第4章-控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型MATLAB實(shí)現(xiàn)

4.4系統(tǒng)的根軌跡分析4.5系統(tǒng)的頻域分析4.6系統(tǒng)的性質(zhì)分析4.7離散系統(tǒng)的分析第四章控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的MATLAB實(shí)現(xiàn)4.2系統(tǒng)的組合和連接4.1反饋控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型及其轉(zhuǎn)換4.3系統(tǒng)的時(shí)域分析14.1

反饋控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型及其轉(zhuǎn)換

控制系統(tǒng)的分析是系統(tǒng)設(shè)計(jì)的重要步驟之一

(1)在設(shè)計(jì)控制器前要分析系統(tǒng)的不可變部分，確定原系統(tǒng)在哪些方面的性能指標(biāo)還不滿(mǎn)足設(shè)計(jì)要求，有針對(duì)性的設(shè)計(jì)控制器；

(2)控制器設(shè)計(jì)完成后要驗(yàn)證整個(gè)閉環(huán)系統(tǒng)的性能指標(biāo)是否滿(mǎn)足設(shè)計(jì)要求。在控制系統(tǒng)基本理論和控制系統(tǒng)工具箱函數(shù)的基礎(chǔ)上，利用MATLAB語(yǔ)言及其工具箱來(lái)解決控制系統(tǒng)的分析問(wèn)題，包括系統(tǒng)模型的建立、模型的轉(zhuǎn)換以及線性系統(tǒng)的時(shí)域分析、頻域分析、根軌跡分析和系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析，為系統(tǒng)的仿真和設(shè)計(jì)做準(zhǔn)備.下頁(yè)上頁(yè)2

為了對(duì)系統(tǒng)的性能進(jìn)行分析首先要建立其數(shù)學(xué)模型，在MATLAB中提供了3種數(shù)學(xué)模型描述的形式：（1）傳遞函數(shù)模型tf(）（2）零極點(diǎn)形式的數(shù)學(xué)模型zpk()（3）狀態(tài)空間模型ss()

本節(jié)首先介紹利用MATLAB提供的3個(gè)函數(shù)來(lái)建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，下一節(jié)在此基礎(chǔ)上介紹各種數(shù)學(xué)模型之間的相互轉(zhuǎn)換。下頁(yè)上頁(yè)34.1.1

系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型(3+1)種格式：sys＝tf（num，den）功能：建立系統(tǒng)的傳遞函數(shù)模型說(shuō)明：假設(shè)系統(tǒng)是單輸入單輸出系統(tǒng)（簡(jiǎn)稱(chēng)SISO），其輸入輸出分別用u（t），y（t）來(lái)表示，則得到線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù)模型：

在MATLAB語(yǔ)言中，可以利用傳遞函數(shù)分子、分母多項(xiàng)式的系數(shù)向量進(jìn)行描述。分子num、分母den多項(xiàng)式的系數(shù)向量分別為:這里分子、分母多項(xiàng)式系數(shù)按s的降冪排列。1．tf

傳遞函數(shù)模型下頁(yè)上頁(yè)4例4-1：已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為:試建立系統(tǒng)的傳遞函數(shù)模型。解:程序如下num=[29];den=[13246];sys=tf(num,den)下頁(yè)上頁(yè)程序運(yùn)行結(jié)果:Transferfunction:2s+9-----------------------------s^4+3s^3+2s^2+4s+65解:程序如下num=7*[23];den=conv(conv(conv([100],[31]),conv([12],[12])),

[538]);sys=tf(num,den)下頁(yè)上頁(yè)例4-2：已知系統(tǒng)傳遞函數(shù)如下應(yīng)用Matlab語(yǔ)言建立系統(tǒng)的傳遞函數(shù)模型。程序運(yùn)行結(jié)果:Transferfunction:14s+21------------------------------------------------------15s^7+74s^6+143s^5+172s^4+140s^3+32s^262．zpk

零極點(diǎn)形式的數(shù)學(xué)模型格式：sys＝zpk(z,p,k),

功能：建立零極點(diǎn)形式的數(shù)學(xué)模型說(shuō)明：系統(tǒng)的傳遞函數(shù)零極點(diǎn)模型一般表示為：下頁(yè)上頁(yè)其中Zi（i＝1,2…,m）和Pi（i＝1,2…,n）分別為系統(tǒng)的零點(diǎn)和極點(diǎn)，K為系統(tǒng)的增益。[z]、[p]、[k]分別為系統(tǒng)的零點(diǎn)向量、極點(diǎn)向量和增益向量。7例4-3：已知系統(tǒng)傳遞函數(shù)如下應(yīng)用Matlab語(yǔ)言建立系統(tǒng)的零極點(diǎn)形式模型。解:程序如下z=-4;p=[-1-2-3];k=5sys=zpk(z,p,k)上面的程序也可用下面的一行語(yǔ)句替換,sys=zpk([-4],[-1-2-3],[5])下頁(yè)上頁(yè)程序運(yùn)行結(jié)果:Zero/pole/gain:5(s+4)-----------------(s+1)(s+2)(s+3)83．SS狀態(tài)空間模型格式：sys＝ss（A,B,C,D），sys＝ss（A,B,C,D,T）功能：建立系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型，其中，T為取樣時(shí)間說(shuō)明：狀態(tài)方程是研究系統(tǒng)的最為有效的系統(tǒng)數(shù)學(xué)描述，在引進(jìn)相應(yīng)的狀態(tài)變量后，可將一組一階微分方程表示成狀態(tài)方程的形式。下頁(yè)上頁(yè)其中:

B為n×m維系統(tǒng)輸入陣；C為l

×n維輸出陣；D為l×m維直接傳輸陣。X為n×1維狀態(tài)向量,U為m×1維輸入矩陣;Y為l×1維輸出向量;其中:A為n×n的系統(tǒng)狀態(tài)陣，由系統(tǒng)參數(shù)決定。9例4-3a已知狀態(tài)方程如下：

其中，

A=[12;34]，B=[56;78]，C=[14]，D=[69]。建立系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型。解：程序如下：A=[12;34]B=[56;78]C=[14]D=[69]sys=ss(A,B,C,D)下頁(yè)上頁(yè)結(jié)果如下：A=

x1x2x112x234B=u1u2x156x278C=

x1x2y114D=u1u2y169Continuous-timemodel.10或用語(yǔ)句

sys=ss([12;34],[56;78],[14],[69])來(lái)替代上述程序。顯示結(jié)果相同。若用語(yǔ)句

sys=ss([12;34],[56;78],[14],[69]，5)顯示結(jié)果和上述相同外，并且顯示：

Samplingtime:5下頁(yè)上頁(yè)114．Simulink模型

不一定非要用數(shù)學(xué)表達(dá)式描述的數(shù)學(xué)模型對(duì)象才能對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行仿真，恰恰相反，就有不用數(shù)學(xué)表達(dá)式描述的數(shù)學(xué)模型對(duì)象，也能對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行仿真，這就是MATLAB特有的一種數(shù)學(xué)模型，即就是Simulink模型窗口里的動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖。

只要在Simulink工作窗里，按其規(guī)則畫(huà)出動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖，再按規(guī)則將結(jié)構(gòu)圖的參量用實(shí)際系統(tǒng)的數(shù)據(jù)進(jìn)行設(shè)置，就是對(duì)系統(tǒng)建立了數(shù)學(xué)模型，而且用Simulink模型窗口里的動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖來(lái)求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，還用來(lái)直接方便地對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行各種仿真，這一方法使用的極其廣泛。124.1.2模型的轉(zhuǎn)換

在進(jìn)行系統(tǒng)分析時(shí)，往往根據(jù)不同的要求選擇不同形式的數(shù)學(xué)模型，因此經(jīng)常要在不同形式數(shù)學(xué)模型之間相互轉(zhuǎn)換，下面介紹三種模型之間的相互轉(zhuǎn)換函數(shù)。1、ss2tf函數(shù)將狀態(tài)空間形式轉(zhuǎn)換為傳遞函數(shù)形式格式：

[num,den]=ss2tf(A,B,C,D,iu)

說(shuō)明：

ss2tf函數(shù)可以將狀態(tài)空間表示通過(guò)

其中：iu用于指定變換所使用的輸入量（個(gè)數(shù)）；num和den分別為傳遞函數(shù)的分子、分母多項(xiàng)式系數(shù)向量。ss2tf還可以應(yīng)用離散時(shí)間系統(tǒng)，這時(shí)得到的是Z變換表示。轉(zhuǎn)換為傳遞函數(shù)形式。下頁(yè)上頁(yè)13

例4-4：已知系統(tǒng)Σ(A,B,C,D)的系數(shù)矩陣是求取該系統(tǒng)相應(yīng)的傳遞函數(shù)模型。C＝[110],D=0程序如下：

A=[200;041;004],B=[101]‘,C=[110],D=0,[num,den]=ss2tf(A,B,C,D,1)顯示結(jié)果：num=01.0000-7.000014.0000den=1-1032-32→傳遞函數(shù)的分子→傳遞函數(shù)的分母其中，“1”指1個(gè)輸入,可缺省不寫(xiě)下頁(yè)上頁(yè)142.ss2zp函數(shù)將系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型轉(zhuǎn)換為零極點(diǎn)增益模型格式：[z,p,k]=ss2zp(A,B,C,D,iu)

式中,iu用于指定變換所使用的輸入量（個(gè)數(shù)）.3.tf2ss函數(shù)將系統(tǒng)的傳遞函數(shù)模型轉(zhuǎn)換為狀態(tài)空間模型。格式：[A,B,C,D]=tf2ss（num，den）下頁(yè)上頁(yè)4.tf2zp

將系統(tǒng)的傳遞函數(shù)模型轉(zhuǎn)換為零極點(diǎn)增益模型格式：[z,p,k]=tf2zp(num,den)5.zp2ss

將系統(tǒng)的零極點(diǎn)增益模型轉(zhuǎn)換為狀態(tài)空間模型。格式：[A,B,C,D]=zp2ss(z,p,k)6.zp2tf

將系統(tǒng)零極點(diǎn)增益模型轉(zhuǎn)換為傳遞函數(shù)模型。

格式：[num,den]=zp2tf(z,p,k)15例4-5：已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為應(yīng)用MATLAB的模型轉(zhuǎn)換函數(shù)將其轉(zhuǎn)換為狀態(tài)方程形式的模型。

解:num=[1836];den=[140.4391];[A,B,C,D]=tf2ss(num,den）運(yùn)行程序顯示結(jié)果:A=-40.4000-391.00001.00000B=10C=1836D=016應(yīng)用MATLAB的模型轉(zhuǎn)換函數(shù)將其轉(zhuǎn)換為零極點(diǎn)形式的模型。例4-6：已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為解：應(yīng)用tf2ZP轉(zhuǎn)換函數(shù)將傳遞函數(shù)轉(zhuǎn)換為零極點(diǎn)模型.程序如下mun=[1836]den=[140.439150][z,p,k]=tf2zp(num,den)下頁(yè)上頁(yè)z=3.5000+1.3229i3.5000-1.3229ip=-39.5090-0.4455+1.8969i-0.4455-1.8969ik=1.0000177、由方框圖建?？刂葡到y(tǒng)工具箱中提供了方框圖建模函數(shù)connect()

格式：

[A,B,C,D]=connect(a,b,c,d,q,iu,iy)

blkbuild

%從方框圖中構(gòu)造狀態(tài)空間系統(tǒng)

功能：將方框圖模型描述轉(zhuǎn)換成狀態(tài)空間模型。式中：a、b、c三個(gè)參數(shù)不需用戶(hù)輸入。

q矩陣規(guī)定了各框之間的連接關(guān)系。其每一行的第一個(gè)元素是框號(hào)，其余的元素依次是與該框連接的框號(hào)；

iu、iy分別表示輸入、輸出施加的框號(hào)。下頁(yè)上頁(yè)18例4-6：如下圖所示，將由框圖表示的系統(tǒng)轉(zhuǎn)換成狀態(tài)空間描述和傳遞函數(shù)程序如下：n1=1;d1=1;n2=0.5;d2=1;n3=4;d3=[14];n4=1;d4=[12];n5=1;d5=[13];n6=2;d6=1;n7=5;d7=1;n8=1;d8=1;nblocks=8;%指定塊的總數(shù)blkbuild

%從方框圖(blockbuild)

中構(gòu)造狀態(tài)空間系統(tǒng)

下頁(yè)上頁(yè)19q=[10000;21-6-7-8;32000;43000;54000;63000;74000;85000]%q矩陣表示框圖的結(jié)構(gòu)。由于前向通道有5個(gè)框，所以q矩陣有5列元素。共有8個(gè)框，每行第1個(gè)元素為框號(hào)，如第2個(gè)框與第1個(gè)框按1的關(guān)系連接，與第6、7、8個(gè)框按-1關(guān)系連接，…….依次類(lèi)推。重畫(huà)框圖iu=[1];%輸入施加于第1個(gè)框上iy=[8];%輸出施加第8個(gè)框上[A,B,C,D]=connect(a,b,c,d,q,iu,iy)[num,den]=ss2tf(A,B,C,D,1)%轉(zhuǎn)換成傳遞函數(shù)，式中”1”是指正反饋下頁(yè)上頁(yè)20顯示結(jié)果如下：Statemodel[a,b,c,d]oftheblockdiagramhas8inputsand8outputs.A=-8.0000-2.5000-0.50004.0000-2.0000001.0000-3.0000B=0.500000C=001D=0num=00.00000.00002.0000den=1.000013.000056.000080.0000214.2

系統(tǒng)的組合和連接

所謂系統(tǒng)組合，就是將兩個(gè)或多個(gè)子系統(tǒng)按一定方式加以連接形成新的系統(tǒng)。這種連接組合方式主要有串聯(lián)、并聯(lián)、反饋等形式。MATLAB提供了進(jìn)行這類(lèi)組合連接的相關(guān)函數(shù)。1.series系統(tǒng)的串聯(lián)格式1：sys＝series（sys1,sys2），格式2：sys＝series（sys1,sys2,outputs1,inputs2）功能：用于將兩個(gè)線性模型串聯(lián)形成新的系統(tǒng)即

sys＝sys1*sys2說(shuō)明：格式1：對(duì)應(yīng)于SISO系統(tǒng)的串聯(lián)連接。格式2：對(duì)應(yīng)于MIMO系統(tǒng)的串聯(lián)連接；其中sys1的輸出向量為outputs1sys2的輸入向量為inputs2下頁(yè)上頁(yè)222．Parallel----系統(tǒng)的并聯(lián)格式1：sys=parallel(sys1,sys2)格式2：sys=parallel(sys1,sys2,in1,in2,out1,out2)功能：將兩個(gè)系統(tǒng)以并聯(lián)方式連接成新的系統(tǒng)，即sys=sys1+sys2。說(shuō)明：并聯(lián)連接時(shí)，輸入信號(hào)相同，并聯(lián)后其輸出為sys1和sys2

這兩個(gè)系統(tǒng)的輸出之和。若用傳遞函數(shù)來(lái)描述，則系統(tǒng)輸出

Y(S)=Y1(S)+Y2(S)=G1(S)U(S)+G2(S)U(S)=[G1(S)+G2(S)]U(S)

所以總的傳遞函數(shù)為G(s)=G1(s)+G2(s)。格式1：對(duì)應(yīng)于SISO系統(tǒng)的并聯(lián)連接。并聯(lián)后其輸出為sys1

和

sys2這兩個(gè)系統(tǒng)的輸出之和。格式2：對(duì)應(yīng)于MIMO系統(tǒng)的并聯(lián)連接。in1與in2指定了相連接的輸入端，out1和out2指定了進(jìn)行信號(hào)相加的輸出端下頁(yè)上頁(yè)23例4-7已知兩個(gè)線性系統(tǒng)，分別應(yīng)用series和parallel函數(shù)進(jìn)行系統(tǒng)的串并聯(lián)連接。num1=[124];den1=[152];sys1=tf(num1,den1)%創(chuàng)建傳函1num2=[16];den2=[171];sys2=tf(num2,den2)%創(chuàng)建傳函2Sys_series=series(sys1,sys2)%兩系統(tǒng)的串聯(lián)，或用sys1*sys2Sys_parallel=parallel(sys1,sys2)%兩系統(tǒng)的并聯(lián),或用sys1+sys2程序如下：下頁(yè)上頁(yè)24顯示結(jié)果：

12s+4Transferfunction:-------------s^2+5s+2

s+6Transferfunction:-------------s^2+7s+1

Transferfunction:12s^2+76s+24--------------------------------s^4+12s^3+38s^2+19s+2

13s^3+99s^2+72s+16Transferfunction:------------------------------------s^4+12s^3+38s^2+19s+2下頁(yè)上頁(yè)傳函sys1傳函sys2兩系統(tǒng)串聯(lián)后的傳函兩系統(tǒng)并聯(lián)后的傳函253．feedback系統(tǒng)的反饋連接格式1：sys=feedback(sys1,sys2,sign)

格式2：sys=feedback(sys1,sys2,feedin,feedout,sign)

功能：

實(shí)現(xiàn)兩個(gè)系統(tǒng)的反饋連接。說(shuō)明：格式1：對(duì)于SISO系統(tǒng)，sys1表示前向通道傳函，

sys2表示反饋通道傳函,sign=1,正反饋.sign=-1,負(fù)反饋(默認(rèn)值,可省略)

格式2：在已確立的MIMO系統(tǒng)sys1中,sys2表示反饋通道傳函。其中feedin和feedout

分別指定了sys1的輸入、輸出端口號(hào)。最終實(shí)現(xiàn)的反饋系統(tǒng)與sys1具有相同的輸入、輸出端.sign含義同格式1

下頁(yè)上頁(yè)26例4-8已知前向環(huán)節(jié)和反饋環(huán)節(jié)的狀態(tài)空間表達(dá)式的系數(shù)陣分別為試將前向環(huán)節(jié)的輸入1和輸出2與反饋環(huán)節(jié)構(gòu)成負(fù)反饋系統(tǒng)。y1y2SYS2u2u1_SYS1u3y3程序如下:

A1=[10;01];B1=[11;01];C1=[13;20];D1=[10;25];A2=[-20;10];B2=[10]';C2=[01];D2=0;sys1=ss(A1,B1,C1,D1);sys2=ss(A2,B2,C2,D2);%建立兩系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型feedin=1;feedout=2;sign=-1;sys=feedback(sys1,sys2,feedin,feedout,sign)下頁(yè)上頁(yè)由sys=feedback(sys1,sys2,feedin,feedout,sign)得：27顯示結(jié)果如下：即為整個(gè)系統(tǒng)狀態(tài)方程的系數(shù)矩陣下頁(yè)上頁(yè)a=x1x2x3x4x1100-1x20100x320-2-2x40010b=u1u2x111x201x325x400c=x1x2x3x4y1130-1y2200-2d=u1u2y110y225Continuous-timemodel.284.3線性系統(tǒng)的時(shí)域分析系統(tǒng)的時(shí)域分析是指輸入信號(hào)采用單位階躍或單位沖激函數(shù)，其響應(yīng)是時(shí)間t的函數(shù)，稱(chēng)為時(shí)域響應(yīng)。從時(shí)域響應(yīng)可以獲得系統(tǒng)的各個(gè)方面的性能。

1、impulse求連續(xù)系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)。

格式1：impulse(sys)[Y,X,T]=impulse(sys)

格式2：impulse(sys,t)[Y,X]=impulse(sys,t)

格式3：impulse(sys,iu)[Y,X,T]=impulse(sys,iu)

格式4：impulse(sys,iu,t)[Y,X]=impulse(sys,iu,t)

說(shuō)明：sys為tf(),zpk(),ss()中任一種模型。其中T是時(shí)間向量對(duì)于不帶返回參數(shù)的該函數(shù)在當(dāng)前窗口中繪制出響應(yīng)曲線。對(duì)于帶有返回參數(shù)的將不繪制曲線,其中Y是輸出向量X是狀態(tài)向量。t為用戶(hù)設(shè)定的時(shí)間向量,即仿真時(shí)間。對(duì)于MIMO系統(tǒng),iu表示第iu個(gè)輸入到所有輸出的沖激響應(yīng)曲線.注意函數(shù)內(nèi)的時(shí)間參數(shù)t寫(xiě)在sys之后.下頁(yè)上頁(yè)29例4-9：考慮如圖所示的典型反饋控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，已知H(S)G(S)Gc(S)其中，

_解：G=tf(4,[1234]);Gc=tf([1-3],[13]);H=tf(1,[0.011]);G1=G*Gc;G2=feedback(G1,H);impulse(G2);%作整個(gè)反饋控制系統(tǒng)的沖激響應(yīng)曲線,figure,impulse(G1)%作前向通道傳函所代表的系統(tǒng)的沖激響應(yīng)曲線,求系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)和閉環(huán)單位脈沖響應(yīng)。下頁(yè)上頁(yè)30開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)閉環(huán)系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)運(yùn)行結(jié)果如下：下頁(yè)上頁(yè)31注意：上述程序也可由plot()作圖函數(shù)實(shí)現(xiàn).G=tf(4,[1234]);Gc=tf([1-3],[13]);H=tf(1,[0.011]);G1=G*Gc;G2=feedback(G1,H);[y,x]=impulse(G2);plot(x,y)[y1,x1]=impulse(G1);figure,plot(x1,y1)下頁(yè)上頁(yè)32注意：若要求兩個(gè)波形顯示在同一圖形窗口中,并加有圖例說(shuō)明.G=tf(4,[1234]);Gc=tf([1-3],[13]);H=tf(1,[0.011]);G1=G*Gc;G2=feedback(G1,H);impulse(G1)%作前向通道傳函所代表的系統(tǒng)的沖激響應(yīng)曲線

holdon%保持作圖impulse(G2);%作整個(gè)反饋控制系統(tǒng)的沖激響應(yīng)曲線Legend(‘y1’,‘y2’)%圖例說(shuō)明grid%生成網(wǎng)格下頁(yè)上頁(yè)332、step

求連續(xù)系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)。格式1：step(sys)[Y,X,T]=step(sys)格式2：step(sys,t)[Y,X]=step(sys,t)格式3：step(sys,iu)[Y,X,T]=step(sys,iu)格式4：step(sys,iu,t)[Y,X]=step(sys,iu,t)說(shuō)明：step()中的參數(shù)意義和implse()函數(shù)相同。sys為tf(),zpk(),ss()中任一種模型。其中T是時(shí)間向量.對(duì)于不帶返回參數(shù)的該函數(shù)在當(dāng)前窗口中繪制出響應(yīng)曲線。對(duì)于帶有返回參數(shù)的將不繪制曲線,其中X是狀態(tài)向量,Y是輸出向量。t為用戶(hù)設(shè)定的時(shí)間向量,即仿真時(shí)間。對(duì)于MIMO系統(tǒng),iu表示第iu個(gè)輸入到所有輸出的沖激響應(yīng)曲線.下頁(yè)上頁(yè)34例4-10考慮下面?zhèn)鬟f函數(shù)模型：試?yán)L制其單位階躍響應(yīng)曲線。G=tf([172424],[110355024]);y=step(G)y=size(y)%可得y是101X1階列向量t=[0:0.1:10]’;%t與y有相同的長(zhǎng)度plot(t,y)%繪制傳遞函數(shù)模型的單位階躍響應(yīng)曲線grid解:程序如下:下頁(yè)上頁(yè)35用plot(t,y)所繪制的階躍響應(yīng)曲線注意:可以不定義t,直接用語(yǔ)句step(G)

繪制傳遞函數(shù)G的單位階躍響應(yīng)曲線例4-10圖(a)下頁(yè)上頁(yè)36直接用step(G)所繪制的階躍響應(yīng)曲線G=tf([172424],[110355024]);step(G)grid注意:

橫坐標(biāo)最大值是0～

4.5,縱坐標(biāo)仍然0～1

例4-10圖(b)下頁(yè)上頁(yè)37G=tf([172424],[110355024]);t=[0:0.1:10]';

step(G,t)%注意t的位置在后grid直接用step(G)給圖時(shí),用戶(hù)也可設(shè)定仿真時(shí)間t例4-10圖(c)下頁(yè)上頁(yè)38例4-11：求下面的零極點(diǎn)模型的單位階躍響應(yīng)曲線。

解:程序如下:z=[-12];p=[-0.5-1.5-3-4-5];k=6;G=zpk(z,p,k);%建立零極點(diǎn)模型Step(G)%繪制零極點(diǎn)模型的單位階躍響應(yīng)曲線下頁(yè)上頁(yè)39系統(tǒng)的特征方程為

過(guò)阻尼系統(tǒng)的特征根為

（即有

>1）稱(chēng)

為阻尼比

二階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)下頁(yè)上頁(yè)40（2）欠阻尼系統(tǒng)的特征根為

（即0<

<1

）,稱(chēng)

為阻尼比

下頁(yè)上頁(yè)413）臨界阻尼系統(tǒng)的特征根為（即阻尼比

=1）下頁(yè)上頁(yè)42例4-12：典型二階系統(tǒng)傳遞函數(shù)為：試分析不同參數(shù)下的系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)解：1、假設(shè)將自然頻率固定為＝1，ζ＝0,0.1,…1,2,3,5。程序如下:wn=1;zetas=[0:0.1:1,2,3,5];t=0:0.1:12;fori=1:length(zetas)

Gc=tf(wn^2,[1,2*zetas(i)*wn,wn^2]);holdon

step(Gc,t);endholdoffζ---稱(chēng)阻尼比下頁(yè)上頁(yè)43顯示結(jié)果如下:下頁(yè)上頁(yè)ζ=0ζ=0.1ζ=1…ζ=5由圖可知,阻尼系數(shù)ζ從0值增加到5的過(guò)程,系統(tǒng)從等幅振蕩到減幅振蕩到非振蕩變化44當(dāng)ζ=0時(shí),即R=0為等幅振蕩當(dāng)ζ=0.1時(shí),R≠0為欠阻尼振蕩放電過(guò)程step(Gc,‘g’,t);作圖為綠色step(Gc,t)默認(rèn)作圖顏色為藍(lán)色下頁(yè)上頁(yè)45當(dāng)ζ=1時(shí),為臨界阻尼非振蕩放電過(guò)程下頁(yè)上頁(yè)462、將阻尼比ζ的值固定在ζ＝0.55，自然頻率變化范圍為0.1～1程序如下:wn=[0.1:0.1:1];zetas=0.55;t=0:0.1:12;fori=1:length(wn)

Gc=tf(wn(i)^2,[1,2*zetas*wn(i),wn(i)^2]);holdon

step(Gc,t);endholdoff注意ζ＝0.55<1,此時(shí)電路為欠阻尼振蕩放電過(guò)程下頁(yè)上頁(yè)47顯示結(jié)果如下:從圖中可看出，自然頻率W越小，起振越慢；自然頻率W越大，起振越快。下頁(yè)上頁(yè)483.initial

求連續(xù)系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)。格式1：initial(sys,x0)[Y,X,T]=initial(sys,x0)格式2：initial(sys,x0,t)[Y,X,T]=initial(sys,x0,t)說(shuō)明：

initial函數(shù)可計(jì)算出連續(xù)時(shí)間線性系統(tǒng)由于初始狀態(tài)所引起的響應(yīng)（故而稱(chēng)為零輸入響應(yīng))。同前述一樣，

t為用戶(hù)設(shè)定的時(shí)間向量,即仿真時(shí)間，

T是返回的時(shí)間參數(shù)向量。

X0是初始狀態(tài)值。注意：sys只能為ss()模型下頁(yè)上頁(yè)49例4-13：二階系統(tǒng)當(dāng)初始狀態(tài)為x0＝[1;0]時(shí)，求系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)。解:程序如下:a=[-0.5572-0.7814;0.78140];b=[1;0];c=[1.96916.4493];d=0;x0=[1;0];t=0:0.1:20;initial(a,b,c,d,x0,t)%繪制系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)下頁(yè)上頁(yè)注意：如果將上述狀態(tài)空間模型轉(zhuǎn)換為傳遞函數(shù)模型：并設(shè)為sys,若用initial(sys,x0)來(lái)求零狀態(tài)響應(yīng)時(shí),MATLAB就會(huì)顯示如下錯(cuò)誤信息:???Errorusing==>rfinputsOnlyavailableforstate-spacemodels.即指出:只能是狀態(tài)空間模型504lsim

求任意輸入信號(hào)時(shí)系統(tǒng)的響應(yīng)

格式1：lsim(sys1,u,t)[Y,X]=lsim(sys1,u,t)

格式2：lsim(sys2,u,t,x0)[Y,X]=lsim(sys2,u,t,x0)

說(shuō)明：

u為輸入信號(hào).

t

為用戶(hù)設(shè)定的時(shí)間向量,即仿真時(shí)間.sys1為tf()或zpk()模型。

sys2為ss()模型。其中

x0為初始條件下頁(yè)上頁(yè)51程序如下：

t=0:0.1:5;u=4*exp(-3*t);num=[1,7,24,24];den=[1,10,35,50,24];

lsim(num,den,u,t),legend(‘系統(tǒng)曲線’,‘輸入信號(hào)曲線’)grid例4-13考慮下面?zhèn)鬟f函數(shù)模型：試?yán)L制當(dāng)輸入信號(hào)為u=4e-3t時(shí)，該系統(tǒng)的響應(yīng)曲線。注意：圖釋語(yǔ)句和網(wǎng)格線語(yǔ)句均必須置于作圖語(yǔ)句后，才能生效。5253下頁(yè)上頁(yè)4.4線性系統(tǒng)的根軌跡一、定義

根軌跡指當(dāng)系統(tǒng)開(kāi)環(huán)放大倍數(shù)K從0到＋∞時(shí),閉環(huán)特征方程的根在復(fù)平面上的軌跡。是美國(guó)學(xué)者W.R.埃文斯在1948年提出的根軌跡方法。可見(jiàn)，根軌跡法是一種直接由開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)求取閉環(huán)特征根的方法.二、意義利用根軌跡來(lái)分析系統(tǒng)的暫態(tài)和穩(wěn)態(tài)性能。三、根軌跡的分類(lèi)或根軌跡法是由系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)的零極點(diǎn)分布情況畫(huà)出系統(tǒng)閉環(huán)特征根軌跡。54下頁(yè)上頁(yè)四、根軌跡方程如圖所示，設(shè)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為kG(S)=k×num/den,其閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡方程（即閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程）如下：五、根軌跡的畫(huà)法規(guī)則如下：n為開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)分母的階數(shù)，m為分子階數(shù)H(S)kG(S)551、pzmap

繪制系統(tǒng)的極、零點(diǎn)圖。格式1：pzmap(A,B,C,D)[p,z]=pzmap(A,B,C,D)格式2：pzmap(num,den)[p,z]=pzmap(num,den)格式3：pzmap(p,z)說(shuō)明：極點(diǎn)用“×”表示，零點(diǎn)用“o”表示。對(duì)于不帶返回參數(shù)的將繪制零極點(diǎn)圖。對(duì)于帶有返回參數(shù)的將不作圖,其中返回參數(shù)P為極點(diǎn)的列向量，z為零點(diǎn)的列向量。格式3

是將已知的零點(diǎn)z極點(diǎn)p繪制在復(fù)平面上。

MATLAB專(zhuān)門(mén)提供了繪制根軌跡的函數(shù)：

pzmap()繪制極零點(diǎn)圖

rlocus()繪制根軌跡,

rlocfind()計(jì)算根軌跡的增益,下頁(yè)上頁(yè)56例4-15有連續(xù)系統(tǒng)要求繪制出零極點(diǎn)圖。解:程序如下:num=[0.050.045];den=conv([1-1.80.9];[156]);[p,z]=pzmap(num,den)pzmap(num,den)下頁(yè)上頁(yè)得極點(diǎn)：p1=-2.0000，p2=-3.0000

p3=0.9000+0.3000i,p4=0.9000-0.3000i，零點(diǎn)z=-0.9000p1p2p3p4z根據(jù)圖可知：系統(tǒng)是不穩(wěn)定的572、

rlocus

求系統(tǒng)根軌跡。格式1：rlocus(num,den)rlocus(num,den,k)[R,K]=rlocus(num,den)[R,K]=rlocus(num,den，k)格式2：rlocus(A,B,C,D)rlocus(A,B,C,D,k)[R,K]=rlocus(A,B,C,D)[R,K]=rlocus(A,B,C,D,k)說(shuō)明:k為用戶(hù)設(shè)定的開(kāi)環(huán)增益值，若省略機(jī)器自動(dòng)生成.

對(duì)于不帶返回參數(shù)的將繪制根軌跡，對(duì)于帶有返回參數(shù)的將不作圖。其中返回參數(shù)R是對(duì)應(yīng)開(kāi)環(huán)增益K的閉環(huán)極點(diǎn)的位置。

R的列數(shù)和增益K的長(zhǎng)度相同，R的第m列元素是對(duì)于第m個(gè)開(kāi)環(huán)增益K的閉環(huán)系統(tǒng)的根注意：格式2可繪出連續(xù)系統(tǒng)和離散時(shí)間SISO狀態(tài)空間表示的根軌跡。下頁(yè)上頁(yè)583、rlocfind

計(jì)算根軌跡上指定點(diǎn)的開(kāi)環(huán)根軌跡增益值k,并將該增益下所有的閉環(huán)極點(diǎn)顯示出來(lái)。當(dāng)這個(gè)函數(shù)啟動(dòng)起來(lái)之后，在圖形窗口上出現(xiàn)要求用戶(hù)使用鼠標(biāo)定位的提示，這時(shí)用戶(hù)用鼠標(biāo)點(diǎn)擊根軌跡上所要求的點(diǎn)后，將返回一個(gè)k值（此即為開(kāi)環(huán)根軌跡增益值）,同時(shí)返回該k值下的所有閉環(huán)極點(diǎn)p的值，并將此閉環(huán)極點(diǎn)直接在根軌跡曲線上顯示出來(lái)。

格式1：[K,poles]=rlocfind(A,B,C,D)格式2：[K,poles]=rlocfind(num,den)下頁(yè)上頁(yè)說(shuō)明：式中，

A、B、C、D為開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)方程系數(shù)矩陣；

num、den為開(kāi)環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)的分子、分母；

k為相對(duì)應(yīng)的開(kāi)環(huán)增益向量；

Poles為與開(kāi)環(huán)增益k相對(duì)應(yīng)的閉環(huán)極點(diǎn)。59下頁(yè)上頁(yè)格式：[K,poles]=rlocfind(A,B,C,D,P)

[K,poles]=rlocfind(num,den,P)也可通過(guò)指定開(kāi)環(huán)極點(diǎn)p得到開(kāi)環(huán)增益的向量K

。

式中，p為指定的開(kāi)環(huán)極點(diǎn)；

A、B、C、D為開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)方程系數(shù)矩陣；

num、den為開(kāi)環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)的分子、分母；

k為相對(duì)應(yīng)的開(kāi)環(huán)增益向量；

Poles為與開(kāi)環(huán)增益k相對(duì)應(yīng)的閉環(huán)極點(diǎn)。說(shuō)明：求出根軌跡上離p點(diǎn)很近的一個(gè)根及所對(duì)應(yīng)的增益K60下頁(yè)上頁(yè)解:程序如下:num=[0.050.045];den=conv([1-1.80.9],[156]);G=tf(num,den)rlocus(G)%繪制由G構(gòu)成的閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡圖[K,Poles]=rlocfind(G)%在根軌跡上選擇極點(diǎn)位置，得到開(kāi)環(huán)增益K的值。注意:上述程序最后兩行不能互換位置.例4-16：設(shè)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)G(s)如下所示，繪制閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡圖61運(yùn)行程序顯示圖(a)后，同時(shí)在命令窗口中顯示”Selectapointinthegraphicswindow“selected_point=-1.9882+1.9938i

%用戶(hù)在根軌跡上任意選擇的點(diǎn)K=484.7197%為上述選擇的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的增益Poles=-4.3122，1.1428+2.0179i，1.1428-2.0179i，-1.1734Poles為根軌跡上增益K所對(duì)應(yīng)的所有極點(diǎn)。得到圖（b)圖（a)根軌跡圖圖（b)根軌跡上增益K所對(duì)應(yīng)的極點(diǎn)下頁(yè)上頁(yè)p1p2p3p4z62例4-17圖4-17某閉環(huán)系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為利用MATLAB命令畫(huà)出該系統(tǒng)的根軌跡。程序如下：num=[11];den1=conv([1,0],[1-1]);den=conv(den1,[1416]);rlocus(num,den)%繪制根軌跡，如圖所示。下頁(yè)上頁(yè)63p=1.5i;%p為離根軌跡較近的虛軸上的一個(gè)點(diǎn)。

[k,poles]=rlocfind(num,den,p)％求出根軌跡上離p點(diǎn)很近的一個(gè)根及所對(duì)應(yīng)的增益k和其它三個(gè)根。

顯示結(jié)果:k=22.5031，

poles=-1.5229+2.7454i-1.5229-2.7454i

0.0229+1.5108i

0.0229-1.5108ip1=1.5108i;%再以上述極點(diǎn)的虛部作為新的一點(diǎn)[k,poles]=rlocfind(num,den,p1)

％求出根軌跡上離p1點(diǎn)很近的一個(gè)根及所對(duì)應(yīng)的增益k和其它三個(gè)根顯示結(jié)果:k=22.6464，

poles=-1.5189+2.7382i-1.5189-2.7382i

0.0189+1.5197i

0.0189-1.5197i

下頁(yè)上頁(yè)64用同樣的方法可得到根軌跡由左半平面穿過(guò)虛軸時(shí)的增益和四個(gè)根如下:k=35.6853

poles=0.0000+2.5616i0.0000-2.5616i-1.5000+1.7856i1.5000-1.7856增益的另一個(gè)臨界值為35.6853,

由此可得增益的穩(wěn)定范圍為23.3160<k<35.6853再以此根的虛部為新的根，重復(fù)上述步驟，逐步地使極點(diǎn)向虛軸接近，幾步后可得到下面的結(jié)果：k=23.316，poles=-1.5000+2.7040i-1.5000-2.7040i0.0000+1.5616i

0.0000-1.5616i這就是根軌跡由右半平面穿過(guò)虛軸時(shí)的增益及四個(gè)根。這時(shí)增益的臨界值為23.3160，654.5系統(tǒng)的頻域分析

頻域分析法是利用系統(tǒng)開(kāi)環(huán)的奈氏圖、波特圖、尼氏圖分析系統(tǒng)的性能，如系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能、動(dòng)態(tài)性能、穩(wěn)定性。一、幅相頻率特性(奈氏圖)66

奈氏圖判定系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件：如果開(kāi)環(huán)系統(tǒng)有P個(gè)極點(diǎn)在右半平面，相應(yīng)于頻率ω從-∞→+∞變化時(shí)，開(kāi)環(huán)頻率特性G(jω)H(jω)曲線逆時(shí)針?lè)较颦h(huán)繞（－1，j0）點(diǎn)的次數(shù)N等于右半根平面內(nèi)的開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)數(shù)P，那么閉環(huán)系統(tǒng)就是穩(wěn)定的，否則是不穩(wěn)定的。下頁(yè)上頁(yè)同時(shí)奈氏判據(jù)指出，如果系統(tǒng)在開(kāi)環(huán)狀態(tài)下是穩(wěn)定的，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：它的開(kāi)環(huán)幅相頻率特性曲線不包圍(-1，j0)點(diǎn)。反之，若曲線包圍(-1，j0)點(diǎn)，則閉環(huán)系統(tǒng)將是不穩(wěn)定的。若曲線通過(guò)(-1，j0)點(diǎn)，則閉環(huán)系統(tǒng)處于穩(wěn)定邊界。671、nyquist

求連續(xù)系統(tǒng)的Nyquist曲線格式1：nyquist(sys)[re,im,w]=nyquist(sys)格式2：nyquist(sys,w)[re,im,w]=nyquist(sys,w)格式3：nyquist(sys,iu,w)[re,im,w]=nyquist(sys,iuw)說(shuō)明：對(duì)于不帶返回參數(shù)的將繪制Nyquist曲線。對(duì)于帶有返回參數(shù)的將不繪制曲線,其中，返回參數(shù)re、im分別為開(kāi)環(huán)G(jw)在各頻率點(diǎn)的實(shí)部和虛部，即：re=Re(G(jw)),im=Im(G(jw

))。

sys為tf(),zpk(),ss()中任一種模型。

w設(shè)定頻率范圍，省略時(shí)由機(jī)器自動(dòng)產(chǎn)生。

對(duì)于MIMO系統(tǒng)，iu表示用第iu個(gè)輸入變量來(lái)繪制系統(tǒng)的Nyquist曲線。返回參數(shù)為第i個(gè)輸出變量針對(duì)第j個(gè)輸入變量的頻率響應(yīng)的實(shí)部和虛部，即re(i,j,:)和im(i,j,:)。

68例4-17:系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)繪制系統(tǒng)的Nyquist圖，并討論其穩(wěn)定性下頁(yè)上頁(yè)程序如下：G=tf(1000,conv([132],[15]));nyquist(G);%繪制奈奎斯特圖Axis(‘square’)%將兩個(gè)坐標(biāo)軸設(shè)定相等的長(zhǎng)度（但刻度的增量可以不一定相等），即繪制正方坐標(biāo)下的圖形，通常在兩個(gè)坐標(biāo)軸具有相同比例時(shí)使用，如畫(huà)園時(shí)使用。語(yǔ)句中單引號(hào)和園括號(hào)都可省略不寫(xiě)。運(yùn)行程序顯示如下的圖形。69由圖可知，Nyquist圖曲線包圍了點(diǎn)（－1，j0），而原開(kāi)環(huán)系統(tǒng)中極點(diǎn)分別為p1=-1,p2=-2,p3=-5,沒(méi)有不穩(wěn)定極點(diǎn)，從而可以得出結(jié)論，閉環(huán)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。下頁(yè)上頁(yè)70或者說(shuō)：奈奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)（又稱(chēng)奈氏判據(jù)）

1、對(duì)于開(kāi)環(huán)穩(wěn)定的系統(tǒng)，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的奈氏曲線G(jω)H(jω)不包圍(-1,j0)點(diǎn)。反之，則閉環(huán)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。

2、對(duì)于開(kāi)環(huán)不穩(wěn)定的系統(tǒng)，有p個(gè)開(kāi)環(huán)極點(diǎn)位于右半s平面，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是,當(dāng)ω從-∞→∞變化時(shí)，開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的奈氏曲線G(jω)H(jω)逆時(shí)針包圍(-1,j0)點(diǎn)p次。下頁(yè)上頁(yè)712、nichols

求連續(xù)系統(tǒng)的Nichols（尼克爾斯）頻率響應(yīng)曲線。格式1：nichols(sys)[re,im,w]=nichols(sys)格式2：nichols(sys,w)[re,im,w]=nichols(sys,w)格式3：nichols(sys,iu,w)[re,im,w]=nichols(sys,iuw)說(shuō)明：nicholsh函數(shù)的輸入變量定義與nyquist相同

iu是指第iu個(gè)輸入，w是頻率點(diǎn)構(gòu)成的向量

3bode求連續(xù)系統(tǒng)的Bode（伯德）頻率響應(yīng)。格式1：bode(sys)[mag,phase,w]=bode(sys)格式2：bode(sys,w)[mag,phase,w]=bode(sys,w)格式3：bode(sys,iu,w)[mag,phase,w]=bode(sys,iuw)說(shuō)明：bode函數(shù)的輸入變量定義與nyquist相同Bode圖可用于分析系統(tǒng)的增益裕度、相位裕度、增益、帶寬以及穩(wěn)定性等特性。mag和phase分別是幅值和相位數(shù)組。iu表示從系統(tǒng)第iu個(gè)輸入到所有輸出的Bode圖

下頁(yè)上頁(yè)72試用MATLAB繪制出不同和的伯德圖。解：wn=1;zet=[0:0.1:1,2,3,5];holdonfori=1:length(zet)num=wn^2;den=[1,2*zet(i)*wn,wn^2]

bode(num,den)endholdoff當(dāng)阻尼比比較小時(shí)，則系統(tǒng)的頻域響應(yīng)在自然頻率附近將表現(xiàn)出比較強(qiáng)的振蕩，該現(xiàn)象稱(chēng)為諧振。例4-18：考慮二階系統(tǒng)傳遞函數(shù)模型下頁(yè)上頁(yè)1、為固定值，變化時(shí)732、為固定值，變化時(shí)

當(dāng)自然頻率的值增加時(shí)，伯德圖的帶寬將增加，該現(xiàn)象使得系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)速度變快。解：wn=[0.1:0.1:1];zet=0.707;holdonfori=1:length(wn)

num=wn(i)^2;den=[1,2*zet*wn(i),wn(i)^2];

bode(num,den)endholdoff下頁(yè)上頁(yè)744、margin求取給定線性定常系統(tǒng)的幅值裕量和相角的裕量格式1：margin（sys）格式2：margin（mag,phase,w）格式3：[Gm,Pm,Wcg,Wcp]=margin（sys）

[Gm,Pm,Wcg,Wcp]=margin（mag,phase,w）

margin函數(shù)可從頻率響應(yīng)數(shù)據(jù)中計(jì)算出幅值裕度(不是db)、相角裕度和剪切頻率。說(shuō)明：格式1畫(huà)出bode圖，并標(biāo)注幅值裕度和對(duì)應(yīng)頻率，相角裕度和對(duì)應(yīng)頻率。格式2由給定的幅值mag、相位phase及頻率w畫(huà)出bode圖格式3：不畫(huà)圖，返回幅值裕度Gm和對(duì)應(yīng)頻率Wcg,相角裕度Pm和對(duì)應(yīng)頻率Wcp

。下頁(yè)上頁(yè)75例4-19：考慮如下系統(tǒng)模型：求它的幅值裕度和相角裕度，并求其閉環(huán)階躍響應(yīng)。例3-20系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型為：求出系統(tǒng)的幅值裕度與相角裕度。下頁(yè)上頁(yè)764.6線性系統(tǒng)的性質(zhì)分析

4.6.1線性系統(tǒng)穩(wěn)定性分析1.直接判定方法首先求出系統(tǒng)的所有極點(diǎn)，當(dāng)其實(shí)部大于零，則系統(tǒng)為不穩(wěn)定系統(tǒng)，否則稱(chēng)為穩(wěn)定系統(tǒng)。若極點(diǎn)的實(shí)部等于0的，則系統(tǒng)稱(chēng)為臨界穩(wěn)定系統(tǒng)。對(duì)于傳遞函數(shù)模型tf（num，den）,利用求根函數(shù)roots（den）來(lái)求極點(diǎn)。對(duì)于狀態(tài)方程模型SS（A,B,C,D）利用求特征值函數(shù)eig（A）來(lái)求特征值。這樣根據(jù)極點(diǎn)或特征值直接判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性了。例4-21假設(shè)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)模型為判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

下頁(yè)上頁(yè)77

1)routh

構(gòu)造系統(tǒng)的Routh表格式:[rtab,msg]=routh(den)說(shuō)明：其中den是系統(tǒng)的分母多項(xiàng)式向量，rtab是構(gòu)造的Routh表矩陣，msg為字符串型變量，返回有關(guān)信息。系統(tǒng)不穩(wěn)定極點(diǎn)的數(shù)目等于所產(chǎn)生的Routh表中第一列元素的符號(hào)變化次數(shù)。Routh（）函數(shù)

2間接判定方法

直接求取高階代數(shù)方程的根是一件很困難的工作，所以出現(xiàn)了一些判定給定系統(tǒng)穩(wěn)定性的間接方法，本節(jié)介紹其中兩種方法，即Routh-Hurwitz（勞斯-霍爾維茨）判定方法和Lyapunov判定方法，它們分別適用于傳遞函數(shù)模型和狀態(tài)空間模型。例4-22：同例4-20，應(yīng)用的Routh表判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。下頁(yè)上頁(yè)78

從運(yùn)行結(jié)果可知Routh表第一列沒(méi)有符號(hào)的變化，所以系統(tǒng)是穩(wěn)定的。2）hurwitz(霍爾維茨)構(gòu)造Hurwitz矩陣。格式:H＝hurwitz（den）說(shuō)明：H為構(gòu)造的Hurwitz矩陣，den為系統(tǒng)的分母多項(xiàng)式D(S)，D(S)=a0Sn+a1Sn-1+a2Sn-2+……+an-1S1+

anH矩陣

hurwitz()函數(shù)下頁(yè)上頁(yè)793)posdef

判定矩陣的正定性格式：[key,sdet]=posdef(A)說(shuō)明：其中key返回矩陣A正定性的標(biāo)記，若key＝1則表示該

矩陣A為正定矩陣，否則矩陣A為非正定矩陣。sdet返回各個(gè)左上角子矩陣的行列式值。

posdef（）函數(shù)例4-23：考慮例4-20中的系統(tǒng)模型由運(yùn)行結(jié)果可知Hurwitz陣是正定的，因此系統(tǒng)穩(wěn)定。

用Hurwitz(霍爾維茨)判據(jù)判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。下頁(yè)上頁(yè)804)Lyap

解Lyapunov方程格式：X＝lyap（A,B,C）X＝lyap（A,C）說(shuō)明：lyap(A,B,C)求解矩陣方程AX+XB=－C的解X；lyap(A,C)求解矩陣方程AX+XA'=-C的解X。例4-24：考慮一個(gè)狀態(tài)方程模型

利用Lyapunov判據(jù)判定出系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：選定一個(gè)正定的對(duì)角矩陣w=diag（1,2,3,4）Lyapunov方程的解V不是正定矩陣，因?yàn)槠渥笊辖亲泳仃嚨男辛惺街刀紴樨?fù)，故而由Lyapunov判據(jù)可知，系統(tǒng)不穩(wěn)定。下頁(yè)上頁(yè)814.6.2線性系統(tǒng)的能控性和能觀性

1、能控性n階系統(tǒng)的完全能控性只取決于狀態(tài)方程中的（A,B）矩陣，系統(tǒng)完全能控的充要條件是能控矩陣Tc滿(mǎn)秩即：rank(Tc)=n,Tc=[B，AB，…An-1B]能控矩陣Tc由ctrb（）函數(shù)自動(dòng)產(chǎn)生出來(lái)，其調(diào)用格式為：Tc＝ctrb（A，B）2