天津市河?xùn)|區(qū)2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期7月期末考試數(shù)學(xué)

河?xùn)|區(qū)2023~2024學(xué)年度第二學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)高一數(shù)學(xué)本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共100分，考試用時(shí)90分鐘.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考號(hào)填寫在答題卡上，答題時(shí)，務(wù)必將答案涂寫在答題卡上，答在試卷上的無(wú)效.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.第Ⅰ卷（選擇題共32分）一、選擇題：（本題共8個(gè)小題，每小題4分，共32分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)只有一個(gè)符合題目要求）1.下列調(diào)查方式較為合適的是（）A.為了了解燈管的使用壽命，采用普查的方式B.為了了解我市中學(xué)生的視力狀況，采用抽樣調(diào)查的方式C.調(diào)查一萬(wàn)張面值為100元的人民幣中有無(wú)假幣，采用抽樣調(diào)查的方式D.調(diào)查當(dāng)今中學(xué)生喜歡什么體育活動(dòng)，采用普查的方式2.為確保食品安全，某市質(zhì)檢部門檢查1000袋方便面的質(zhì)量，抽查總量的.在這個(gè)問(wèn)題中，下列說(shuō)法正確的是（）A.總體是指這1000袋方便面 B.個(gè)體是1袋方便面C.樣本是按抽取的20袋方便面 D.樣本容量為203.下列條件中，能判斷平面與平面平行是A.內(nèi)有無(wú)窮多條直線都與平行B.與同時(shí)平行于同一條直線C.與同時(shí)垂直于同一條直線D.與同時(shí)垂直于同一個(gè)平面4.在一次隨機(jī)試驗(yàn)中，事件A，B，C彼此互斥，它們的和為必然事件，則下列說(shuō)法正確的是（）A.A與C是互斥事件，也是對(duì)立事件B.與B是互斥事件，也是對(duì)立事件C.與B是互斥事件，但不是對(duì)立事件D.A與是互斥事件，也是對(duì)立事件5.如圖，PA垂直于以AB為直徑的圓所在平面，C為圓上異于A，B的任意一點(diǎn)，垂足為E，點(diǎn)F是PB上一點(diǎn)，則下列判斷中不正確的是（）﹒A.平面PAC B. C. D.平面平面PBC6.在正方體，為棱的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的正切值為（）A. B. C. D.7.若甲組樣本數(shù)據(jù)，，…，（數(shù)據(jù)各不相同）的平均數(shù)為2，方差為4，乙組樣本數(shù)據(jù)，，…，的平均數(shù)為4，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A.值為 B.乙組樣本數(shù)據(jù)的方差為36C.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本中位數(shù)一定相同 D.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本極差不同8.如圖，正方體中，點(diǎn)E、F、G、H分別為棱的中點(diǎn)，點(diǎn)M為棱上的動(dòng)點(diǎn)，則下列說(shuō)法中正確的個(gè)數(shù)是（）①AM與異面；②平面AEM；③平面AEM截正方體所得截面圖形始終是四邊形；④平面平面.A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)第Ⅱ卷（非選擇題）注意事項(xiàng)：1.用黑色墨水的鋼筆或簽字筆將答案寫在答題卡上.2.本卷共兩大題，二、填空題（本大題共6個(gè)小題，每小題4分，共24分）9.中小學(xué)生的視力狀況受到社會(huì)的廣泛關(guān)注，某市有關(guān)部門從全市6萬(wàn)名高一學(xué)生中隨機(jī)抽取了400名，對(duì)他們的視力狀況進(jìn)行一次調(diào)查統(tǒng)計(jì).將所得到的有關(guān)數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖，如圖所示.則這400名學(xué)生視力的眾數(shù)為_(kāi)_______10.對(duì)某自行車賽手在相同條件下進(jìn)行了次測(cè)試，測(cè)得其最大速度（單位：m/s）數(shù)據(jù)如下：，則他的最大速度的第一四分位數(shù)是________11.一支田徑隊(duì)有男運(yùn)動(dòng)員48人，女運(yùn)動(dòng)員36人，用分層抽樣的方法從全體運(yùn)動(dòng)員中抽取一個(gè)容量為7的樣本，抽出的男運(yùn)動(dòng)員平均身高為，抽出的女運(yùn)動(dòng)員平均身高為.估計(jì)該田徑隊(duì)運(yùn)動(dòng)員的平均身高是________cm12.某校組織“校園安全”知識(shí)測(cè)試，隨機(jī)調(diào)查600名學(xué)生，將他們的測(cè)試成績(jī)（滿分100分）按照，，…，分成五組，得到如圖所示的頻率分布直方圖，若每組數(shù)據(jù)以所在區(qū)間的中點(diǎn)值為代表，則這600名學(xué)生成績(jī)的平均數(shù)約為_(kāi)_______13.如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，是上一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)滿足條件：________時(shí)，平面.14.在三棱錐中，平面，是等腰直角三角形，，，，垂足為H，D為的中點(diǎn)，則當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，_________.三、解答題：（本大題5個(gè)題，共44分）15.某地區(qū)以“綠色出行”為宗旨開(kāi)展“共享單車”業(yè)務(wù).該地區(qū)某高級(jí)中學(xué)一興趣小組由9名高二級(jí)學(xué)生和6名高一級(jí)學(xué)生組成，現(xiàn)采用分層抽樣的方法抽取5人，組成一個(gè)體驗(yàn)小組去市場(chǎng)體驗(yàn)“共享單車”的使用.問(wèn)：（1）應(yīng)從該興趣小組中抽取高一級(jí)和高二級(jí)的學(xué)生各多少人；（2）已知該地區(qū)有,兩種型號(hào)的“共享單車”，在市場(chǎng)體驗(yàn)中，該體驗(yàn)小組的高二級(jí)學(xué)生都租型車，高一級(jí)學(xué)生都租型車.如果從組內(nèi)隨機(jī)抽取2人，求抽取的2人中至少有1人在市場(chǎng)體驗(yàn)過(guò)程中租型車的概率.16.如圖，四棱錐的底面為正方形，為的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）若平面，證明：.17.某中學(xué)400名學(xué)生參加全市高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽，根據(jù)男女學(xué)生人數(shù)比例，使用分層抽樣方法從中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生，記錄他們的分?jǐn)?shù)，將數(shù)據(jù)分成7組：，，…，，并整理得到如下頻率分布直方圖：（1）由頻率直方圖求樣本中分?jǐn)?shù)的中位數(shù)；（2）已知樣本中分?jǐn)?shù)在的學(xué)生有5人，試估計(jì)總體中分?jǐn)?shù)小于40的人數(shù)；（3）已知樣本中男生與女生的比例是，男生樣本的均值為70，方差為10，女生樣本的均值為80，方差為12，請(qǐng)計(jì)算出總體的方差．18.如圖，在三棱錐中，，底面.（1）求證：平面平面；（2）若，，是的中點(diǎn)，求與平面所成角的正切值.19.如圖，在四棱錐中，底面是正方形，側(cè)面QAD是正三角形，側(cè)面底面，M是QD的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）求側(cè)面QBC與底面所成二面角的余弦值；（3）在棱QC上是否存在點(diǎn)N使平面平面AMC成立？如果存在，求出，如果不存在，說(shuō)明理由．河?xùn)|區(qū)2023~2024學(xué)年度第二學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)高一數(shù)學(xué)本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共100分，考試用時(shí)90分鐘.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考號(hào)填寫在答題卡上，答題時(shí)，務(wù)必將答案涂寫在答題卡上，答在試卷上的無(wú)效.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.第Ⅰ卷（選擇題共32分）一、選擇題：（本題共8個(gè)小題，每小題4分，共32分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)只有一個(gè)符合題目要求）1.下列調(diào)查方式較為合適的是（）A.為了了解燈管的使用壽命，采用普查的方式B.為了了解我市中學(xué)生的視力狀況，采用抽樣調(diào)查的方式C.調(diào)查一萬(wàn)張面值為100元的人民幣中有無(wú)假幣，采用抽樣調(diào)查的方式D.調(diào)查當(dāng)今中學(xué)生喜歡什么體育活動(dòng)，采用普查的方式【答案】B【解析】【分析】根據(jù)實(shí)際情況選擇合適的調(diào)查方式即可判斷.【詳解】對(duì)A，為了了解燈管的使用壽命，應(yīng)采用抽樣調(diào)查的方式，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，為了了解我市中學(xué)生的視力狀況，采用抽樣調(diào)查的方式，故B正確；對(duì)C，調(diào)查一萬(wàn)張面值為100元的人民幣中有無(wú)假幣，采用抽樣普查的方式，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，調(diào)查當(dāng)今中學(xué)生喜歡什么體育活動(dòng)，采用抽樣普查的方式，故D錯(cuò)誤.故選：B.2.為確保食品安全，某市質(zhì)檢部門檢查1000袋方便面的質(zhì)量，抽查總量的.在這個(gè)問(wèn)題中，下列說(shuō)法正確的是（）A.總體是指這1000袋方便面 B.個(gè)體是1袋方便面C.樣本是按抽取的20袋方便面 D.樣本容量為20【答案】D【解析】【分析】根據(jù)總體，個(gè)體，樣本，樣本的定義逐一判斷即可得解.【詳解】對(duì)于A，總體是指這1000袋方便面的質(zhì)量，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，個(gè)體是指1袋方便面的質(zhì)量，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，樣本是指按照抽取的20袋方便面的質(zhì)量，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，樣本容量為，故D正確.故選：D.3.下列條件中，能判斷平面與平面平行的是A內(nèi)有無(wú)窮多條直線都與平行B.與同時(shí)平行于同一條直線C.與同時(shí)垂直于同一條直線D.與同時(shí)垂直于同一個(gè)平面【答案】C【解析】【分析】利用面面平行的判定直接判斷即可．【詳解】解：對(duì)于，若內(nèi)有無(wú)窮多條平行直線與平行，則不能說(shuō)明平行；對(duì)于，平行于同一條直線的兩個(gè)平面可能不平行，還可以相交；對(duì)于，垂直于同一條直線的兩平面平行；對(duì)于，垂直于同一平面的兩個(gè)平面不一定平行，還可以垂直．綜上，選項(xiàng)正確．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查空間中面面平行的判定，考查空間直線、平面間的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．4.在一次隨機(jī)試驗(yàn)中，事件A，B，C彼此互斥，它們的和為必然事件，則下列說(shuō)法正確的是（）A.A與C是互斥事件，也是對(duì)立事件B.與B是互斥事件，也是對(duì)立事件C.與B是互斥事件，但不是對(duì)立事件D.A與是互斥事件，也是對(duì)立事件【答案】D【解析】【分析】根據(jù)互斥與對(duì)立事件的意義逐個(gè)辨析即可.【詳解】由于A,B,C彼此互斥,且是必然事件,所以A與C是互斥事件,但不是對(duì)立事件,A錯(cuò)誤；與B可以同時(shí)發(fā)生,不是互斥事件,也不是對(duì)立事件,B錯(cuò)誤；任何一個(gè)事件與其余兩個(gè)事件的和事件必然是對(duì)立事件,故C錯(cuò)誤,D正確.故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了互斥與對(duì)立事件的辨析,屬于基礎(chǔ)題型.5.如圖，PA垂直于以AB為直徑的圓所在平面，C為圓上異于A，B的任意一點(diǎn)，垂足為E，點(diǎn)F是PB上一點(diǎn)，則下列判斷中不正確的是（）﹒A.平面PAC B. C. D.平面平面PBC【答案】C【解析】【分析】結(jié)合空間中點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系，對(duì)選項(xiàng)逐個(gè)分析判斷即可.【詳解】對(duì)于A，PA垂直于以AB為直徑的圓所在平面，而底面圓面，則，又由圓的性質(zhì)可知，且，平面，則平面，所以A正確；對(duì)于B，由A可知平面，又平面，所以，又，且，平面，所以平面，而平面，所以，所以B正確；對(duì)于C，假設(shè)成立，由平面，且平面，所以，而，且平面，所以平面，由A可知平面，所以，顯然不成立，故假設(shè)錯(cuò)誤，即C不正確；對(duì)于D，由B可知，平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平面，所以D正確.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查線線垂直、線面垂直、面面垂直的判定，考查學(xué)生的推理能力與空間想象能力，屬于中檔題.6.在正方體，為棱的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的正切值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用正方體中，，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求共面直線與所成角正切值，在中進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】在正方體中，，所以異面直線與所成角為，如圖設(shè)正方體邊長(zhǎng)為，則由為棱的中點(diǎn)，可得，所以，則.故選:C.【點(diǎn)睛】求異面直線所成角主要有以下兩種方法：幾何法：①平移兩直線中的一條或兩條，到一個(gè)平面中；②利用邊角關(guān)系，找到（或構(gòu)造）所求角所在的三角形；③求出三邊或三邊比例關(guān)系，用余弦定理求角.向量法：①求兩直線的方向向量；②求兩向量夾角的余弦；③因?yàn)橹本€夾角為銳角，所以②對(duì)應(yīng)的余弦取絕對(duì)值即為直線所成角的余弦值.7.若甲組樣本數(shù)據(jù)，，…，（數(shù)據(jù)各不相同）的平均數(shù)為2，方差為4，乙組樣本數(shù)據(jù)，，…，的平均數(shù)為4，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A.的值為 B.乙組樣本數(shù)據(jù)的方差為36C.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本中位數(shù)一定相同 D.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本極差不同【答案】C【解析】【分析】結(jié)合平均數(shù)公式、方差公式、中位數(shù)和極差的定義，逐個(gè)選項(xiàng)判斷即可.【詳解】甲組樣本數(shù)據(jù)，，，（數(shù)據(jù)各不相同）的平均數(shù)為2，方差為4，又乙組樣本數(shù)據(jù)，，，的平均數(shù)為4，，解得，故A正確，乙組樣本數(shù)據(jù)方差為，故B正確，設(shè)甲組樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，則乙組樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本中位數(shù)不一定相同，故C錯(cuò)誤，甲組數(shù)據(jù)的極差為，則乙組數(shù)據(jù)的極差為，兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本極差不同，故D正確．故選：C．8.如圖，正方體中，點(diǎn)E、F、G、H分別為棱的中點(diǎn)，點(diǎn)M為棱上的動(dòng)點(diǎn)，則下列說(shuō)法中正確的個(gè)數(shù)是（）①AM與異面；②平面AEM；③平面AEM截正方體所得的截面圖形始終是四邊形；④平面平面.A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)【答案】C【解析】【分析】根據(jù)正方體的幾何性質(zhì)逐項(xiàng)分析.【詳解】對(duì)于①，連接，四邊形是平行四邊形，平面，平面，平面，平面，又，所以與AM是異面直線，正確；對(duì)于②，連接EH，則四邊形是平行四邊形，，又平面AEM，平面AEM，平面AEM，正確；對(duì)于③，取的中點(diǎn)T，當(dāng)M與T重合時(shí)，連接，則有四點(diǎn)共面，即平面AEM截正方體的圖形是四邊形，如下圖：當(dāng)M點(diǎn)在線段上時(shí)，在平面內(nèi)作直線，交的延長(zhǎng)線于U，交于V，連接UM，四點(diǎn)共面，平面，，即平面AEM截正方體的圖形是五邊形，如下圖：錯(cuò)誤；對(duì)于④，在正方形ABCD內(nèi)，所以，又平面ABCD，平面ABCD，，平面，平面，平面AEM，平面平面，正確；故選：C.【點(diǎn)睛】難點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的難點(diǎn)在于當(dāng)M點(diǎn)移動(dòng)時(shí)，平面AEM與正方體的交面需要在平面內(nèi)尋找到與直線EM平行的直線AV，從而確定交面的形狀.第Ⅱ卷（非選擇題）注意事項(xiàng)：1.用黑色墨水的鋼筆或簽字筆將答案寫在答題卡上.2.本卷共兩大題，二、填空題（本大題共6個(gè)小題，每小題4分，共24分）9.中小學(xué)生的視力狀況受到社會(huì)的廣泛關(guān)注，某市有關(guān)部門從全市6萬(wàn)名高一學(xué)生中隨機(jī)抽取了400名，對(duì)他們的視力狀況進(jìn)行一次調(diào)查統(tǒng)計(jì).將所得到的有關(guān)數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖，如圖所示.則這400名學(xué)生視力的眾數(shù)為_(kāi)_______【答案】##【解析】【分析】根據(jù)頻率分布直方圖中眾數(shù)的求法求解即可.【詳解】由圖可知，眾數(shù)為.故答案為：.10.對(duì)某自行車賽手在相同條件下進(jìn)行了次測(cè)試，測(cè)得其最大速度（單位：m/s）的數(shù)據(jù)如下：，則他的最大速度的第一四分位數(shù)是________【答案】##【解析】【分析】利用第一四分位數(shù)的定義求解即可.【詳解】首先，我們把這些數(shù)字從小到大排列，可得次測(cè)試的速度應(yīng)為，且第一四分位數(shù)即為第百分位數(shù)，由可得，第百分位數(shù)即為第三項(xiàng)和第四項(xiàng)的平均數(shù)，則該數(shù)為.故答案為：11.一支田徑隊(duì)有男運(yùn)動(dòng)員48人，女運(yùn)動(dòng)員36人，用分層抽樣的方法從全體運(yùn)動(dòng)員中抽取一個(gè)容量為7的樣本，抽出的男運(yùn)動(dòng)員平均身高為，抽出的女運(yùn)動(dòng)員平均身高為.估計(jì)該田徑隊(duì)運(yùn)動(dòng)員的平均身高是________cm【答案】【解析】【分析】根據(jù)平均數(shù)的求法求得該田徑隊(duì)運(yùn)動(dòng)員的平均身高【詳解】依題意，估計(jì)該田徑隊(duì)運(yùn)動(dòng)員的平均身高為.故答案為：.12.某校組織“校園安全”知識(shí)測(cè)試，隨機(jī)調(diào)查600名學(xué)生，將他們的測(cè)試成績(jī)（滿分100分）按照，，…，分成五組，得到如圖所示的頻率分布直方圖，若每組數(shù)據(jù)以所在區(qū)間的中點(diǎn)值為代表，則這600名學(xué)生成績(jī)的平均數(shù)約為_(kāi)_______【答案】【解析】【分析】根據(jù)頻率分布直方圖中平均數(shù)的求法求解即可.【詳解】由題意，，解得，平均數(shù)為.故答案為：.13.如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，是上一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)滿足條件：________時(shí)，平面.【答案】答案表述不唯一)【解析】【分析】當(dāng)為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)時(shí)，根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)即可判斷，從而可得平面，由此可得出點(diǎn)滿足條件的結(jié)論.【詳解】連接交于O，連接OE，平面平面，平面平面，.又底面為平行四邊形，為對(duì)角線與的交點(diǎn)，故為的中點(diǎn),為的中點(diǎn)，故當(dāng)滿足條件:時(shí)，面.故答案為:答案表述不唯一)14.在三棱錐中，平面，是等腰直角三角形，，，，垂足為H，D為的中點(diǎn)，則當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，_________.【答案】【解析】【分析】由線面垂直的判定和性質(zhì)定理可得，結(jié)合基本不等式確定面積取得最大值時(shí)，設(shè)，由等面積法解得，即可得出答案．【詳解】因?yàn)槠矫?，面，所以，又，平面，所以平面，又因?yàn)槠矫妫?，因?yàn)椋矫?，所以平面，又面，所以，，連接CD,是等腰直角三角形,易知，，則，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立，此時(shí)取得最大值，設(shè)，則在中，，由等面積，即，解得故答案為：．三、解答題：（本大題5個(gè)題，共44分）15.某地區(qū)以“綠色出行”為宗旨開(kāi)展“共享單車”業(yè)務(wù).該地區(qū)某高級(jí)中學(xué)一興趣小組由9名高二級(jí)學(xué)生和6名高一級(jí)學(xué)生組成，現(xiàn)采用分層抽樣的方法抽取5人，組成一個(gè)體驗(yàn)小組去市場(chǎng)體驗(yàn)“共享單車”的使用.問(wèn)：（1）應(yīng)從該興趣小組中抽取高一級(jí)和高二級(jí)的學(xué)生各多少人；（2）已知該地區(qū)有,兩種型號(hào)的“共享單車”，在市場(chǎng)體驗(yàn)中，該體驗(yàn)小組的高二級(jí)學(xué)生都租型車，高一級(jí)學(xué)生都租型車.如果從組內(nèi)隨機(jī)抽取2人，求抽取的2人中至少有1人在市場(chǎng)體驗(yàn)過(guò)程中租型車的概率.【答案】（1）2，3；（2）【解析】【分析】（1）利用各年級(jí)的比例，抽樣即可；（2）列舉出基本事件，利用古典概型的概率公式即可求解.【小問(wèn)1詳解】依題意知，應(yīng)從該興趣小組中抽取的高一學(xué)生人數(shù)為，高二學(xué)生的人數(shù)為:；【小問(wèn)2詳解】記抽取的2名高一學(xué)生為，3名高二的學(xué)生為，則從體驗(yàn)小組5人中任取2人的所有可能為：，(a2,b1),(a2,b2),(a2,b3),(b1,b2),(b1,b3),(b2,b3)，共10種可能；其中至少有1人在市場(chǎng)體驗(yàn)過(guò)程中租型車的有：，共9種，故所求的概率16.如圖，四棱錐的底面為正方形，為的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）若平面，證明：【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，設(shè)與交于點(diǎn)，連接，由線面平行的判定定理即可證明；（2）由線面垂直的性質(zhì)定理及判定定理即可得證.【小問(wèn)1詳解】設(shè)與交于點(diǎn)，連接，因?yàn)榈酌媸钦叫?，所以為的中點(diǎn)，又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平?【小問(wèn)2詳解】因?yàn)榈酌媸钦叫?，所以，又因?yàn)槠矫?，平面，所以，又，平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫?17.某中學(xué)400名學(xué)生參加全市高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽，根據(jù)男女學(xué)生人數(shù)比例，使用分層抽樣的方法從中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生，記錄他們的分?jǐn)?shù)，將數(shù)據(jù)分成7組：，，…，，并整理得到如下頻率分布直方圖：（1）由頻率直方圖求樣本中分?jǐn)?shù)的中位數(shù)；（2）已知樣本中分?jǐn)?shù)在的學(xué)生有5人，試估計(jì)總體中分?jǐn)?shù)小于40的人數(shù)；（3）已知樣本中男生與女生的比例是，男生樣本的均值為70，方差為10，女生樣本的均值為80，方差為12，請(qǐng)計(jì)算出總體的方差．【答案】（1）72.5（2）20人（3）【解析】【分析】（1）由頻率分布直方圖數(shù)據(jù)求解；（2）由頻率分布直方圖數(shù)據(jù)求解；（3）由總樣本的均值與方差的公式計(jì)算求解即可.【小問(wèn)1詳解】由頻率分布直方圖，設(shè)分?jǐn)?shù)中位數(shù)為，則有，解得，所以分?jǐn)?shù)的中位數(shù)為72.5；【小問(wèn)2詳解】由頻率分布直方圖知，分?jǐn)?shù)在的頻率為，在樣本中分?jǐn)?shù)在的人數(shù)為（人），在樣本中分?jǐn)?shù)在的人數(shù)為95人，所以估計(jì)總體中分?jǐn)?shù)在的人數(shù)為（人），總體中分?jǐn)?shù)小于40的人數(shù)為20人；【小問(wèn)3詳解】總樣本的均值為，所以總樣本的方差為．18.如圖，在三棱錐中，，底面.（1）求證：平面平面；（2）若，，是的中點(diǎn)，求與平面所成角的正切值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】【分析】（1）證明出平面，利用面面垂直的判定定理可證得平面平面；（2）在平面內(nèi)，過(guò)點(diǎn)作，連接，證明出平面，可得出與平面所成角為，計(jì)算出的邊、的長(zhǎng)，由此可計(jì)算出與平面所成角的正切值.【詳解】（1）證明：在三棱錐中，底面，平面，，又，即，，平面，平面，因此，平面平面.（2）解：在平面內(nèi)