線性代數(shù)第二章習(xí)題課

第二章矩陣習(xí)題課關(guān)于逆矩陣的幾個(gè)公式：設(shè)方陣A可逆，|A|≠0(1)|A-1|=|A|-1|A-1A|=|A-1||A|=|E|=1|A-1|=|A|-1(2)(3)兩邊取行列式|A-1|(4)或A(5)1.(P76-14)證明:如果=A,且A不是單位矩陣，則A必為奇異矩陣。注意：下邊證法有問題：對(duì)A(A-E)=O.∵A≠E∴A=O

則︱A︱=0.這是因?yàn)锳B=O不能推出A=O或B=O.若A非奇異,則︱A︱≠0,存在。對(duì)A2-A=A(A-E)=O有A-1A(A-E)=A-1O=O∴A-E=O即A=E,這與已知矛盾。故假設(shè)A非奇異不對(duì)。從而A奇異，︱A︱=O.證明：反證，2.(P76-16 )已知,k為某一正整數(shù)。 證明矩陣E-A可逆，且=E+A+++…∴E-A可逆.=E+A+++…且=E+A+++-A----……=E-有(E-A)(E+A++

+）…由公式(1-a)(1+a++···+)解:=E3.設(shè)A,B為n階方陣，若E–AB可逆，則E-BA

可逆。證：∵(E–AB)A=A–ABA=A(E–BA)∴(E–AB)A=A(E–BA)

又E–AB可逆，∴A=A(E–BA)而E=E–BA+BA=E–BA+BA(E–BA)=[E+BA](E–BA)∴E–BA可逆，且=E+BA上式左乘設(shè)上題中A,B為可逆方陣，且E–AB可逆，證明E–BA可逆。則(E-BA)X=E(A–ABA)X=A又A可逆,證：設(shè)=X∵E–AB可逆，∴X==A兩邊左乘A:得(E–AB)AX=A可得AX=A5.01020001設(shè)A=，求解：-2010-1000-2==0102000100030003-==E=6.A是四階數(shù)量矩陣，且︱A︱=16,求故A1,2=±2E,

解：由題意，設(shè)A=,

則︱A︱=∴a=±2aaaa=證明：若A是反對(duì)稱矩陣，且︱A︱≠0,則也是反對(duì)稱矩陣。證：︱A︱≠0∵又A=-A′故A

也是反對(duì)稱矩陣。﹣1′∴()′=(A)=(-A)=-A﹣1﹣1﹣18.設(shè)三階矩陣A,B滿足BA=6A+BA,其中A=求B.對(duì)BA=6A+BA兩邊右乘：B=6E+B(-E)B=6E而-E=-=34700010001

36解：∵A=×

×=≠0,∴A可逆。=

21－1故B=6(-E)==6－1

366∴(-B)可逆，∵|A-1-B|=36≠0,9.設(shè)A,B是三階方陣，A=-1,B=5,求解:=====10.(P77-7)解：====11.(P77-8)解：∵A≠0,∴A可逆A*=-12n51==A5151nnA)-11

A

(-=51n)1﹡﹡(5)151A

A-=(-

A

A151=nn12.設(shè)A為三階方陣，且A=2,求①,②A*,③(A*)*,④.解：∵A=2≠0,∴A可逆，則①=②A*或：③A可逆時(shí)，有(A*)*=A,(n≥2)注意④由②設(shè)A=矩陣X滿足AX+E=其中E是三階單位矩陣，求X.解：由AX+E= 得（A-E）X=∵故X=13.14.(P76-20)解法1：由定義A*=A11A21A31A12A22A32A13A23A33a11a21a31a12a22a32a13a23a33＝A′＝題知對(duì)AA*=A*A=AE

取行列式有AA*=AA′=AE∵A=又a11≠0(即A≠O)∴|A|＞0,行列式按第i行展開（i=1,2,3)≥0,|A|=1解法2：由解法1知A＞0,∴A可逆由已證公式：,（此題中n=3)且由題知A*=A′15.(P78-11)共經(jīng)過m×n次列交換利用已知結(jié)果解：16.(P78-12)∵A＜0∴A=-1=-(E+A)′=-E+AA+E=A+AA′=AE+A′解：由AA′=E

得,A=±1由2A+E=0