7.4 二項分布與超幾何分布 -(選擇性必修第二、三冊) (學(xué)生版)

二項分布與超幾何分布1二項分布①n重伯努利試驗（1）我們把只包含兩個可能結(jié)果的試驗叫做伯努利試驗,比如產(chǎn)品的合格或不合格,醫(yī)學(xué)檢驗結(jié)果的陽性或陰性；（2）將一個伯努利試驗獨立地重復(fù)進行n次所組成的隨機試驗稱為n重伯努利試驗,（3）n重伯努利試驗具有如下共同特征第一：同一個伯努利試驗重復(fù)做n次；第二：各次試驗的結(jié)果相互獨立；②二項分布(1)概念一般地,在n重伯努利試驗中,設(shè)每次試驗中事件A發(fā)生的概率為p(0<p<1),用X表示事件AP此時稱隨機變量X服從二項分布,記作X～B(n,p),并稱p為成功概率.隨機變量X的分布列如下X01?k?nPCC?C?C(其中q=1?由二項定理,可得k=0這也許是這分布為什么叫做二項式定理的原因吧?。?）案例(二項分布可以用下例理解下)小明投籃命中率是13,那他投5次恰好中2次的概率p是解析：小明投5次,如下圖,他只中了2次,問：那他是哪兩次中了？答：共有C5問：那他每種情況的概率是相等的么？答：是的,每次投籃都是獨立事件,每種情況都是中2次不中3次,那概率是13那所求概率p=C③二項分布的期望與方差一般地,如果X～B(n,p),那么E下面對期望進行證明證明令q=1?p,由kE令k?1=m,E2超幾何分布①概念一般地,假設(shè)一批產(chǎn)品共有N件,其中有M件次品,從N件產(chǎn)品中隨機抽取n件(不放回),用X表示抽取的n件產(chǎn)品中的次品數(shù),則X的分布列為：P其中n,M,N∈N如果隨機變量X的分布列具有上式的形式,那么稱隨機變量X服從超幾何分布.②案例(超幾何分布可以用下例理解下)10個產(chǎn)品中有6個優(yōu)品,4個次品,從10個產(chǎn)品中抽出5個恰好有2個次品的概率p是解：利用古典概型的公式P(A)=那所求概率事件中“樣本空間Ω的樣本點個數(shù)”為C105(10個產(chǎn)品抽5個,不管有多少個次品),而“5個恰好有2個次品”意味著“事件A的樣本點個數(shù)”為C63C42這題是超幾何分布,“抽5個產(chǎn)品有2個次品”的潛臺詞可理解是“一次性拿5個產(chǎn)品,不放回抽樣”的.③超幾何分布的期望設(shè)隨機變量X服從超幾何分布,則EX證明令=maxE因為k=mrE注：超幾何分布的模型是不放回抽樣④二項分布與超幾何分布的關(guān)聯(lián)(1)已知10個產(chǎn)品中有6個次品,分別采取放回和不放回的方式隨機抽取的4件產(chǎn)品,次品數(shù)為X,求隨機變量X若采取放回的方式,則每次抽到次品的概率為0.6,且各次抽樣的結(jié)果相互獨立,則X服從二項分布,即X~B(4,0.6)若采取不放回的方式,雖然每次抽到次品的概率為0.6,但每次抽取不是同一個試驗,各次抽取的結(jié)果也不獨立,不符合n重伯努利試驗的特征,因此X(2)二項分布和超幾何分布都是可以描述隨機抽取的n件產(chǎn)品中次品數(shù)的分布規(guī)律,并且兩者的均值相同,對于不放回抽樣,當n遠遠小于N時,每抽取一次后,對N的影響很小,此時超幾何分布可以用二項分布近似.【題型一】二項分布與超幾何分布的概念【典題1】下列隨機變量ξ服從二項分布的是()①隨機變量ξ表示重復(fù)拋擲一枚骰子n次中出現(xiàn)點數(shù)是3的倍數(shù)的次數(shù)；②某射手擊中目標的概率為0.9,從開始射擊到擊中目標所需的射擊次數(shù)ξ③有一批產(chǎn)品共有N件,其中M件為次品,采用有放回抽取方法,ξ表示n次抽取中出現(xiàn)次品的件數(shù)(M<N)④有一批產(chǎn)品共有N件,其中M件為次品,采用不放回抽取方法,ξ表示n次抽取中出現(xiàn)次品的件數(shù)(M<N)A．②③ B．①④ C．③④ D．①③【典題2】袋中有8個白球,2個黑球,從中隨機地連續(xù)抽取3次,每次取1個球,求(1)有放回抽樣時,取到黑球的個數(shù)X的分布列；(2)不放回抽樣時,取到黑球的個數(shù)Y的分布列.【典題3】某籃球運動員每次投籃投中的概率是45,每次投籃的結(jié)果相互獨立,那么在他10次投籃中,記最有可能投中的次數(shù)為m,A．5 B．6 C．7 D．8鞏固練習(xí)1(★)下面隨機變量X的分布列不屬于二項分布的是()A．據(jù)中央電視臺新聞聯(lián)播報道,一周內(nèi)在某網(wǎng)站下載一次數(shù)據(jù),電腦被感染某種病毒的概率是0.65,設(shè)在這一周內(nèi),某電腦從該網(wǎng)站下載數(shù)據(jù)n次中被感染這種病毒的次數(shù)為B．某射手射擊擊中目標的概率為p,設(shè)每次射擊是相互獨立的,從開始射擊到擊中目標所需要的射擊次數(shù)為C．某射手射擊擊中目標的概率為p,設(shè)每次射擊是相互獨立的,射擊n次命中目標的次數(shù)為D．位于某汽車站附近有一個加油站,汽車每次出站后到這個加油站加油的概率為0.6,國慶節(jié)這一天有50輛汽車開出該站,假設(shè)一天里汽車去該加油站加油是相互獨立的,去該加油站加油的汽車數(shù)為X2(★)有6個大小相同的黑球,編號為1,2,3,4,5,6,還有4個同樣大小的白球,編號為7,8,9,10,現(xiàn)從中任取4個球,有如下幾種變量：①X表示取出的最大號碼；②Y表示取出的最小號碼；③取出一個黑球記2分,取出一個白球記1分,ξ表示取出的4個球的總得分；④A．①② B．④ C．①②④ D．①②③④3(★★)[多選題]某人參加一次測試,在備選的10道題中,他能答對其中的5道,現(xiàn)從備選的10題中隨機抽出3題進行測試,規(guī)定至少答對2題才算合格．則下列選項正確的是()A．答對0題和答對3題的概率相同,都為18 B．答對1題的概率為3C．答對2題的概率為512 D．合格的概率為4(★★)[多選題]擲一個不均勻的硬幣6次,每次擲出正面的概率均為23,恰好出現(xiàn)k次正面的概率記為A．P1=P5 B．P1<5(★★★)已知隨機變量X的分布服從X～B(n,p),記f(n,p)=P(x=n－1)+P(x=n),記f(n,p)在p∈[0,1]上的最大值為F(n),若正整數(shù)a,b滿足a>b>2019,則A．F(a)>F(b) B．F(a)=F(b) C．F(a)<F(b) D．無法確定【題型二】二項分布與超幾何分布的期望與方差【典題1】有N件產(chǎn)品,其中有M件次品,從中不放回地抽n件產(chǎn)品,抽到的次品數(shù)的數(shù)學(xué)期望值是()A．n B．(n?1)MN C．【典題2】已知離散型隨機變量X服從二項分布X～B(n,p),且E(X)=4,D(X)=qA．2 B．52 C．94【典題3】我們知道,在n次獨立重復(fù)試驗(即伯努利試驗)中,每次試驗中事件A發(fā)生的概率為p,則事件A發(fā)生的次數(shù)X服從二項分布B(n,p),事實上,在無限次伯努利試驗中,另一個隨機變量的實際應(yīng)用也很廣泛,即事件A首次發(fā)生時試驗進行的次數(shù)Y,顯然P(Y=k)=p1－pk?1,k=1,2,3,…,我們稱Y服從“幾何分布”,經(jīng)計算得E(Y)=1p．由此推廣,在無限次伯努利試驗中,試驗進行到事件AA．1p(1?p)?1 B．1p2 C．鞏固練習(xí)1(★)已知離散型隨機變量ξ滿足二項分布且ξ～B(3,p),則當p在(0,1)A．D(ξ)減少 B．D(ξ)增大 C．D(ξ)先減少后增大 D．D(ξ)先增大后減小2(★)隨機變量X～B(100,p),且EX=20,則A．64 B．128 C．256 D．323(★)已知隨機變量X服從二項分布X～B(n,p),且E(X)=2,D(X)=1,則A．14 B．13 C．384(★★)翡翠市場流行一種賭石“游戲規(guī)則”：翡翠在開采出來時有一層風(fēng)化皮包裹著,無法知道其內(nèi)的好壞,須切割后方能知道翡翠的價值,參加者先繳納一定金額后可得到一塊翡翠石并現(xiàn)場開石驗證其具有的收藏價值．某舉辦商在賭石游戲中設(shè)置了甲、乙兩種賭石規(guī)則,規(guī)則甲的賭中率為23,賭中后可獲得20萬元；規(guī)則乙的賭中率為P0(0<P【題型三】解答題【典題1】在袋子中裝有10個大小相同的小球，其中黑球有3個，白球有n(2≤n≤5，且n≠3)個，其余的球為紅球．(1)若n=5，從袋中任取1個球，記下顏色后放回，連續(xù)取三次，求三次取出的球中恰有2個紅球的概率；(2)從袋里任意取出2個球，如果這兩個球的顏色相同的概率是415(3)在(2)的條件下，從袋里任意取出2個球．若取出1個白球記1分，取出1個黑球記2分，取出1個紅球記3分．用ξ表示取出的2個球所得分數(shù)的和，寫出ξ的分布列，并求ξ的數(shù)學(xué)期望Eξ【典題2】2020年初,新冠肺炎疫情襲擊全國,某省由于人員流動性較大,成為湖北省外疫情最嚴重的省份之一,截至2月29日,該省已累計確診1349例患者(無境外輸入病例)．該省新冠肺炎的密切接觸者(均已接受檢測)中確診患者約占10%,以這些密切接觸者確診的頻率代替1名密切接觸者確診發(fā)生的概率,每名密切接觸者是否確診相互獨立．現(xiàn)有密切接觸者20人,為檢測出所有患者,設(shè)計了如下方案：將這20名密切接觸者隨機地按n(1<n<20且n是20的約數(shù))個人一組平均分組,并將同組的n個人每人抽取的一半血液混合在一起化驗,若發(fā)現(xiàn)新冠病毒,則對該組的n個人抽取的另一半血液逐一化驗,記n個人中患者的人數(shù)為Xn,以化驗次數(shù)的期望值為決策依據(jù),試確定使得20人的化驗總次數(shù)最少的鞏固練習(xí)

1(★★)在箱子中有10個小球，其中有3個紅球，3個白球，4個黑球．從這10個球中任取3個．求：(1)取出的3個球中紅球的個數(shù)X的分布列；(2)取出的3個球中紅球個數(shù)多于白球個數(shù)的概率．2(★★)隨著人們社會責(zé)任感與公眾意識的不斷提高，越來越多的人成為了志愿者．某創(chuàng)業(yè)園區(qū)對其員工是否為志愿者的情況進行了抽樣調(diào)查，在隨機抽取的10位員工中，有3人是志愿者．(1)在這10人中隨機抽取4人填寫調(diào)查問卷，求這4人中恰好有1人是志愿者的概率P1；(2)已知該創(chuàng)業(yè)園區(qū)有1萬多名員工，從中隨機調(diào)查1人是志愿者的概率為310，那么在該創(chuàng)業(yè)園區(qū)隨機調(diào)查4人，求其中恰有1人是志愿者的概率P(3)該創(chuàng)業(yè)園區(qū)的A團隊有100位員工，其中有30人是志愿者．若在A團隊隨機調(diào)查4人，則其中恰好有1人是志愿者的概率為P3．試根據(jù)(Ⅰ)、(Ⅱ)中的P1和P2的值，寫出3(★★★)為研究“在n次獨立重復(fù)試驗中，事件A恰好發(fā)生k次的概率的和”這個課題，我們可以分三步進行研究：(I)取特殊事件進行研究；(Ⅱ(1)拋擲硬幣4次，設(shè)P0,P1,P2,P3,P4分別表示正面向上次數(shù)為0(2)拋擲一顆骰子三次，設(shè)P0,P1,P2,P3分別表示向上一面點數(shù)是3恰好出現(xiàn)(3)由(1)、(2)寫出結(jié)論，并對得到的結(jié)論給予解釋或給予證明．4(★★★)某地區(qū)為貫徹習(xí)近平總書記提出的“為民服務(wù)孺子牛、創(chuàng)新發(fā)展拓荒牛、艱苦奮斗老黃牛”的三牛精神，鼓勵農(nóng)戶利用荒坡種植果樹．某農(nóng)戶考察三種不同的果樹苗A、B、C，經(jīng)引種試驗后發(fā)現(xiàn)，引種樹苗A的自然成活率為0.8，引種樹苗B、C的自然成活率均為p