案為：.14、【解析】首先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再令代入計算可得；【詳解】解：因為，所以，所以，解得；故答案為：15、【解析】由題意先判斷函數(shù)為偶函數(shù)，再利用的導(dǎo)函數(shù)判斷在上單調(diào)遞增，根據(jù)偶函數(shù)的對稱性得上單調(diào)遞減.要使成立，即，解不等式即可得到答案.【詳解】，，為偶函數(shù)，當時，，故函數(shù)在上單調(diào)遞增.為偶函數(shù)，在上單調(diào)遞減.要使成立，即.故答案為：.16、【解析】求出、的值，利用點斜式可得出所求切線的方程.【詳解】因為，則，所以，，，故所求切線方程為，即.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）答案不唯一，具體見解析（2）答案不唯一，具體見解析【解析】（1）若選①：根據(jù)，利用數(shù)列通項與前n項和的關(guān)系求解；若選②：構(gòu)造利用等比數(shù)列的定義求解；（2）根據(jù)（1）得到，再利用錯位相減法求解.【小問1詳解】解:若選①：，當時，，當時，滿足上式，故若選②：易得于是數(shù)列是以為首項，2為公比的等比數(shù)列，【小問2詳解】若選①：由（1）得，從而，，作差得，于是若選②由（1）得，從而，，作差得，于是18、（1）；（2）；（3）.【解析】（1）利用的關(guān)系，根據(jù)等比數(shù)列的定義求通項公式.（2）由（1）可得，應(yīng)用裂項相消法求.（3）應(yīng)用錯位相減法求得，由題設(shè)有，討論為奇數(shù)、偶數(shù)求的取值范圍【小問1詳解】當時，，可得，當時，，可得，∴是首項、公比都為的等比數(shù)列，故.【小問2詳解】由（1），，∴.【小問3詳解】由題設(shè)，，∴，則，∴，由對一切恒成立，令，則，∴數(shù)列單調(diào)遞減，∴當為奇數(shù)，恒成立且在上遞減，則，當為偶數(shù)，恒成立且在上遞增，則，綜上，.19、（I）；（II）證明見解析.【解析】（I）根據(jù)頂點坐標求得，根據(jù)離心率求得，由此求得，進而求得橢圓方程.（II）設(shè)出直線的方程，聯(lián)立直線的方程和橢圓方程，寫出根與系數(shù)關(guān)系，根據(jù)，求得的關(guān)系式，由此判斷直線過定點.【詳解】（I）由于是橢圓的頂點，所以，由于，所以，所以，所以橢圓方程為.（II）由于是橢圓上異于點的不同的兩點，所以可設(shè)直線的方程為，設(shè)，由消去并化簡得，所以，即.，，，，解得，所以直線的方程為，過定點.【點睛】本小題主要考查橢圓方程的求法，考查直線和橢圓的位置關(guān)系，考查橢圓中的定值問題.20、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）根據(jù)題意證明，，然后根據(jù)線面垂直的判定定理證明問題；（2）結(jié)合（1），進而利用等體積法求得答案.【小問1詳解】由題意，，為等邊三角形，，∵平面ABCD，∴，則，即為中點.連接，∵平面，平面，∴，易得，則，又，于是，即，同理，即，又平面.【小問2詳解】設(shè)M到平面的距離為d，，∴.易得，取BD的中點N，連接，則，所以，，所以，，.即M到平面的距離為1.21、（1）（2）是定值，定值為6【解析】（1）根據(jù)題意條件，可直接求出的值，然后再利用條件中、的關(guān)系，借助即可求解出、的值，從而得到橢圓方程；（2）根據(jù)已知條件設(shè)出、所在直線方程，然后與橢圓聯(lián)立方程，分別表示出根與系數(shù)的關(guān)系，再表示出弦長關(guān)系，再計算點到直線的距離，把面積用和的式子表示出來，通過給出的面積的值，找到和的等量關(guān)系，將等量關(guān)系帶入到利用跟與系數(shù)關(guān)系組合成的中即可得到答案.【小問1詳解】由題意：，由知：，故橢圓C的標準方程為，【小問2詳解】設(shè)：，①橢圓.②聯(lián)立①②得：，，即∴，O到直線l的距離，∴，∴，即，∴.故為定值6.22、（1）；（2）證明見解析【解析】(1