循環(huán)小數(shù)問題知識點

循環(huán)小數(shù)問題知識點循環(huán)小數(shù)問題，是高中數(shù)學(xué)中的一個重要分支，主要涉及到有理數(shù)及其表現(xiàn)形式的表示、循環(huán)小數(shù)的定義與表示、無理數(shù)的說明等方面。本文將對循環(huán)小數(shù)問題進(jìn)行詳盡、專業(yè)、全面的梳理。一、有理數(shù)及其表現(xiàn)形式有理數(shù)是可以表示成兩個整數(shù)之比的數(shù)，其中分母不為零，比如1/2、3/5、-4/7等等。在數(shù)軸上，有理數(shù)可以用分?jǐn)?shù)表示，分?jǐn)?shù)的分子、分母也可以表示為十進(jìn)制數(shù)，這就是我們常說的小數(shù)形式。對于小數(shù)形式，最顯著的特點就是有些小數(shù)是有限小數(shù)，有些則是無限循環(huán)小數(shù)。而循環(huán)小數(shù)問題是針對無限循環(huán)小數(shù)的探究。二、循環(huán)小數(shù)的定義與表示方法循環(huán)小數(shù)是指小數(shù)部分有限，后面一段數(shù)字為循環(huán)節(jié)重復(fù)出現(xiàn)，即小數(shù)一直重復(fù)某一段數(shù)字。如0.6666…0.6，它們的小數(shù)部分都是6，稱為循環(huán)節(jié)。在表示循環(huán)小數(shù)時，可以用一線畫將循環(huán)節(jié)表示出來，如0.6可以表示為0.6=(0.6)。若循環(huán)節(jié)為長度為n的數(shù)字串，則稱它為n位循環(huán)節(jié)循環(huán)小數(shù)，如0.142857142857…是6位循環(huán)節(jié)循環(huán)小數(shù)，它可以表示為0.142857=0.(142857)。三、循環(huán)小數(shù)的判定方法判定一個數(shù)是否為有限小數(shù)，只需判斷分母是否只含2和5因子即可。因為有理數(shù)若化簡后分母還包含其他因子，則其小數(shù)部分一定是無限循環(huán)小數(shù)。對于無限小數(shù)，可以尋找循環(huán)節(jié)并表示出來進(jìn)行判斷。1.尋找循環(huán)節(jié)：如果一個小數(shù)是無限循環(huán)小數(shù)，則必存在一個位置，該位置后的數(shù)字與前面的數(shù)字循環(huán)出現(xiàn)，這個位置稱為循環(huán)小數(shù)的尾數(shù)或重復(fù)數(shù)，這些循環(huán)出現(xiàn)的數(shù)字就是循環(huán)節(jié)。通常采用平凡算法或余數(shù)法查找循環(huán)節(jié)。平凡算法：將循環(huán)小數(shù)分子分母倒數(shù)相除，得到原始小數(shù)后，將小數(shù)部分不斷乘以10，然后將整數(shù)部分和新的小數(shù)部分再次乘以10，這個新的小數(shù)部分就是原小數(shù)的下一位。以此類推，發(fā)現(xiàn)某位小數(shù)重復(fù)出現(xiàn)了，然后就找到了循環(huán)節(jié)，至此尋找完成。余數(shù)法：將循環(huán)小數(shù)分子分母倒數(shù)相除，得到原始小數(shù)后，不需要實際地將小數(shù)部分進(jìn)行運(yùn)算，而是將余數(shù)相除，以余數(shù)是否重復(fù)的方式判斷循環(huán)節(jié)。2.判斷循環(huán)節(jié)：找到循環(huán)節(jié)后還需判斷它是不是最小循環(huán)節(jié)。最小循環(huán)節(jié)是指一個循環(huán)節(jié)的所有數(shù)位組成的數(shù)字串不能被分解為兩個或更多的連續(xù)數(shù)字字串。三、循環(huán)小數(shù)的化簡對于已知的循環(huán)小數(shù)，也可以將其化成分?jǐn)?shù)的形式。對于長度為n的循環(huán)節(jié)循環(huán)小數(shù)0.a1a2…an(a1a2…an)，可化簡成下式：0.a1a2…an(a1a2…an)=a1a2…an/10^n-1用此式子將循環(huán)小數(shù)化簡時，可以通過移項得到以下式子：a1a2…an/(10^n-1)=0.a1a2…an(a1a2…an)將原來的無限循環(huán)小數(shù)化為了有限的分?jǐn)?shù)，這為后續(xù)運(yùn)算提供了便利。四、無理數(shù)的說明在有理數(shù)的范圍之外，還存在著無理數(shù)。無理數(shù)無法表示為兩個整數(shù)之比，不存在有窮小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)，常見的無理數(shù)有π、√2、e等等。這類數(shù)可以用不等式表示或近似表示，形如3.141…、1.41421…等等，但無論是理論還是實際，都不可能表示為有限或是循環(huán)小數(shù)形式。循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)中一種重要的表現(xiàn)形式，它