四川省眉山市仁壽縣高三下學(xué)期三診文科數(shù)學(xué)試題

2021級(jí)高三（下）第三次模擬考試文科數(shù)學(xué)一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】將集合化簡，再由交集的運(yùn)算，即可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，，所?故選：B.2.若復(fù)數(shù)z滿足，則的虛部為（）A.－2 B.－1 C.1 D.2【答案】C【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)除法運(yùn)算及i的周期性運(yùn)算即可.【詳解】因?yàn)?，所以，則，故的虛部為1.故選:C．3.運(yùn)行圖示程序框圖，則輸出A的值為（）．A.170 B.165 C.150 D.92【答案】B【解析】【分析】根據(jù)程序框圖逐步計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)?，所以?zhí)行循環(huán)體得，由不成立，所以執(zhí)行循環(huán)體得，由成立，所以，然后輸出.故選：B4.已知數(shù)列滿足，則“”是“是遞增數(shù)列”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】利用充分條件、必要條件的定義，結(jié)合遞增數(shù)列的意義判斷即得.【詳解】當(dāng)時(shí)，，則，是遞增數(shù)列；反之，當(dāng)時(shí)，，數(shù)列遞增，因此數(shù)列是遞增數(shù)列時(shí)，可以不小于3，所以“”是“是遞增數(shù)列”的充分不必要條件.故選：A5.在中，，是的外心，為的中點(diǎn)，，是直線上異于、的任意一點(diǎn)，則（）A.3 B.6 C.7 D.9【答案】B【解析】【分析】根據(jù)外心的性質(zhì)得到，設(shè)，根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律得到，再由數(shù)量積的定義及幾何意義求出，從而得解.【詳解】因?yàn)槭堑耐庑模瑸榈闹悬c(diǎn)，設(shè)的中點(diǎn)為，連接，所以，，設(shè)，則，又是的外心，所以，所以.故選：B【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解答的關(guān)鍵是根據(jù)外接圓的性質(zhì)將轉(zhuǎn)化為，再一個(gè)就是利用數(shù)量積的幾何意義求出.6.已知是拋物線上的點(diǎn)，是圓上的點(diǎn)，則的最小值是（）A.2 B. C. D.3【答案】A【解析】【分析】將問題轉(zhuǎn)化為求的最小值，根據(jù)兩點(diǎn)之間的距離公式，求得的最小值再減去半徑即可.【詳解】如圖，拋物線上點(diǎn)到圓心的距離為，因此，當(dāng)最小時(shí)，最小，而，當(dāng)時(shí)，，因此的最小值是．故選：A.7.若，且，則的值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用輔助角公式、同角三角函數(shù)的平方關(guān)系、二倍角公式、正弦的差角公式計(jì)算即可.【詳解】由題意可知，因?yàn)?，所以，所以，所以，而，所以，?故選：B8.直線過雙曲線的右焦點(diǎn)，且與的左、右兩支分別交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)為，若，且，則的離心率為（）A.3 B. C.2 D.【答案】B【解析】【分析】借助雙曲線定義與雙曲線的對(duì)稱性，結(jié)合題意可得，，利用勾股定理計(jì)算即可得解.【詳解】如圖所示，取雙曲線左焦點(diǎn)，設(shè)，則，由雙曲線定義可得，又、關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故，，，則，由，故，故有，化簡可得，即有，，由，則有，即，即.故選：B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵點(diǎn)在于找出左焦點(diǎn)，設(shè)，從而借助雙曲線定義將其它邊表示出來，結(jié)合勾股定理計(jì)算出各邊長，從而可列出與、有關(guān)的齊次式，得到離心率.9.已知函數(shù)，則滿足不等式的的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先利用函數(shù)奇偶性的定義，結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)，分析得的奇偶性與單調(diào)性，從而轉(zhuǎn)化所求不等式得到關(guān)于的不等式組，解之即可得解.【詳解】由，得的定義域?yàn)?，又，故為偶函?shù)，而當(dāng)時(shí)，易知單調(diào)遞增，而對(duì)于，在上恒成立，所以在上也單調(diào)遞增，故在上單調(diào)遞增，則由，得，解得或.故選：D.10.已知函數(shù)，關(guān)于的命題：①的最小正周期為；②圖像的相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為；③圖像的對(duì)稱軸方程為；④圖像的對(duì)稱中心的坐標(biāo)為；⑤取最大值時(shí).則其中正確命題是（）A.①②③ B.①③⑤ C.②③⑤ D.①④⑤【答案】B【解析】【分析】借助三角恒等變換可將原函數(shù)化為正弦型函數(shù)，借助正弦型函數(shù)的性質(zhì)逐一判斷即可得.詳解】，則的最小正周期為，故①正確；圖像的相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為，故②錯(cuò)誤；令，則，故③正確；令，則，故④錯(cuò)誤；令，則，故⑤正確.故選：B.11.已知函數(shù)，若，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性比較大小.【詳解】依題意，，，因此，而函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，即.故選：D12.已知函數(shù)存在極小值點(diǎn)，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用導(dǎo)數(shù)結(jié)合零點(diǎn)存在性定理探討極小值點(diǎn)，并求出極小值，利用導(dǎo)數(shù)求出的解集，再利用導(dǎo)數(shù)求出的范圍.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，求?dǎo)得，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，，，則存在，使得，當(dāng)時(shí)，，遞增，當(dāng)時(shí)，，遞減，函數(shù)在取得極大值，無極小值，不符合題意；當(dāng)時(shí)，令，求導(dǎo)得，顯然在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)遞增，于是，當(dāng)，即時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)無極值，當(dāng)時(shí)，，而，存在，使得，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)遞減，函數(shù)在取得極大值，又，令，求導(dǎo)得，函數(shù)上單調(diào)遞減，，則，存在，使得，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)遞增，函數(shù)在取得極小值，因此，由，得，，即有，令，求導(dǎo)得，函數(shù)在上單調(diào)遞減，而，即有，于是，顯然，令，求導(dǎo)得，即函數(shù)在上單調(diào)遞減因此，即，又，則，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：D【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：可導(dǎo)函數(shù)在點(diǎn)處取得極值的充要條件是，且在左側(cè)與右側(cè)的符號(hào)不同．二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知為偶函數(shù)，則______.【答案】【解析】【分析】法一：先利用求得，然后代入驗(yàn)證；法二：利用偶函數(shù)的定義建立方程求解即可.【詳解】法一：特殊值法：因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，所以，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，為偶函數(shù)，符合題意.法二：定義法：因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，所以，化簡得，所以，解得.故答案為：14.已知實(shí)數(shù)x，y滿足則的最大值是________．【答案】【解析】【分析】先依據(jù)題意作出可行域，將目標(biāo)式轉(zhuǎn)化為截距問題求解即可.【詳解】令，即求中截距的最大值即可，如圖作出可行域，易知當(dāng)過點(diǎn)時(shí)，該直線截距最大，取得最大值，聯(lián)立方程組，，解得，，故，將代入中，得，解得，即的最大值是.故答案為：15.如圖，已知正方形的邊長為，且，連接交于，則________________【答案】【解析】【分析】建系，根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示求的坐標(biāo)，進(jìn)而結(jié)合數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求解.【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸正方向，為軸正方向，建立直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)，可得，因?yàn)?，則，可得，即，解得，即的坐標(biāo)為，設(shè)，則，，由可得，解得，則，，可得所以．故答案為：.16.如圖，已知，，為邊上的兩點(diǎn)，且滿足，，則當(dāng)取最大值時(shí)，的面積等于______.【答案】##【解析】【分析】由題設(shè)足，考慮三角形的面積之比，將其化簡得，借助于余弦定理和基本不等式求得的最大值和此時(shí)的三角形邊長，由面積公式即可求得.【詳解】如圖，不妨設(shè),分別記面積為,則①②由①，②兩式左右分別相乘，可得：,故得：.設(shè)，中，由余弦定理，，因，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)，因，故，取得最大值，此時(shí)的面積等于.故答案為：.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：對(duì)條件等式的轉(zhuǎn)化，本題中，注意到有角的相等和邊長乘積的比，結(jié)合圖形容易看出幾個(gè)等高的三角形，故考慮從面積的比入手探究，即得關(guān)鍵性結(jié)論，之后易于想到余弦定理和基本不等式求出邊長和角即得.三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分.17.已知為各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和,.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為,若對(duì)恒成立，求實(shí)數(shù)的最大值.【答案】（1）；（2）1.【解析】【分析】（1）先求得的值，然后利用與的關(guān)系推出數(shù)列為等差數(shù)列，由此求得的通項(xiàng)公式；（2）首先結(jié)合（1）求的表達(dá)式，然后用裂項(xiàng)法求得，再根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性求得的最大值．【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，由題設(shè)得，即，又，解得.由知：.兩式相減得：，即.由于，可得，即，所以是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，所以.【小問2詳解】由得：.因?yàn)?，所以，則數(shù)列是遞增數(shù)列，所以，故實(shí)數(shù)的最大值是.18.為提升學(xué)生身體素質(zhì)，鼓勵(lì)學(xué)生參加體育運(yùn)動(dòng)，某高中學(xué)校學(xué)生發(fā)展中心隨機(jī)抽查了100名學(xué)生，統(tǒng)計(jì)他們?cè)谑罴倨陂g每天參加體育運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，并把每天參加體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間超過30分鐘的記為“運(yùn)動(dòng)達(dá)標(biāo)”，時(shí)間不超過30分鐘的記為“運(yùn)動(dòng)欠佳”，運(yùn)動(dòng)達(dá)標(biāo)與運(yùn)動(dòng)欠佳的人數(shù)比為，運(yùn)動(dòng)達(dá)標(biāo)的女生與男生的人數(shù)比為，運(yùn)動(dòng)欠佳的男生有5人.（1）根據(jù)上述數(shù)據(jù)，完成下面2×2列聯(lián)表，并依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析“運(yùn)動(dòng)達(dá)標(biāo)情況”與“性別”是否有關(guān)?性別運(yùn)動(dòng)達(dá)標(biāo)情況合計(jì)運(yùn)動(dòng)達(dá)標(biāo)運(yùn)動(dòng)欠佳男生

女生

合計(jì)

（2）現(xiàn)從“運(yùn)動(dòng)達(dá)標(biāo)”的學(xué)生中按性別用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取6人，再從這6人中任選2人進(jìn)行體能測(cè)試，求選中的2人中恰有一人是女生的概率.參考公式：，.0.100.050.010.0012.7063.8416.63510.828【答案】（1）表格見解析，“運(yùn)動(dòng)達(dá)標(biāo)情況”與“性別”無關(guān).（2）【解析】【分析】（1）由條件完成列聯(lián)表，根據(jù)公式代入計(jì)算可判斷結(jié)果；（2）先根據(jù)分層抽樣方法抽取，然后由概率公式計(jì)算即可.【小問1詳解】2×2列聯(lián)表為：性別運(yùn)動(dòng)達(dá)標(biāo)情況合計(jì)運(yùn)動(dòng)達(dá)標(biāo)運(yùn)動(dòng)欠佳男生20525女生403575合計(jì)6040100假設(shè)：運(yùn)動(dòng)達(dá)標(biāo)情況與性別無關(guān)..根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒有充分證據(jù)推斷不成立，即認(rèn)“運(yùn)動(dòng)達(dá)標(biāo)情況”與“性別”無關(guān).【小問2詳解】已知“運(yùn)動(dòng)達(dá)標(biāo)”的男生、女生分別有20人和40人，按分層隨機(jī)抽樣的方法從中抽取6人，則男生、女生分別抽到2人和4人，則選中2人中恰有一人是女生的概率為.19.如圖，在四棱錐中，底面ABCD為直角梯形，，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，，.（1）證明：平面ABCD；（2）若，求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）由題意，根據(jù)勾股定理的逆定理可證得，結(jié)合線面垂直的判定定理即可證明；（2）由（1），建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求解線面角即可.【小問1詳解】連接AO，，點(diǎn)O為BD的中點(diǎn)，，，為直角三角形，，則，，又，平面ABCD，平面ABCD；【小問2詳解】由（1）知平面ABCD，而平面ABCD，所以，又，過點(diǎn)D作z軸，使得z軸平面ABCD，則可建立如圖空間直角坐標(biāo)系，在中，，，則，，，，，，則，，，設(shè)平面SBC法向量為，直線與平面SBC所成角為，，，得，所以，直線AS與平面SBC所成角的正弦值為.20.已知長為的線段的中點(diǎn)為原點(diǎn)，圓經(jīng)過兩點(diǎn)且與直線相切，圓心的軌跡為曲線.（1）求曲線的方程；（2）過點(diǎn)且互相垂直的直線分別與曲線交于點(diǎn)和點(diǎn)，且，四邊形的面積為，求實(shí)數(shù)的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）直接寫出圓心符合的等量關(guān)系式，進(jìn)而得到曲線的方程；（2）先用點(diǎn)差法求出方程，再聯(lián)立曲線，用弦長公式求，根據(jù)垂直，同理可求，再表示面積即可求出實(shí)數(shù)的值.【小問1詳解】由題意知圓心在線段的垂直平分線上，則,設(shè)，圓的半徑為，則，又圓與直線相切，故，于是，化簡得，所以曲線的方程為.【小問2詳解】設(shè)，根據(jù)可得為的中點(diǎn)，則，得，即，所以直線.聯(lián)立方程，得，得，由，得，所以，所以.設(shè)，因?yàn)榛ハ啻怪?，易知直線，聯(lián)立方程，得，得，由，得，所以，所以.則四邊形的面積為.令，化簡得，解得（舍）或，符合，所以.21.已知函數(shù)在點(diǎn)處的切線斜率為1．（1）求實(shí)數(shù)的值并求函數(shù)的極值；（2）若，證明：．【答案】（1），的極小值為，無極大值.（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）由已知，求出，根據(jù)點(diǎn)處的切線斜率為1，得到，求出，則為已知函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出極值.（2）由，可得，由，然后換元變形，利用導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性即可證明出，則原命題得證.【小問1詳解】由已知，，因?yàn)楹瘮?shù)在點(diǎn)處的切線斜率為1，所以，則，定義域?yàn)?，，令，解得，令，解得，令，解得，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在時(shí)取得極小值，無極大值.【小問2詳解】由已知，令，則，即，，即，兩式相減可得，，兩式相加可得，，消去，得，即，由于，因此只需證明即可，而，不妨設(shè)，則由可知，，令，，令，則，在上遞減，故，在上遞增，，則原命題得證.（二）選考題：共10分.請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題計(jì)分.[選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（10分）22.在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為.（1）求曲線的普通方程與直線的直角坐標(biāo)方程；（2）點(diǎn)分別為曲線與直線上的動(dòng)點(diǎn)，求的最小值.【答案】（1）曲線為，直線為（2）【解析】【分析】（1）利用同角的三角函數(shù)關(guān)系式將曲線C的參數(shù)方程消去參數(shù)，結(jié)合直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)互化公式進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式，結(jié)合輔助角公式、余弦函數(shù)的最值性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【小問1詳解】因?yàn)?，將（為參?shù)），消去參數(shù)，可得.由，得，因?yàn)?，所?所以曲線的普通