天津市寧河區(qū)蘆臺第一中學(xué)2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測模擬試題含解析

天津市寧河區(qū)蘆臺第一中學(xué)2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測模擬試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．準(zhǔn)線方程為的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A. B.C. D.2．已知直線是圓的對稱軸，過點A作圓C的一條切線，切點為B，則|AB|=（）A.1 B.2C.4 D.83．?dāng)?shù)列1，6，15，28，45，…中的每一項都可用如圖所示的六邊形表示出米，故稱它們?yōu)榱呅螖?shù)，那么第11個六邊形數(shù)為（）A.153 B.190C.231 D.2764．等差數(shù)列的前項和為，若，，則（）A.12 B.18C.21 D.275．已知三棱柱中，，，D點是線段上靠近A的一個三等分點，則（）A. B.C. D.6．已知函數(shù)，若，，則實數(shù)的取值范圍是A. B.C. D.7．已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則（）A B.4C.3 D.28．如圖是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象，下列結(jié)論中正確的是（）A.在上是增函數(shù) B.當(dāng)時，取得最小值C.當(dāng)時，取得極大值 D.在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)9．如圖，在四面體中，，，，點為的中點，，則（）A. B.C. D.10．已知M、N為橢圓上關(guān)于短軸對稱的兩點,A、B分別為橢圓的上下頂點,設(shè)、分別為直線的斜率,則的最小值為()A. B.C. D.11．直線的斜率是（）A. B.C. D.12．對任意實數(shù)k，直線與圓的位置關(guān)系是（）A.相交 B.相切C.相離 D.與k有關(guān)二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在等比數(shù)列中，已知，則________14．經(jīng)過點作直線，直線與連接兩點線段總有公共點，則直線的斜率的取值范圍是________15．已知拋物線的頂點為O，焦點為F，動點B在C上，若點B，O，F(xiàn)構(gòu)成一個斜三角形，則______16．若關(guān)于的不等式的解集為R，則的取值范圍是______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)f(x)＝（1）求函數(shù)f(x)在x=1處的切線方程；（2）求證：18．（12分）如圖，在正方體中，E為的中點（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值19．（12分）已知直線，拋物線.（1）與有公共點，求的取值范圍；（2）是坐標(biāo)原點，過的焦點且與交于兩點，求的面積.20．（12分）已知函數(shù)的兩個極值點之差的絕對值為.（1）求的值；（2）若過原點的直線與曲線在點處相切，求點的坐標(biāo).21．（12分）已知函數(shù)，且（1）求曲線在點處的切線方程；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最小值22．（10分）如圖，四棱錐中，側(cè)面是邊長為4的正三角形，且與底面垂直，底面是菱形，且，為的中點（1）求證：；（2）求點到平面的距離

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】的準(zhǔn)線方程為.【詳解】的準(zhǔn)線方程為.故選：D.2、C【解析】首先將圓心坐標(biāo)代入直線方程求出參數(shù)a，求得點A的坐標(biāo)，由切線與圓的位置關(guān)系構(gòu)造直角三角形從而求得.【詳解】圓即，圓心為，半徑為r=3，由題意可知過圓的圓心，則，解得，點A坐標(biāo)為，，切點為B則，故選:C【點睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.3、C【解析】細心觀察，尋求相鄰項及項與序號之間的關(guān)系，同時聯(lián)系相關(guān)知識,如等差數(shù)列、等比數(shù)列等，結(jié)合圖形即可求解.【詳解】由題意知，數(shù)列的各項為1，6，15，28，45，...所以，，，，，，所以.故選：C4、B【解析】根據(jù)等差數(shù)列的前項和為具有的性質(zhì)，即成等差數(shù)列，由此列出等式，求得答案.【詳解】因為為等差數(shù)列的前n項和，且，，所以成等差數(shù)列，所以，即，解得=18，故選：B.5、A【解析】在三棱柱中，，轉(zhuǎn)化為結(jié)合已知條件計算即可.【詳解】在三棱柱中，滿足，且，則，，D點是線段上靠近A的一個三等分點，則，由向量的減法運算得，.故選：A【點睛】關(guān)鍵點點睛：在三棱柱中，，由向量的減法運算得，再展開利用數(shù)量積運算.6、A【解析】函數(shù)，若，，可得，解得或，則實數(shù)的取值范圍是，故選A.7、C【解析】化簡復(fù)數(shù)得，由其為純虛數(shù)求參數(shù)a，進而求的模即可.【詳解】由為純虛數(shù)，∴，解得：，則，故選：C8、D【解析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的圖象判斷出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、最值，由此確定正確選項.【詳解】根據(jù)圖象知：當(dāng)，時，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)，時，函數(shù)單調(diào)遞增.所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故選項A不正確，選項D正確；故當(dāng)時，取得極小值，選項C不正確；當(dāng)時，不是取得最小值，選項B不正確；故選：D.9、B【解析】利用插點的方法，將歸結(jié)到題目中基向量中去，注意中線向量的運用.【詳解】.故選：B.10、A【解析】利用為定值即可獲解.【詳解】設(shè)則又,所以所以當(dāng)且僅當(dāng),即,取等故選:A11、D【解析】把直線方程化為斜截式即得【詳解】直線方程的斜截式為，斜率為故選：D12、A【解析】判斷直線恒過定點，可知定點在圓內(nèi)，即可判斷直線與圓的位置關(guān)系.【詳解】由可知，即該圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為,由可知，則該直線恒過定點，將點代入圓的方程可得，則點在圓內(nèi)，則直線與圓的位置關(guān)系為相交.故選：.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、2【解析】由等比數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)進行求解.【詳解】由等比數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)得：故答案為：214、【解析】求出的斜率，結(jié)合圖形可得結(jié)論【詳解】，，而，因此，故答案為：15、2【解析】畫出簡單示意圖，令，根據(jù)拋物線定義可得，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合及B在C上，求目標(biāo)式的值.【詳解】如下圖，令，直線為拋物線準(zhǔn)線，軸，由拋物線定義知：，又且，所以，故，又，故.故答案為：2.【點睛】關(guān)鍵點點睛：應(yīng)用拋物線的定義將轉(zhuǎn)化為，再由三角函數(shù)的定義及點在拋物線上求值.16、【解析】分為和考慮，當(dāng)時，根據(jù)題意列出不等式組，求出的取值范圍.【詳解】當(dāng)?shù)茫海瑵M足題意；當(dāng)時，要想保證關(guān)于的不等式的解集為R，則要滿足：，解得：，綜上：的取值范圍為故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）y=5x－1；（2）證明見解析【解析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，求出切線的斜率，切點坐標(biāo)，然后求切線方程（2）不等式化簡為．設(shè)，求出導(dǎo)函數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性求解函數(shù)的最值，然后證明即可【詳解】解：（1）的定義域為，的導(dǎo)數(shù)由（1）可得，則切點坐標(biāo)為，所求切線方程為（2）證明：即證．設(shè)，則，由，得當(dāng)時，；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，（1），即不等式成立，則原不等式成立18、（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）證明出四邊形為平行四邊形，可得出，然后利用線面平行的判定定理可證得結(jié)論；也可利用空間向量計算證明；（Ⅱ）可以將平面擴展，將線面角轉(zhuǎn)化，利用幾何方法作出線面角，然后計算；也可以建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量計算求解.【詳解】（Ⅰ）[方法一]：幾何法如下圖所示：在正方體中，且，且，且，所以，四邊形為平行四邊形，則，平面，平面，平面；[方法二]:空間向量坐標(biāo)法以點為坐標(biāo)原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為，則、、、，，，設(shè)平面的法向量為，由，得，令，則，，則.又∵向量,,又平面，平面；（Ⅱ）[方法一]：幾何法延長到，使得，連接，交于，又∵，∴四邊形為平行四邊形，∴，又∵,∴,所以平面即平面,連接，作,垂足為,連接,∵平面,平面,∴，又∵,∴直線平面,又∵直線平面,∴平面平面,∴在平面中的射影在直線上,∴直線為直線在平面中的射影，∠為直線與平面所成的角，根據(jù)直線直線，可知∠為直線與平面所成的角.設(shè)正方體的棱長為2，則,,∴,∴,∴,即直線與平面所成角的正弦值為.[方法二]：向量法接續(xù)（I)的向量方法，求得平面平面的法向量，又∵,∴，∴直線與平面所成角的正弦值為.[方法三]：幾何法+體積法如圖，設(shè)的中點為F，延長，易證三線交于一點P因為，所以直線與平面所成的角，即直線與平面所成的角設(shè)正方體的棱長為2，在中，易得，可得由，得，整理得所以所以直線與平面所成角的正弦值為[方法四]：純體積法設(shè)正方體的棱長為2，點到平面的距離為h，在中，，，所以，易得由，得，解得，設(shè)直線與平面所成的角為，所以【整體點評】（Ⅰ）的方法一使用線面平行的判定定理證明，方法二使用空間向量坐標(biāo)運算進行證明；（II）第一種方法中使用純幾何方法，適合于沒有學(xué)習(xí)空間向量之前的方法，有利用培養(yǎng)學(xué)生的集合論證和空間想象能力，第二種方法使用空間向量方法，兩小題前后連貫，利用計算論證和求解，定為最優(yōu)解法；方法三在幾何法的基礎(chǔ)上綜合使用體積方法，計算較為簡潔；方法四不作任何輔助線，僅利用正余弦定理和體積公式進行計算，省卻了輔助線和幾何的論證，不失為一種優(yōu)美的方法.19、（1）；（2）.【解析】(1)聯(lián)立直線l與拋物線C的方程消去x，借助判別式建立不等式求解作答.(2)利用(1)中信息求出點縱坐標(biāo)差的絕對值即可計算作答.【小問1詳解】依題意，由消去x并整理得：，因與有公共點，則，解得：，所以的取值范圍是.【小問2詳解】拋物線的焦點，則，設(shè)，由(1)知，，則，因此，，所以的面積.20、（1）；（2）.【解析】（1）求，設(shè)的兩根分別為，，由韋達定理可得：，，由題意知，進而可得的值；再檢驗所求的的值是否符合題意即可；（2）設(shè)，則，由列關(guān)于的方程，即可求得的值，進而可得的值，即可得點的坐標(biāo).【詳解】由可得：設(shè)的兩根分別為，，則，，由題意可知：，即，所以解得：，當(dāng)時，，由可得或，由可得，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以為極大值點，為極小值點，滿足兩個極值點之差的絕對值為，符合題意，所以.（2）由（1）知，，設(shè)，則，由題意可得：，即，整理可得：，解得：或，因為即為坐標(biāo)原點，不符合題意，所以，則，所以.21、（1）（2）【解析】（1）由題意，求出的值，然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求解；（2）根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性關(guān)系，判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，從而即可求解.【小問1詳解】解：由題意，，因為，所以，解得，所以，，因為，，所以曲線在點處的切線方程為，即；【小問2詳解】解：因為，，所以時，，時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，即函數(shù)在區(qū)間上的最小值為.22、（1）證明見解析；（2）.【解析】(1)取的中點，連接，，，先證明平面，再由平面得，(2