空間向量在立體幾何中的應(yīng)用

空間向量在立體幾何中的應(yīng)用導(dǎo)語(yǔ)：空間向量對(duì)于立體幾何而言，是把復(fù)雜的位置關(guān)系進(jìn)行數(shù)據(jù)化，把幾何的內(nèi)容轉(zhuǎn)化為數(shù)據(jù)的計(jì)算從而進(jìn)行解題，因此與空間的觀察分析有著截然不同的解題策略題型一——求空間中的夾角題型一——求空間中的夾角點(diǎn)撥：空間向量應(yīng)用中最常見(jiàn)的問(wèn)題，解題的注意點(diǎn)在于：1、坐標(biāo)系的準(zhǔn)確性2、坐標(biāo)的正確性3、法向量的計(jì)算4、公式的解讀與運(yùn)用1—1、如圖，圓錐的高，底面直徑是圓上一點(diǎn)，且，若與所成角為，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系得：，，而的夾角為又，則，由于，故選：B.1—2、已知二面角為直二面角，，，，，則與，所成的角分別為，，與所成的角為_(kāi)__________.【答案】【解析】如圖，，則兩兩垂直.作，垂足分別為，連接，則，所以為與的所成角，為與的所成角，即，，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，得，，所以，取，則，又，所以，即與所成的角為.故答案為：1—3、如圖，三棱錐中，為線(xiàn)段的中點(diǎn).（1）證明：平面平面；（2）設(shè)，求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，為線(xiàn)段的中點(diǎn)，所以因?yàn)椋?，，所以，故AB．又為線(xiàn)段的中點(diǎn)，所以．又，平面.所以平面又平面，所以平面平面．【小問(wèn)2詳解】取的中點(diǎn)，連接，，因?yàn)闉橹形痪€(xiàn)，所以，又，所以．因?yàn)椋瑸榈闹悬c(diǎn)，所以．又，平面，所以平面，平面，所以，因?yàn)椋瑸榈闹悬c(diǎn)，所以，又，平面，所以平面．以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以、、所在的直線(xiàn)為、、軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示設(shè)，，則，，，，，由，解得．所以.又平面的法向量．設(shè)直線(xiàn)與平面所成角為，則,所以直線(xiàn)與平面所成角為.1—4、已知三棱柱中，底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，為的重心，.（1）求證：；（2）已知，平面，且平面.①求證：；②求與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）①證明見(jiàn)解析；②.【解析】【小問(wèn)1詳解】在三棱柱中，連交于，連，由為的重心，得為的中點(diǎn)，由，，，得，則，因此，，又平面，于是平面，而平面，則，又，所以.【小問(wèn)2詳解】①由，，得為正三角形；同理，也為正三角形，則，從而三棱錐的所有棱長(zhǎng)均為2，該四面體為正四面體，由為的重心，得平面，又平面，顯然不在直線(xiàn)上，所以.②設(shè)的重心為，則，在平面內(nèi)，過(guò)作，連，有平面，以為原點(diǎn)，直線(xiàn)分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，，則，，，，，則，由，得，由平面，則設(shè)，而，則存在實(shí)數(shù)，使，即，解得，，，即，，令，，令，設(shè)與平面所成的角為，因此，所以與平面所成角的正弦值.1—5、如圖，在五面體中，底面為平行四邊形，平面，為等邊三角形，．(1)求證：平面平面；(2)求平面與平面夾角的余弦值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】（1）不妨設(shè)，則，在平行四邊形中，，，，連接，由余弦定理得，即，，.又，，，平面，又平面.平面平面.（2）取中點(diǎn)，連接，，，由（1）易知平面，且.如圖，以為原點(diǎn)，分別以射線(xiàn)所在直線(xiàn)為軸，豎直向上為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，，設(shè)平面的法向量為，則，得，令，得，設(shè)平面的法向量為，則，得，令，得，，所以平面與平面夾角的余弦值.1—6、如圖，在多面體中，底面是平行四邊形，為的中點(diǎn)，．（1）證明：；（2）若多面體的體積為，求平面與平面夾角的余弦值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）．【解析】小問(wèn)1詳解】在中，由余弦定理可得，所以，所以，所以．又因?yàn)?，平?所以平面,平面．所以．由于,所以四邊形為平行四邊形，所以．又，所以，所以．【小問(wèn)2詳解】因?yàn)椋?，又，平?所以平面．取中點(diǎn)，連接，設(shè)．設(shè)多面體的體積為，則．解得．建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，．則平面的一個(gè)法向量．所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量，則即取．所以．所以平面與平面夾角的余弦值為．1—7、如圖，已知四棱臺(tái)中，，，，，，，且，為線(xiàn)段中點(diǎn)，（1）求證：平面；（2）若四棱錐的體積為，求平面與平面夾角的余弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【小問(wèn)1詳解】證明：如圖所示：分別延長(zhǎng)線(xiàn)段，，，交于點(diǎn)，將四棱臺(tái)補(bǔ)成四棱錐.∵，∴，∴，取的中點(diǎn)，連接，，∵，且，∴四邊形為平行四邊形.∴，又平面，平面，∴平面；【小問(wèn)2詳解】由于，所以，又梯形面積為，設(shè)到平面距離為，則，得.而，平面，平面，所以平面，所以點(diǎn)C到平面的距離與點(diǎn)D到平面的距離相等，而，所以平面.以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以直線(xiàn)為x軸，以直線(xiàn)為y軸，建立空間直角坐標(biāo)系，易得為等邊三角形，所以，，，，設(shè)平面的法向量為，則，得，，不妨取，又平面的一個(gè)法向量為.則，平面與平面夾角的余弦值為.1—8、如圖，在正四棱臺(tái)中，.

(1)求證：平面ABCD⊥平面；(2)若直線(xiàn)與平面所成角的正切值為，求二面角的正弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】（1）延長(zhǎng)交于一點(diǎn)P，連接BD交AC于O；

由正四棱臺(tái)定義可知，四條側(cè)棱交于點(diǎn)P，且四棱錐為正四棱錐，即，又點(diǎn)O分別為的中點(diǎn)，故，而，平面，故平面，又平面，故平面平面，即平面平面；（2）由（1）知兩兩垂直，故分別以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)棱臺(tái)的高為h，則，又平面的法向量可取為，而，由題意知直線(xiàn)與平面所成角的正切值為，則其正弦值為，則，解得，所以，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，故，而二面角范圍為，故二面角的正弦值為.題型二——距離問(wèn)題題型二——距離問(wèn)題點(diǎn)撥：解決距離問(wèn)題的關(guān)鍵在于圍繞公式對(duì)向量的靈活運(yùn)用，計(jì)算平面的法向量以及創(chuàng)造兩點(diǎn)之間的線(xiàn)向量就成了最重要的部分2—1、如圖，邊長(zhǎng)為4的兩個(gè)正三角形，所在平面互相垂直，E，F(xiàn)分別為BC，CD的中點(diǎn)，點(diǎn)G在棱AD上，，直線(xiàn)AB與平面相交于點(diǎn)H.（1）從下面兩個(gè)結(jié)論中選一個(gè)證明：①；②直線(xiàn)HE，GF，AC相交于一點(diǎn)；注：若兩個(gè)問(wèn)題均作答，則按第一個(gè)計(jì)分.（2）求直線(xiàn)BD與平面的距離.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）.【解析】【小問(wèn)1詳解】選擇條件①，由,分別為,的中點(diǎn)，得，又平面平面，則平面，又平面，平面平面，所以.選擇條件②，在中，為中點(diǎn)，則與不平行，設(shè)，則，又平面平面，于是平面平面，又平面平面，因此，所以,,相交于一點(diǎn).【小問(wèn)2詳解】若第（1）問(wèn)中選①，由（1）知，平面，則點(diǎn)到平面的距離即為與平面的距離，若第（1）問(wèn)中選②，由,分別為,的中點(diǎn)，則，又平面平面，于是平面，因此點(diǎn)到平面的距離即為與平面的距離，連接,，由均為正三角形，為的中點(diǎn)，得，又平面平面，平面平面平面，于是平面，又平面，則，以點(diǎn)為原點(diǎn)，直線(xiàn)分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，,，設(shè)平面一個(gè)法向量為,則，令，得，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則，所以與平面的距離為.2—2、如圖，在四棱錐中，平面，，，，，點(diǎn)E為的中點(diǎn).(1)證明：平面；(2)求點(diǎn)到直線(xiàn)的距離；(3)求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】（1）證明：取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，又因?yàn)榍遥郧?，所以四邊形為平行四邊形，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平?（2）解：取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)榍?，所以且，所以四邊形為平行四邊形，所以，因?yàn)椋?，又因?yàn)槠矫?，平面，所以，以為坐?biāo)原點(diǎn)，以所在的直線(xiàn)分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，可得，則,所以，則可得，所以，則點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為.（3）解：由（2）中的空間直角坐標(biāo)系，可得，所以，設(shè)平面的法向量為，則，取，可得，所以，設(shè)直線(xiàn)與平面所成角為，則，所以直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為.2—3、如圖，直四棱柱的底面為平行四邊形，分別為的中點(diǎn).(1)證明：平面；(2)若底面為矩形，，異面直線(xiàn)與所成角的余弦值為，求到平面的距離.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】（1）連接，交于點(diǎn)，連接，

則為的中點(diǎn)，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，且，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，所以，且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平?（2）由題意（1）及幾何知識(shí)得，在直四棱柱中，，兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線(xiàn)為軸?軸?軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

設(shè)，則，，.設(shè)異面直線(xiàn)與所成角為，則，解得：，故，則設(shè)平面的一個(gè)法向量為，到平面的距離為.所以即取，得.所以，即到平面的距離為.題型三——?jiǎng)狱c(diǎn)問(wèn)題題型三——?jiǎng)狱c(diǎn)問(wèn)題點(diǎn)撥：解決動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的關(guān)鍵在于對(duì)動(dòng)點(diǎn)的假設(shè)，分為點(diǎn)在線(xiàn)上在面上在空間中三種情況，而考試的側(cè)重則是在線(xiàn)段上的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題3—1、如圖所示，在梯形中，，，.四邊形為矩形，且平面.(1)求證：平面；(2)若直線(xiàn)與所成角的正切值為，點(diǎn)在線(xiàn)段上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)在什么位置時(shí)，平面與平面所成的銳二面角的余弦值為.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）點(diǎn)為線(xiàn)段的靠近的三等分點(diǎn)【解析】（1）因?yàn)樗倪呅螢樘菪?，，，，所以，，則，即又因?yàn)槠矫?，面ABCD，所以.因?yàn)?、都在平面?nèi)，，所以面.（2）取中點(diǎn)，連結(jié)，，由，知，由（1）知，共面且不共線(xiàn)，所以，故直線(xiàn)與所成角為.由平面，面ABCD，所以，又，在面內(nèi)，且，故面，所以面，面，則，在中，，，所以，在，易得，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以、、所在直線(xiàn)為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示，則，，，，，設(shè)為平面的法向量，則，即，取，則.所以由題可知，是平面的一個(gè)法向量，所以.因?yàn)?，解得或（舍去?當(dāng)點(diǎn)為線(xiàn)段的靠近的三等分點(diǎn)時(shí)，平面與平面所成的銳二面角的余弦值為.3—2、已知四棱柱如圖所示，底面為平行四邊形，其中點(diǎn)在平面內(nèi)的投影為點(diǎn)，且．（1）求證：平面平面；（2）已知點(diǎn)在線(xiàn)段上（不含端點(diǎn)位置），且平面與平面的夾角的余弦值為，求的值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【小問(wèn)1詳解】不妨設(shè)，因?yàn)槠矫嫫矫?，故，在中，，由余弦定理，，得，故，則，因?yàn)槠矫?，所以平面，而平面，所以平面平面；【小?wèn)2詳解】由（1）知，兩兩垂直，如圖所示，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立的空間直角坐標(biāo)系，則，故，，所以，設(shè)，則，即，所以；設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則，令，則，所以，因?yàn)檩S平面，則可取為平面的一個(gè)法向量，設(shè)平面與平面的夾角為，則，解得，故．題型四——存在性問(wèn)題題型四——存在性問(wèn)題點(diǎn)撥：存在性問(wèn)題與動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題類(lèi)似，假設(shè)存在，再通過(guò)計(jì)算確定數(shù)值的合理性4—1、如圖，在三棱錐中，平面平面，為等邊三角形，D，E分別為，的中點(diǎn)，，，.(1)求證：平面；(2)在線(xiàn)段上是否存在點(diǎn)F，使得平面與平面的夾角為，若存在，求出的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）存在且【解析】（1）為等邊三角形，D為中點(diǎn)，，又，，，平面，平面，平面，，取中點(diǎn)G，連接，為等邊三角形，，平面平面，平面平面，平面.平面，，與相交，，平面，平面；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，所在直線(xiàn)為x軸，y軸，過(guò)C且與平行的直線(xiàn)為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，設(shè)，則，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，所以，取，可得，為平面的一個(gè)法向量，取平面的一個(gè)法向量為，則，解得，此時(shí)，在線(xiàn)段上存在點(diǎn)F使得平面與平面的夾角為，且.4—2、在直角梯形中，，，，如圖（1）．把沿翻折，使得平面平面．

(1)求證：；(2)在線(xiàn)段BC上是否存在點(diǎn)N，使得AN與平面ACD所成角為60°？若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）存在，【解析】（1）因?yàn)?，且，可得，，又因?yàn)?，可得，所以，則，因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，且平面，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以；?）因?yàn)槠矫?，且平面，所以，如圖所示，以點(diǎn)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，可得，，，，所以，．設(shè)平面的法向量為，則，令，可得，所以，假設(shè)存在點(diǎn)，使得與平面所成角為，設(shè)，（其中），則，，所以，整理得，解得或（舍去），所以在線(xiàn)段上存在點(diǎn)，使得與平面所成角為，此時(shí)．

4—3、如圖,在三棱柱中,直線(xiàn)平面ABC,平面平面.(1)求證:;(2)若,在棱上是否存在一點(diǎn),使二面角的余弦值為?若存在,求的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）存在，【解析】(1)在平面中作于,因?yàn)槠矫嫫矫?且平面平面,所以平面,從而在三棱柱中,平面平面ABC,所以.又因?yàn)?所以平面,因此(2)由(1)可知,兩兩垂直,如圖,以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系.則.設(shè),則設(shè)平面PBC的一個(gè)法向量為,因?yàn)?所以即則有令,得.10分而平面的一個(gè)法向量可以是,則,解得,即為棱的三等分點(diǎn),題型五——綜合問(wèn)題題型五——綜合問(wèn)題5—1、在棱長(zhǎng)為2的正方體中，分別是棱的中點(diǎn)，則（）A．與是異面直線(xiàn)B．存在點(diǎn)，使得，且平面C．與平面所成角的余弦值為D．點(diǎn)到平面的距離為【答案】BC【解析】A選項(xiàng)，以作坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線(xiàn)分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，，則，由于，故與平行，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，設(shè)，因?yàn)?，所以，即，解得，故，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，則，因?yàn)?，故，平面，故存在點(diǎn)，使得，且平面，B正確；C選項(xiàng)，平面的法向量為，故與平面所成角的正弦值為，則與平面所成角的余弦值為，C正確；D選項(xiàng)，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，故，則點(diǎn)到平面的距離為，D錯(cuò)誤.故選：BC5—2、已知直三棱柱中，且，直線(xiàn)與底面所成角的正弦值為，則（）A.線(xiàn)段上存在點(diǎn)，使得B.線(xiàn)段上存在點(diǎn)，使得平面平面C.直三棱柱的體積為D.點(diǎn)到平面的距離為【答案】ABD【解析】在直三棱柱中，底面，則即直線(xiàn)與底面所成角，即，則，所以又且，所以，又底面，底面，所以，所以，解得，所以直三棱柱的體積，故C錯(cuò)誤；又底面，，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，所以，，因?yàn)辄c(diǎn)在線(xiàn)段，設(shè)，，則，若，則，即，解得，此時(shí)為線(xiàn)段的中點(diǎn)，故在線(xiàn)段上存在點(diǎn)，使得，故A正確；當(dāng)為線(xiàn)段的中點(diǎn)時(shí)，則，，設(shè)平面的法向量為，則，取，又，，設(shè)平面的法向量為，則，取，因?yàn)?，所以平面平面，即?dāng)為線(xiàn)段的中點(diǎn)時(shí)滿(mǎn)足平面平面，故B正確；又，，，設(shè)平面的法向量為，則，取，則點(diǎn)到平面的距離，故D正確.故選：ABD5—3、如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，均為所在棱的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的序號(hào)是．

①棱上一定存在點(diǎn)，使得；②三棱錐的外接球的表面積為；③過(guò)點(diǎn)作正方體的截面，則截面面積為；④設(shè)點(diǎn)在平面內(nèi)，且平面，則與所成角的余弦值的最大值為．【答案】②