江西省南昌市進(jìn)賢二中2025屆數(shù)學(xué)高二上期末考試試題含解析

江西省南昌市進(jìn)賢二中2025屆數(shù)學(xué)高二上期末考試試題考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．甲乙兩名運(yùn)動(dòng)員在某項(xiàng)體能測(cè)試中的6次成績(jī)統(tǒng)計(jì)如表：甲9816151514乙7813151722分別表示甲乙兩名運(yùn)動(dòng)員這項(xiàng)測(cè)試成績(jī)的平均數(shù)，分別表示甲乙兩名運(yùn)動(dòng)員這項(xiàng)測(cè)試成績(jī)的標(biāo)準(zhǔn)差，則有（）A.， B.，C.， D.，2．甲乙兩個(gè)雷達(dá)獨(dú)立工作，它們發(fā)現(xiàn)飛行目標(biāo)的概率分別是0.9和0.8，飛行目標(biāo)被雷達(dá)發(fā)現(xiàn)的概率為（）A.0.72 B.0.26C.0.7 D.0.983．若：，：，則為q的（）A.充分必要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分又不必要條件4．拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離（）A.4 B.C.2 D.5．已知等比數(shù)列中，，前三項(xiàng)之和，則公比的值為（）A1 B.C.1或 D.或6．已知數(shù)列為等比數(shù)列，若，，則的值為（）A.8 B.C.16 D.±167．雙曲線的離心率是，則雙曲線的漸近線方程是（）A. B.C. D.8．與向量平行，且經(jīng)過點(diǎn)的直線方程為（）A. B.C. D.9．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P為該拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，若，則當(dāng)最大時(shí)，（）A. B.1C. D.210．?dāng)?shù)列滿足，，，則數(shù)列的前8項(xiàng)和為（）A.25 B.26C.27 D.2811．下圖稱為弦圖，是我國(guó)古代三國(guó)時(shí)期趙爽為《周髀算經(jīng)》作注時(shí)為證明勾股定理所繪制，我們新教材中利用該圖作為“（）”的幾何解釋A.如果，，那么B.如果，那么C.對(duì)任意實(shí)數(shù)和，有，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立D.如果，那么12．如圖，已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為、，，是雙曲線右支上的一點(diǎn)，，直線與軸交于點(diǎn)，的內(nèi)切圓半徑為，則雙曲線的離心率是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在等差數(shù)列中，，公差，則_________14．在空間直角坐標(biāo)系中，已知向量，則在軸上的投影向量為________.15．已知雙曲線C：的兩焦點(diǎn)分別為，，P為雙曲線C上一點(diǎn)，若，則=___________.16．日常生活中的飲用水通常是經(jīng)過凈化的.隨著水的純凈度的提高，所需凈化費(fèi)用不斷増加.已知將噸水凈化到純凈度為時(shí)所需費(fèi)用（單位：元）為.則凈化到純凈度為時(shí)所需費(fèi)用的瞬時(shí)變化率是凈化到純凈度為時(shí)所需費(fèi)用的瞬時(shí)變化率的___________倍，這說明，水的純凈度越高，凈化費(fèi)用增加的速度越___________（填“快”或“慢”）.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求的極值；（2）設(shè)函數(shù)，，，求證：.18．（12分）共享電動(dòng)車（sharedev）是一種新的交通工具，通過掃碼開鎖，實(shí)現(xiàn)循環(huán)共享.某記者來到中國(guó)傳媒大學(xué)探訪，在校園噴泉旁停放了10輛共享電動(dòng)車，這些電動(dòng)車分為熒光綠和橙色兩種顏色，已知從這些共享電動(dòng)車中任取1輛，取到的是橙色的概率為，若從這些共享電動(dòng)車中任意抽取3輛.（1）求取出的3輛共享電動(dòng)車中恰好有一輛是橙色的概率；（2）求取出的3輛共享電動(dòng)車中橙色的電動(dòng)車的輛數(shù)X的分布列與數(shù)學(xué)期望.19．（12分）已知拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)為F，過F且與x軸垂直的直線交該拋物線于A，B兩點(diǎn)，|AB|＝4（1）求拋物線的方程；（2）過點(diǎn)F的直線l交拋物線于P，Q兩點(diǎn)，若△OPQ的面積為4，求直線l的斜率（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)）20．（12分）設(shè)圓的圓心為A，直線l過點(diǎn)且與x軸不重合，l交圓A于C，D兩點(diǎn)，過B作AC的平行線交AD于點(diǎn)E（1）判斷與題中圓A的半徑的大小關(guān)系，并寫出點(diǎn)E的軌跡方程；（2）過點(diǎn)作斜率為，的兩條直線，分別交點(diǎn)E的軌跡于M，N兩點(diǎn)，且，證明：直線MN必過定點(diǎn)21．（12分）已知數(shù)列{an}滿足*（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn22．（10分）如圖，在直角梯形中，．直角梯形通過直角梯形以直線為軸旋轉(zhuǎn)得到，且使得平面平面．M為線段的中點(diǎn)，P為線段上的動(dòng)點(diǎn)（1）求證：；（2）當(dāng)點(diǎn)P滿足時(shí)，求證：直線平面；（3）是否存在點(diǎn)P，使直線與平面所成角的正弦值為？若存在，試確定P點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】根據(jù)給定統(tǒng)計(jì)表計(jì)算、，再比較、大小判斷作答.【詳解】依題意，，，，，所以，.故選：B2、D【解析】利用對(duì)立事件的概率求法求飛行目標(biāo)被雷達(dá)發(fā)現(xiàn)的概率.【詳解】由題設(shè)，飛行目標(biāo)不被甲、乙發(fā)現(xiàn)的概率分別為、，所以飛行目標(biāo)被雷達(dá)發(fā)現(xiàn)的概率為.故選：D3、D【解析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義即可得出答案.【詳解】解：因?yàn)椋?，：，所以，所以為q的既不充分又不必要條件.故選：D.4、A【解析】寫出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，即可確定焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離.【詳解】由題設(shè)，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則，∴焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4.故選：A.5、C【解析】根據(jù)條件列關(guān)于首項(xiàng)與公比的方程組，即可解得公比，注意等比數(shù)列求和公式使用條件.【詳解】等比數(shù)列中，，前三項(xiàng)之和，若，，，符合題意；若，則，解得，即公比的值為1或，故選：C【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列求和公式以及基本量計(jì)算，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.6、A【解析】利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求解.【詳解】因?yàn)闉榈缺葦?shù)列，設(shè)的公比為，則，，兩式相除可得，所以，所以，故選：A.7、B【解析】利用雙曲線的離心率，以及漸近線中，關(guān)系，結(jié)合找關(guān)系即可【詳解】解：，又因?yàn)樵陔p曲線中，，所以，故，所以雙曲線的漸近線方程為，故選：B8、A【解析】利用點(diǎn)斜式求得直線方程.【詳解】依題意可知，所求直線的斜率為，所以所求直線方程為，即.故選：A9、B【解析】根據(jù)拋物線的定義，結(jié)合換元法、配方法進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)P為該拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)設(shè)為，拋物線的焦點(diǎn)為F，所以，拋物線的準(zhǔn)線方程為：，因此，令，，當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值為1，此時(shí).故選：B10、C【解析】根據(jù)通項(xiàng)公式及求出，從而求出前8項(xiàng)和.【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則數(shù)列的前8項(xiàng)和為.故選：C11、C【解析】設(shè)圖中直角三角形邊長(zhǎng)分別為a，b，則斜邊為，則可表示出陰影面積和正方形面積，根據(jù)圖象關(guān)系，可得即可得答案.【詳解】設(shè)圖中全等的直角三角形的邊長(zhǎng)分別為a，b，則斜邊為，如圖所示：則四個(gè)直角三角形的面積為，正方形的面積為，由圖象可得，四個(gè)直角三角形面積之和小于等于正方形的面積，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以對(duì)任意實(shí)數(shù)和，有，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.故選：C12、D【解析】根據(jù)給定條件結(jié)合直角三角形內(nèi)切圓半徑與邊長(zhǎng)的關(guān)系求出雙曲線實(shí)半軸長(zhǎng)a，再利用離心率公式計(jì)算作答.【詳解】依題意，，的內(nèi)切圓半徑，由直角三角形內(nèi)切圓性質(zhì)知：，由雙曲線對(duì)稱性知，，于是得，即，又雙曲線半焦距c=2，所以雙曲線的離心率.故選：D【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：二直角邊長(zhǎng)為a，b，斜邊長(zhǎng)為c的直角三角形內(nèi)切圓半徑.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、15【解析】由等差數(shù)列通項(xiàng)公式直接可得.【詳解】.故答案為：1514、【解析】根據(jù)向量坐標(biāo)意義及投影的定義得解.【詳解】因?yàn)橄蛄浚栽谳S上的投影向量為.故答案為:15、18或2##2或18【解析】先由雙曲線的方程求出，再利用雙曲線的定義列方程求解即可【詳解】由，得，則，因?yàn)殡p曲線C：的兩焦點(diǎn)分別為，，P為雙曲線C上一點(diǎn)，所以，即，所以或，因?yàn)椋曰蚨挤项}意，故答案為：18或216、①.②.快【解析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的概念可知凈化所需費(fèi)用的瞬時(shí)變化率即為函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)，即先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，然后將和代入進(jìn)行計(jì)算，再求，即可得到結(jié)果，進(jìn)而能夠判斷水的純凈度越高，凈化費(fèi)用增加的速度的快慢【詳解】由題意，可知凈化所需費(fèi)用的瞬時(shí)變化率為，所以，，所以，所以凈化到純凈度為時(shí)所需費(fèi)用的瞬時(shí)變化率是凈化到純凈度為時(shí)所需費(fèi)用的瞬時(shí)變化率的倍；因?yàn)椋芍募儍舳仍礁?，凈化費(fèi)用增加的速度越快.故答案為：，快.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），無極大值（2）證明見解析【解析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而確定極值點(diǎn)，求得答案；（2）將要證明的不等式變形為，然后構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，求其最值，進(jìn)而證明結(jié)論.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，,由得，列表得：1--0+減減極小值增由上表可知，無極大值.；【小問2詳解】證明：，即證；∵，則，故只需證，即證令，，得，得，∴在上遞增，在上遞減∴，∴，∴.18、（1）；（2）分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為.【解析】（1）先求出兩種顏色的電動(dòng)車各有多少輛，然后根據(jù)超幾何分布求概率的方法即可求得答案；（2）先確定X的所有可能取值，進(jìn)而求出概率并列出分布列，然后根據(jù)期望公式求出答案.【小問1詳解】因?yàn)閺?0輛共享電動(dòng)車中任取一輛，取到橙色的概率為0.4，所以橙色的電動(dòng)車有4輛，熒光綠的電動(dòng)車有6輛.記A為“從中任取3輛共享單車中恰好有一輛是橙色”，則.【小問2詳解】隨機(jī)變量X的所有可能取值為0,1,2,3.所以，，，.所以分布列為0123數(shù)學(xué)期望.19、（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)拋物線的定義以及拋物線通徑的性質(zhì)可得，從而可得結(jié)果；（2）設(shè)直線的方程為，代入，得，利用弦長(zhǎng)公式，結(jié)合韋達(dá)定理可得的值，由點(diǎn)到直線的距離公式，根據(jù)三角形面積公式可得，從而可得結(jié)果.【詳解】（1）由拋物線的定義得到準(zhǔn)線的距離都是p，所以|AB|＝2p＝4，所以拋物線的方程為y2＝4x（2）設(shè)直線l的方程為y＝k(x-1)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)因?yàn)橹本€l與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，所以k≠0，得，代入y2＝4x，得，且恒成立，則，y1y2＝-4，所以又點(diǎn)O到直線l的距離，所以，解得，即【點(diǎn)睛】本題主要考查直線與拋物線的位置關(guān)系的相關(guān)問題，意在考查綜合利用所學(xué)知識(shí)解決問題能力和較強(qiáng)的運(yùn)算求解能力，其常規(guī)思路是先把直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立，消元、化簡(jiǎn)，然后應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系建立方程，解決相關(guān)問題20、（1）與半徑相等，（2）證明見解析【解析】（1）依據(jù)橢圓定義去求點(diǎn)E的軌跡方程事半功倍；（2）直線MN要分為斜率存在的和不存在的兩種情況進(jìn)行討論，由設(shè)而不求法把條件轉(zhuǎn)化為直線MN過定點(diǎn)的條件即可解決.【小問1詳解】圓即為，可得圓心，半徑，由，可得，由，可得，即為，即有，則，所以其與半徑相等.因?yàn)?，故E的軌跡為以A，B為焦點(diǎn)的橢圓（不包括左右頂點(diǎn)），且有，，即，，，則點(diǎn)E的軌跡方程為；【小問2詳解】當(dāng)直線MN斜率不存在時(shí)，設(shè)直線方程為，則，，，，則，∴，此時(shí)直線MN的方程為當(dāng)直線MN斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為：，與橢圓方程聯(lián)立：，得，設(shè)，，有則將*式代入化簡(jiǎn)可得：，即，∴，此時(shí)直線MN：，恒過定點(diǎn)又直線MN斜率不存在時(shí)，直線MN：也過，故直線MN過定點(diǎn).【點(diǎn)睛】數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)解題中常用的思想方法，數(shù)形結(jié)合的思想可以使某些抽象的數(shù)學(xué)問題直觀化、生動(dòng)化，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)；另外，由于使用了數(shù)形結(jié)合的方法，很多問題便迎刃而解，且解法簡(jiǎn)捷。21、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)遞推關(guān)系式可得，再由等差數(shù)列的定義以及通項(xiàng)公式即可求解.（2）利用錯(cuò)位相減法即可求解.【小問1詳解】（1），即，所以數(shù)列為等差數(shù)列，公差為1，首項(xiàng)為1，所以，即.【小問2詳解】令，所以，所以22、（1）見解析（2）見解析（3）存在點(diǎn)P，【解析】（1）建立空間坐標(biāo)系求兩直線的方向向量，根據(jù)數(shù)量積為0可證的結(jié)論；（2）