高考數(shù)學(xué)選填壓軸題型第5講雙重最值問題的解決策略專題練習(xí)(原卷版+解析)

4/4第5講雙重最值問題的解決策略一、方法綜述形如求等的問題稱為“雙重最值問題”．按其變元的個(gè)數(shù)可分為一元雙重最值問題和多元雙重最值問題．在本文中，提供一個(gè)常用的結(jié)論，取不同的值可得到很多命題．一個(gè)結(jié)論：設(shè)，，，，為正常數(shù)，則（1）；（2）．證明：設(shè)，則，，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等，即．二、解題策略一、一元雙重最值問題1．分段函數(shù)法：分類討論，將函數(shù)寫成分段函數(shù)形式，求函數(shù)值域即可．例1．對于a，bR，記Max｛a，b｝=，函數(shù)f（x）=Max｛，｝（xR）的最小值是（）(A)．(B)．1(C)．(D)．22．?dāng)?shù)形結(jié)合法：分別畫出幾個(gè)函數(shù)圖象，結(jié)合圖象直接看出最值點(diǎn)，聯(lián)立方程組求出最值．例2．【2020河北正定一?！吭O(shè)函數(shù)f（x）＝min{x2﹣1，x+1，﹣x+1}，其中min{x，y，z}表示x，y，z中的最小者．若f（a+2）＞f（a），則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A．（﹣1，0） B．[﹣2，0] C．（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，0） D．[﹣2，+∞）二、多元一次函數(shù)的雙重最值問題1．利用不等式的性質(zhì)例3．【2020江蘇模擬】設(shè)實(shí)數(shù)x1，x2，x3，x4，x5均不小于1，且x1·x2·x3·x4·x5=729，則max{x1x2，x2x3，x3x4，x4x5}的最小值是__________．2．利用絕對值不等式例4．【2020紹興模擬】設(shè)，，求的值．3．利用均值不等式例5．設(shè)max{f(x)，g(x)}=，若函數(shù)n(x)=x2+px+q(p，q∈R)的圖象經(jīng)過不同的兩點(diǎn)（，0）、（，0），且存在整數(shù)n使得n<<<n+1成立，則（）A．max{n(n)，n(n+1)}>1B．max{n(n)，n(n+1)}<1C．max{n(n)，n(n+1)}>D．max{n(n)，n(n+1)}>4．利用柯西不等式例6．若，，且，求．5．分類討論例7．若，，求的值．6．待定系數(shù)法例8．若，，求的值．7．構(gòu)造函數(shù)例9．【2020宜昌一?！恳阎瘮?shù)f（x，θ）＝（x∈R，θ∈R），則f（x，θ）的最大值和最小值分別為？8．利用韋達(dá)定理例10．若，，且，，求．9．?dāng)?shù)形結(jié)合例11．【2020?紹興二?！吭O(shè)函數(shù)f（x）＝min{|x﹣2|，x2，|x+2|}，其中min{x，y，z}表示x，y，z中的最小者．下列說法錯(cuò)誤的是（）A．函數(shù)f（x）為偶函數(shù) B．若x∈[1，+∞）時(shí)，有f（x﹣2）≤f（x） C．若x∈R時(shí)，f（f（x））≤f（x） D．若x∈[﹣4，4]時(shí)，|f（x）﹣2|≥f（x）三、強(qiáng)化訓(xùn)練1．已知實(shí)數(shù)，不等式對任意恒成立，則的最大值是（）A． B． C． D．22．已知函數(shù)y=f（x），若給定非零實(shí)數(shù)a，對于任意實(shí)數(shù)x∈M，總存在非零常數(shù)T，使得af（x）=f（x+T）恒成立，則稱函數(shù)y=f（x）是M上的a級T類周期函數(shù)，若函數(shù)y=f（x）是[0，+∞）上的2級2類周期函數(shù)，且當(dāng)x∈[0，2）時(shí)，f（x）=，又函數(shù)g（x）=﹣2lnx+x2+x+m．若?x1∈[6，8]，?x2∈（0，+∞），使g（x2）﹣f（x1）≤0成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A．（﹣∞，] B．（﹣∞，] C．[） D．[）3．已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)設(shè)的最大值為，則當(dāng)取到最小值時(shí)（）A．0 B．1 C．2 D．【來源】浙江省寧波市華茂外國語學(xué)校2020屆高三下學(xué)期3月高考模擬數(shù)學(xué)試題4．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，，若存在?shí)數(shù)，，，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．5．定義：表示，兩數(shù)中較小的數(shù)．例如.已知，，若對任意，存在，都有成立，則的取值范圍為（）A． B．C． D．【來源】湖南省常德市第二中學(xué)2020屆高三下學(xué)期臨考沖刺數(shù)學(xué)（文）試題6．如果函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，那么的最大值為()A．16 B．18 C．25 D．7．已知函數(shù)，函數(shù)，若，，使得不等式成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為A． B．C． D．8．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，，若存在?shí)數(shù)，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A． B． C． D．【來源】2020屆吉林省東北師范大學(xué)附屬中學(xué)高三上學(xué)期第二次模擬數(shù)學(xué)（文）試題第5講雙重最值問題的解決策略一、方法綜述形如求等的問題稱為“雙重最值問題”．按其變元的個(gè)數(shù)可分為一元雙重最值問題和多元雙重最值問題．在本文中，提供一個(gè)常用的結(jié)論，取不同的值可得到很多命題．一個(gè)結(jié)論：設(shè)，，，，為正常數(shù)，則（1）；（2）．證明：設(shè)，則，，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等，即．二、解題策略一、一元雙重最值問題1．分段函數(shù)法：分類討論，將函數(shù)寫成分段函數(shù)形式，求函數(shù)值域即可．例1．對于a，bR，記Max｛a，b｝=，函數(shù)f（x）=Max｛，｝（xR）的最小值是（）(A)．(B)．1(C)．(D)．2【答案】C【解析】f（x）=Max｛，｝=，其圖象如下圖，故答案為．2．?dāng)?shù)形結(jié)合法：分別畫出幾個(gè)函數(shù)圖象，結(jié)合圖象直接看出最值點(diǎn)，聯(lián)立方程組求出最值．例2．【2020河北正定一?！吭O(shè)函數(shù)f（x）＝min{x2﹣1，x+1，﹣x+1}，其中min{x，y，z}表示x，y，z中的最小者．若f（a+2）＞f（a），則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A．（﹣1，0） B．[﹣2，0] C．（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，0） D．[﹣2，+∞）【答案】C【解析】在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫出三個(gè)函數(shù)y＝1﹣x，y＝x+1，y＝x2﹣1的圖象，以此作出函數(shù)f（x）圖象，觀察最小值的位置，通過圖象平移，可得a＜﹣1，且（a+2）2﹣1＞a+1，①或﹣（a+2）+1＞a2﹣1，②，解不等式即可得到所求范圍．f（x）＝min{x2﹣1，x+1，﹣x+1}＝，作出f（x）的圖象，可得f（a+2）＞f（a）變?yōu)閍＜﹣1，且（a+2）2﹣1＞a+1，①或﹣（a+2）+1＞a2﹣1，②①變?yōu)閍2+3a+2＞0，解得a＜﹣2；②變?yōu)閍2+a＜0，解得﹣1＜a＜0．則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，0）．二、多元一次函數(shù)的雙重最值問題1．利用不等式的性質(zhì)例3．【2020江蘇模擬】設(shè)實(shí)數(shù)x1，x2，x3，x4，x5均不小于1，且x1·x2·x3·x4·x5=729，則max{x1x2，x2x3，x3x4，x4x5}的最小值是__________．【答案】9【解析】由，所以當(dāng)時(shí)等號成立，所以最小值為2．利用絕對值不等式例4．【2020紹興模擬】設(shè)，，求的值．【解析】設(shè)，則，，，設(shè)，令且，則，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等．3．利用均值不等式例5．設(shè)max{f(x)，g(x)}=，若函數(shù)n(x)=x2+px+q(p，q∈R)的圖象經(jīng)過不同的兩點(diǎn)（，0）、（，0），且存在整數(shù)n使得n<<<n+1成立，則（）A．max{n(n)，n(n+1)}>1B．max{n(n)，n(n+1)}<1C．max{n(n)，n(n+1)}>D．max{n(n)，n(n+1)}>【答案】B4．利用柯西不等式例6．若，，且，求．解：設(shè)，則，，，由柯西不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)取等，即．5．分類討論例7．若，，求的值．解：設(shè)，則，，，=1\*GB3①當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等；=2\*GB3②當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等．綜上，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等，即．6．待定系數(shù)法例8．若，，求的值．7．構(gòu)造函數(shù)例9．【2020宜昌一模】已知二元函數(shù)f（x，θ）＝（x∈R，θ∈R），則f（x，θ）的最大值和最小值分別為？【解析】當(dāng)x＝0時(shí)，f（x，θ）＝＝0，當(dāng)x≠0時(shí)，f（x，θ）＝＝，令u＝，則|u|≥，即u≤﹣，或u≥，則f＝，其意義為平面上單位圓上動(dòng)點(diǎn)（cosθ，sinθ）與（﹣u，0）點(diǎn)連線斜率k的倒數(shù)，∵k∈（﹣∞，﹣]∪[，+∞），故f＝∈[﹣，]故f（x，θ）的最大值和最小值分別為，﹣，8．利用韋達(dá)定理例10．若，，且，，求．解：注意到，，的對稱性，故可設(shè)，又，，所以方程有兩個(gè)不大于的實(shí)根，故，當(dāng)，時(shí)，．9．?dāng)?shù)形結(jié)合例11．【2020?紹興二?！吭O(shè)函數(shù)f（x）＝min{|x﹣2|，x2，|x+2|}，其中min{x，y，z}表示x，y，z中的最小者．下列說法錯(cuò)誤的是（）A．函數(shù)f（x）為偶函數(shù) B．若x∈[1，+∞）時(shí)，有f（x﹣2）≤f（x） C．若x∈R時(shí)，f（f（x））≤f（x） D．若x∈[﹣4，4]時(shí)，|f（x）﹣2|≥f（x）【答案】D【解析】在同一直角坐標(biāo)系中畫出y＝|x﹣2|，y＝x2，y＝|x+2|，可得f（x）＝，顯然f（﹣x）＝f（x），可得f（x）為偶函數(shù)；當(dāng)x≥1時(shí)，f（x）＝|x﹣2|，f（x﹣2）的圖象可看做f（x）的圖象右移2個(gè)單位得到，顯然x≥1時(shí)，f（x）的圖象在f（x﹣2）圖象之上，則若x∈[1，+∞）時(shí)，有f（x﹣2）≤f（x）；若x∈R時(shí)，f（x）≥0，可令t＝f（x），由y＝f（t）和y＝t（t≥0），且y＝t在曲線y＝f（t）的上方，顯然f（f（x））≤f（x）成立；若x∈[﹣4，4]，f（﹣4）＝2，f（﹣4）﹣2＝0，顯然f（﹣4）＞|f（﹣4）﹣2|，則D不正確，故選：D．三、強(qiáng)化訓(xùn)練1．已知實(shí)數(shù)，不等式對任意恒成立，則的最大值是（）A． B． C． D．2【答案】B【解析】令，原不等式整理得，即，∴，即，兩邊除以得：，所以，因?yàn)?，故，故為增函?shù).又，因此在上遞減，上遞增，又，，且，故.則.故選：B.2．已知函數(shù)y=f（x），若給定非零實(shí)數(shù)a，對于任意實(shí)數(shù)x∈M，總存在非零常數(shù)T，使得af（x）=f（x+T）恒成立，則稱函數(shù)y=f（x）是M上的a級T類周期函數(shù)，若函數(shù)y=f（x）是[0，+∞）上的2級2類周期函數(shù)，且當(dāng)x∈[0，2）時(shí)，f（x）=，又函數(shù)g（x）=﹣2lnx+x2+x+m．若?x1∈[6，8]，?x2∈（0，+∞），使g（x2）﹣f（x1）≤0成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A．（﹣∞，] B．（﹣∞，] C．[） D．[）【答案】B【解析】根據(jù)題意，對于函數(shù)f（x），當(dāng)x∈[0，2）時(shí)，，

可得：當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f（x）=1-x2，有最大值f（0）=1，最小值f（1）=0，

當(dāng)1＜x＜2時(shí)，f（x）=f（2-x），函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對稱，則此時(shí)有0＜f（x）＜1，

又由函數(shù)y=f（x）是定義在區(qū)間[0，+∞）內(nèi)的2級類周期函數(shù)，且T=2；

則在x∈[6，8）上，f（x）=23?f（x-6），則有0≤f（x）≤4，

則f（8）=2f（6）=4f（4）=8f（2）=16f（0）=8，

則函數(shù)f（x）在區(qū)間[6，8]上的最大值為8，最小值為0；

對于函數(shù)，

有，

得在（0，1）上，g′（x）＜0，函數(shù)g（x）為減函數(shù)，

在（1，+∞）上，g′（x）＞0，函數(shù)g（x）為增函數(shù)，

則函數(shù)g（x）在（0，+∞）上，由最小值若?x1∈[6，8]，?x2∈（0，+∞），使g（x2）-f（x1）≤0成立，

必有g(shù)（x）min≤f（x）max，即解可得，即m的取值范圍為故選B．3．已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)設(shè)的最大值為，則當(dāng)取到最小值時(shí)（）A．0 B．1 C．2 D．【來源】浙江省寧波市華茂外國語學(xué)校2020屆高三下學(xué)期3月高考模擬數(shù)學(xué)試題【答案】A【解析】，當(dāng)時(shí)設(shè)的最大值，在端點(diǎn)處或最低點(diǎn)處取得，最小值為2，最小值為，最小值為4.5，最小值綜上可得，取到最小值時(shí)0.故選：A4．已知函數(shù)的定義域?yàn)椋?，若存在?shí)數(shù)，，，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】的定義域?yàn)椋?，解得，的定義域?yàn)椋?，令，，，則,當(dāng)時(shí)為增函數(shù),，，存在實(shí)數(shù),使得，即，解得故選：D5．定義：表示，兩數(shù)中較小的數(shù)．例如.已知，，若對任意，存在，都有成立，則的取值范圍為（）A． B．C． D．【來源】湖南省常德市第二中學(xué)2020屆高三下學(xué)期臨考沖刺數(shù)學(xué)（文）試題【答案】C【解析】由題意可得,函數(shù),即函數(shù)，作出函數(shù)的圖象如圖所示：由圖象可得,當(dāng)時(shí)，；因?yàn)楹瘮?shù)為定義在上的增函數(shù),所以當(dāng)時(shí)，.由題意知，即，解得,所以實(shí)數(shù)的取值范圍為，故選:C6．如果函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，那么的最大值為()A．16 B．18 C．25 D．【答案】B【解析】當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，則，于是，則無最大值．當(dāng)時(shí)，的圖象開口向下，要使在區(qū)間上單調(diào)遞減，需，即又則而在上為增函數(shù)，時(shí)，，故時(shí)，無最大值．當(dāng)時(shí)，的圖象開口向上，要使在區(qū)間上單調(diào)遞減，則，即，而，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取“”，此時(shí)滿足，故的最大值為18.選B.7．已知函數(shù)，函數(shù)，若，，使得不等式成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為A． B．C． D．【答案】D【解析】，當(dāng)時(shí)，令t=可得,對稱軸為，故最大值為，即f(x)得最大值為，當(dāng)時(shí)，令u=sinx∈[0,],則,當(dāng)a=0時(shí)，y=2,當(dāng)a<0