畫(huà)法幾何-投影法

畫(huà)法幾何解決實(shí)際問(wèn)題的應(yīng)用與研究

第一章：點(diǎn)、直線、平面的投影第一節(jié)：投影法第二節(jié)：點(diǎn)的投影第三節(jié)：直線的投影四、平面的投影第一節(jié)：投影法一、投影法的基本知識(shí)a、物體在陽(yáng)光的照射下，就會(huì)在墻面或地面投下影子，這就是投影現(xiàn)象。二、投影法的分類a、中心投影法b、平行投影法三、平行投影法的基本特征a實(shí)形性b積聚性c平行性d類似性e定比性f從屬性

一、投影法的基本知識(shí)物體在陽(yáng)光的照射下，就會(huì)在墻上或地面上投下影子，這就是投影現(xiàn)象。投影法是將這一現(xiàn)象加以科學(xué)抽象和思維而產(chǎn)生的。投射線通過(guò)物體向選定的面投射，并在該面上得到圖形的方法，稱為投影法。二、投影法的分類平行投影法斜投影法 （斜投影）正投影法（正投影）中心投影法陽(yáng)光照射物體在地面上的投影1、中心投影法：HSABCabc投射中心投射線投影面投影平面圖形投射線都通過(guò)投射中心的投影方法稱為中心投影法，所得的投影稱為中心投影。2、平行投影法:HSABCabcABCabcS當(dāng)投影中心移至無(wú)窮遠(yuǎn)處，投影線可看作是相互平行的，用相互平行的投影線對(duì)物體進(jìn)行投影的方法稱為平行投影法，所的得的投影稱為平行投影。投影方向傾斜于投影面---斜投影投影方向垂直于投影面---正投影注意：因?yàn)樾蓖队胺o(wú)法正確的投影出物體的實(shí)形，故在機(jī)械制圖中常用正投影法。三、平行投影法的基本特性1.實(shí)形性2.積聚性3.平行性4.類似性5.定比性6.從屬性1.實(shí)形性

直線段（或平面）平行于投影面，其投影反映線段的實(shí)長(zhǎng)（或平面的實(shí)形）。ababcABABCAB=abΔABC

≌ΔabcABa(b)2.積聚性當(dāng)直線或平面圖形垂直于投影面時(shí)，其投影積聚成點(diǎn)或直線。ABCabc直線、平面的積聚性兩條相互平行的空間直線，其同面投影仍然平行，且兩平行線段的長(zhǎng)度之比，與其投影的長(zhǎng)度之比相等。AB∥CD=ab∥cdAB:CD=ab:cdABCDcd3.平行性ab當(dāng)直線或平面圖形既不平行，也不垂直于投影面時(shí)，直線的投影仍然是直線，平面圖形的投影是原圖形的類似形。4.類似性ABCabc點(diǎn)分直線之比等于點(diǎn)的投影分直線的同面投影之比。ABabCcAC:CB=ac:cbAB:CB=ab:cb5.定比性直線上的點(diǎn)或平面上的點(diǎn)和直線，其投影必在直線或平面的同面投影上。ABabCc6.從屬性第二節(jié)：點(diǎn)的投影一、投影面體系的建立二、點(diǎn)的三投影面體系的建立三、點(diǎn)的直角坐標(biāo)和三面投影的關(guān)系四、點(diǎn)的投影規(guī)律五、投影面上和投影軸上點(diǎn)的投影六、兩點(diǎn)的相對(duì)位置七、重影點(diǎn)一、投影面系的建立點(diǎn)、線、面是組成物體的最基本的幾何元素，為了正確而又迅速地畫(huà)出物體的投影或分析空間幾何問(wèn)題，必須首先研究與分析基本幾何元素的投影規(guī)律和投影特性。H點(diǎn)的單面投影無(wú)法確定其空間位置。VHⅠⅡⅢⅣXO需要增加投影面XOHV點(diǎn)的兩面投影規(guī)律：1、點(diǎn)的兩面投影連線垂直于投影軸.2、點(diǎn)的投影到投影軸的距離，等于該點(diǎn)到相鄰?fù)队懊娴木嚯x.點(diǎn)的兩面投影可以確定其空間位置。面上點(diǎn)的投影HVOXb

bc

cHVOXCc

ca

bBb

Aaa

a因此可知，兩面投影無(wú)法準(zhǔn)確判斷出點(diǎn)的位置，那么再加上一個(gè)投影面又會(huì)怎么樣呢？？二、點(diǎn)的三投影面體系的建立三個(gè)相互垂直的投影面V、W、H構(gòu)成三投影體系。水平放置的H面稱為水平投影；正立放置的V面稱為正投影面；側(cè)立放置的W面稱為側(cè)立投影面。投影面的交線稱為投影軸，即OX、OY、OZ，三投影軸的交點(diǎn)O稱為投影原點(diǎn)。三個(gè)相互垂直的平面把空間分為8個(gè)分角，根據(jù)《技術(shù)制圖》投影法，GB/T14692—1993的規(guī)定，我國(guó)采用第一分角畫(huà)法OHWYXZVⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅧHWYXZVOⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅧOZXaXaza”90°90°aYYVaa’A三、點(diǎn)的三面投影Ya’aa”XZYHYwOaXaYHaYWaZOZXaXaza”90°90°aYYVaa’A三、點(diǎn)的直角坐標(biāo)和三面投影的關(guān)系Ya’aa”XZYHYwOaXaYHaYWXA=

Aa”=a’az

=

aayYA=Aa’=aax=a”azZA=Aa=a’ax=a”ayazOZXaXaza”90°90°aYVaa’AYa’aa”XZYHYwOaXaYHaYWaZ

點(diǎn)的三面投影規(guī)律可歸納為:1.點(diǎn)的正面投影與水平投影的連線垂直于OX軸;即a’a垂直O(jiān)X（由于X坐標(biāo)相同）2.點(diǎn)的正面投影與側(cè)面投影的連線垂直于OZ軸;a’a’’垂直O(jiān)Z(由于Z坐標(biāo)相同)3.點(diǎn)的水平投影到OX軸的距離等于側(cè)面投影到OZ軸的距離。

四、點(diǎn)的投影規(guī)律五、投影面上和投影軸上點(diǎn)的投影VA(a’)axazaa”Bbbxb’b”byC點(diǎn)A在V面上，則a’與A重合，a在X軸上；點(diǎn)B在H面上，則b與B重合，b’在X軸上，b”在YW軸上；點(diǎn)C在投影軸X上，c，c’與本身重合，c”在O點(diǎn)。a’b’XbaOa”b”ZYHYWVa’b’AXBbaOa”b”ZY左右前后上下通過(guò)X的坐標(biāo)可得知A在B的右方，通過(guò)Y的坐標(biāo)可得知A在B的后方，通過(guò)Z坐標(biāo)可得知A在B的上方。所以，點(diǎn)A在點(diǎn)B的右、后、上方。六、兩點(diǎn)的相對(duì)位置例5.已知A點(diǎn)在B點(diǎn)之右8，之前5，之上9，求A點(diǎn)的投影。a

a

aXZYWYHOb

bb

985重影點(diǎn)要判別可見(jiàn)性，其方法是：比較兩點(diǎn)不相同的那個(gè)坐標(biāo)，其中坐標(biāo)大的可見(jiàn)。通常規(guī)定不可見(jiàn)點(diǎn)的投影加括號(hào)。如果空間兩點(diǎn)在某一投影面上的投影重合，那么就把這兩點(diǎn)稱作關(guān)于該投影面的一對(duì)重影點(diǎn)。七、重影點(diǎn)Va’b’ABab()a”b”a’b’ab()a”b”XZYHYWXOZYOA與B是對(duì)H面的重影點(diǎn)水平投影重影由正面(或側(cè)面)投影判斷可見(jiàn)性：Z值大在上，可見(jiàn)；Z值小在下，不可見(jiàn)。Vc’d’()cdc’d’(

)d”XZYHYWc”d”dcDCc”XOZYO正面投影重影由水平面(和側(cè)面)投影判斷前后：Y值大在前，可見(jiàn)；Y值小在后，不可見(jiàn)。C與D是對(duì)V面的重影點(diǎn)第三節(jié)：直線的投影一、直線的投影二、各種位置直線的投影特性三、直線上的點(diǎn)四、直線的跡點(diǎn)五、直角三角形法求作直線的實(shí)長(zhǎng)及對(duì)投影面的傾角六、兩直線的相對(duì)位置七、直角投影定理一、直線的投影轉(zhuǎn)化為求直線上兩點(diǎn)的投影

可知直線的空間方向：如以A為基點(diǎn)，則圖示直線的方向?yàn)橄蜃笄跋路絻A斜。a’b’XbaOa”b”ZYHYWVa’b’AXBbaOa”b”Y1、直線的投影分類一般位置直線投影投影面平行線正平線側(cè)平線水平線投影面垂直線正垂線側(cè)垂線鉛垂線一般位置直線的投影對(duì)三個(gè)投影面都傾斜的直線稱為一般位置直線。直線對(duì)投影面的傾角：是直線與其在該投影面上的投影之間的夾角。與V面的夾角,稱為正面夾角β。ab

AB對(duì)H面的傾角α即AB與ab

的夾角與H面的夾角,稱為水平夾角α。與W面的夾角,稱為側(cè)面夾角γ。BA二、各種位置直線的投影特性一般位置直線的投影

一般位置線段的投影特性：Va’b’AXBbaOa”b”zY三個(gè)投影長(zhǎng)度都小于該直線的長(zhǎng)度；三個(gè)投影都傾斜于相應(yīng)的投影；任何一個(gè)投影與投影軸的夾角，均不反映空間直線與投影面的傾角。αβγa’b’XbaOa”b”ZYHYWXZYOaa

b

a

bb

Xa

b

a

b

baOzYHYW

AB投影特性：1、a

b

OX;a

b

OYW2、ab=AB3、H面投影反映

、

角的真實(shí)大小1、水平線—平行于水平投影面2、正平線—平行于正面投影面XZYOaa

b

b

a

b

Xa

b

a

b

baOZYHYWAB

投影特性：1、ab

OX;a

b

OZ2、a

b

=AB

3、V面投影反映

、

角的真實(shí)大小XZYO3、側(cè)平線—平行于側(cè)面投影面XZa

b

b

baOYHYWa

aa

b

a

b

b

AB投影特性：1、a

b

OZ;ab

OYH2、a

b

=AB

3、W面投影反映

、

角的真實(shí)大小OXZYb

a(b)a

a

b

Zb

Xa

b

a(b)OYHYWa

投影特性：1、ab重影成一點(diǎn)2、a

b

OX;a

b

OY

3、a

b

=a

b

=AB4、鉛垂線—垂直于水平投影面AB5、正垂線—垂直于正面投影面OXZYb(a)b

a

b

a

投影特性：1、a

b

重影成一點(diǎn)2、ab

OX;a

b

OZ3、ab=a

b

=ABABzX(a)b

b

aOYHYWa

b6、側(cè)垂線—垂直于側(cè)面投影面OXZYAB投影特性：1、a

b

積聚成一點(diǎn)2、ab

OYH;a

b

OZ3、ab=a

b

=ABba

a(b)ab

ZXa(b)b

aOYHYWa

bZa’b’XbaOa”b”YWYH三、直線上的點(diǎn)Va’b’AXBbaOa”b”ZY從屬性——點(diǎn)在直線上，則點(diǎn)的投影在直線的同面投影上，且點(diǎn)的投影符合點(diǎn)的投影規(guī)律。Cc’cc”c’定比性——點(diǎn)分線段之比投影后不變。=a’c’/c’b’AC/CB=ac/cb=a”c”/c”b”c”c四、直線上的跡點(diǎn)1.定義直線與投影面的交點(diǎn)稱為跡點(diǎn)。直線與V面的交點(diǎn)——正面跡點(diǎn)，用N表示。OXa'aVABb'bMN(n‘)(m)nm’直線與H面的交點(diǎn)——水平跡點(diǎn)，用M表示。2.跡點(diǎn)的投影特性a.正面跡點(diǎn)的正面投影與跡點(diǎn)自身重合，水平投影在軸上。b.水平跡點(diǎn)的水平投影與跡點(diǎn)自身重合，正面投影在軸上。c.跡點(diǎn)的投影在直線的同面投影上。求跡點(diǎn)投影的作圖求正面跡點(diǎn)（N）

1.延長(zhǎng)ab與OX軸相交得n;2.過(guò)n作OX軸垂線與a’b’延長(zhǎng)線相交得n’。OM(m)N(n‘

)m’求水平跡點(diǎn)（M）

1.延長(zhǎng)a’b’

與OX軸相交得m’;2.過(guò)m’作OX軸垂線與延長(zhǎng)線ab相交得m

。a’b’XbanOXa'aVABb'bMN(n‘)(m)nm’五、直角三角形法求作直線的實(shí)長(zhǎng)及對(duì)投影面的傾角AB為一般位置直線，過(guò)A作H面的投影a’b’的平行線交Aa’于a1，即得直角三角形ABA1。直角三角形法求作直線的實(shí)長(zhǎng)及對(duì)投影面的傾角實(shí)長(zhǎng)αZH面的投影實(shí)長(zhǎng)βYV面的投影實(shí)長(zhǎng)γXW面的投影求直線的實(shí)長(zhǎng)及其投影面的傾角是難點(diǎn)但是只要能夠找出“直角三角形”，就抓住了幾何關(guān)系的本質(zhì)，問(wèn)題也就迎刃而解了。VXZYO1、兩直線平行a’

b’c’d'abcdACBD平行OXabb’a’c’d’dc平行即若AB∥CD則ab∥cd

；a’b’∥c’d’。六、兩直線的相對(duì)位置兩直線在空間平行則它們的各組同面投影必平行；且實(shí)長(zhǎng)之比等于其同面投影之比，反之亦然。VXZY2、兩直線相交BCa'bab'OADdd'c'ck'kKOXabb’a’c’d’dckk'空間兩直線相交，其同面投影必相交，且交點(diǎn)的投影符合點(diǎn)的投影規(guī)律，即兩直線交點(diǎn)的投影必定為兩直線投影的交點(diǎn)。反之兩直線各組同面投影均相交，且交點(diǎn)符合點(diǎn)的投影規(guī)律，則空間兩直線為相交二直線。VXZYDACBc'd'b'a'badcⅣⅠⅡⅢ(2’)1‘3(4)OXabb’a’c’d’dc（2’）1‘3（4）4’3’12O既不相交也不平行的兩直線稱為交叉兩直線。如果兩直線的投影既不符合兩平行直線的投影特性，又不符合兩相交直線的投影特性，則可斷定這兩條直線為空間交叉兩直線。3、兩直線交叉交叉兩直線可能有一組或兩組同面投影平行，但兩直線的其余同面投影必定不平行；交叉二直線也可能在3個(gè)投影面的同面投影都相交，但交點(diǎn)必定不符合一個(gè)點(diǎn)的投影規(guī)律，其投影的交點(diǎn)是兩直線對(duì)不同投影面的重影點(diǎn)反之，如果兩直線的某一投影垂直，且其中一條平行于該投影面，則空間兩直線互相垂直。七、直角投影定理如果兩直線互相垂直（垂直相交或垂直交叉），其中一條直線平行于某一投影面時(shí)，兩直線在該投影面上的投影垂直。VZYOCAb'a'bc'caBXXOa'b'c'bca第四節(jié)：平面的投影一、平面的表示法二、各種位置平面的投影特性三、平面上的點(diǎn)和直線一、平面的表示法不在一條直線上的3點(diǎn)一條直線及直線外的1點(diǎn)1、平面的幾何元素表示法兩相交直線兩平行直線任意的平面圖形平面的這些表現(xiàn)形式是統(tǒng)一的、可以相互轉(zhuǎn)化；其中以平面圖形表示為最常見(jiàn)，因?yàn)槲矬w上的平面一般都是平面圖形，而不在同一直線上的3點(diǎn)是決定平面位置的基本幾何元素。2、平面的跡線表示法平面與投影面的交線稱為平面的跡線。1、一般位置平面傾斜于三個(gè)投影面的平面，稱為一般位置平面。VXZY投影特點(diǎn)：三個(gè)投影均是類似形。XZYHYWb’c’b’a’bcac’b’a’bcaa’’c’’b’’a’’c’’b’’BACoo二、各種位置平面的投影特性

用跡線表示的一般位置平面VXZYPPVPHPWPXPYPZXZYHYWOPVPZPXPHPYHPYWPW2、投影面垂直面垂直于某一投影面，傾斜于另兩個(gè)投影面的平面稱為投影面垂直面。投影面垂直面分為三種：

鉛垂面(⊥于H面，傾斜于V面和W面)

正垂面(⊥于V

面，傾斜于H面和W面)

側(cè)垂面(⊥于W

面，傾斜于H

面和V面)VXZY（1）鉛垂面積聚性類似性類似性c”b”a”cbac'b'a'YWZYHXb'a'CBAcbac”

a”投影特點(diǎn)：1.水平投影積聚成直線，并反映真實(shí)傾角α和γ；

2.正面投影、側(cè)面投影任為平面圖形，面積縮小。γβγβOc'b”O(jiān)鉛垂面跡線表示VXZYYWZYHXPVPHPWγβPHPWPVPOOVXZY（2）正垂面a”b”c”d”abcdYWZYHX積聚性類似形類似形αγαγO投影特點(diǎn)：1.正面投影積聚成直線；并反映真實(shí)傾角α和γ；2.水平投影、側(cè)面投影任為平面圖形，面積縮小。ABCDOc’(b’)d’(a’)VXZY正垂面跡線表示RHRWRVRVRHRWYWZYHXαγROOYVXZ（3）側(cè)垂面αβYWZYHXαβ積聚性類似形類似形投影特點(diǎn)：1.側(cè)面投影積聚成直線；并反映真實(shí)傾角α和γ；2.正面投影、水平投影任為平面圖形，面積縮小。OOYVXZ側(cè)垂面跡線表示YWZYHXQWQVQVQHQWαβOOQHQ3、投影面平行面平行于某一投影面的平面稱為投影面平行面。

投影面平行面分為三種：

水平面(∥于H面，⊥于V、W面)

正平面(∥于V面，⊥于H、W面)

側(cè)平面(∥于W面，⊥于H

、V面)VXZYo（1）水平面CABa’b’c’a”b”c”abc投影特點(diǎn)：1.水平投影反映實(shí)形；2.正面投影、側(cè)面投影積聚成直線，分別平行OX、OYW。YWYHXZa’b’c’abca”b”c”實(shí)形OVXZYo水平面跡線表示QWQVYWYHXZQVQWCABOVXZYo（2）、正平面投影特點(diǎn)：1.正面投影反映實(shí)形；2.水平投影、側(cè)面投影積聚成直線，分別平行于OX、OZ軸。YWYHXZOVXZYo正平面跡線表示PPHPWYWYHXZPHPWOVXZYo（3）、側(cè)平面投影特點(diǎn)：1.側(cè)面投影反映實(shí)形；2.正面投影、水平投影積聚成直線，分別平行OZ、OYH軸。XZYHYW實(shí)形OVXZYo側(cè)平面跡線表示RHRVXZYHYW

RVRHROP三、平面上的點(diǎn)和直線1.點(diǎn)在平面上的幾何條件：

若點(diǎn)在平面內(nèi)，則點(diǎn)在平面內(nèi)的一條直線上。

在平面內(nèi)定點(diǎn)時(shí)，一般要通過(guò)包含點(diǎn)在平面內(nèi)取輔助線求解。P2.直線在平面內(nèi)的幾何條件通過(guò)一平面上的兩個(gè)點(diǎn)；通過(guò)平面上一點(diǎn)同時(shí)又平行該平面上另一直線3.平面內(nèi)的一般位置直線例1在平面△ABC內(nèi)作一任意直線。1’22’abcXOa'b'c'1無(wú)數(shù)解!例2判斷直線ⅠⅡ

是否在ABC平面內(nèi)。1’22’abcXOb'a'c’1否3’4’43VXZYO4.平面上的投影面平行線DEe'd'edA

Cc'b'a'abcde=DEdea‘

b’

c‘

cabOXd'e'投影特性:既有投影面平行線的投影特性，又符合平面上直線的投影特性。d’e’∥OX軸B在平面上且平行于某一投影面的直線，稱為平面上的投影面平行線。4.平面內(nèi)上的最大斜度線對(duì)H面的最大斜度線對(duì)V面的最大斜度線對(duì)W面的最大斜度線1.定義：平面內(nèi)對(duì)投影面傾角最大的直線，稱為對(duì)該投影面的最大斜度線。3.分類：2.性質(zhì)：

平面內(nèi)對(duì)某一投影面的最大斜度線垂直于該平面內(nèi)對(duì)相同投影面平行的直線?！怪逼矫鎯?nèi)的側(cè)平線?！怪逼矫鎯?nèi)的水平線?！怪逼矫鎯?nèi)的正平線。aα特性證明：(以對(duì)H面的最大斜度線為例)AMPHPα1α1＜αAM為平面P

上對(duì)H面的最大斜度線。H面最大斜度線對(duì)H面的傾角α反映平面對(duì)H投影面的傾角。

對(duì)H面的最大斜度線垂直該平面的水平線。MPHaαACBⅠ1cb∵

AM⊥PHCⅠ∥PH∴

CⅠ⊥

AM證明要點(diǎn)：

CⅠ為平面內(nèi)的水平線特性證明：(以對(duì)H面的最大斜度線為例)證明完畢P小結(jié)：對(duì)H面的最大斜度線

——垂直平面內(nèi)的水平線；

——反映平面對(duì)H面的傾角；

——其H

投影與水平線的H投影垂直。對(duì)V面的最大斜度線

——垂直平面內(nèi)的正平線；

——反映平面對(duì)V面的傾角；

——其V投影與正平線的V投影垂直。對(duì)W面的最大斜度線？第二章直線與平面以及平面與平面的相對(duì)位置第一節(jié)平行關(guān)系直線與平面平行平面與平面平行第二節(jié)相交關(guān)系積聚性法求交點(diǎn)交線輔助平面法求交點(diǎn)交線三面共點(diǎn)法求交線第三節(jié)垂直關(guān)系直線與平面垂直平面與平面垂直第一節(jié)平行關(guān)系

平行關(guān)系直線與平面平行平面與平面平行P1、直線與平面平行幾何條件

如果平面P外的一條直線AB與平面內(nèi)的一條直線平行,那么這條直線AB和這個(gè)平面P平行。AB

反之，如果直線AB與平面P平行，那么在平面內(nèi)一定有一條直線與該直線AB平行。L∵L∈P；

L

∥AB；∴AB

∥P。1、直線和平面平行例1含點(diǎn)Ⅰ（1，1‘）作平面與直線AB（ab，a’b’）平行。分析：只要含點(diǎn)Ⅰ作直線與AB平行

，則含此直線所作的任意平面均符合題意。1.作1'

3'∥a'b'；

13∥ab；3'322’XOa'b'ab1’1作圖：2.任作12，1’2’。

則平面ⅠⅡⅢ平行于直線AB。1、直線與平面平行例2判斷直線AB與平面△ⅠⅡⅢ是否平行。分析：只要判斷能否在平面內(nèi)找到一條與AB直線平行的直線即可，有則平行，否則不平行。1.在平面內(nèi)取直線ⅠD，使1’d'∥a'b'；a'b'ab1’1作圖：2.連接1d；∵1d與ab不平行，∴平面ⅠⅡⅢ

與直線AB不平行。XO2'3'23d'd2、平面與平面平行幾何條件：

如果一平面內(nèi)的兩相交直線與另一平面內(nèi)的兩相交直線分別對(duì)應(yīng)平行，則兩平面平行。PRL1L2L3L4∵

L1∥L2

；

L3∥

L4

；∴

R

∥

P。2、平面與平面平行舉例含點(diǎn)A1作平面平行定平面（A2

B2

×A2

C2

）。b‘1c‘1XOa'2b'2c'2a2b2c2a‘1a1c1b1分析：只要含點(diǎn)A1作相交直線分別與A2B2

和A2C2

平行即可。1.作a‘1b‘1

∥a'2b'2

；

a1b1∥a2b2；作圖：

則平面(A1B1×A1C1)與平面（A2B2×A2C2）平行。2.作a‘1c‘1∥a'2c'2

；

a1c1

∥a2c2

；2、平面與平面平行特殊位置平面的平行

兩投影面垂直面平行，在它們所垂直的投影面上，它們的積聚性投影相互平行。pQXqq’p’pP∥Qp∥q0第二節(jié)相交關(guān)系直線和平面、平面和平面若不平行就必相交。

基本問(wèn)題

交點(diǎn)的性質(zhì)

求共有點(diǎn)的方法1.利用積聚性，確定交點(diǎn)的已知投影直接作圖；2.通過(guò)輔助平面作圖。1.求交點(diǎn)、交線；2.判別可見(jiàn)性。共有點(diǎn)；共有線。求交點(diǎn)——求直線和平面的共有點(diǎn)；求交線——求出兩個(gè)共有點(diǎn)，然后連線。1、特殊位置平面與直線或平面相交

利用積聚性投影作圖ocbac'b'a'xd'e'edkk’BAECD

例1求直線AB與平面△CDE的交點(diǎn)。Kk

從屬性1、特殊位置平面與直線或平面相交

利用積聚性投影作圖ocbac'b'a'xd'e'edkk’

可見(jiàn)性判別：

方法1：

利用重影點(diǎn)2’1’12()k’b’可見(jiàn)，線段描粗；k’2’不可見(jiàn)，畫(huà)細(xì)虛線。

例1求直線AB與平面△CDE的交點(diǎn)。2在前方法2BAECDKk1、特殊位置平面與直線或平面相交

利用積聚性投影作圖ocbac'b'a'xd'e'edkk’

可見(jiàn)性判別：

方法2：根據(jù)空間位置關(guān)系前，可見(jiàn)界V

投影投射方向BAECDKk

例1求直線AB與平面△CDE的交點(diǎn)。后，不可見(jiàn)P1、特殊位置平面與直線或平面相交k’koPHbab'a'xPVPXABK

例2求直線AB與平面P(跡線面)的交點(diǎn)。

利用積聚性投影作圖分析：平面P為正垂面，交點(diǎn)的V投影已知；根據(jù)點(diǎn)在線上的從屬性，可求得交點(diǎn)的H投影。1、特殊位置平面與直線或平面相交k’koPHbab'a'xPVPXPABK上，可見(jiàn)下，不可見(jiàn)。H投影投射方向

利用積聚性投影作圖

可見(jiàn)性判別：

H投影需判別可見(jiàn)性，

PV為界。界

例2求直線AB與平面P(跡線面)的交點(diǎn)。解題完畢BACEFD1、特殊位置平面與直線或平面相交ocbac'b'a'xd'f'e'efd

例3求兩平面△ABC與△DEF的交線。

利用積聚性投影作圖分析：△DEF為鉛垂面，交線的H投影已知；根據(jù)從屬性，求交線的V投影。abckll’k’KLkl1、特殊位置平面與直線或平面相交ocbac'b'a'xd'f'e'efd

利用積聚性投影作圖

判別可見(jiàn)性：

根據(jù)空間位置關(guān)系判別。前，可見(jiàn)后，不可見(jiàn)界

例3求△ABC與△DEF兩平面的交線。kll’k’解題完畢V面投影投射方向BACEFDabcKLkl1、特殊位置平面與直線或平面相交kocbac'b'a'xd'defgg'e'f'

例4求兩平面△EFG和□ABCD的交線。

利用積聚性投影作圖k’l’l分析：△EFG為水平面;交線的V投影已知；根據(jù)從屬性，求交線的H投影。kL1、特殊位置平面與直線或平面相交ocbac'b'a'xd'defgg'e'f'

利用積聚性投影作圖

判別可見(jiàn)性：

根據(jù)空間位置關(guān)系判別。上,可見(jiàn)下,不可見(jiàn)。H投影投射方向kl界

例4求兩平面△EFG和□ABCD的交線。解題完畢k’l’kLQ1、特殊位置平面與直線或平面相交klocbac'b'a'xQVk'l'

例5求平面Q與平面△ABC的交線。

利用積聚性投影作圖

分析：

Q面為正垂面;交線的V投影已知；根據(jù)從屬性，求交線的H投影。kLBAC1、特殊位置平面與直線或平面相交klOcbac'b'a'XQVk'

利用積聚性投影作圖

判別可見(jiàn)性：

根據(jù)空間位置關(guān)系判別。上,可見(jiàn)下,不可見(jiàn)。界

例5求Q平面與平面△ABC的交線。解題完畢H投影投射方向l’QkLBAC1、特殊位置平面與直線或平面相交

例6求矩形平面與共邊兩平面△SAB、△SAC的交線。

利用積聚性投影作圖

分析：

矩形平面為水平面;cbac'b'a'BACSS'S

其與△SAB、△SAC的交線是兩水條平線;交線V投影已知；求H投影。

作圖：

判別可見(jiàn)性：解題完畢XO2、一般位置直線和平面相交引：求直線DE與平面△ABC的交點(diǎn)。

輔助平面法cbac'b'a'xod'e'de分析KACBPE(D)KACBPE(D)2、一般位置直線和平面相交已知平面輔助平面法作圖過(guò)程：1.包含直線作輔助平面；2.求輔助平面與已知平面的交線；3.求交線與已知直線的交點(diǎn)。已知直線輔助平面交點(diǎn)輔助平面的位置原則?特殊位置平面引：求直線DE與△ABC平面的交點(diǎn)。

輔助平面法1‘2’3(1)

2、一般位置直線和平面相交cbac'b'a'xoPV124’3‘kk’作圖過(guò)程：1.包含直線DE作正垂面P(或鉛垂面）；2.求P平面與△ABC平面的交線，并確定交點(diǎn)K；3.利用重影點(diǎn)判別可見(jiàn)性。引：求直線DE與平面△ABC的交點(diǎn)。

輔助平面法直線V投影的可見(jiàn)性直線H投影的可見(jiàn)性解題完畢d'

e'deKACBPE(D)2、一般位置直線和平面相交PVkk’4’a2'1'a'xo12433’ⅠⅡⅢⅣA法一分析：將點(diǎn)A與直線ⅠⅡ構(gòu)成平面，求直線ⅢⅣ與該平面的交點(diǎn)K，連線AK必與直線ⅠⅡ相交，交點(diǎn)為B

。KB投影作圖：bb’例2包含點(diǎn)A作直線AB使與兩交叉直線ⅠⅡ、ⅢⅣ

相交。解題完畢2、一般位置直線和平面相交4’a2'1'a'xo12433’換面法ⅠⅡⅢⅣABK例2包含點(diǎn)A作直線AB使與交叉直線ⅠⅡ、ⅢⅣ相交。2、一般位置直線和平面相交ⅠⅡⅢⅣABQVk1’k1k2k2’4’a2'1'a'xo12433’bb'K1K2例3求直線AB與兩三角形平面的交點(diǎn)。分析：投影作圖：包含直線AB作正垂面Q(或鉛垂面）解題完畢3、兩一般位置平面相交PVkQVl’k’l例1求兩平面△ABC和△DEF

的交線。線面相交法分析:兩次運(yùn)用直線與平面相交的方法,求兩交點(diǎn)連線即可。投影作圖:xoebac'b'a'cfde‘f’d’3、兩一般位置平面相交kk’PVQVxoebac'b'a'cfde‘f’d’l’l例1求兩平面△ABC和△DEF

的交線。線面相交法分析:

兩次運(yùn)用直線平面相交的方法,求兩交點(diǎn)連線即可。投影作圖:判別可見(jiàn)性:V投影的可見(jiàn)性H投影的可見(jiàn)性解題完畢3、兩一般位置平面相交例2求△ABC和平面(L1∥L2)的交線。三面共點(diǎn)法xobac'b'a'cL1’L2’L1L2原理分析:K1K2S1S2PQ投影作圖:K1K2K1’