新高考數(shù)學之圓錐曲線綜合講義第11講阿基米德三角形問題(原卷版+解析)

第11講阿基米德三角形問題一、解答題1．設(shè)定點F(0，1)，動點E滿足：以EF為直徑的圓與x軸相切.（1）求動點E的軌跡C的方程；（2）設(shè)A，B是曲線C上的兩點，若曲線C在A，B處的切線互相垂直，求證：A，F(xiàn)，B三點共線.2．如圖，已知拋物線的焦點為F過點的直線交拋物線于A，B兩點，直線AF，BF分別與拋物線交于點M，N．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）記直線MN的斜率為，直線AB的斜率為證明：為定值3．已知拋物線C：x2＝2py（p＞0），直線l交C于A，B兩點，且A，B兩點與原點不重合，點M（1，2）為線段AB的中點．（1）若直線l的斜率為1，求拋物線C的方程；（2）分別過A，B兩點作拋物線C的切線，若兩條切線交于點S，證明點S在一條定直線上．4．已知拋物線C：x2＝2py（p＞0），F(xiàn)為拋物線C的焦點．以F為圓心，p為半徑作圓，與拋物線C在第一象限交點的橫坐標為2．（1）求拋物線C的方程；（2）直線y＝kx+1與拋物線C交于A，B兩點，過A，B分別作拋物線C的切線l1，l2，設(shè)切線l1，l2的交點為P，求證：△PAB為直角三角形．5．已知拋物線的焦點為，過點的直線分別交拋物線于兩點．（1）若以為直徑的圓的方程為，求拋物線的標準方程；（2）過點分別作拋物線的切線，證明：的交點在定直線上．6．已知動點在軸上方，且到定點距離比到軸的距離大.（1）求動點的軌跡的方程；（2）過點的直線與曲線交于，兩點，點，分別異于原點，在曲線的，兩點處的切線分別為，，且與交于點，求證：在定直線上.7．已知圓C：x2＋y2＋2x－2y＋1＝0和拋物線E：y2＝2px(p＞0)，圓心C到拋物線焦點F的距離為．（1）求拋物線E的方程；（2）不過原點的動直線l交拋物線E于A，B兩點，且滿足OA⊥OB．①求證直線l過定點；②設(shè)點M為圓C上任意一動點，求當動點M到直線l的距離最大時直線l的方程．8．已知拋物線的焦點為，，是拋物線上的兩個動點，且，過，兩點分別作拋物線的切線，設(shè)其交點為.（1）若直線與，軸分別交于點，，且的面積為，求的值；（2）記的面積為，求的最小值，并指出最小時對應(yīng)的點的坐標.9．已知以動點為圓心的與直線：相切，與定圓：相外切.（Ⅰ）求動圓圓心的軌跡方程；（Ⅱ）過曲線上位于軸兩側(cè)的點、（不與軸垂直）分別作直線的垂線，垂足記為、，直線交軸于點，記、、的面積分別為、、，且，證明：直線過定點.10．已知點是拋物線的頂點，，是上的兩個動點，且.（1）判斷點是否在直線上？說明理由；（2）設(shè)點是△的外接圓的圓心，點到軸的距離為，點，求的最大值.11．已知點是拋物線的頂點，，是上的兩個動點，且.（1）判斷點是否在直線上？說明理由；（2）設(shè)點是△的外接圓的圓心，求點的軌跡方程.12．拋物線的焦點為，過且垂直于軸的直線交拋物線于兩點，為原點，的面積為2.（1）求拋物線的方程.（2）為直線上一個動點，過點作拋物線的切線，切點分別為，過點作的垂線，垂足為，是否存在實數(shù)，使點在直線上移動時，垂足恒為定點？若不存在，說明理由；若存在，求出的值，并求定點的坐標.13．已知拋物線：的焦點為，平行于軸的兩條直線分別交于兩點，交的準線于兩點．（Ⅰ）若在線段上，是的中點，證明；（Ⅱ）若的面積是的面積的兩倍，求中點的軌跡方程.14．如圖，設(shè)拋物線y2（Ⅰ）求p的值；（Ⅱ）若直線AF交拋物線于另一點B，過B與x軸平行的直線和過F與AB垂直的直線交于點N，AN與x軸交于點M.求M的橫坐標的取值范圍.15．如圖，已知點是軸左側(cè)（不含軸）一點，拋物線上存在不同的兩點、，滿足、的中點均在拋物線上.（1）求拋物線的焦點到準線的距離；（2）設(shè)中點為，且，，證明：；（3）若是曲線（）上的動點，求面積的最小值.16．設(shè)拋物線的焦點為F，動點P在直線上運動，過P作拋物線C的兩條切線PA、PB，且與拋物線C分別相切于A、B兩點.（1）求△APB的重心G的軌跡方程.（2）證明∠PFA=∠PFB．17．如下圖，設(shè)拋物線方程為，M為直線上任意一點，過引拋物線的切線，切點分別為，．（Ⅰ）設(shè)線段的中點為；（?。┣笞C：平行于軸；（ⅱ）已知當點的坐標為時，，求此時拋物線的方程；（Ⅱ）是否存在點，使得點關(guān)于直線的對稱點在拋物線上，其中，點滿足（為坐標原點）．若存在，求出所有適合題意的點的坐標；若不存在，請說明理由．第11講阿基米德三角形問題一、解答題1．設(shè)定點F(0，1)，動點E滿足：以EF為直徑的圓與x軸相切.（1）求動點E的軌跡C的方程；（2）設(shè)A，B是曲線C上的兩點，若曲線C在A，B處的切線互相垂直，求證：A，F(xiàn)，B三點共線.【答案】（1）x2＝4y；（2）證明見解析.【分析】（1）設(shè)E點坐標為(x，y)，由E到x軸的距離等于即可求解.（2）設(shè)A，B兩點的坐標分別為，，利用導數(shù)求出曲線在A，B處切線的斜率，從而可得x2＝－，再求出的斜率，證出kAF＝kAB，即證.【詳解】（1）設(shè)E點坐標為(x，y)，則EF中點為圓心，設(shè)為E，則E點坐標為.∴E到x軸的距離等于，即＝，化簡得x2＝4y.∴點E的軌跡C的方程為x2＝4y.（2）證明：由（1）知，曲線C是以F為焦點的拋物線，其方程可化為y＝x2，設(shè)A，B兩點的坐標分別為，，∵曲線方程為y＝x2，∴y′＝x，∴曲線在A，B處切線的斜率分別為k1＝x1，k2＝x2，∵k1k2＝－1，∴x1·x2＝－1，∴x2＝－，∴A，B兩點連線的斜率為kAB＝＝－＋x1，A，F(xiàn)兩點連線的斜率為kAF＝＝－＋x1＝kAB，∴A，B，F(xiàn)三點共線.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查了三點共線，可以證明直線的斜率相等，解題的關(guān)鍵是根據(jù)A，B兩點的坐標求出x2＝－，考查了計算求解能力.2．如圖，已知拋物線的焦點為F過點的直線交拋物線于A，B兩點，直線AF，BF分別與拋物線交于點M，N．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）記直線MN的斜率為，直線AB的斜率為證明：為定值【答案】（1），；（2）【解析】試題分析：（Ⅰ）依題意，設(shè)直線AB的方程為x=my+2(m≠0)，與拋物線方程聯(lián)立消x得關(guān)于y的一元二次方程，根據(jù)韋達定理即可求得y1y2；（Ⅱ）設(shè)M(xM，yM)，N(xN，y試題解析：證明：（Ⅰ）依題意，設(shè)直線AB的方程為x=my+2(m≠0)．將其代入，消去x，整理得y2?4my?8=0．從而y（Ⅱ）AF：y=y1x1由韋達定理得，y1yk1考點：1．拋物線的簡單性質(zhì)；2．直線與拋物線的性質(zhì)．3．已知拋物線C：x2＝2py（p＞0），直線l交C于A，B兩點，且A，B兩點與原點不重合，點M（1，2）為線段AB的中點．（1）若直線l的斜率為1，求拋物線C的方程；（2）分別過A，B兩點作拋物線C的切線，若兩條切線交于點S，證明點S在一條定直線上．【答案】（1）x2＝2y（2）證明見解析【分析】（1）設(shè)直線的方程為，代入拋物線方程，消去，設(shè)，，，，運用韋達定理，以及中點坐標公式，可得，即可得到所求拋物線方程；（2）求得的導數(shù)，可得拋物線在，處的切線的斜率，由點斜式方程和點，滿足拋物線方程，可得在，處的切線方程，聯(lián)立兩切線方程，相加，結(jié)合中點坐標公式，即可得到所求點所在的定直線方程．【詳解】解：（1）設(shè)直線的方程為，代入拋物線，可得，設(shè)，，則，點為線段的中點，可得，即，則拋物線的方程為；（2）證明：設(shè)，，點為線段的中點，可得，，由的導數(shù)為，可得拋物線在處的切線斜率為，切線方程為，由，可得，①同理可得，②①②可得，即為，即．可得交點在一條定直線上．【點睛】本題主要考查拋物線的方程和性質(zhì)，考查直線和拋物線的位置關(guān)系，考查計算能力，屬于中檔題．4．已知拋物線C：x2＝2py（p＞0），F(xiàn)為拋物線C的焦點．以F為圓心，p為半徑作圓，與拋物線C在第一象限交點的橫坐標為2．（1）求拋物線C的方程；（2）直線y＝kx+1與拋物線C交于A，B兩點，過A，B分別作拋物線C的切線l1，l2，設(shè)切線l1，l2的交點為P，求證：△PAB為直角三角形．【答案】（1）；（2）證明見解析.【分析】（1）由題意可得M點的坐標為，代入拋物線方程，即可求出p的值；（2）設(shè)，利用導數(shù)的幾何意義得到A，B兩點處的切線斜率分別為，，聯(lián)立直線與拋物線方程，利用韋達定理得到k1k2＝﹣1，從而得到△PAB為直角三角形．【詳解】（1）記拋物線C與圓F在第一象限的交點為M，由圓F與拋物線C的準線相切，且M到拋物線C準線的距離等于圓F的半徑，所以M點的坐標為，代入拋物線方程得：，所以，所以拋物線的方程為.（2）設(shè)，由，可得y，則，所以A，B兩點處的切線斜率分別為，，由，得，所以，所以，所以，即為直角三角形．【點睛】本題主要考查拋物線的標準方程的求解、及直線與拋物線的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用,解答此類題目，通常聯(lián)立直線方程與拋物線方程，應(yīng)用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系進行求解，此類問題易錯點是復(fù)雜式子的變形能力不足，導致錯解，能較好的考查考生的邏輯思維能力、運算求解能力、分析問題解決問題的能力等．5．已知拋物線的焦點為，過點的直線分別交拋物線于兩點．（1）若以為直徑的圓的方程為，求拋物線的標準方程；（2）過點分別作拋物線的切線，證明：的交點在定直線上．【答案】（1）；（2）證明見解析.【分析】（1）根據(jù)拋物線的定義可求圓心到準線的距離為，從而可求拋物線的方程．（2）設(shè)，利用導數(shù)求出兩點處的切線方程，從而可求的交點的坐標，再聯(lián)立直線和拋物線的方程可得，從而可得的交點的縱坐標為定值，故的交點在定直線上．【詳解】（1）設(shè)中點為，到準線的距離為，到準線的距離為，到準線的距離為，則且.由拋物線的定義可知，，所以，由梯形中位線可得，所以，可得，所以拋物線的標準方程為.（2）證明：設(shè)，由，得，則，所以直線的方程為，直線的方程為，聯(lián)立得，解得，即直線的交點坐標為.因為過焦點，由題可知直線的斜率存在，故可設(shè)直線方程為，代入拋物線中，得，所以，故，所以的交點在定直線上．【點睛】關(guān)鍵點點睛：拋物線中過焦點的弦長問題要注意利用定義轉(zhuǎn)化為到準線的距離問題，對于焦點在軸上的拋物線的切線問題，可以利用導數(shù)來求切線方程，從而簡化運算．6．已知動點在軸上方，且到定點距離比到軸的距離大.（1）求動點的軌跡的方程；（2）過點的直線與曲線交于，兩點，點，分別異于原點，在曲線的，兩點處的切線分別為，，且與交于點，求證：在定直線上.【答案】（1）；（2）證明見解析【分析】（1）設(shè)，由到定點距離比到軸的距離大，可得，化簡可得點的軌跡的方程；（2）由題意可知，直線的斜率存在且不為，設(shè)直線的方程為與聯(lián)立，設(shè)，，可得，的值，又，所以，可得切線的方程，同理可得切線的方程，求出交點坐標，可得其在定直線上.【詳解】解：（1）設(shè)，則有，化簡得，故軌跡的方程為.（2）由題意可知，直線的斜率存在且不為，設(shè)直線的方程為與聯(lián)立得，設(shè)，，則，，又，所以，所以切線的方程為，即，同理切線的方程為聯(lián)立得，.兩式消去得，當時，，，所以交點的軌跡為直線，去掉點.因而交點在定直線上.【點睛】本題主要考查軌跡方程的求法，直線與拋物線的位置關(guān)系等知識，考查學生的綜合計算能力，屬于難題.7．已知圓C：x2＋y2＋2x－2y＋1＝0和拋物線E：y2＝2px(p＞0)，圓心C到拋物線焦點F的距離為．（1）求拋物線E的方程；（2）不過原點的動直線l交拋物線E于A，B兩點，且滿足OA⊥OB．①求證直線l過定點；②設(shè)點M為圓C上任意一動點，求當動點M到直線l的距離最大時直線l的方程．【答案】（1）y2＝12x；（2）①證明見解析；②13x－y－156＝0．【分析】(1)根據(jù)題意圓心到拋物線焦點距離，利用兩點之間距離公式計算可得結(jié)果（2）設(shè)直線方程，聯(lián)立拋物線，結(jié)合條件求得兩根之和與兩根之積，解得得到定點，再得出點到線距離最大時的直線方程【詳解】(1)圓C：x2＋y2＋2x－2y＋1＝0，可得圓心C(－1，1)，半徑r＝1，拋物線E：y2＝2px(p＞0)的焦點，準線方程為，圓心C到拋物線焦點F的距離為,即有解得p＝6，即拋物線方程為y2＝12x.(2)①證明：設(shè)直線l的方程為x＝my＋t，A(x1，y1)，B(x2，y2)，則整理得：y2－12my－12t＝0，所以y1＋y2＝12m，y1y2＝－12t．由于OA⊥OB．則x1x2＋y1y2＝0．即(m2＋1)y1y2＋mt(y1＋y2)＋t2＝0．整理得t2－12t＝0，由于t≠0，解得t＝12．故直線的方程為x＝my＋12，直線經(jīng)過定點P(12，0)．②當CP⊥l且動點M經(jīng)過PC的延長線時，動點M到動直線l的距離取得最大值．，則．此時直線l的方程為：，即13x－y－156＝0．【點睛】本題在解答直線與拋物線位置關(guān)系時需設(shè)出直線方程，這里給出形式的直線方程，方便計算，根據(jù)題目意思解得直線恒過定點，再結(jié)合題意，求得當與直線垂直時的直線方程即可.8．已知拋物線的焦點為，，是拋物線上的兩個動點，且，過，兩點分別作拋物線的切線，設(shè)其交點為.（1）若直線與，軸分別交于點，，且的面積為，求的值；（2）記的面積為，求的最小值，并指出最小時對應(yīng)的點的坐標.【答案】(1)2;(2)有最小值4，此時.【分析】（1）先求出以點為切點的拋物線的切線方程，得出，利用面積求出點的縱坐標，然后求出．（2）先分別寫出直線PA，PB方程，利用都過點P寫出直線，代入拋物線方程利用弦長公式求出，及點到直線的距離，寫出表達式及最值．【詳解】（1）設(shè)，，，則，拋物線方程寫成，，則以點為切點的拋物線的切線的方程為：，又，即，，，，故，∴，，從而.（2）由（1）知，即：，同理，由直線，都過點，即，則點，的坐標都滿足方程，即直線的方程為：，又由直線過點，∴，聯(lián)立得，，點到直線的距離，，當且僅當時，有最小值4，此時.【點睛】本題考查拋物線的定義，直線與拋物線的位置關(guān)系，考查導數(shù)知識的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．9．已知以動點為圓心的與直線：相切，與定圓：相外切.（Ⅰ）求動圓圓心的軌跡方程；（Ⅱ）過曲線上位于軸兩側(cè)的點、（不與軸垂直）分別作直線的垂線，垂足記為、，直線交軸于點，記、、的面積分別為、、，且，證明：直線過定點.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）詳見解析.【分析】（Ⅰ）根據(jù)題意，點到直線的距離與到的距離相等，由拋物線的定義可得解；（Ⅱ）設(shè)、，用坐標表示、、，利用韋達定理，代入即得解.【詳解】（Ⅰ）設(shè)，半徑為，則，，所以點到直線的距離與到的距離相等，故點的軌跡方程為.（Ⅱ）設(shè)，，則、設(shè)直線：（）代入中得，∵、∴又∴∴直線恒過【點睛】本題考查了直線和拋物線綜合，考查了學生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學運算的能力，屬于中檔題.10．已知點是拋物線的頂點，，是上的兩個動點，且.（1）判斷點是否在直線上？說明理由；（2）設(shè)點是△的外接圓的圓心，點到軸的距離為，點，求的最大值.【答案】（1）不在，證明見詳解；（2）【分析】（1）假設(shè)直線方程，并于拋物線方程聯(lián)立，結(jié)合韋達定理，計算，可得，然后驗證可得結(jié)果.（2）分別計算線段中垂線的方程，然后聯(lián)立，根據(jù)（1）的條件可得點的軌跡方程，然后可得焦點，結(jié)合拋物線定義可得，計算可得結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)直線方程，根據(jù)題意可知直線斜率一定存在，則則由所以將代入上式化簡可得，所以則直線方程為，所以直線過定點，所以可知點不在直線上.（2）設(shè)線段的中點為線段的中點為則直線的斜率為，直線的斜率為可知線段的中垂線的方程為由，所以上式化簡為即線段的中垂線的方程為同理可得：線段的中垂線的方程為則由（1）可知：所以即，所以點軌跡方程為焦點為，所以當三點共線時，有最大所以【點睛】本題考查直線于拋物線的綜合應(yīng)用，第（1）問中難點在于計算處，第（2）問中關(guān)鍵在于得到點的軌跡方程，直線與圓錐曲線的綜合常常要聯(lián)立方程，結(jié)合韋達定理，屬難題.11．已知點是拋物線的頂點，，是上的兩個動點，且.（1）判斷點是否在直線上？說明理由；（2）設(shè)點是△的外接圓的圓心，求點的軌跡方程.【答案】（1）點在直線上，理由見解析（2）【分析】（1）由拋物線的方程可得頂點的坐標，設(shè)直線的方程，與拋物線聯(lián)立求出兩根之和及兩根之積，求出數(shù)量積，再由題意可得直線恒過，即得在直線上；（2）設(shè)，的坐標，可得直線，的斜率及線段，的中點坐標，進而求出線段，的中垂線的方程，兩個方程聯(lián)立求出外接圓的圓心的坐標，由（1）可得的橫縱坐標關(guān)于參數(shù)的表達式，消參數(shù)可得的軌跡方程．【詳解】(1)點在直線上.理由如下，由題意,拋物線的頂點為因為直線與拋物線有2個交點，所以設(shè)直線AB的方程為聯(lián)立得到，其中，所以，因為所以，所以，解得，經(jīng)檢驗，滿足，所以直線AB的方程為，恒過定點.（2）因為點是的外接圓的圓心，所以點是三角形三條邊的中垂線的交點，設(shè)線段的中點為，線段的中點為為，因為，設(shè)，，，所以，，，，，，所以線段的中垂線的方程為：，因為在拋物線上，所以，的中垂線的方程為：，即，同理可得線段的中垂線的方程為：，聯(lián)立兩個方程，解得，由（1）可得，，所以，，即點，所以，即點的軌跡方程為：．【點睛】本題考查求直線恒過定點的方程及直三角形外接圓的性質(zhì)，和直線與橢圓的綜合應(yīng)用，屬于難題．12．拋物線的焦點為，過且垂直于軸的直線交拋物線于兩點，為原點，的面積為2.（1）求拋物線的方程.（2）為直線上一個動點，過點作拋物線的切線，切點分別為，過點作的垂線，垂足為，是否存在實數(shù)，使點在直線上移動時，垂足恒為定點？若不存在，說明理由；若存在，求出的值，并求定點的坐標.【答案】（1）；（2）存在這樣的，當時，坐標為.【分析】（1）先根據(jù)拋物線的性質(zhì)，結(jié)合題中條件，得到，由三角形面積列出方程求出，即可得出拋物線方程；（2）先設(shè)，直線的方程為，根據(jù)直線與拋物線相切，得到，進而推出的方程為，根據(jù)，得到方程，由兩直線方程，即可求出，確定出結(jié)果.【詳解】（1）由題意得，點的縱坐標均為，由，解得，則，由，解得，故拋物線的方程為.（2）假設(shè)存在實數(shù)，使點在直線上移動時，垂足恒為定點，設(shè)，直線的方程為，將拋物線方程變形為，則，所以，所以的方程為.因為，所以直線的方程為.把代入的方程得.同理可得構(gòu)造直線方程為，易知兩點均在該直線上，所以直線的方程為.故恒過點.因為，所以可設(shè)方程為，化簡得所以恒過點.當，即時，與均恒過，故存在這樣的，當時，坐標為.【點睛】關(guān)鍵點點睛：求解本題第二問的關(guān)鍵在于用分別表示出直線和的方程；根據(jù)題中條件，先設(shè)點的坐標，以及直線的方程，由直線與拋物線相切，得出直線方程，推出的方程，進而確定的方程，即可求解.13．已知拋物線：的焦點為，平行于軸的兩條直線分別交于兩點，交的準線于兩點．（Ⅰ）若在線段上，是的中點，證明；（Ⅱ）若的面積是的面積的兩倍，求中點的軌跡方程.【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）．【分析】設(shè)的方程為．（Ⅰ）由在線段上，又；（Ⅱ）設(shè)與軸的交點為（舍去），．設(shè)滿足條件的的中點為．當與軸不垂直時．當與軸垂直時與重合所求軌跡方程為．【詳解】由題設(shè)，設(shè)，則，且．記過兩點的直線為，則的方程為（Ⅰ）由于在線段上，故，記的斜率為的斜率為，則，所以（Ⅱ）設(shè)與軸的交點為，則，由題設(shè)可得，所以（舍去），．設(shè)滿足條件的的中點為．當與軸不垂直時，由可得．而，所以．當與軸垂直時，與重合，所以，所求軌跡方程為【點睛】本題考查了1.拋物線定義與幾何性質(zhì)；2.直線與拋物線位置關(guān)系；3.軌跡求法．14．如圖，設(shè)拋物線y2（Ⅰ）求p的值；（Ⅱ）若直線AF交拋物線于另一點B，過B與x軸平行的直線和過F與AB垂直的直線交于點N，AN與x軸交于點M.求M的橫坐標的取值范圍.【答案】（Ⅰ）p=2；（Ⅱ）(?∞,0)∪(2，+∞).【解析】試題分析：本題主要考查拋物線的幾何性質(zhì)、直線與拋物線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，同時考查解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力.試題解析：（Ⅰ）由題意可得，拋物線上點A到焦點F的距離等于點A到直線x=–1的距離，由拋物線的定義得p2（Ⅱ）由（Ⅰ）得，拋物線的方程為y2=4x,F(1,0)，可設(shè)因為AF不垂直于y軸，可設(shè)直線AF:x=sy+1，(s≠0)，由y2=4x，x=sy+1故y1y2又直線AB的斜率為2tt2?1從而得直線FN:y=?t2?12t(x?1)設(shè)M(m,0)，由A，M，N三點共線得2tt于是m=2所以m＜0或m＞2.經(jīng)檢驗，m＜0或m＞2滿足題意.綜上，點M的橫坐標的取值范圍是(?∞,0)∪(2,+∞).【考點】拋物線的幾何性質(zhì)、直線與拋物線的位置關(guān)系.【思路點睛】（Ⅰ）當題目中出現(xiàn)拋物線上的點到焦點的距離時，一般會想到轉(zhuǎn)化為拋物線上的點到準線的距離．解答本題時轉(zhuǎn)化為拋物線上的點到準線的距離，進而可得點到y(tǒng)軸的距離；（Ⅱ）通過聯(lián)立方程組可得點Β的坐標，進而可得點Ν的坐標，再利用Α，Μ，Ν三點共線可得m用含有t的式子表示，進而可得Μ的橫坐標的取值范圍.15．如圖，已知點是軸左側(cè)（不含軸）一點，拋物線上存在不同的兩點、，滿足、的中點均在拋物線上.（1）求拋物線的焦點到準線的距離；（2）設(shè)中點為，且，，證明：；（3）若是曲線（）上的動點，求面積的最小值.【答案】（1）2；（2）證明見解析；（3）.【分析】（1）直接利用拋物線定義得到答案.（2）設(shè)，，，根據(jù)中點在拋物線上得到，同理得到是二次方程的兩不等實根，計算得到答案.（3）設(shè)，代換得到計算得到答案.【詳解】（1）焦點坐標為（1,0），準線方程為x＝－1，所以，焦點到準線的距離為2.（2）設(shè)，，，則中點為，由中點在拋物線上可得，化簡得，顯然，且對也有，所以是二次方程的兩不等實根，所以，.（3），由（1）可得，，，此時在半橢圓上，∴，∵，∴，∴，，所以，，所以，即的面積的最小值是.【點睛】本題考查了面積的最值問題，證明坐標關(guān)系，綜合性強，計算量大，意在考查學生的綜合應(yīng)用能力和計算能力.16．設(shè)拋物線的焦點為F，動點P在直線上運動，過P作拋物線C的兩條切線PA、PB，且與拋物線C分別相切于A、B兩點.（1）求△A