浙江省杭州市拱墅區(qū)拱宸中學 2023-2024學年上學期期中考試八年級數學試卷

2023-2024學年浙江省杭州市拱墅區(qū)拱宸中學八年級（上）期中數學試卷一、選擇題（本題共有10題，每題3分，共30分）1．（3分）下列圖形中是軸對稱圖形的是A． B． C． D．2．（3分）下列三角形中，不是等腰三角形的是A． B． C． D．3．（3分）下列命題屬于假命題的是A．全等三角形的對應邊相等 B．全等三角形的對應角相等 C．三條邊對應相等的兩個三角形全等 D．三個角對應相等的兩個三角形全等4．（3分）若，則下列式子中一定成立的是A． B． C． D．5．（3分）如圖，學校有一塊長方形花圃，有極少數人為了避開拐角走“捷徑”，在花圃內走出了一條“路”．他們僅僅少走了幾步路，卻踩傷了花草．他們少走的路長為A． B． C． D．6．（3分）如圖，在中，，過點作交的平分線于點，若，則的度數為A． B． C． D．7．（3分）如圖，△中，，點，分別在，上，是的中點．若，，則的長是A．3 B．4 C．5 D．68．（3分）如圖，線段，的垂直平分線、相交于點．若，則A． B． C． D．9．（3分）若，，，則的最小值為A．0 B．3 C．6 D．910．（3分）意大利著名畫家達芬奇用一張紙片剪拼出不一樣的空洞，而兩個空洞的面積是相等的，如圖所示，證明了勾股定理，若設左邊圖中空白部分的面積為，右邊圖中空白部分的面積為，小聰同學得出了以下四個結論：①；②；③；④．則其中正確的有A．1個 B．2個 C．3個 D．4個二、填空題（本題共有6題，每題4分，共24分）11．（4分）已知命題：“對頂角相等．”寫出它的逆命題：．12．（4分）“的3倍與2的差小于9”用不等式表示為．13．（4分）如圖，數軸上的點表示原點，，垂足為，且，以為圓心，長為半徑畫弧，交數軸于點，則點表示的數為．14．（4分）關于的方程的解為正數，則的取值范圍是．15．（4分）如圖，折疊直角三角形紙片，使得點與點重合，折痕為．若，，則的長是．16．（4分）如圖，在中，，，分別是，上的點，，，且，則．三、解答題（本題共有8題，共66分）17．（6分）解不等式，并把它的解集在數軸上表示出來．18．（6分）如圖，點，，，在同一條直線上，點，分別在直線的兩側，且，，．（1）求證：；（2）若，，求的長．19．（6分）在的網格中已經涂黑了三個小正方形，請在圖中涂黑一塊（或兩塊）小正方形，使涂黑的四個（或五個）小正方形組成一個軸對稱圖形．20．（8分）如圖，中，，．（1）用直尺和圓規(guī)作的平分線交于點（保留作圖痕跡）；（2）過點畫的邊上的高，交線段于點，若的周長是，求的長．21．（8分）我們定義：如果兩個一元一次不等式有公共解，那么稱這兩個不等式互為“云不等式”，其中一個不等式是另一個不等式的“云不等式”．（1）不等式（選填“是”或“不是”的“云不等式”．（2）若關于的不等式與不等式互為“云不等式”且有2個公共的整數解，求的取值范圍．22．（10分）隨著“低碳生活，綠色出行”理念的普及，新能源汽車成為大部分人首選的交通工具．燈塔市公交公司購買一批，兩種型號的新能源汽車，已知購買3輛型汽車和1輛型汽車共需要55萬元，購買2輛型汽車和4輛型汽車共需要120萬元．（1）求購買每輛型和型汽車各需要多少萬元？（2）若該公司計劃購買型汽車和型汽車共15輛，且總費用不超過220萬元，則最少能購買型汽車多少輛？23．（10分）已知和都是等腰直角三角形，．（1）若為內部一點，如圖，嗎？說明理由；（2）若為邊上一點，，，求的長．24．（12分）教材呈現：如圖為華師版八年級上冊數學教材第65頁的部分類容．做一做：如圖，已知兩條線段和一個角，以長的線段為已知角的鄰邊，短的線段為已知角的對邊，畫一個三角形．把你畫的三角形與其他同學畫的三角形進行比較，所畫的三角形都全等嗎？此時，符合條件的角形有多少種？（1）操作發(fā)現如圖1，通過作圖我們可以發(fā)現，此時（即“邊邊角”對應相等）的兩個三角形全等（填“一定”或“不一定”．（2）探究證明閱讀補全證明已知：如圖2，在和中，，，．求證：．證明：在上取一點，使．，．又，而，．，又．．（3）拓展應用在中，，點在射線上，點在的延長線上，且，連接，與邊所在的直線交于點．①當點在線段上時，如圖3所示，求證：．②過點作交直線于點，若，，則（直接寫出答案）．

2023-2024學年浙江省杭州市拱墅區(qū)拱宸中學八年級（上）期中數學試卷參考答案與試題解析一、選擇題（本題共有10題，每題3分，共30分）1．（3分）下列圖形中是軸對稱圖形的是A． B． C． D．【分析】根據如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸進行分析即可．【解答】解：，，選項中的圖形都不能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對稱圖形；選項中的圖形能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對稱圖形；故選：．【點評】本題考查了軸對稱圖形的概念，軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．2．（3分）下列三角形中，不是等腰三角形的是A． B． C． D．【分析】由三角形的內角和判定選項中的三角形是否為等腰三角形，選項由等腰三角形的定義判斷．【解答】解：、由三角形的內角和為知：第三個角的大小為：，選項中的圖形不是等腰三角形．故選項符合題意；、由三角形的內角和為知：第三個角的大小為：，選項中的圖形是等腰三角形．故選項不符合題意；、由三角形的內角和為知：第三個角的大小為：，選項中的圖形是等腰三角形．故選項不符合題意；、由圖形中有兩邊長為5知：選項中的圖形是等腰三角形．故選項不符合題意；故選：．【點評】本題考查了三角形的內角和與等腰三角形的判定和定義．利用三角形的內角和為求出第三角是突破點．3．（3分）下列命題屬于假命題的是A．全等三角形的對應邊相等 B．全等三角形的對應角相等 C．三條邊對應相等的兩個三角形全等 D．三個角對應相等的兩個三角形全等【分析】利用全等三角形的性質及判定方法分別判斷后即可確定正確的選項．【解答】解：、全等三角形的對應邊相等，正確，是真命題，不符合題意；、全等三角形的對應角相等，正確，是真命題，不符合題意；、三條邊對應相等的兩個三角形全等，正確，是真命題，不符合題意；、三個角對應相等的兩個三角形相似但不一定全等，故原命題錯誤，是假命題，符合題意．故選：．【點評】本題考查了命題與定理的知識，解題的關鍵是了解全等三角形的性質及判定方法，難度不大．4．（3分）若，則下列式子中一定成立的是A． B． C． D．【分析】根據不等式的性質解答即可．【解答】解：、，，原變形錯誤，故此選項不符合題意；、，，原變形正確，故此選項符合題意；、原變形錯誤，如，，則，故此選項不符合題意；、，，原變形錯誤，故此選項不符合題意．故選：．【點評】本題主要考查了不等式的性質，掌握不等式的性質是解題的關鍵．5．（3分）如圖，學校有一塊長方形花圃，有極少數人為了避開拐角走“捷徑”，在花圃內走出了一條“路”．他們僅僅少走了幾步路，卻踩傷了花草．他們少走的路長為A． B． C． D．【分析】利用勾股定理求出的長，再根據少走的路長為，計算即可．【解答】解：由勾股定理得，，少走的路長為，故選：．【點評】本題主要考查了勾股定理的應用，明確少走的路為是解題的關鍵．6．（3分）如圖，在中，，過點作交的平分線于點，若，則的度數為A． B． C． D．【分析】利用角平分線的定義求出，利用三角形內角和定理求出，再利用平行線的性質解決問題即可．【解答】解：平分，，，，，，，故選：．【點評】本題考查直角三角形的性質，角平分線的定義，平行線的性質，三角形的內角和定理等知識，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．7．（3分）如圖，△中，，點，分別在，上，是的中點．若，，則的長是A．3 B．4 C．5 D．6【分析】根據已知想到等腰三角形的三線合一，所以連接，可得，再利用等角的余角相等，證明，從而得，即可解答．【解答】解：連接，，是的中點，，，，，，，，，，故選：．【點評】本題考查了等腰三角形的判定與性質，利用等腰三角形的三線合一，添加輔助線是解題的關鍵．8．（3分）如圖，線段，的垂直平分線、相交于點．若，則A． B． C． D．【分析】連接，并延長到，根據線段的垂直平分線的性質得和，根據四邊形的內角和為得，根據外角的性質得，，相加可得結論．【解答】解：連接，并延長到，，．線段，的垂直平分線、相交于點，，，，，，，，，，，．故選：．【點評】本題主要考查線段的垂直平分線的性質，等腰三角形的性質，三角形外角的性質，掌握線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等是解題的關鍵．9．（3分）若，，，則的最小值為A．0 B．3 C．6 D．9【分析】把問題轉化為一次函數，利用一次函數的性質解決最值問題．【解答】解：，，，，時，的值最小，最小值為6，故選：．【點評】本題考查不等式的性質，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考基礎題．10．（3分）意大利著名畫家達芬奇用一張紙片剪拼出不一樣的空洞，而兩個空洞的面積是相等的，如圖所示，證明了勾股定理，若設左邊圖中空白部分的面積為，右邊圖中空白部分的面積為，小聰同學得出了以下四個結論：①；②；③；④．則其中正確的有A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】根據勾股定理、直角三角形以及正方形的面積公式計算，即可解決問題．【解答】解：由勾股定理得：，由題意得：，故①、②、③、④正確，故選：．【點評】本題考查勾股定理的證明，直角三角形的性質，正方形的性質等知識，解題的關鍵是讀懂圖象信息，屬于中考?？碱}型．二、填空題（本題共有6題，每題4分，共24分）11．（4分）已知命題：“對頂角相等．”寫出它的逆命題：如果兩個角相等，那么這兩個角是對頂角．【分析】把一個命題的條件和結論互換就得到它的逆命題．【解答】解：命題“對頂角相等”的逆命題是：如果兩個角相等，那么這兩個角是對頂角，故答案為：如果兩個角相等，那么這兩個角是對頂角．【點評】本題考查了互逆命題的知識，兩個命題中，如果第一個命題的條件是第二個命題的結論，而第一個命題的結論又是第二個命題的條件，那么這兩個命題叫做互逆命題．12．（4分）“的3倍與2的差小于9”用不等式表示為．【分析】先表示的3倍，再表示“差”，最后由“”可得答案．【解答】解：“的3倍與2的差小于9”用不等式表示為，故答案為：．【點評】本題主要考查由實際問題抽象出一元一次不等式，用不等式表示不等關系時，要抓住題目中的關鍵詞，如“大于（小于）、不超過（不低于）、是正數（負數）”“至少”、“最多”等等，正確選擇不等號．13．（4分）如圖，數軸上的點表示原點，，垂足為，且，以為圓心，長為半徑畫弧，交數軸于點，則點表示的數為．【分析】和均為半徑，根據勾股定理求出的長，從而得到點表示的數．【解答】解：在中，，，點表示的數為，故答案為：．【點評】本題考查實數與數軸，求出圓弧的半徑是本題的關鍵．14．（4分）關于的方程的解為正數，則的取值范圍是．【分析】先求出方程的解，再根據題意得出不等式，求出不等式的解集即可．【解答】解：解方程得：，關于的方程的解為正數，，解得：，故答案為：．【點評】本題考查了解一元一次不等式和解一元一次方程、一元一次方程的解，能得出關于的不等式是解此題的關鍵．15．（4分）如圖，折疊直角三角形紙片，使得點與點重合，折痕為．若，，則的長是．【分析】根據折疊的性質可得：，然后設，從而可得，在中，利用勾股定理進行計算即可解答．【解答】解：由折疊得：，設，，，在中，，，解得：，，故答案為：．【點評】本題考查了翻折變換（折疊問題），熟練掌握折疊的性質是解題的關鍵．16．（4分）如圖，在中，，，分別是，上的點，，，且，則．【分析】在上取一點，使，根據等腰三角形的性質得到，根據全等三角形的性質得到，過點作于點，根據勾股定理即可得到結論．【解答】解：在上取一點，使，連接，，，在和中，，，，過點作于點，，，就是等腰三角形，，，，，在中，由勾股定理可得，，在中，由勾股定理可得，，，故答案為：．【點評】本題考查了等腰三角形的性質，勾股定理等，全等三角形的判定和性質，解題的關鍵正確的作出輔助線．三、解答題（本題共有8題，共66分）17．（6分）解不等式，并把它的解集在數軸上表示出來．【分析】根據解一元一次不等式的基本步驟①去分母；②去括號；③移項；④合并同類項；⑤化系數為計算即可得出不等式的解集，再將其在數軸上表示出來即可．【解答】解：，去分母：，去括號：，移項：，合并同類項：，化系數為，不等式的解集在數軸上表示如圖所示：【點評】本題主要考查解一元一次不等式、在數軸上表示不等式的解集，熟知解一元一次不等式的基本步驟是解題關鍵．18．（6分）如圖，點，，，在同一條直線上，點，分別在直線的兩側，且，，．（1）求證：；（2）若，，求的長．【分析】（1）根據全等三角形的判定定理證明即可；（2）根據，全等三角形的性質即可得到結論．【解答】（1）證明：，，即，，在和中，，；（2）由（1）知，，，，故的長為4．【點評】此題主要考查了全等三角形的判定與性質；熟練掌握證明三角形全等是解決問題的關鍵．19．（6分）在的網格中已經涂黑了三個小正方形，請在圖中涂黑一塊（或兩塊）小正方形，使涂黑的四個（或五個）小正方形組成一個軸對稱圖形．【分析】根據軸對稱圖形的定義以及題目要求畫出圖形即可【解答】解：如圖中，圖形即為所求．【點評】本題考查利用軸對稱設計圖案，解題的關鍵是理解軸對稱圖形的定義，屬于中考?？碱}型．20．（8分）如圖，中，，．（1）用直尺和圓規(guī)作的平分線交于點（保留作圖痕跡）；（2）過點畫的邊上的高，交線段于點，若的周長是，求的長．【分析】（1）利用尺規(guī)周長的角平分線即可．（2）利用尺規(guī)過點作即可．證明的周長即可．【解答】解：（1）如圖，線段即為所求．（2）如圖，線段即為所求．，，，，，，，，的周長，．【點評】本題考查作圖復雜作圖，角平分線的性質，全等三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．21．（8分）我們定義：如果兩個一元一次不等式有公共解，那么稱這兩個不等式互為“云不等式”，其中一個不等式是另一個不等式的“云不等式”．（1）不等式是（選填“是”或“不是”的“云不等式”．（2）若關于的不等式與不等式互為“云不等式”且有2個公共的整數解，求的取值范圍．【分析】（1）根據云不等式的定義，即可解答；（2）先分別解兩個不等式，然后根據題意可得，進行計算即可解答．【解答】解：（1）與有一個公共解，不等式是的“云不等式”，故答案為：是；（2）解不等式，得，解不等式，得，關于的不等式與不等式互為“云不等式”且有2個公共的整數解，，解得：，的取值范圍是：．【點評】本題考查了解一元一次不等式，一元一次不等式的整數解，理解云不等式是解題的關鍵．22．（10分）隨著“低碳生活，綠色出行”理念的普及，新能源汽車成為大部分人首選的交通工具．燈塔市公交公司購買一批，兩種型號的新能源汽車，已知購買3輛型汽車和1輛型汽車共需要55萬元，購買2輛型汽車和4輛型汽車共需要120萬元．（1）求購買每輛型和型汽車各需要多少萬元？（2）若該公司計劃購買型汽車和型汽車共15輛，且總費用不超過220萬元，則最少能購買型汽車多少輛？【分析】（1）找出等量關系列出方程組再求解即可．本題的等量關系為“購買3輛型汽車和1輛型汽車共需要55萬元”和“購買2輛型汽車和4輛型汽車共需要120萬元”．（2）設購買型汽車輛，則購買型汽車輛，根據總費用不超過220萬元，列出不等式計算即可求解．【解答】解：（1）設購買每輛型汽車需要萬元，每輛型汽車需要萬元．依題意有：，解得：．答：購買每輛型汽車需要10萬元，每輛型汽車需要25萬元；（2）設購買型汽車輛，則購買型汽車輛．依題意有：，，解得：，取正整數，最小取11．答：最少能購買型汽車11輛．【點評】本題考查不等式組的應用，二元一次方程組的應用，解題關鍵是要讀懂題目的意思，找出（1）合適的等量關系：“購買3輛型汽車和1輛型汽車共需要55萬元”和“購買2輛型汽車和4輛型汽車共需要120萬元”．（2）根據總費用不超過220萬元列出不等式再求解．23．（10分）已知和都是等腰直角三角形，．（1）若為內部一點，如圖，嗎？說明理由；（2）若為邊上一點，，，求的長．【分析】（1）由“”可證，可得；（2）由全等三角形的性質可得，，由勾股定理可求的長．【解答】解：（1），理由如下：和都是等腰直角三角形，，，，，且，，；（2）如圖，由（1）可知：，，，，．【點評】本題考查了全等三角