2023版高考總復(fù)習(xí)理數(shù)集合

高考

理數(shù)專題一集合與常用邏輯用語1.1集合考點(diǎn)一集合及其關(guān)系1.集合的含義與表示1)集合中元素的特性:確定性、互異性、無序性.2)集合中元素與集合的關(guān)系:屬于(用符號(hào)“∈”表示)和不屬于(用符號(hào)

“?”表示).3)常用數(shù)集及其符號(hào)表示:非負(fù)整數(shù)集(自然數(shù)集)N、正整數(shù)集N*(或N+)、整數(shù)集Z、有理數(shù)集Q、實(shí)數(shù)集R.4)表示方法:列舉法、描述法、圖示法(Venn圖).表示關(guān)系

定義記法集合間的基本關(guān)系相等集合A與集合B中的所有元素都相同A=B子集集合A中任意一個(gè)元素均為集合B中的元素A?B(或B?A)真子集集合A中任意一個(gè)元素均為集合B中的元素,且B中至少有一個(gè)元素A中沒有A?B(或B?A)空集空集是任何集合的子

集??B空集是任何非空集合

的真子集??B(B≠?)2.集合間的基本關(guān)系【知識(shí)拓展】若A為有限集,集合A中的元素個(gè)數(shù)記為card(A)=n,則集合A

的所有子集個(gè)數(shù)為2n,所有非空子集個(gè)數(shù)為2n-1,所有真子集個(gè)數(shù)為2n-1,所

有非空真子集個(gè)數(shù)為2n-2.考點(diǎn)二集合的基本運(yùn)算已知全集U,集合A,B.

集合的并集集合的交集集合的補(bǔ)集符號(hào)表示A∪BA∩BA的補(bǔ)集為?UA圖形表示

意義{x|x∈A或x∈B}{x|x∈A,且x∈B}{x|x∈U,且x?A}性質(zhì)A∪?=A;A∪A=A;A∪B=B∪A;A∪B=A?B?AA∩?=?;A∩A=A;A∩B=B∩A;A∩B=A?A?BA∪(?UA)=U;A∩(?UA)=?;?U(?UA)=A【知識(shí)拓展】1)德·摩根定律:?U(A∪B)=(?UA)∩(?UB);?U(A∩B)=(?UA)∪(?UB).2)一般地,對(duì)任意兩個(gè)有限集合A,B,有card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A

∩B).考法一集合間基本關(guān)系的求解方法1.判斷兩集合關(guān)系一般有兩種方法:一是結(jié)構(gòu)分析法,即化簡集合,從表達(dá)

式結(jié)構(gòu)出發(fā),尋找集合間的關(guān)系;二是用列舉法(或Venn圖法)表示各個(gè)集

合,從元素(或圖形)中尋找關(guān)系.2.已知集合間的關(guān)系求參數(shù)的值或取值范圍,關(guān)鍵是將集合間關(guān)系轉(zhuǎn)化

為元素間關(guān)系,再轉(zhuǎn)化為參數(shù)滿足的條件.常借助數(shù)軸、Venn圖分析.例1(1)(2021全國乙理,2,5分)已知集合S={s|s=2n+1,n∈Z},T={t|t=4n+1,n

∈Z},則S∩T=

(

)A.?

B.S

C.T

D.Z(2)(2021廣東廣州三模,2)已知集合A={x|ax=1,a∈R},B={-1,1},若A?B,則

所有a的取值構(gòu)成的集合為

(

)A.{-1}

B.{-1,1}

C.{0,1}

D.{-1,0,1}解析(1)任取t∈T,則t=4n+1=2·(2n)+1,(n∈Z),所以t∈S,故T?S,因此,S∩T=

T.故選C.(2)a=0時(shí),A=?滿足題意.a≠0時(shí),由ax=1得x=

,所以

=1或

=-1,解得a=1或a=-1,故所求集合為{-1,0,1}.故選D.答案(1)C

(2)D考法二集合運(yùn)算問題的求解方法1.集合的基本運(yùn)算1)先“簡”后“算”:運(yùn)算前先對(duì)集合進(jìn)行化簡,分清是數(shù)集還是點(diǎn)集,是

函數(shù)定義域還是值域,是方程的解還是不等式的解集等.2)遵“規(guī)”守“矩”:定義是進(jìn)行集合基本運(yùn)算的依據(jù),交集的運(yùn)算要抓

住“公共元素”;并集的運(yùn)算中“并”是合并的意思;補(bǔ)集的運(yùn)算要關(guān)注

“你有我無”的元素.3)借“形”助“數(shù)”:借助Venn圖或數(shù)軸清晰明了,使抽象問題直觀化.2.已知集合的運(yùn)算結(jié)果求參數(shù)值(或范圍)根據(jù)集合運(yùn)算的結(jié)果,利用集合運(yùn)算的定義和數(shù)軸建立關(guān)于參數(shù)的方程

(不等式)求解,注意對(duì)空集的討論.例2(1)(2021新高考Ⅱ,2,5分)若全集U={1,2,3,4,5,6},集合A={1,3,6},B={2,

3,4},則A∩(?UB)=

(

)A.{3}

B.{1,6}

C.{5,6}

D.{1,3}(2)已知集合A={x|log2x<1},B={x|x2+x-2<0},則A∩B=

(

)A.(-∞,2)

B.(0,1)

C.(0,2)

D.(-2,1)(3)(2020課標(biāo)Ⅰ,2,5分)設(shè)集合A={x|x2-4≤0},B={x|2x+a≤0},且A∩B={x|-2

≤x≤1},則a=

(

)A.-4

B.-2

C.2

D.4解析(1)(列舉法)由題設(shè)可得?UB={1,5,6},故A∩(?UB)={1,6}.故選B.(2)(數(shù)軸法)由log2x<1=log22,解得0<x<2,即A=(0,2),由x2+x-2<0解得-2<x<1,

即B=(-2,1),借助數(shù)軸,可得A∩B=(0,1),故選B.

(3)由已知可得A={x|-2≤x≤2},B=

,又∵A∩B={x|-2≤x≤1},∴-

=1,∴a=-2.故選B.答案(1)B

(2)B

(3)B應(yīng)用集合在實(shí)際問題中的應(yīng)用集合在實(shí)際問題中的應(yīng)用實(shí)際上是把實(shí)際問題用集合的符號(hào)語言及圖

形語言表示出來,此類問題的突破口是要找到實(shí)際問題與集合的契合點(diǎn).

如本例“喜歡足球或游泳”中的“或”與集合并集定義中的“或”表

示意義相同;“既喜歡……又喜歡……”與集合定義中的“且”表示意

義相同,從而實(shí)現(xiàn)實(shí)際問題到集合運(yùn)算的轉(zhuǎn)化.體現(xiàn)數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化與化歸思

想,這與數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理等學(xué)科核心素養(yǎng)是緊密關(guān)聯(lián)的,在強(qiáng)調(diào)核心

素養(yǎng)的大環(huán)境下,需關(guān)注此類問題.例(2020新高考Ⅰ,5,5分)某中學(xué)的學(xué)生積極參加體育鍛煉,其中有96%的

學(xué)生喜歡足球或游泳,60%的學(xué)生喜歡足球,82%的學(xué)生喜歡游泳,則該中

學(xué)既喜歡足球又喜歡游泳的學(xué)生數(shù)占該校學(xué)生總數(shù)的比例是

(

)A.62%

B.56%

C.46%

D.42%解析如圖,設(shè)集合A表示喜歡足球的學(xué)生,集合B表示喜歡游泳的學(xué)生,設(shè)

集合A∩B占比為x,根據(jù)題意得,集合A占比為60%,集合B占比為82%,集合

A∪B占比為96%,所以60%+82%-x=96%,解得x=46%,故選C.答案C創(chuàng)新新定義法則類型集合中的新定義問題常見類型有定義新概念、新公式、新運(yùn)算和新法

則等,解決這類問題的基本方法是:首先讀懂新定義,準(zhǔn)確把握新信息,弄

清新定義的內(nèi)涵與外延,然后將新的信息遷移到待解決問題中,并將其轉(zhuǎn)

化為熟悉的知識(shí),進(jìn)而將問題加以解答.例1(2021浙江三校聯(lián)考,10)定義全集U的子集A的特征函數(shù)為fA(x)=

這里?UA表示集合A在全集U中的補(bǔ)集,已知A?U,B?U,以下結(jié)論不正確的是

(

)A.若A?B,則對(duì)于任意x∈U,都有fA(x)≤fB(x)B.對(duì)于任意x∈U,都有

(x)=1-fA(x)C.對(duì)于任意x∈U,都有fA∩B(x)=fA(x)·fB(x)D.對(duì)于任意x∈U,都有fA∪B(x)=fA(x)+fB(x)解析對(duì)于A,因?yàn)锳?B,所以?UA中可能有B的元素,但?UB中不可能有A

的元素,所以fA(x)≤fB(x),故A正確.對(duì)于B,因?yàn)閤∈A?x??UA,x?A?x∈?UA,所以fA(x)+

(x)=1,故B正確.對(duì)于C,若x∈A∩B,則fA∩B(x)=1,fA(x)=fB(x)=1;若x?A∩B,則fA∩B(x)=0,且fA(x),

fB(x)中至少有一個(gè)為0,故C正確.對(duì)于D,若x∈A∪B,則fA∪B(x)=1,fA(x)=fB(x)=1?fA(x)+fB(x)=2,故D不正確,故選D.答案D例2(2021浙江紹興期末,7)用C(A)表示非空集合A中元素的個(gè)數(shù),定義A*B

=

已知集合A={x|x2+x=0},B={x|(x2+ax)(x2+ax+1)=0},且A*B=1,設(shè)實(shí)數(shù)a的所有可能取值構(gòu)成集合S,則C(S)=

(

)A.0

B.1

C.2

D.3解析由題意知C(A)=2,因?yàn)锳*B=|C(A)-C(B)|=1,所以