2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章點(diǎn)直線平面之間的位置關(guān)系2.3.2平面與平面垂直的判定學(xué)案新人教A版必修2

PAGE2.3.2學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1.理解二面角的有關(guān)概念，會作二面角的平面角，能求簡潔二面角平面角的大小．(難點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn))2.了解面面垂直的定義，駕馭面面垂直的判定定理，初步學(xué)會用定理證明垂直關(guān)系．(重點(diǎn))3.熟識線面垂直、面面垂直的轉(zhuǎn)化．(重點(diǎn))1.通過學(xué)習(xí)平面與平面垂直的判定，提升直觀想象、邏輯推理的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．2.通過學(xué)習(xí)二面角，提升直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．1．二面角的概念(1)定義：從一條直線動(dòng)身的兩個(gè)半平面所組成的圖形．(2)相關(guān)概念：①這條直線叫做二面角的棱，②這兩個(gè)半平面叫做二面角的面．(3)記法：二面角α-l-β或α-AB-β或P-l-Q或P-AB-Q.(4)二面角的平面角：若有①O∈l；②OA?α，OB?β；③OA⊥l，OB⊥l，則二面角α-l-β的平面角是∠AO B．(5)二面角θ的取值范圍為0°≤θ≤180°．當(dāng)兩個(gè)二面角的兩個(gè)半平面重合時(shí)，規(guī)定二面角的大小為0°，當(dāng)兩個(gè)二面角的兩個(gè)半平面合成一個(gè)平面時(shí)，規(guī)定二面角的大小為180°.思索：二面角的平面角的大小，是否與角的頂點(diǎn)在棱上的位置有關(guān)？[提示]無關(guān)．如圖，依據(jù)等角定理可知，∠AOB＝∠A′O′B′，即二面角的平面角的大小與角的頂點(diǎn)的位置無關(guān)，只與二面角的大小有關(guān)．2．平面與平面垂直(1)定義：一般地，兩個(gè)平面相交，假如它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個(gè)平面相互垂直．(2)畫法：(3)記作：α⊥β．(4)判定定理：文字語言一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直圖形語言符號語言l⊥α，l?β?α⊥β思索：兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)的任何一條直線都垂直于另一個(gè)平面嗎？[提示]不肯定，只有在一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線才垂直于另一個(gè)平面．1．如圖所示的二面角可記為()A．α-β-l B．M-l-NC．l-M-N D．l-β-αB[依據(jù)二面角的記法規(guī)則可知B正確．]2．已知直線l⊥平面α，則經(jīng)過l且和α垂直的平面()A．有一個(gè) B．有兩個(gè)C．有多數(shù)個(gè) D．不存在C[經(jīng)過l的任一平面都和α垂直．]3．如圖所示，三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，則二面角B-PA-C的大小等于________．90°[∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB，PA⊥AC，∴∠BAC為二面角B-PA-C的平面角，又∠BAC＝90°.所以所求二面角的大小為90°.]二面角的計(jì)算問題【例1】如圖，已知三棱錐A-BCD的各棱長均為2，求二面角A-CD-B的余弦值．[解]如圖，取CD的中點(diǎn)M，連接AM，BM，則AM⊥CD，BM⊥CD.由二面角的定義可知∠AMB為二面角A-CD-B的平面角．設(shè)點(diǎn)H是△BCD的重心，則AH⊥平面BCD，且點(diǎn)H在BM上．在Rt△AMH中，AM＝eq\f(\r(3),2)×2＝eq\r(3)，HM＝eq\f(\r(3),2)×2×eq\f(1,3)＝eq\f(\r(3),3)，則cos∠AMB＝eq\f(\f(\r(3),3),\r(3))＝eq\f(1,3)，即二面角的余弦值為eq\f(1,3).1．求二面角的大小關(guān)鍵是作出平面角求二面角大小的步驟是：(1)找出這個(gè)平面角；(2)證明這個(gè)角是二面角的平面角；(3)作出這個(gè)角所在的三角形，解這個(gè)三角形，求出角的大小．2．確定二面角的平面角的方法定義法在二面角的棱上找一個(gè)特別點(diǎn)，在兩個(gè)半平面內(nèi)分別過該點(diǎn)作垂直于棱的射線垂面法過棱上一點(diǎn)作棱的垂直平面，該平面與二面角的兩個(gè)半平面產(chǎn)生交線，這兩條交線所成的角，即為二面角的平面角eq\a\vs4\al([跟進(jìn)訓(xùn)練])1．如圖，AC⊥平面BCD，BD⊥CD,AC＝eq\f(1,2)AD，求平面ABD與平面BCD所成的二面角的大?。甗證明]因?yàn)锳C⊥平面BCD，BD?平面BCD，所以BD⊥AC.又因?yàn)锽D⊥CD，AC∩CD＝C，所以BD⊥平面ACD.因?yàn)锳D?平面ACD，所以AD⊥BD，所以∠ADC即為平面ABD與平面BCD所成二面角的平面角．在Rt△ACD中，AC＝eq\f(1,2)AD，所以∠ADC＝30°.平面與平面垂直的判定【例2】如圖所示，在四面體ABCS中，已知∠BSC＝90°，∠BSA＝∠CSA＝60°，又SA＝SB＝SC.求證：平面ABC⊥平面SBC.[證明](1)法一：(利用定義證明)因?yàn)椤螧SA＝∠CSA＝60°，SA＝SB＝SC，所以△ASB和△ASC是等邊三角形，則有SA＝SB＝SC＝AB＝AC，令其值為a，則△ABC和△SBC為共底邊BC的等腰三角形．取BC的中點(diǎn)D，如圖所示，連接AD，SD，則AD⊥BC，SD⊥BC，所以∠ADS為二面角A-BC-S的平面角．在Rt△BSC中，因?yàn)镾B＝SC＝a，所以SD＝eq\f(\r(2),2)a，BD＝eq\f(BC,2)＝eq\f(\r(2),2)a.在Rt△ABD中，AD＝eq\f(\r(2),2)a，在△ADS中，因?yàn)镾D2＋AD2＝SA2，所以∠ADS＝90°，即二面角A-BC-S為直二面角，故平面ABC⊥平面SBC.法二：(利用判定定理)因?yàn)镾A＝SB＝SC，且∠BSA＝∠CSA＝60°，所以SA＝AB＝AC，所以點(diǎn)A在平面SBC上的射影為△SBC的外心．因?yàn)椤鱏BC為等腰直角三角形，所以點(diǎn)A在△SBC上的射影D為斜邊BC的中點(diǎn)，所以AD⊥平面SBC.又因?yàn)锳D?平面ABC，所以平面ABC⊥平面SBC.證明面面垂直常用的方法定義法即說明兩個(gè)半平面所成的二面角是直二面角判定定理法在其中一個(gè)平面內(nèi)找尋一條直線與另一個(gè)平面垂直，即把問題轉(zhuǎn)化為線面垂直性質(zhì)法兩個(gè)平行平面中的一個(gè)垂直于第三個(gè)平面，則另一個(gè)也垂直于此平面eq\a\vs4\al([跟進(jìn)訓(xùn)練])2．如圖所示，四邊形ABCD是邊長為a的菱形，PC⊥平面ABCD，E是PA的中點(diǎn)，求證：平面BDE⊥平面ABCD.[證明]連接AC，設(shè)AC∩BD＝O，連接OE.因?yàn)镺為AC中點(diǎn)，E為PA的中點(diǎn)，所以EO是△PAC的中位線，所以EO∥PC.因?yàn)镻C⊥平面ABCD，所以EO⊥平面ABCD.又因?yàn)镋O?平面BDE，所以平面BDE⊥平面ABCD.線面、面面垂直的綜合[探究問題]1．如圖所示，如何作出二面角P-AB-Q的平面角？[提示]過點(diǎn)P作平面ABQ的垂線，垂足為H.過H作HO⊥棱AB于點(diǎn)O，連接OP，則∠POH即為二面角P-AB-Q的平面角．2．線面、面面垂直關(guān)系是如何轉(zhuǎn)化的？[提示]欲證面面垂直，可轉(zhuǎn)化為證明線面垂直，再轉(zhuǎn)化為證明線線垂直即可．【例3】如圖所示，已知正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為棱CC1(1)求證：A1E⊥BD；(2)當(dāng)E恰為棱CC1的中點(diǎn)時(shí)，求證：平面A1BD⊥平面EBD.思路探究：(1)欲證A1E⊥BD，只需證明BD垂直A1E所在平面即可；(2)要證平面A1BD⊥平面EBD，只需求出二面角為直二面角即可，或證明一個(gè)平面內(nèi)的某始終線垂直于另一個(gè)面．[證明]連接AC，設(shè)AC∩DB＝O，連接A1O，OE，(1)因?yàn)锳A1⊥底面ABCD，所以BD⊥A1A，又BD⊥AC，A1A∩AC＝所以BD⊥平面ACEA1，因?yàn)锳1E?平面ACEA1，所以A1E⊥BD.(2)在等邊三角形A1BD中，BD⊥A1O，因?yàn)锽D⊥平面ACEA1，OE?平面ACEA1，所以BD⊥OE，所以∠A1OE為二面角A1-BD-E的平面角．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，設(shè)棱長為2a，因?yàn)镋為棱CC1的中點(diǎn)，由平面幾何學(xué)問，得EO＝eq\r(3)a，A1O＝eq\r(6)a，A1E＝3a，滿意A1E2＝A1O2＋EO2，所以∠A1OE＝90°，即平面A1BD⊥平面EBD.本例中，條件不變，試求二面角E-BD-C的正切值．[解]連接AC交BD于O，連接OE(圖略).由例題中(2)知，BD⊥OE，BD⊥OC.∴∠EOC為二面角E-BD-C的平面角．設(shè)正方體棱長為a，則CE＝eq\f(a,2)，OC＝eq\f(\r(2),2)a.在Rt△OCE中，tan∠EOC＝eq\f(CE,OC)＝eq\f(\f(a,2),\f(\r(2),2)a)＝eq\f(\r(2),2).所以二面角E-BD-C的正切值為eq\f(\r(2),2).線面、面面垂直的綜合問題的解題策略(1)重視轉(zhuǎn)化涉及線面垂直、面面垂直的綜合問題的解題關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化，即證面面垂直轉(zhuǎn)化為證線面垂直；證線面垂直轉(zhuǎn)化為證線線垂直.(2)充分挖掘線面垂直關(guān)系解答線面垂直、面面垂直的綜合問題時(shí)，通常要先證出一個(gè)關(guān)鍵的線面垂直關(guān)系，由此動(dòng)身才能證出其他線線垂直、線面垂直關(guān)系，因此要留意線面垂直在解題過程中的樞紐作用．1．求二面角大小的步驟簡稱為“一作、二證、三求”．2．平面與平面垂直的判定定理的應(yīng)用思路(1)本質(zhì)：通過直線與平面垂直來證明平面與平面垂直，即線面垂直?面面垂直．(2)證題思路：處理面面垂直問題轉(zhuǎn)化為處理線面垂直問題，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為處理線線垂直問題來解決．1．直線l⊥平面α，l?平面β，則α與β的位置關(guān)系是()A．平行 B．可能重合C．相交且垂直 D．相交不垂直C[由面面垂直的判定定理，得α與β垂直，故選C.]2．從二面角內(nèi)一點(diǎn)分別向二面角的兩個(gè)面引垂線，則這兩條垂線所夾的角與二面角的平面角的關(guān)系是()A．互為余角 B．相等C．其和為周角 D．互為補(bǔ)角D[畫圖知從二面角內(nèi)一點(diǎn)分別向二面角的兩個(gè)面引垂線，則這兩條垂線所夾的角與二面角的平面角互為補(bǔ)角，所以選D.]3．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，二面角A-BC-A145°[依據(jù)長方體中的位置關(guān)系可知，AB⊥BC