空間向量在立體幾何中的應(yīng)用

空間向量在立體幾何中的應(yīng)用導(dǎo)語：空間向量對于立體幾何而言，是把復(fù)雜的位置關(guān)系進行數(shù)據(jù)化，把幾何的內(nèi)容轉(zhuǎn)化為數(shù)據(jù)的計算從而進行解題，因此與空間的觀察分析有著截然不同的解題策略題型一——求空間中的夾角題型一——求空間中的夾角點撥：空間向量應(yīng)用中最常見的問題，解題的注意點在于：1、坐標系的準確性2、坐標的正確性3、法向量的計算4、公式的解讀與運用1—1、如圖，圓錐的高，底面直徑是圓上一點，且，若與所成角為，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】建立如圖所示的空間直角坐標系得：，，而的夾角為又，則，由于，故選：B.1—2、已知二面角為直二面角，，，，，則與，所成的角分別為，，與所成的角為___________.【答案】【解析】如圖，，則兩兩垂直.作，垂足分別為，連接，則，所以為與的所成角，為與的所成角，即，，建立如圖空間直角坐標系，設(shè)，則，得，，所以，取，則，又，所以，即與所成的角為.故答案為：1—3、如圖，三棱錐中，為線段的中點.（1）證明：平面平面；（2）設(shè)，求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【小問1詳解】因為，為線段的中點，所以因為，，，所以，故AB．又為線段的中點，所以．又，平面.所以平面又平面，所以平面平面．【小問2詳解】取的中點，連接，，因為為中位線，所以，又，所以．因為，為的中點，所以．又，平面，所以平面，平面，所以，因為，為的中點，所以，又，平面，所以平面．以為坐標原點，分別以、、所在的直線為、、軸，建立空間直角坐標系，如圖所示設(shè)，，則，，，，，由，解得．所以.又平面的法向量．設(shè)直線與平面所成角為，則,所以直線與平面所成角為.1—4、已知三棱柱中，底面是邊長為2的正三角形，為的重心，.（1）求證：；（2）已知，平面，且平面.①求證：；②求與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析（2）①證明見解析；②.【解析】【小問1詳解】在三棱柱中，連交于，連，由為的重心，得為的中點，由，，，得，則，因此，，又平面，于是平面，而平面，則，又，所以.【小問2詳解】①由，，得為正三角形；同理，也為正三角形，則，從而三棱錐的所有棱長均為2，該四面體為正四面體，由為的重心，得平面，又平面，顯然不在直線上，所以.②設(shè)的重心為，則，在平面內(nèi)，過作，連，有平面，以為原點，直線分別為軸建立空間直角坐標系，，則，，，，，則，由，得，由平面，則設(shè)，而，則存在實數(shù)，使，即，解得，，，即，，令，，令，設(shè)與平面所成的角為，因此，所以與平面所成角的正弦值.1—5、如圖，在五面體中，底面為平行四邊形，平面，為等邊三角形，．(1)求證：平面平面；(2)求平面與平面夾角的余弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】（1）不妨設(shè)，則，在平行四邊形中，，，，連接，由余弦定理得，即，，.又，，，平面，又平面.平面平面.（2）取中點，連接，，，由（1）易知平面，且.如圖，以為原點，分別以射線所在直線為軸，豎直向上為軸，建立空間直角坐標系，則，，，，，，，，，設(shè)平面的法向量為，則，得，令，得，設(shè)平面的法向量為，則，得，令，得，，所以平面與平面夾角的余弦值.1—6、如圖，在多面體中，底面是平行四邊形，為的中點，．（1）證明：；（2）若多面體的體積為，求平面與平面夾角的余弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）．【解析】小問1詳解】在中，由余弦定理可得，所以，所以，所以．又因為，平面,所以平面,平面．所以．由于,所以四邊形為平行四邊形，所以．又，所以，所以．【小問2詳解】因為，所以，又，平面,所以平面．取中點，連接，設(shè)．設(shè)多面體的體積為，則．解得．建立如圖所示的空間直角坐標系，則，．則平面的一個法向量．所以，設(shè)平面的一個法向量，則即?。裕云矫媾c平面夾角的余弦值為．1—7、如圖，已知四棱臺中，，，，，，，且，為線段中點，（1）求證：平面；（2）若四棱錐的體積為，求平面與平面夾角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【小問1詳解】證明：如圖所示：分別延長線段，，，交于點，將四棱臺補成四棱錐.∵，∴，∴，取的中點，連接，，∵，且，∴四邊形為平行四邊形.∴，又平面，平面，∴平面；【小問2詳解】由于，所以，又梯形面積為，設(shè)到平面距離為，則，得.而，平面，平面，所以平面，所以點C到平面的距離與點D到平面的距離相等，而，所以平面.以A為坐標原點，以直線為x軸，以直線為y軸，建立空間直角坐標系，易得為等邊三角形，所以，，，，設(shè)平面的法向量為，則，得，，不妨取，又平面的一個法向量為.則，平面與平面夾角的余弦值為.1—8、如圖，在正四棱臺中，.

(1)求證：平面ABCD⊥平面；(2)若直線與平面所成角的正切值為，求二面角的正弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】（1）延長交于一點P，連接BD交AC于O；

由正四棱臺定義可知，四條側(cè)棱交于點P，且四棱錐為正四棱錐，即，又點O分別為的中點，故，而，平面，故平面，又平面，故平面平面，即平面平面；（2）由（1）知兩兩垂直，故分別以為軸建立空間直角坐標系，

設(shè)棱臺的高為h，則，又平面的法向量可取為，而，由題意知直線與平面所成角的正切值為，則其正弦值為，則，解得，所以，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，故，而二面角范圍為，故二面角的正弦值為.題型二——距離問題題型二——距離問題點撥：解決距離問題的關(guān)鍵在于圍繞公式對向量的靈活運用，計算平面的法向量以及創(chuàng)造兩點之間的線向量就成了最重要的部分2—1、如圖，邊長為4的兩個正三角形，所在平面互相垂直，E，F(xiàn)分別為BC，CD的中點，點G在棱AD上，，直線AB與平面相交于點H.（1）從下面兩個結(jié)論中選一個證明：①；②直線HE，GF，AC相交于一點；注：若兩個問題均作答，則按第一個計分.（2）求直線BD與平面的距離.【答案】（1）證明見解析（2）.【解析】【小問1詳解】選擇條件①，由,分別為,的中點，得，又平面平面，則平面，又平面，平面平面，所以.選擇條件②，在中，為中點，則與不平行，設(shè)，則，又平面平面，于是平面平面，又平面平面，因此，所以,,相交于一點.【小問2詳解】若第（1）問中選①，由（1）知，平面，則點到平面的距離即為與平面的距離，若第（1）問中選②，由,分別為,的中點，則，又平面平面，于是平面，因此點到平面的距離即為與平面的距離，連接,，由均為正三角形，為的中點，得，又平面平面，平面平面平面，于是平面，又平面，則，以點為原點，直線分別為軸建立空間直角坐標系，則，,，設(shè)平面一個法向量為,則，令，得，設(shè)點到平面的距離為，則，所以與平面的距離為.2—2、如圖，在四棱錐中，平面，，，，，點E為的中點.(1)證明：平面；(2)求點到直線的距離；(3)求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】（1）證明：取的中點，連接，因為為的中點，所以，又因為且，所以且，所以四邊形為平行四邊形，所以，因為平面，平面，所以平面.（2）解：取的中點，連接，因為且，所以且，所以四邊形為平行四邊形，所以，因為，所以，又因為平面，平面，所以，以為坐標原點，以所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標系，如圖所示，可得，則,所以，則可得，所以，則點到直線的距離為.（3）解：由（2）中的空間直角坐標系，可得，所以，設(shè)平面的法向量為，則，取，可得，所以，設(shè)直線與平面所成角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為.2—3、如圖，直四棱柱的底面為平行四邊形，分別為的中點.(1)證明：平面；(2)若底面為矩形，，異面直線與所成角的余弦值為，求到平面的距離.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】（1）連接，交于點，連接，

則為的中點，因為為的中點，所以，且，因為為的中點，所以，所以，且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又因為平面平面，所以平面.（2）由題意（1）及幾何知識得，在直四棱柱中，，兩兩垂直，以為坐標原點，分別以所在直線為軸?軸?軸建立如圖所示的空間直角坐標系.

設(shè)，則，，.設(shè)異面直線與所成角為，則，解得：，故，則設(shè)平面的一個法向量為，到平面的距離為.所以即取，得.所以，即到平面的距離為.題型三——動點問題題型三——動點問題點撥：解決動點問題的關(guān)鍵在于對動點的假設(shè)，分為點在線上在面上在空間中三種情況，而考試的側(cè)重則是在線段上的動點問題3—1、如圖所示，在梯形中，，，.四邊形為矩形，且平面.(1)求證：平面；(2)若直線與所成角的正切值為，點在線段上運動，當(dāng)點在什么位置時，平面與平面所成的銳二面角的余弦值為.【答案】（1）證明見解析（2）點為線段的靠近的三等分點【解析】（1）因為四邊形為梯形，，，，所以，，則，即又因為平面，面ABCD，所以.因為、都在平面內(nèi)，，所以面.（2）取中點，連結(jié)，，由，知，由（1）知，共面且不共線，所以，故直線與所成角為.由平面，面ABCD，所以，又，在面內(nèi)，且，故面，所以面，面，則，在中，，，所以，在，易得，以為坐標原點，分別以、、所在直線為軸、軸、軸建立空間直角坐標系,如圖所示，則，，，，，設(shè)為平面的法向量，則，即，取，則.所以由題可知，是平面的一個法向量，所以.因為，解得或（舍去）.當(dāng)點為線段的靠近的三等分點時，平面與平面所成的銳二面角的余弦值為.3—2、已知四棱柱如圖所示，底面為平行四邊形，其中點在平面內(nèi)的投影為點，且．（1）求證：平面平面；（2）已知點在線段上（不含端點位置），且平面與平面的夾角的余弦值為，求的值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【小問1詳解】不妨設(shè)，因為平面平面，故，在中，，由余弦定理，，得，故，則，因為平面，所以平面，而平面，所以平面平面；【小問2詳解】由（1）知，兩兩垂直，如圖所示，以為坐標原點，建立的空間直角坐標系，則，故，，所以，設(shè)，則，即，所以；設(shè)為平面的一個法向量，則，令，則，所以，因為軸平面，則可取為平面的一個法向量，設(shè)平面與平面的夾角為，則，解得，故．題型四——存在性問題題型四——存在性問題點撥：存在性問題與動點問題類似，假設(shè)存在，再通過計算確定數(shù)值的合理性4—1、如圖，在三棱錐中，平面平面，為等邊三角形，D，E分別為，的中點，，，.(1)求證：平面；(2)在線段上是否存在點F，使得平面與平面的夾角為，若存在，求出的長；若不存在，請說明理由．【答案】（1）證明見解析（2）存在且【解析】（1）為等邊三角形，D為中點，，又，，，平面，平面，平面，，取中點G，連接，為等邊三角形，，平面平面，平面平面，平面.平面，，與相交，，平面，平面；（2）以為坐標原點，，所在直線為x軸，y軸，過C且與平行的直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，，設(shè)，則，，設(shè)平面的一個法向量為，則，所以，取，可得，為平面的一個法向量，取平面的一個法向量為，則，解得，此時，在線段上存在點F使得平面與平面的夾角為，且.4—2、在直角梯形中，，，，如圖（1）．把沿翻折，使得平面平面．

(1)求證：；(2)在線段BC上是否存在點N，使得AN與平面ACD所成角為60°？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．【答案】（1）證明見解析（2）存在，【解析】（1）因為，且，可得，，又因為，可得，所以，則，因為平面平面，平面平面，且平面，所以平面，又因為平面，所以；（2）因為平面，且平面，所以，如圖所示，以點為原點，建立空間直角坐標系，可得，，，，所以，．設(shè)平面的法向量為，則，令，可得，所以，假設(shè)存在點，使得與平面所成角為，設(shè)，（其中），則，，所以，整理得，解得或（舍去），所以在線段上存在點，使得與平面所成角為，此時．

4—3、如圖,在三棱柱中,直線平面ABC,平面平面.(1)求證:;(2)若,在棱上是否存在一點,使二面角的余弦值為?若存在,求的值;若不存在,請說明理由.【答案】（1）證明見解析（2）存在，【解析】(1)在平面中作于,因為平面平面,且平面平面,所以平面,從而在三棱柱中,平面平面ABC,所以.又因為,所以平面,因此(2)由(1)可知,兩兩垂直,如圖,以為原點建立空間直角坐標系.則.設(shè),則設(shè)平面PBC的一個法向量為,因為,所以即則有令,得.10分而平面的一個法向量可以是,則,解得,即為棱的三等分點,題型五——綜合問題題型五——綜合問題5—1、在棱長為2的正方體中，分別是棱的中點，則（）A．與是異面直線B．存在點，使得，且平面C．與平面所成角的余弦值為D．點到平面的距離為【答案】BC【解析】A選項，以作坐標原點，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標系，，則，由于，故與平行，A錯誤；B選項，設(shè)，因為，所以，即，解得，故，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，則，因為，故，平面，故存在點，使得，且平面，B正確；C選項，平面的法向量為，故與平面所成角的正弦值為，則與平面所成角的余弦值為，C正確；D選項，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，故，則點到平面的距離為，D錯誤.故選：BC5—2、已知直三棱柱中，且，直線與底面所成角的正弦值為，則（）A.線段上存在點，使得B.線段上存在點，使得平面平面C.直三棱柱的體積為D.點到平面的距離為【答案】ABD【解析】在直三棱柱中，底面，則即直線與底面所成角，即，則，所以又且，所以，又底面，底面，所以，所以，解得，所以直三棱柱的體積，故C錯誤；又底面，，如圖建立空間直角坐標系，則，，，，，，所以，，因為點在線段，設(shè)，，則，若，則，即，解得，此時為線段的中點，故在線段上存在點，使得，故A正確；當(dāng)為線段的中點時，則，，設(shè)平面的法向量為，則，取，又，，設(shè)平面的法向量為，則，取，因為，所以平面平面，即當(dāng)為線段的中點時滿足平面平面，故B正確；又，，，設(shè)平面的法向量為，則，取，則點到平面的距離，故D正確.故選：ABD5—3、如圖，在棱長為2的正方體中，均為所在棱的中點，則下列結(jié)論正確的序號是．

①棱上一定存在點，使得；②三棱錐的外接球的表面積為；③過點作正方體的截面，則截面面積為；④設(shè)點在平面內(nèi)，且平面，則與所成角的余弦值的最大值為．【答案】②