高考數(shù)學(xué)一輪難題復(fù)習(xí)計(jì)數(shù)原理與概率統(tǒng)計(jì)典型解答題(學(xué)生版+解析)

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁一輪難題復(fù)習(xí)計(jì)數(shù)原理與概率統(tǒng)計(jì)典型解答題1．分類加法計(jì)數(shù)原理完成一件事，可以有n類辦法，在第一類辦法中有m1種方法，在第二類辦法中有m2種方法，…，在第n稱加法原理)．2．分步乘法計(jì)數(shù)原理完成一件事需要經(jīng)過n個(gè)步驟，缺一不可，做第一步有m1種方法，做第二步有m2種方法，…，做第n步有mn種方法，那么完成這件事共有N＝m1×m2×…×mn種方法(也稱乘法原理)．3．排列(1)排列的定義：從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素，按照一定的順序排成一列，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列．(2)排列數(shù)的定義：從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有不同排列的個(gè)數(shù)叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù)，用Aeq\o\al(m,n)表示．(3)排列數(shù)公式：Aeq\o\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)．(4)全排列：n個(gè)不同元素全部取出的一個(gè)排列，叫做n個(gè)元素的一個(gè)全排列，Aeq\o\al(n,n)＝n·(n－1)·(n－2)·…·2·1＝n！.排列數(shù)公式寫成階乘的形式為Aeq\o\al(m,n)＝eq\f(n！,n－m！)，這里規(guī)定0?。?.4．組合(1)組合的定義：從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素合成一組，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合．(2)組合數(shù)的定義：從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有不同組合的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù)，用Ceq\o\al(m,n)表示．(3)組合數(shù)的計(jì)算公式：Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(A\o\al(m,n),A\o\al(m,m))＝eq\f(n！,m！n－m！)＝eq\f(nn－1n－2…n－m＋1,m！)，由于0?。?，所以Ceq\o\al(0,n)＝1.(4)組合數(shù)的性質(zhì)：①Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n)；②Ceq\o\al(m,n＋1)＝Ceq\o\al(m,n)＋Ceq\o\al(m－1,n).5．二項(xiàng)式定理(a＋b)n＝Ceq\o\al(0,n)an＋Ceq\o\al(1,n)an－1b1＋…＋Ceq\o\al(k,n)an－kbk＋…＋Ceq\o\al(n,n)bn(n∈N*)．這個(gè)公式叫做二項(xiàng)式定理，右邊的多項(xiàng)式叫做(a＋b)n的二項(xiàng)展開式，其中各項(xiàng)的系數(shù)Ceq\o\al(k,n)(k∈{0,1,2，…，n})叫做二項(xiàng)式系數(shù)．式中的Ceq\o\al(k,n)an－kbk叫做二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，用Tk＋1表示，即展開式的第k＋1項(xiàng)：Tk＋1＝Ceq\o\al(k,n)an－kbk.6．二項(xiàng)展開式形式上的特點(diǎn)(1)項(xiàng)數(shù)為n＋1.(2)各項(xiàng)的次數(shù)都等于二項(xiàng)式的冪指數(shù)n，即a與b的指數(shù)的和為n.(3)字母a按降冪排列，從第一項(xiàng)開始，次數(shù)由n逐項(xiàng)減1直到零；字母b按升冪排列，從第一項(xiàng)起，次數(shù)由零逐項(xiàng)增1直到n.(4)二項(xiàng)式的系數(shù)從Ceq\o\al(0,n)，Ceq\o\al(1,n)，一直到Ceq\o\al(n－1,n)，Ceq\o\al(n,n).7．二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)(1)對(duì)稱性：與首末兩端“等距離”的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等，即Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n).(2)增減性與最大值：二項(xiàng)式系數(shù)Ceq\o\al(k,n)，當(dāng)k<eq\f(n＋1,2)時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)是遞增的；當(dāng)k>eq\f(n＋1,2)時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)是遞減的．當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，那么其展開式中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大．當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，那么其展開式中間兩項(xiàng)和的二項(xiàng)式系數(shù)相等且最大．(3)各二項(xiàng)式系數(shù)的和(a＋b)n的展開式的各個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)的和等于2n，即Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋…＋Ceq\o\al(k,n)＋…＋Ceq\o\al(n,n)＝2n.二項(xiàng)展開式中，偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和，即Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(3,n)＋Ceq\o\al(5,n)＋…＝Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋Ceq\o\al(4,n)＋…＝2n－1.8．概率的計(jì)算公式(1)古典概型的概率計(jì)算公式P(A)＝eq\f(事件A包含的基本事件數(shù)m,基本事件總數(shù)n).(2)互斥事件的概率計(jì)算公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．(3)對(duì)立事件的概率計(jì)算公式P(eq\x\to(A))＝1－P(A)．9．條件概率（1）條件概率定義一般地，當(dāng)事件B發(fā)生的概率大于0時(shí)(即P(B)＞0)，已知事件B發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的概率，稱為事件概率表示P(A|B)計(jì)算公式P(A|B)＝eq\f(PA∩B,PB)（2）條件概率的性質(zhì)(1)0≤P(B|A)≤1；(2)P(A|A)＝1；(3)如果B與C互斥，則P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．10．全概率公式(1)P(B)＝P(A)P(B|A)＋P(eq\o(A,\s\up6(－)))P(B|eq\o(A,\s\up6(－)))；(2)定理1若樣本空間Ω中的事件A1，A2，…，An滿足：①任意兩個(gè)事件均互斥，即AiAj＝?，i，j＝1,2，…，n，i≠j；②A1＋A2＋…＋An＝Ω；③P(Ai)＞0，i＝1,2，…，n.則對(duì)Ω中的任意事件B，都有B＝BA1＋BA2＋…＋BAn，且P(B)＝eq\o(\o(∑,\s\up8(n),\s\do6(i＝1))PBAi)＝eq\o(\o(∑,\s\up8(n),\s\do6(i＝1))PAiPB|Ai).11．貝葉斯公式(1)一般地，當(dāng)0＜P(A)＜1且P(B)＞0時(shí)，有P(A|B)＝eq\f(PAPB|A,PB)＝eq\f(PAPB|A,PAPB|A＋P\o(A,\s\up6(－))PB|\o(A,\s\up6(－))).(2)定理2若樣本空間Ω中的事件A1，A2，…，An滿足：①任意兩個(gè)事件均互斥，即AiAj＝?，i，j＝1,2，…，n，i≠j；②A1＋A2＋…＋An＝Ω；③1＞P(Ai)＞0，i＝1,2，…，n.則對(duì)Ω中的任意概率非零的事件B，有P(Aj|B)＝eq\f(PAjPB|Aj,PB)＝eq\o(\f(PAjPB|Aj,\o(∑,\s\up8(n),\s\do6(i＝1))PAiPB|Ai)).12．離散型隨機(jī)變量(1)離散型隨機(jī)變量的分布列的兩個(gè)性質(zhì)①pi≥0(i＝1,2，…，n)；②p1＋p2＋…＋pn＝1.(2)期望公式E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn.(3)期望的性質(zhì)①E(aX＋b)＝aE(X)＋b；②若X～B(n，p)，則E(X)＝np；③若X服從兩點(diǎn)分布，則E(X)＝p.(4)方差公式D(X)＝[x1－E(X)]2·p1＋[x2－E(X)]2·p2＋…＋[xn－E(X)]2·pn，標(biāo)準(zhǔn)差為eq\r(DX).(5)方差的性質(zhì)①D(aX＋b)＝a2D(X)；②若X～B(n，p)，則D(X)＝np(1－p)；③若X服從兩點(diǎn)分布，則D(X)＝p(1－p)．(6)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率計(jì)算公式P(AB)＝P(A)P(B)．(7)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率計(jì)算公式P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,n)pk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n.例題1．已知函數(shù).（1）指出的單調(diào)區(qū)間；（不要求證明）（2）若滿足，且，求證：；（3）證明：當(dāng)時(shí)，不等式對(duì)任意恒成立.例題2．已知是上的奇函數(shù)，，且對(duì)任意都成立.(1)求、的值；(2)設(shè)，求數(shù)列的遞推公式和通項(xiàng)公式；(3)記，求的值.試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁一輪難題復(fù)習(xí)計(jì)數(shù)原理與概率統(tǒng)計(jì)典型解答題1．分類加法計(jì)數(shù)原理完成一件事，可以有n類辦法，在第一類辦法中有m1種方法，在第二類辦法中有m2種方法，…，在第n稱加法原理)．2．分步乘法計(jì)數(shù)原理完成一件事需要經(jīng)過n個(gè)步驟，缺一不可，做第一步有m1種方法，做第二步有m2種方法，…，做第n步有mn種方法，那么完成這件事共有N＝m1×m2×…×mn種方法(也稱乘法原理)．3．排列(1)排列的定義：從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素，按照一定的順序排成一列，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列．(2)排列數(shù)的定義：從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有不同排列的個(gè)數(shù)叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù)，用Aeq\o\al(m,n)表示．(3)排列數(shù)公式：Aeq\o\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)．(4)全排列：n個(gè)不同元素全部取出的一個(gè)排列，叫做n個(gè)元素的一個(gè)全排列，Aeq\o\al(n,n)＝n·(n－1)·(n－2)·…·2·1＝n！.排列數(shù)公式寫成階乘的形式為Aeq\o\al(m,n)＝eq\f(n！,n－m！)，這里規(guī)定0！＝1.4．組合(1)組合的定義：從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素合成一組，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合．(2)組合數(shù)的定義：從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有不同組合的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù)，用Ceq\o\al(m,n)表示．(3)組合數(shù)的計(jì)算公式：Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(A\o\al(m,n),A\o\al(m,m))＝eq\f(n！,m！n－m！)＝eq\f(nn－1n－2…n－m＋1,m！)，由于0?。?，所以Ceq\o\al(0,n)＝1.(4)組合數(shù)的性質(zhì)：①Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n)；②Ceq\o\al(m,n＋1)＝Ceq\o\al(m,n)＋Ceq\o\al(m－1,n).5．二項(xiàng)式定理(a＋b)n＝Ceq\o\al(0,n)an＋Ceq\o\al(1,n)an－1b1＋…＋Ceq\o\al(k,n)an－kbk＋…＋Ceq\o\al(n,n)bn(n∈N*)．這個(gè)公式叫做二項(xiàng)式定理，右邊的多項(xiàng)式叫做(a＋b)n的二項(xiàng)展開式，其中各項(xiàng)的系數(shù)Ceq\o\al(k,n)(k∈{0,1,2，…，n})叫做二項(xiàng)式系數(shù)．式中的Ceq\o\al(k,n)an－kbk叫做二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，用Tk＋1表示，即展開式的第k＋1項(xiàng)：Tk＋1＝Ceq\o\al(k,n)an－kbk.6．二項(xiàng)展開式形式上的特點(diǎn)(1)項(xiàng)數(shù)為n＋1.(2)各項(xiàng)的次數(shù)都等于二項(xiàng)式的冪指數(shù)n，即a與b的指數(shù)的和為n.(3)字母a按降冪排列，從第一項(xiàng)開始，次數(shù)由n逐項(xiàng)減1直到零；字母b按升冪排列，從第一項(xiàng)起，次數(shù)由零逐項(xiàng)增1直到n.(4)二項(xiàng)式的系數(shù)從Ceq\o\al(0,n)，Ceq\o\al(1,n)，一直到Ceq\o\al(n－1,n)，Ceq\o\al(n,n).7．二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)(1)對(duì)稱性：與首末兩端“等距離”的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等，即Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n).(2)增減性與最大值：二項(xiàng)式系數(shù)Ceq\o\al(k,n)，當(dāng)k<eq\f(n＋1,2)時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)是遞增的；當(dāng)k>eq\f(n＋1,2)時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)是遞減的．當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，那么其展開式中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大．當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，那么其展開式中間兩項(xiàng)和的二項(xiàng)式系數(shù)相等且最大．(3)各二項(xiàng)式系數(shù)的和(a＋b)n的展開式的各個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)的和等于2n，即Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋…＋Ceq\o\al(k,n)＋…＋Ceq\o\al(n,n)＝2n.二項(xiàng)展開式中，偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和，即Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(3,n)＋Ceq\o\al(5,n)＋…＝Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋Ceq\o\al(4,n)＋…＝2n－1.8．概率的計(jì)算公式(1)古典概型的概率計(jì)算公式P(A)＝eq\f(事件A包含的基本事件數(shù)m,基本事件總數(shù)n).(2)互斥事件的概率計(jì)算公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．(3)對(duì)立事件的概率計(jì)算公式P(eq\x\to(A))＝1－P(A)．9．條件概率（1）條件概率定義一般地，當(dāng)事件B發(fā)生的概率大于0時(shí)(即P(B)＞0)，已知事件B發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的概率，稱為事件概率表示P(A|B)計(jì)算公式P(A|B)＝eq\f(PA∩B,PB)（2）條件概率的性質(zhì)(1)0≤P(B|A)≤1；(2)P(A|A)＝1；(3)如果B與C互斥，則P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．10．全概率公式(1)P(B)＝P(A)P(B|A)＋P(eq\o(A,\s\up6(－)))P(B|eq\o(A,\s\up6(－)))；(2)定理1若樣本空間Ω中的事件A1，A2，…，An滿足：①任意兩個(gè)事件均互斥，即AiAj＝?，i，j＝1,2，…，n，i≠j；②A1＋A2＋…＋An＝Ω；③P(Ai)＞0，i＝1,2，…，n.則對(duì)Ω中的任意事件B，都有B＝BA1＋BA2＋…＋BAn，且P(B)＝eq\o(\o(∑,\s\up8(n),\s\do6(i＝1))PBAi)＝eq\o(\o(∑,\s\up8(n),\s\do6(i＝1))PAiPB|Ai).11．貝葉斯公式(1)一般地，當(dāng)0＜P(A)＜1且P(B)＞0時(shí)，有P(A|B)＝eq\f(PAPB|A,PB)＝eq\f(PAPB|A,PAPB|A＋P\o(A,\s\up6(－))PB|\o(A,\s\up6(－))).(2)定理2若樣本空間Ω中的事件A1，A2，…，An滿足：①任意兩個(gè)事件均互斥，即AiAj＝?，i，j＝1,2，…，n，i≠j；②A1＋A2＋…＋An＝Ω；③1＞P(Ai)＞0，i＝1,2，…，n.則對(duì)Ω中的任意概率非零的事件B，有P(Aj|B)＝eq\f(PAjPB|Aj,PB)＝eq\o(\f(PAjPB|Aj,\o(∑,\s\up8(n),\s\do6(i＝1))PAiPB|Ai)).12．離散型隨機(jī)變量(1)離散型隨機(jī)變量的分布列的兩個(gè)性質(zhì)①pi≥0(i＝1,2，…，n)；②p1＋p2＋…＋pn＝1.(2)期望公式E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn.(3)期望的性質(zhì)①E(aX＋b)＝aE(X)＋b；②若X～B(n，p)，則E(X)＝np；③若X服從兩點(diǎn)分布，則E(X)＝p.(4)方差公式D(X)＝[x1－E(X)]2·p1＋[x2－E(X)]2·p2＋…＋[xn－E(X)]2·pn，標(biāo)準(zhǔn)差為eq\r(DX).(5)方差的性質(zhì)①D(aX＋b)＝a2D(X)；②若X～B(n，p)，則D(X)＝np(1－p)；③若X服從兩點(diǎn)分布，則D(X)＝p(1－p)．(6)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率計(jì)算公式P(AB)＝P(A)P(B)．(7)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率計(jì)算公式P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,n)pk(1－p)n