21直線的傾斜角與斜率（單元教學設(shè)計）-2024-2025學年高二數(shù)學（人教A版2019選擇性）

2．1直線的傾斜角與斜率（單元教學設(shè)計）一、【單元目標】（1）在平面直角坐標系中，結(jié)合具體圖形，探索確定直線位置的幾何要素．（2）理解直線的傾斜角和斜率的概念，經(jīng)歷用代數(shù)方法刻畫直線斜率的過程，掌握過兩點的直線斜率的計算公式．（3）能根據(jù)斜率判定兩條直線平行或垂直．二、【單元知識結(jié)構(gòu)框架】三、【學情分析】本節(jié)內(nèi)容對學生來說是一個新的挑戰(zhàn)，尤其是斜率概念的引入和傾斜角與斜率之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系．部分學生可能在理解斜率的實際意義和應用上存在困難．因此，教學中需注重直觀演示和實例分析，幫助學生建立空間想象能力，加深理解．四、【教學設(shè)計思路/過程】課時安排：約2課時教學重點：直線的傾斜角、斜率的概念，過兩點的直線斜率的計算公式，用斜率判定兩條直線平行或垂直．教學難點：理解斜率與傾斜角之間的轉(zhuǎn)換，以及利用斜率判斷兩直線的位置關(guān)系．教學方法/過程：五、【教學問題診斷分析】環(huán)節(jié)一、情景引入，溫故知新情景1：“坡度”在交通工程中是一種量化道路傾斜程度的指標，它通過比較道路在豎直方向上的高度變化與水平方向上的距離變化來得出．具體來說，當一輛汽車從道路的A點行駛到B點時，我們可以測量出兩個關(guān)鍵數(shù)值：一是汽車在水平方向（即通常所說的“地面”或“水平面”的投影方向）上前進的距離AD，二是汽車在豎直方向上上升（或下降，若下降則DB為負值）的高度DB．坡度k的定義即為這兩個數(shù)值的比值，即．這個比值直觀地反映了道路傾斜的陡峭程度．問題1：“坡度”是如何來刻畫道路的傾斜程度的呢?【破解方法】通過生活中的現(xiàn)實情境，提出問題，幫助學生建立傾斜角與斜率的概念．環(huán)節(jié)二、抽象概念，內(nèi)涵辨析1．直線的傾斜角【歸納新知】平面直角坐標系中，對于一條與軸相交的直線，如果把軸繞著交點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到和直線重合時所轉(zhuǎn)的最小正角記為，則叫做直線的傾斜角．規(guī)定：當直線和軸平行或重合時，直線傾斜角為，所以，傾斜角的范圍是．知識點詮釋：（1）要清楚定義中含有的三個條件①直線向上方向；②軸正向；③小于的角．（2）從運動變化觀點來看，直線的傾斜角是由軸按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到與直線重合時所成的角．（3）傾斜角的范圍是．當時，直線與x軸平行或與x軸重合．（4）直線的傾斜角描述了直線的傾斜程度，每一條直線都有唯一的傾斜角和它對應．（5）已知直線的傾斜角不能確定直線的位置，但是，直線上的一點和這條直線的傾斜角可以唯一確定直線的位置．2．直線的斜率問題2：我們?nèi)绾慰坍嬕粭l直線的傾斜程度？【破解方法】通過類比坡比，引出斜率的定義．【歸納新知】直線斜率的定義：傾斜角不是的直線，它的傾斜角的正切叫做這條直線的斜率，常用表示，即．知識點詮釋：（1）當直線與x軸平行或重合時，，；（2）直線與x軸垂直時，，k不存在．由此可知，一條直線的傾斜角一定存在，但是斜率k不一定存在．直線的傾斜角與斜率之間的關(guān)系由斜率的定義可知，當在范圍內(nèi)時，直線的斜率大于零；當在范圍內(nèi)時，直線的斜率小于零；當時，直線的斜率為零；當時，直線的斜率不存在．直線的斜率與直線的傾斜角（除外）為一一對應關(guān)系，且在和范圍內(nèi)分別與傾斜角的變化方向一致，即傾斜角越大則斜率越大，反之亦然．因此若需在或范圍內(nèi)比較傾斜角的大小只需比較斜率的大小即可，反之亦然．3．直線兩點的斜率公式問題3：在平面直角坐標系中，一條直線可以由一個點和一個傾斜角唯一確定．另一方面，設(shè)（其中）是直線上的兩點，由兩點確定一條直線可知，直線由點唯一確定．所以，可以斷定直線的傾斜角一定與兩點的坐標有內(nèi)在聯(lián)系．到底具有怎樣的聯(lián)系?你覺得可以用什么方法來建立這種聯(lián)系?【破解方法】先讓學生思考，請有想法的學生說一說思路，然后教師再進行引導性提問．【歸納新知】已知點、，且與軸不垂直，過兩點、的直線的斜率公式．知識點詮釋：對于上面的斜率公式要注意下面五點：（1）當時，公式右邊無意義，直線的斜率不存在，傾斜角，直線與軸垂直；（2）與、的順序無關(guān)，即，和，在公式中的前后次序可以同時交換，但分子與分母不能交換；（3）斜率可以不通過傾斜角而直接由直線上兩點的坐標求得；（4）當時，斜率，直線的傾斜角，直線與軸平行或重合；（5）求直線的傾斜角可以由直線上兩點的坐標先求斜率而得到．4．兩直線平行的條件問題4：平面中，兩條直線有哪些位置關(guān)系?【破解方法】相交、平行、重合．問題5：當直線平行于直線時，它們的斜率滿足什么關(guān)系?反之，設(shè)直線的斜率分別為，當滿足什么關(guān)系時?【破解方法】學生觀察、思考，并分析兩條直線的傾斜角與斜率之間的關(guān)系．【歸納新知】設(shè)兩條不重合的直線的斜率分別為．若，則與的傾斜角與相等．由，可得，即．因此，若，則．反之，若，則．知識點詮釋：（1）公式成立的前提條件是①兩條直線的斜率存在分別為；②不重合；（2）當兩條直線的斜率都不存在且不重合時，的傾斜角都是，則．5．兩直線垂直的條件問題6：假設(shè)直線的斜率都存在，那么當時，它們的斜率除了不相等外，是否還有特殊的數(shù)量關(guān)系?反之，兩條直線的斜率有怎樣的關(guān)系時，它們相互垂直?【破解方法】學生觀察、思考，并分析兩條直線的傾斜角與斜率之間的關(guān)系．【歸納新知】設(shè)兩條直線的斜率分別為．若，則．知識點詮釋：（1）公式成立的前提條件是兩條直線的斜率都存在；（2）當一條垂直直線的斜率不存在，另一條直線的斜率為0時，兩條直線也垂直．環(huán)節(jié)三：例題練習，鞏固理解題型一：直線的傾斜角與斜率定義【例1】已知下列直線的傾斜角，求直線的斜率．（1）；（2）；（3）；（4）．【解析】設(shè)直線的斜率為，（1）；（2）；（3）；（4）．【變式11】已知下列直線的斜率，求直線的傾斜角．（1）；（2）；（3）；（4）．【解析】設(shè)傾斜角為，，（1）因為，所以；（2）因為，所以；（3）因為，所以；（4）因為，所以．題型二：斜率與傾斜角的變化關(guān)系【例2】如圖，已知，，，求直線，，的斜率，并判斷這些直線的傾斜角是銳角還是鈍角．

【解析】直線的斜率，直線的斜率，直線的斜率，由>及可知，直線與的傾斜角均為銳角；由可知，直線的傾斜角為鈍角．【變式21】求經(jīng)過下列兩點的直線的斜率，并判斷其傾斜角是銳角還是鈍角．（1），；

（2），．【解析】設(shè)傾斜角為，（1）因為，所以，所以為銳角；（2）因為，所以，所以為鈍角．題型三：已知兩點求斜率、已知斜率求參數(shù)【例3】已知a，b，c是兩兩不等的實數(shù)，求經(jīng)過下列兩點的直線的傾斜角．（1），

（2），（3），．【解析】（1）因為，所以，所以，所以直線的傾斜角為；（2）因為的橫坐標相等，所以直線軸，所以直線的傾斜角為；（3）因為，所以，所以，所以直線的傾斜角為．【變式31】經(jīng)過，兩點的直線的方向向量為，求k的值．【解析】因為直線的方向向量為，則為直線的斜率，所以，所以的值為．【變式32】過，兩點的直線l的傾斜角為，求的值．【解析】因為直線的傾斜角為，所以直線的斜率，又，整理得，解得或，當時，，不符合，當時，，符合，綜上：．題型四：直線與線段相交關(guān)系求斜率范圍【例4】經(jīng)過點作直線l，若直線l與連接，兩點的線段總有公共點，求直線l的傾斜角與斜率k的取值范圍，并說明理由．【解析】如下圖所示，當直線經(jīng)過點時，斜率為，此時傾斜角為；當直線經(jīng)過點時，斜率為，此時傾斜角為，由題意可知，當直線從過點的位置開始，逆時針旋轉(zhuǎn)至過點的位置，經(jīng)過圖中陰影部分時都能滿足題意，旋轉(zhuǎn)過程中，傾斜角先從變化到，再從變化到，所以傾斜角的取值范圍是：；旋轉(zhuǎn)過程中，斜率先從變化到，再從變化到，所以斜率的取值范圍是：．【變式41】已知點，，直線是過點且與線段AB相交且斜率存在，則的斜率的取值范圍是【答案】【解析】因為，，，所以，．直線過點且與線段相交，如下圖所示：或，直線的斜率的取值范圍是：．故答案為：．題型五：直線平行與垂直的判斷【例5】已知，，，，試判斷直線與的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【解析】由已知可得直線的斜率，直線的斜率，因為，由圖可知：直線．【變式51】已知，，，，試判斷直線與的位置關(guān)系．【解析】直線的斜率，直線的斜率，因為，所以．【變式52】判斷下列各對直線平行還是垂直：（1）經(jīng)過兩點A（2，3），B（﹣1，0）的直線l1，與經(jīng)過點P（1，0）且斜率為1的直線l2；（2）經(jīng)過兩點C（3，1），D（﹣2，0）的直線l3，與經(jīng)過點M（1，﹣4）且斜率為﹣5的直線l4．【解析】（1）由題意和斜率公式可得l1的斜率k11，l2斜率k2＝1，k1＝k2，又直線l1，l2不重合，所以兩直線平行；（2）由題意和斜率公式可得l1的斜率k1，l2斜率k2＝﹣5，k1?k2＝﹣1，故兩直線垂直．題型六：直線平行、垂直在幾何問題的應用【例6】已知四邊形ABCD的四個頂點是，，，，求四邊形ABCD的四條邊所在直線的斜率．【解析】，，，．【變式61】已知，，三點，試判斷的形狀．【解析】如圖所示，邊所在直線的斜率，邊所在直線的斜率．由，得，即，所以是直角三角形．【變式62】已知四邊形ABCD的四個頂點是，，，，求證：四邊形ABCD為矩形．【解析】因為四個點的橫坐標各不相等，所以四邊形四條邊所在直線的斜率都存在，所以，，，，所以，，，所以四邊形四條邊兩兩垂直，所以四邊形四個內(nèi)角都為，所以四邊形是矩形．環(huán)節(jié)四：小結(jié)提升，形成結(jié)構(gòu)問題7：請你帶著下列問題回顧本節(jié)課學習的內(nèi)容：（1）傾斜角是刻畫直線相對于x軸的傾斜程度的幾何量，為了將它代數(shù)化，我們利用了哪些數(shù)學思想方法?（2）推導過兩點的直線斜率的計算公式時，我們經(jīng)歷了怎樣的過程，用了哪些數(shù)學思想方法?（3）判斷兩條直線平行或垂直的充要條件是什么?【破解方法】通過總結(jié)，讓學生進一步鞏固本節(jié)所學內(nèi)容，提高概括能力．六、【教學成果自我檢測】環(huán)節(jié)五：目標檢測，檢驗效果1．已知直線l的傾斜角為，則l的斜率為（

）A．1 B．45 C． D．【答案】C【解析】由題意知直線l的傾斜角為，則l的斜率為，故選：C2．若直線的斜率為，且，則直線的傾斜角為（

）A．或 B．或 C．或 D．或【答案】B【解析】設(shè)直線的傾斜角為，則因為，所以，當時，即，則；當時，即，則，所以直線的傾斜角為或．故選：B．3．已知直線的傾斜角分別為30°，53°，125°，斜率分別為，則（

）A．B．C．D．【答案】C【解析】，所以，故選：C4．已知直線l的傾斜角為α，斜率為k，，斜率k（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由于，且，所以或，故選：D5．已知直線，直線，則直線的傾斜角為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為直線的斜率，且，可知直線的斜率所以的傾斜角為．故選：D．【設(shè)計意圖】落實與理解教材要求的基本