江蘇省鎮(zhèn)江市名校2025屆九年級數(shù)學第一學期開學質(zhì)量跟蹤監(jiān)視試題【含答案】

學校________________班級____________姓名____________考場____________準考證號學校________________班級____________姓名____________考場____________準考證號…………密…………封…………線…………內(nèi)…………不…………要…………答…………題…………第1頁，共3頁江蘇省鎮(zhèn)江市名校2025屆九年級數(shù)學第一學期開學質(zhì)量跟蹤監(jiān)視試題題號一二三四五總分得分A卷（100分）一、選擇題（本大題共8個小題，每小題4分，共32分，每小題均有四個選項，其中只有一項符合題目要求）1、（4分）四邊形ABCD的對角線互相平分，要使它變?yōu)榱庑?，需要添加的條件是()A．AB=CD B．AC=BD C．AC⊥BD D．AD=BC2、（4分）方程的解為()．A．2 B．1 C．－2 D．－13、（4分）將一元二次方程-6x-5=0化成=b的形式，則b等于（）A．4 B．-4 C．14 D．-144、（4分）一個盒子中裝有20顆藍色幸運星，若干顆紅色幸運星和15顆黃色幸運星，小明通過多次摸取幸運星試驗后發(fā)現(xiàn)，摸取到紅色幸運星的頻率穩(wěn)定在0.5左右，若小明在盒子中隨機摸取一顆幸運星，則摸到黃色幸運星的可能性約為（）A． B． C． D．5、（4分）如圖，在矩形ABCD中，AB=2，AD=3，E是BC邊上一點，將ΔABE沿AE折疊，使點B落在點B'處，連接CB'，則CB'的最小值是（）A．13-2 B．13+2 C．6、（4分）下列各點一定在函數(shù)y=3x-1的圖象上的是()A．(1，2) B．(2，1) C．(0，1) D．(1，0)7、（4分）甲、乙、丙、丁四人進行射擊測試,每人10次射擊的平均成績恰好都是9.4環(huán),方差分別是,,,.在本次射擊測試中,成績最穩(wěn)定的是()A．甲 B．乙 C．丙 D．丁8、（4分）小明和小莉同時從學校出發(fā)，按相同路線去圖書館，小明騎自行車前往，小莉前一半路程先乘坐公共汽車到圖書館站，然后步行剩下的路程走到圖書館．已知小明騎車的速度是小莉步行速度的2倍，小莉乘坐公共汽車的速度是小明騎車速度的2倍．則比較小明與小莉到達圖書館需要的時間是（）A．一樣多 B．小明多 C．小莉多 D．無法確定二、填空題（本大題共5個小題，每小題4分，共20分）9、（4分）在菱形中，若，，則菱形的周長為________.10、（4分）如圖，四邊形ABCD是正方形，△EBC是等邊三角形，則∠AED的度數(shù)為_________．11、（4分）某校為了提升初中學生學習數(shù)學的興趣，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新精神，舉辦了“玩轉(zhuǎn)數(shù)學”比賽．評委從研究報告、小組展示、答辯三個方面為每個參賽小組打分，按照研究報告占40%，小組展示占30%，答辯占30%計算各小組的成績，各項成績均按百分制記錄．甲小組的研究報告得85分，小組展示得90分，答辯得80分，則甲小組的參賽成績?yōu)開____．12、（4分）在5張完全相同的卡片上分別畫上等邊三角形、平行四邊形、直角梯形、正方形和圓．在看不見圖形的情況下隨機摸出1張，這張卡片上的圖形是中心對稱圖形的概率是________．13、（4分）正比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點（-1,2），則此函數(shù)的表達式為___________.三、解答題（本大題共5個小題，共48分）14、（12分）對于實數(shù)a，b，定義運算“*”，a*b＝例如4*1．因為4＞1，所以4*1＝41－4×1＝8，若x1、x1是一元二次方程x1－9x＋10＝0的兩個根，則x1*x1＝__．15、（8分）已知正方形ABCD中，E為對角線BD上一點，過點E作EF⊥BD交BC于點F，連接DF，G為DF的中點，連接EG，（1）如圖1，求證：EG=CG；（2）將圖1中的ΔBEF繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)45°，如圖2，取DF的中點G，連接EG，CG．問（（3）將圖1中的ΔBEF繞點B逆時計旋轉(zhuǎn)任意角度，如圖3，取DF的中點G，連接EG，CG．問（16、（8分）用適當?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋海?）5x2＝4x（2）（x+1）（3x﹣1）＝017、（10分）如圖，?ABCD中，DF平分∠ADC，交BC于點F，BE平分∠ABC，交AD于點E．（1）求證：四邊形BFDE是平行四邊形；（2）若∠AEB=68°，求∠C．18、（10分）如圖，證明定理：三角形的中位線平行于三角形的第三邊，且等于第三邊的一半．已知：點D、E分別是△ABC的邊AB、AC的中點．求證：DE∥BC，DE＝BC．B卷（50分）一、填空題（本大題共5個小題，每小題4分，共20分）19、（4分）如圖，正方形的兩邊、分別在軸、軸上，點在邊上，以為中心，把旋轉(zhuǎn)，則旋轉(zhuǎn)后點的對應點的坐標是________.20、（4分）如圖，正方形CDEF內(nèi)接于，，，則正方形的面積是________.21、（4分）如圖，△ABC中，D，E分別是邊AB，AC的中點．若DE=2，則BC=．22、（4分）如圖，已知一塊直角三角板的直角頂點與原點重合，另兩個頂點，的坐標分別為，，現(xiàn)將該三角板向右平移使點與點重合，得到，則點的對應點的坐標為__________．23、（4分）若是一個完全平方式，則的值等于_________．二、解答題（本大題共3個小題，共30分）24、（8分）如圖①，矩形中，，，點是邊上的一動點（點與、點不重合），四邊形沿折疊得邊形，延長交于點．圖①圖②（1）求證：；（2）如圖②，若點恰好在的延長線上時，試求出的長度；（3）當時，求證：是等腰三角形．25、（10分）運城市某學校去年在某商場購買甲、乙兩種不同足球，購買甲種足球共花費2000元，購買乙種足球共花費1400元，購買甲種足球數(shù)量是購買乙種足球數(shù)量的2倍.且購買一個乙種足球比購買一個甲種足球多花20元.（1）求購買一個甲種足球、一個乙種足球各需多少元；（2）今年為響應“足球進校園”的號召，這所學校決定再次購買甲、乙兩種足球共50個.恰逢該商場對兩種足球的售價進行調(diào)整，甲種足球售價比第一次購買時提高了，乙種足球售價比第一次購買時降低了.如果此次購買甲、乙兩種足球的總費用不超過3000元，那么這所學校最多可購買多少個乙種足球？26、（12分）如圖，點E、F在線段BD上，AF⊥BD，CE⊥BD，AD=CB，DE=BF，求證：AF=CE．

參考答案與詳細解析一、選擇題（本大題共8個小題，每小題4分，共32分，每小題均有四個選項，其中只有一項符合題目要求）1、C【解析】

由已知條件得出四邊形ABCD是平行四邊形，再由對角線互相垂直，即可得出四邊形ABCD是菱形．【詳解】如圖所示：需要添加的條件是AC⊥BD；理由如下：

∵四邊形ABCD的對角線互相平分，

∴四邊形ABCD是平行四邊形，

∵AC⊥BD，

∴平行四邊形ABCD是菱形（對角線互相垂直的平行四邊形是菱形）；

故選：C．考查了平行四邊形的判定方法、菱形的判定方法；熟練掌握平行四邊形和菱形的判定方法，并能進行推理論證是解決問題的關(guān)鍵．2、A【解析】試題解析：本題首先進行去分母，然后進行解關(guān)于x的一元一次方程，從而求出答案，最后必須要對這個解進行檢驗.在方程的兩邊同時乘以x(x+1)可得：2(x+1)=3x，解得：x=2，經(jīng)檢驗：x=2是方程的解.3、C【解析】

解：因為x2－6x－5＝0所以x2－6x=5，配方得x2－6x+9=5+9，所以，所以b=14，故選C．本題考查配方法，掌握配方法步驟正確計算是解題關(guān)鍵．4、C【解析】

設袋中紅色幸運星有x個，根據(jù)“摸取到紅色幸運星的頻率穩(wěn)定在0.5左右”列出關(guān)于x的方程，解之可得袋中紅色幸運星的個數(shù)，再根據(jù)頻率的定義求解可得．【詳解】解：設袋中紅色幸運星有x個，根據(jù)題意，得：，解得：x＝35，經(jīng)檢驗：x＝35是原分式方程的解，則袋中紅色幸運星的個數(shù)為35個，若小明在盒子中隨機摸取一顆幸運星，則摸到黃色幸運星的頻率為，故選：C．本題考查了頻率的計算，解題的關(guān)鍵是設出求出紅色幸運星的個數(shù)并熟記公式．5、A【解析】

由矩形的性質(zhì)得出∠B=90°，BC=AD=3，由折疊的性質(zhì)得：AB'=AB=1，當A、B'、C三點共線時，CB'的值最小，由勾股定理得出AC=AB2+BC2=【詳解】解：∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠B=90°，BC=AD=3，

由折疊的性質(zhì)得：AB'=AB=1，

當A、B'、C三點共線時，CB'的值最小，

此時AC=AB2+BC2=22+3本題考查了翻折變換的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、勾股定理等知識；熟練掌握翻折變換的性質(zhì)和勾股定理是解題的關(guān)鍵．6、A【解析】

分別把x=1、2、0代入直線解析式，計算出對應的函數(shù)值，然后根據(jù)一次函數(shù)圖象上點的坐標特征進行判斷．【詳解】解：A、當x=1時，y=2，故選項正確；B、當x=2時，y=5≠1，故選項錯誤；C、當x=0時，y=-1≠1，故選項錯誤；D、當x=1時，y=2≠0，故選項錯誤；故選：A．本題考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標特征：一次函數(shù)圖象上點的坐標滿足其解析式，將點的橫坐標代入解析式求出函數(shù)值判斷是否等于縱坐標是解決此題的關(guān)鍵．7、C【解析】

方差越小，成績越穩(wěn)定，據(jù)此判斷即可.【詳解】解：∵0.43＜0.90＜1.22＜1.68，∴丙成績最穩(wěn)定，故選C本題考查了方差的相關(guān)知識，屬于基礎題型，掌握判斷的方法是解題的關(guān)鍵.8、C【解析】

分別設出小明、小莉的速度路程，然后用代數(shù)式表示時間再比較即可.【詳解】設小明的速度是v，則小莉乘坐公共汽車的速度2v,小莉步行的速度，總路程是s.小明的時間是：小莉的時間是：所以，小莉用的時間多，答案選C.本題是對用字母表示數(shù)的實際應用，能找到本題當中數(shù)量與數(shù)量之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵.二、填空題（本大題共5個小題，每小題4分，共20分）9、8【解析】

由菱形的，可得∠BAD=∠BCD=60°，則在Rt△AOB中根據(jù)勾股定理以及30°所對的直角邊是斜邊的一半，列方程可以求出AB的長，即可求出菱形周長.【詳解】解：如圖，∵ABCD為菱形∴∠BAD=∠BCD，BD⊥AC，O為AC、BD中點又∵∴∠BAD=∠BCD=60°∴∠BAC=∠BAD=30°在Rt△AOB中，BO=AB，設BO=x，根據(jù)勾股定理可得：解得x=1∴AB=2x=2∴菱形周長為8故答案為8本題考查菱形的性質(zhì)綜合應用，靈活應用菱形性質(zhì)是解題關(guān)鍵.10、150【解析】

根據(jù)題意先得出AB=BC=BE,EC=BC=DC,并以此求出∠AEB和∠DEC，進而利用∠AED=360°-∠AEB-∠DEC-∠BEC即可求出∠AED的度數(shù)．【詳解】解：∵四邊形ABCD是正方形，△EBC是等邊三角形，∴AB=BC=BE,EC=BC=DC,∠ABE=∠DCE=90°-60°=30°，∴∠AEB=∠EAB=（180°-30°）÷2=75°，∴∠DEC=∠EDC=（180°-30°）÷2=75°，∴∠AED=360°-∠AEB-∠DEC-∠BEC=360°-75°-75°-60°=150°．故答案為：150°．本題考查正方形的性質(zhì)以及等腰、等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．11、85分【解析】

根據(jù)加權(quán)平均數(shù)的定義計算可得．【詳解】根據(jù)題意知，甲小組的參賽成績?yōu)?5×40%+90×30%+80×30%=85（分），故答案為：85分．本題考查的是加權(quán)平均數(shù)的求法，根據(jù)某方面的需要選拔時往往利用加權(quán)平均數(shù)更合適．12、【解析】

先找出中心對稱圖形有平行四邊形、正方形和圓3個，再直接利用概率公式求解即可求得答案．【詳解】解：張完全相同的卡片中中心對稱圖形有平行四邊形、正方形和圓3個，隨機摸出1張，卡片上的圖形是中心對稱圖形的概率是，故答案為：．本題主要考查了中心對稱圖形和概率公式．用到的知識點為：概率所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．13、y=-2x【解析】

設正比例函數(shù)是y=kx（k≠0）．利用正比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，將點（-1，2）代入該函數(shù)解析式，求得k值即可．【詳解】設正比例函數(shù)是y=kx（k≠0）．∵正比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點（-1，2），∴2=-k，解答，k=-2，∴正比例函數(shù)的解析式是y=-2x；故答案是：y=-2x．三、解答題（本大題共5個小題，共48分）14、4【解析】試題分析：先求出方程的兩個根，再利用新定義的運算法則計算,計算時需要分類討論.試題解析：x1－7x＋11＝0，(x－4)(x－3)＝0，x－4＝0或x－3＝0，∴x1＝4，x1＝3或x1＝3，x1＝4.當x1＝4，x1＝3時，x1*x1＝41－4×3＝4，當x1＝3，x1＝4時，x1*x1＝3×4－41＝－4，∴x1*x1的值為4或－4.點睛：定義新運算是一種人為的、臨時性的運算形式，是可以深刻理解數(shù)學本源的題型，它使用的是一些特殊的運算符號，如：*、△、⊙，等，解答定義新運算，關(guān)鍵是要正確地理解新定義的算式含義，然后嚴格按照新定義的計算程序，將數(shù)值代入，轉(zhuǎn)化為常規(guī)的四則運算算式進行計算.15、(1)見解析;(2)見解析;(3)見解析.【解析】

（1）利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，可證出CG=EG．

（2）結(jié)論仍然成立，連接AG，過G點作MN⊥AD于M，與EF的延長線交于N點；再證明△DAG≌△DCG，得出AG=CG；再證出△DMG≌△FNG，得到MG=NG；再證明△AMG≌△ENG，得出AG=EG；最后證出CG=EG．

（3）結(jié)論依然成立．過F作CD的平行線并延長CG交于M點，連接EM、EC，過F作FN垂直于AB于N．由于G為FD中點，易證△CDG≌△MFG，得到CD=FM，又因為BE=EF，易證∠EFM=∠EBC，則△EFM≌△EBC，∠FEM=∠BEC，EM=EC，得出△MEC是等腰直角三角形，就可以得出結(jié)論．【詳解】（1）在RtΔFCD中，G為DF∴CG=1同理，在RtΔDEF中，EG=∴EG=CG．（2）如圖②，（1）中結(jié)論仍然成立，即EG=CG．

理由：連接AG，過G點作MN⊥AD于M，與EF的延長線交于N點．

∴∠AMG=∠DMG=90°．

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AD=CD=BC=AB，∠ADG=∠CDG．∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°．

在△DAG和△DCG中，

AD＝CD∠ADG＝∠CDGDG＝DG，

∴△DAG≌△DCG（SAS），

∴AG=CG．

∵G為DF的中點，

∴GD=GF．

∵EF⊥BE，

∴∠BEF=90°，

∴∠BEF=∠BAD，

∴AD∥EF，

∴∠N=∠DMG=90°．∠DGM＝∠FGNFG＝DG∠MDG＝∠NFG，

∴△DMG≌△FNG（ASA），

∴MG=NG．

∵∠DA∠AMG=∠N=90°，

∴四邊形AENM是矩形，

∴AM=EN，

在△AMG和△ENG中，

AM＝EN∠AMG＝∠ENGMG＝NG，

∴△AMG≌△ENG（SAS），

∴AG=EG，

∴EG=CG；

（3）如圖③，（1）中的結(jié)論仍然成立．

理由：過F作CD的平行線并延長CG交于M點，連接EM、EC，過F作FN⊥AB于N．

∵MF∥CD，

∴∠FMG=∠DCG，∠MFD=∠CDG．∠AQF=∠ADC=90°

∵FN⊥AB，

∴∠FNH=∠ANF=90°．

∵G為FD中點，

∴GD=GF．

在△MFG和△CDG中

∠FMG＝∠DCG∠MFD＝∠CDGGF＝GD，

∴△CDG≌△MFG（AAS），

∴CD=FM．MG=CG．

∴MF=AB．

∵EF⊥BE，

∴∠BEF=90°．

∵∠NHF+∠HNF+∠NFH=∠BEF+∠EHB+∠EBH=180°，

∴∠NFH=∠EBH．

∵∠A=∠ANF=∠AMF=90°，

∴四邊形ANFQ是矩形，

∴∠MFN=90°．

∴∠MFN=∠CBN，

∴∠MFN+∠NFE=∠CBN+∠EBH，

∴∠MFE=∠CBE．

在△EFM和△EBC中

MF＝AB∠MFE＝∠CBEEF＝EB，

∴△EFM≌△EBC（SAS），

∴ME=CE．，∠FEM=∠BEC，

∵∠考查了正方形的性質(zhì)的運用，矩形的判定就性質(zhì)的運用，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)的運用，直角三角形的性質(zhì)的運用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運用，解答時證明三角形全等是關(guān)鍵．16、（1）x1＝0，x2＝；（2）x1＝﹣1，x2＝．【解析】

（1）先移項，然后利用因式分解法解方程；

（2）利用因式分解法解方程．【詳解】解：（1）由原方程，得x（5x﹣4）＝0，則x＝0或5x﹣4＝0，解得x1＝0，x2＝；（2）（x+1）（3x﹣1）＝0，x+1＝0或3x﹣1＝0，x1＝﹣1，x2＝．本題考查了因式分解法解一元二次方程．因式分解法就是先把方程的右邊化為0，再把左邊通過因式分解化為兩個一次因式的積的形式，那么這兩個因式的值就都有可能為0，這就能得到兩個一元一次方程的解，這樣也就把原方程進行了降次，把解一元二次方程轉(zhuǎn)化為解一元一次方程的問題（數(shù)學轉(zhuǎn)化思想）．17、（1）見解析；（2）∠C=44°．【解析】

（1）由平行四邊形的性質(zhì)及角平分線的性質(zhì)可得AB=AE，CF=CD，進而可得四邊形EBFD是平行四邊形，即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的定義即可得到結(jié)論．【詳解】（1）證明：在平行四邊形ABCD中，AD∥BC，∴∠AEB=∠CBE，又BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠EBC，∴∠ABE=∠AEB，即AB=AE，同理CF=CD，又AB=CD，∴CF=AE，∴BF=DE，∴四邊形EBFD是平行四邊形；（2）解：∵∠AEB=68°，AD∥BC，∴∠EBF=∠AEB=68°，∵BE平分∠ABC，∴∠ABC=2∠EBF=136°，∴∠C=180°-∠ABC=44°．故答案為：（1）見解析；（2）∠C=44°．本題考查平行四邊形的性質(zhì)及角平分線的性質(zhì)問題，要熟練掌握，并能夠求解一些簡單的計算、證明問題．18、見解析【解析】

延長DE至F，使EF=DE，連接CF，通過證明△ADE≌△CFE和證明四邊形BCFD是平行四邊形即可證明三角形的中位線平行于三角形的第三邊并且等于第三邊的一半．【詳解】證明：延長DE至F，使EF＝DE，連接CF∵E是AC中點，∴AE＝CE，在△ADE和△CFE中，∴△ADE≌△CFE（SAS），∴AD＝CF，∠ADE＝∠F∴BD∥CF，∵AD＝BD，∴BD＝CF∴四邊形BCFD是平行四邊形（一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形）∴DF∥BC，DF＝BC，∴DE∥CB，DE＝BC．本題考查了三角形的中位線定理的證明，用到的知識點有全等三角形的判定和性質(zhì)以及平行四邊形的判定和性質(zhì)．一、填空題（本大題共5個小題，每小題4分，共20分）19、或【解析】

分逆時針旋轉(zhuǎn)和順時針旋轉(zhuǎn)兩種情況考慮：①順時針旋轉(zhuǎn)時，由點D的坐標利用正方形的性質(zhì)可得出正方形的邊長以及BD的長度，由此可得出點D′的坐標；②逆時針旋轉(zhuǎn)時，找出點B′落在y軸正半軸上，根據(jù)正方形的邊長以及BD的長度即可得出點D′的坐標．綜上即可得出結(jié)論．【詳解】解：分逆時針旋轉(zhuǎn)和順時針旋轉(zhuǎn)兩種情況（如圖所示）：

①順時針旋轉(zhuǎn)時，點B′與點O重合，∵點D（4，3），四邊形OABC為正方形，∴OA=BC=4，BD=1，∴點D′的坐標為（-1，0）；②逆時針旋轉(zhuǎn)時，點B′落在y軸正半軸上，∵OC=BC=4，BD=1，∴點B′的坐標為（0，8），點D′的坐標為（1，8）．故答案為：（-1，0）或（1，8）．本題考查了正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，以及坐標與圖形變化中的旋轉(zhuǎn)，分逆時針旋轉(zhuǎn)和順時針旋轉(zhuǎn)兩種情況考慮是解題的關(guān)鍵．20、0.8【解析】

根據(jù)題意分析可得△ADE∽△EFB，進而可得2DE=BF，2AD=EF=DE，由勾股定理得，DE2+AD2=AE2，可解得DE，正方形的面積等于DE的平方問題得解．【詳解】∵根據(jù)題意,易得△ADE∽△EFB，∴BE:AE=BF:DE=EF:AD=2:1，∴2DE=BF，2AD=EF=DE，由勾股定理得,DE+AD=AE，解得：DE=EF=，故正方形的面積是=，故答案為：0.8本題考查相似三角形，熟練掌握相似三角形的判定及基本性質(zhì)是解題關(guān)鍵.21、1.【解析】試題分析：根據(jù)題意畫出圖形，再由三角形的中位線定理進行解答即可．試題解析：∵△ABC中，D、E分別是△ABC的邊AB、AC的中點，DE=2∴DE是△ABC的中位線，∴BC=2DE=2×2=1．考點：三角形中位線定理．22、【解析】

根據(jù)A點的坐標，得出OA的長，根據(jù)平移的條件得出平移的距離，根據(jù)平移的性質(zhì)進而得出答案.【詳解】∵A（-1,0），∴OA=1,

∵一個直角三角板的直角頂點與原點重合,現(xiàn)將該三角板向右平移使點A與點O重合，得到△OCB′,∴平移的距離為1個單位長度，∵點B的坐標為∴點B的對應點B′的坐標是，故答案為：.此題主要考查根據(jù)平移的性質(zhì)求點坐標，熟練掌握，即可解題.23、【解析】

根據(jù)完全平方公式的特點即可求解．【詳解】∵是完全平方式，即為，∴．故答案為．此題主要考查完全平方公式，解題的關(guān)鍵是熟知完全平方公式的特點．二、解答題（本大題共3個小題，共30分）24、（1）證明見解析；（2）；（3）證明見解析【解析】

（1）由矩形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)得出∠BAP=∠APN，由折疊的性質(zhì)得：∠BAP=∠PAN，得出∠APN=∠PAN，即可得出NA=NP；（2）由矩形的性質(zhì)得出CD=AB=4，AD=BC=3，∠BAD=∠B=∠ADC=90°，由折疊的性質(zhì)得：AF=AB=4，EF=CB=3，∠F=∠B=90°，PE=PC，由勾股定理得出AE==5，求出DE=AE-AD=2，設DP=x，則PE=PC=4-x，在Rt△PDE中，由勾股定理得出方程，解方程即可；（3）過點D作GH∥AF，交EF于G，交AP于H，則GH∥AF∥PE，證出△PDH是等邊三角形，得出DH=PH，∠ADH=∠PHD-∠PAD=30°=∠PAD，證出DH=AH，得出AH=PH，由平行線分線段成比例定理得出，得出EG=FG，再由線段垂直平分線的性質(zhì)得出DE=DF即可．【詳解】（1）證明；∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠BAP=∠APN，由折疊的性質(zhì)得：∠BAP=∠PAN，∴∠APN=∠PAN，∴NA=NP；（2）解：∵四邊形ABCD是矩形，∴