江西省上饒市廣豐區(qū)2025屆數(shù)學高二上期末達標檢測試題含解析

江西省上饒市廣豐區(qū)2025屆數(shù)學高二上期末達標檢測試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．甲、乙兩名同學8次考試的成績統(tǒng)計如圖所示，記甲、乙兩人成績的平均數(shù)分別為，，標準差分別為，，則（）A.＞，＜ B.＞，＞C.＜，＜ D.＜，＞2．從直線上動點作圓的兩條切線，切點分別為、，則最大時，四邊形（為坐標原點）面積是（）A. B.C. D.3．幾位大學生響應(yīng)國家的創(chuàng)業(yè)號召，開發(fā)了一款應(yīng)用軟件.為激發(fā)大家學習數(shù)學的興趣，他們推出了“解數(shù)學題獲取軟件激活碼”的活動.這款軟件的激活碼為下面數(shù)學問題的答案：已知數(shù)列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一項是20，接下來的兩項是20，21，再接下來的三項是20，21，22，依此類推.求滿足如下條件的最小整數(shù)N：N>100且該數(shù)列的前N項和為2的整數(shù)冪.那么該款軟件的激活碼是A.440 B.330C.220 D.1104．雙曲線實軸長為（）A.1 B.C.2 D.5．下列曲線中，與雙曲線有相同漸近線是（）A. B.C. D.6．已知拋物線的焦點與橢圓的一個焦點重合，過坐標原點作兩條互相垂直的射線，，與分別交于，則直線過定點（）A. B.C. D.7．已知向量，，若，則（）A.1 B.C. D.28．數(shù)列滿足，，則（）A. B.C. D.29．設(shè)點是點，，關(guān)于平面的對稱點，則（）A.10 B.C. D.3810．在等腰中，在線段斜邊上任取一點，則線段的長度大于的長度的概率（）A. B.C. D.11．已知圓，則圓上的點到坐標原點的距離的最小值為（）A.-1 B.C.+1 D.612．阿基米德（公元前287年～公元前212年）不僅是著名的物理學家，也是著名的數(shù)學家，他利用“逼近法”得到的橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積.若橢圓的對稱軸為坐標軸，焦點在軸上，且橢圓的離心率為，面積為，則橢圓的標準方程為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．一支車隊有10輛車，某天下午依次出發(fā)執(zhí)行運輸任務(wù)．第一輛車于14時出發(fā)，以后每間隔10分鐘發(fā)出一輛車．假設(shè)所有的司機都連續(xù)開車，并都在18時停下來休息．截止到18時，最后一輛車行駛了____小時，如果每輛車行駛的速度都是60km/h，這個車隊各輛車行駛路程之和為______千米14．在正項等比數(shù)列中，，，則的公比為___________.15．已知雙曲線：的左、右焦點分別為，，為的右支上一點，且，則的離心率為___________.16．在中，，，的外接圓半徑為，則邊c的長為_____.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）噪聲污染已經(jīng)成為影響人們身體健康和生活質(zhì)量的嚴重問題，為了解聲音強度D（單位：）與聲音能量I（單位：）之間的關(guān)系，將測量得到的聲音強度D和聲音能量I的數(shù)據(jù)作了初步處理，得到如圖所示的散點圖：參考數(shù)據(jù)：其中，，，，，，，，（1）根據(jù)散點圖判斷，與哪一個適宜作為聲音強度D關(guān)于聲音能量I的回歸模型？（給出判斷即可，不必說明理由）（2）求聲音強度D關(guān)于聲音能量I回歸方程（3）假定當聲音強度D大于時，會產(chǎn)生噪聲污染．城市中某點P處共受到兩個聲源的影響，這兩個聲通的聲音能量分別是和，且．已知點P處的聲音能量等于與之和．請根據(jù)（2）中的回歸方程，判斷點P處是否受到噪聲污染，并說明理由參考公式：對于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：18．（12分）已知圓，是圓上一點，過A作直線l交圓C于另一點B，交x軸正半軸于點D，且A為的中點.（1）求圓C在點A處的切線方程；（2）求直線l的方程.19．（12分）已知函數(shù).（1）當時，求函數(shù)的極大值與極小值；（2）若函數(shù)在上的最大值是最小值的3倍，求a的值.20．（12分）【閱讀材料1】我們在研究兩個變量之間的相關(guān)關(guān)系時，往往先選取若干個樣本點（），（），……，（），將樣本點畫在平面直角坐標系內(nèi)，就得到樣本的散點圖.觀察散點圖，如果所有樣本點都落在某一條直線附近，變量之間就具有線性相關(guān)關(guān)系，如果所有的樣本點都落在某一非線性函數(shù)圖象附近，變量之間就有非線性相關(guān)關(guān)系.在統(tǒng)計學中經(jīng)常選擇線性或非線性（函數(shù)）回歸模型來刻畫相關(guān)關(guān)系，并且可以用適當?shù)姆椒ㄇ蟪龌貧w模型的方程，還常用相關(guān)指數(shù)R2來刻畫回歸的效果，相關(guān)指數(shù)R2的計算公式為：當R2越大時，回歸方程的擬合效果越好；當R2越小時，回歸方程的擬合效果越差，R2是常用的選擇模型的指標之一，在實際應(yīng)用中應(yīng)該盡量選擇R2較大的回歸模型.【閱讀材料2】2021年6月17日9時22分，我國酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心用長征二號F遙十二運載火箭，成功將神舟十二號載人飛船送入預(yù)定軌道，順利將聶海勝、劉伯明、湯洪胺3名航天員送入太空，發(fā)射取得圓滿成功，這標志著中國人首次進入自己的空間站.某公司負責生產(chǎn)的A型材料是神舟十二號的重要零件，該材料應(yīng)用前景十分廣泛，該公司為了將A型材料更好地投入商用，擬對A型材料進行應(yīng)用改造，根據(jù)市場調(diào)研與模擬，得到應(yīng)用改造投入x（億元）與產(chǎn)品的直接收益y（億元）的數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下：序號123456789101112x2346810132122232425y1522274048546068.56867.56665當0<x≤13時，建立了與的兩個回歸模型：模型①:；模型②:；當x>13時，確定y與x滿足的線性回歸直線方程為.根據(jù)以上閱讀材料，解答以下問題：（1）根據(jù)下列表格中的數(shù)據(jù)，比較當0<x≤13時模型①，②的相關(guān)指數(shù)R2的大小，并選擇擬合效果更好的模型.回歸模型模型①模型②回歸方程79.1320.2（2）當應(yīng)用改造的投入為20億元時，以回歸直線方程為預(yù)測依據(jù)，計算公司的收益約為多少.附：①若最小二乘法求得回歸直線方程為，則；②③，當時，.21．（12分）已知：，，：，，且為真命題，求實數(shù)的取值范圍.22．（10分）如圖，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD是正方形，PA＝AD＝2，M、N分別是AB、PC的中點（1）求證：平面MND⊥平面PCD；（2）求點P到平面MND的距離

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】根據(jù)折線統(tǒng)計圖，結(jié)合均值、方差的實際含義判斷、及、的大小.【詳解】由統(tǒng)計圖知：甲總成績比乙總成績要高，則＞，又甲成績的分布比乙均勻，故＜.故選：A.2、B【解析】分析可知當時，最大，計算出、，進而可計算得出四邊形（為坐標原點）面積.【詳解】圓的圓心為坐標原點，連接、、，則，設(shè)，則，，則，當取最小值時，，此時，，，，故，此時，.故選：B.3、A【解析】由題意得，數(shù)列如下：則該數(shù)列的前項和為，要使，有，此時，所以是第組等比數(shù)列的部分和，設(shè)，所以，則，此時，所以對應(yīng)滿足條件的最小整數(shù)，故選A.點睛:本題非常巧妙地將實際問題和數(shù)列融合在一起，首先需要讀懂題目所表達的具體含義，以及觀察所給定數(shù)列的特征，進而判斷出該數(shù)列的通項和求和.另外，本題的難點在于數(shù)列里面套數(shù)列，第一個數(shù)列的和又作為下一個數(shù)列的通項，而且最后幾項并不能放在一個數(shù)列中，需要進行判斷.Ⅱ卷4、B【解析】由雙曲線的標準方程可求出，即可求雙曲線的實軸長.【詳解】由可得：，，即，實軸長，故選：B5、B【解析】求出已知雙曲線的漸近線方程，逐一驗證即可.【詳解】雙曲線的漸近線方程為，而雙曲線的漸近線方程為，雙曲線的漸近線方程為，雙曲線的漸近線方程為，雙曲線的漸近線方程為.故選：B6、A【解析】由橢圓方程可求得坐標，由此求得拋物線方程；設(shè)，與拋物線方程聯(lián)立可得韋達定理的形式，根據(jù)可得，由此構(gòu)造方程求得，根據(jù)直線過定點的求法可求得定點.【詳解】由橢圓方程知其焦點坐標為，又拋物線焦點，，解得：，則拋物線的方程為，由題意知：直線斜率不為，可設(shè)，由得：，則，即，設(shè)，，則，，，，，解得：或；又與坐標原點不重合，，，當時，，直線恒過定點.故選：A.【點睛】思路點睛：本題考查直線與拋物線綜合應(yīng)用中的直線過定點問題的求解，求解此類問題的基本思路如下：①假設(shè)直線方程，與拋物線方程聯(lián)立，整理為關(guān)于或的一元二次方程的形式；②利用求得變量的取值范圍，得到韋達定理的形式；③利用韋達定理表示出已知中的等量關(guān)系，代入韋達定理可整理得到變量間的關(guān)系，從而化簡直線方程；④根據(jù)直線過定點的求解方法可求得結(jié)果.7、B【解析】由向量平行，先求出的值，再由模長公式求解模長.【詳解】由，則，即則，所以則故選：B8、C【解析】根據(jù)已知分析數(shù)列周期性，可得答案【詳解】解：∵數(shù)列滿足，，∴，，，，故數(shù)列以4為周期呈現(xiàn)周期性變化，由，故，故選C【點睛】本題考查的知識點是數(shù)列的遞推公式，數(shù)列的周期性，難度中檔9、A【解析】寫出點坐標，由對稱性易得線段長【詳解】點是點，，關(guān)于平面的對稱點，的橫標和縱標與相同，而豎標與相反，，，，直線與軸平行，，故選：A10、C【解析】利用幾何概型的長度比值，即可計算.【詳解】設(shè)直角邊長，斜邊，則線段的長度大于的長度的概率.故選：C11、A【解析】先求出圓心和半徑，求出圓心到坐標原點的距離，從而求出圓上的點到坐標原點的距離的最小值.【詳解】變形為，故圓心為，半徑為1，故圓心到原點的距離為，故圓上的點到坐標原點的距離最小值為.故選：A12、C【解析】由題意，設(shè)出橢圓的標準方程為，然后根據(jù)橢圓的離心率以及橢圓面積列出關(guān)于的方程組，求解方程組即可得答案【詳解】由題意，設(shè)橢圓的方程為，由橢圓的離心率為，面積為，∴，解得，∴橢圓的方程為，故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、①.2.5####②.1950【解析】通過分析，求出最后一輛車的出發(fā)時間，從而求出最后一輛車的行駛時間，這10輛車的行駛路程可以看作等差數(shù)列，利用等差數(shù)列求和公式進行求解.【詳解】因為，所以最后一輛車出發(fā)時間為15時30分，則最后一輛車行駛時間為18-15.5=2.5小時，第一輛車行程為km，且從第二輛車開始，每輛車都比前一輛少走km，這10輛車的行駛路程可以看作首項為240，公差為-10的等差數(shù)列，則10輛車的行程路程之和為（km）.故答案為：2.5,195014、3【解析】由題設(shè)知等比數(shù)列公比，根據(jù)已知條件及等比數(shù)列通項公式列方程求公比即可.【詳解】由題設(shè)，等比數(shù)列公比，且，所以，可得或（舍），故公比為3.故答案為：315、【解析】由雙曲線定義可得a，代入點P坐標可得b，然后可解.【詳解】由題知，故，又點在雙曲線上，所以，解得，所以.故答案為：16、【解析】由面積公式求得，結(jié)合外接圓半徑，利用正弦定理得到邊c的長.【詳解】，從而，由正弦定理得：，解得：故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）更適合（2）（3）點P處會受到噪聲污染，理由見解析【解析】（1）直接判斷即可；（2）令，先算線性回歸方程再算非線性回歸方程；（3）利用基本不等式計算出的最小值，再與60比較即可.【小問1詳解】更適合【小問2詳解】令，則，，D關(guān)于W的回歸方程是，則D關(guān)于I的回歸方程是【小問3詳解】設(shè)點P處的聲音能量為，則因為所以當且僅當，即時等號成立所以，所以點P處會受到噪聲污染18、（1）（2）或【解析】（1）以直線方程的點斜式去求圓C在點A處的切線方程；（2）以A為的中點為突破口，設(shè)點法去求直線l的方程簡單快捷.【小問1詳解】圓可化為，圓心因為直線的斜率為，所以圓C在A點處切線斜率為2，所以切線方程為即.【小問2詳解】由題意設(shè)因為是中點，所以將B代入圓C方程得解得或當時，，此時l方程為當時，，此時l方程為所以l方程為或19、（1）的極大值為0,的極小值為（2）2【解析】（1）先求導可得，再利用導函數(shù)判斷的單調(diào)性，進而求解；（2）由（1）可得在上的最小值為，由，，可得的最大值為，進而根據(jù)求解即可.【詳解】解:（1）當時，，所以，令，則或，則當和時，；當時，，則在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減,所以極大值為；的極小值為.（2）由題,，由（1）可得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以的最小值即為的極小值；因為,,所以，因為，則，所以.【點睛】本題考查利用導函數(shù)求函數(shù)的極值,考查利用導函數(shù)求函數(shù)的最值,考查運算能力.20、（1）模型②擬合效果更好（2）69.1（億元）【解析】（1）分別求出兩個模型的相關(guān)指數(shù)，在進行比較即可，（2）利用最小二乘法求出回歸方程，再求收益即可【小問1詳解】對于模型①，因為，故對應(yīng)的，故對應(yīng)的相關(guān)指數(shù)，對于模型②，同理對應(yīng)的相關(guān)指數(shù)，故模型②擬合效果更好【小問2