2020-2021學(xué)年北京市海淀區(qū)高三年級上冊期末數(shù)學(xué)試卷 （解析版）

2020-2021學(xué)年北京市海淀區(qū)高三（上）期末數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題（共10小題）.

1.拋物線丁=x的準(zhǔn)線方程是（）

11「1

A.x=--B.x=--C.v=--D.y=--

2424

2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點位于（)

1+i

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

3.在a-2)5的展開式中，d的系數(shù)為（)

A.5B.-5C.10D.10

4.已知直線/：x+ay+2=09點A(-1,-1)和點8(2,2)若/〃43,則實數(shù)〃的值為

()

A.1B.-1C.2D.-2

5.某三棱錐的三視圖如圖所示，該三棱錐的體積為（）

正（主）視圖側(cè)（左）視圖

俯視圖

A.2B.4C.6D.12

6.已知向量之，芯滿足|1=1,b=(r,1),且戛-3=2,則？()

A.-1B.0C.1D.2

7.已知a,0是兩個不同的平面，“a〃B”的一個充分條件是（）

A.a內(nèi)有無數(shù)直線平行于P

B.存在平面丫，a±y,p±y

C.存在平面y,aAY=nz,pHy=/2,且相〃〃

D.存在直線/,/±a,/±p

、IT

8.已知函數(shù)/(x)=1-2sin2(x+----)，貝I()

4

A.f（x）是偶函數(shù)

B.函數(shù)/(x)的最小正周期為2ir

兀

C.曲線(x)關(guān)于乂=^----對稱

4

D.f⑴>f⑵

9.數(shù)列｛斯｝的通項公式為%=/-3”，neN*.前”項和為5”.給出下列三個結(jié)論：

①存在正整數(shù)〃?，n(nt手”)，使得S,”=S"；

②存在正整數(shù)加，n(加左”)，使得《"+""=a正a口；

③記北=勾『…&(n=l,2,3,…)則數(shù)列｛乙｝有最小項.

其中所有正確結(jié)論的序號是()

A.①B.③C.①③D.①②③

10.如圖所示，在圓錐內(nèi)放入兩個球。2,它們都與圓錐相切(即與圓錐的每條母線相

切)，切點圓(圖中粗線所示)分別為OG,OC2.這兩個球都與平面“相切，切點分別

為F\,尸2,丹德林(G,Dandelin')利用這個模型證明了平面a與圓錐側(cè)面的交線為橢圓，

巳為此橢圓的兩個焦點，這兩個球也稱為。Gide〃”雙球.若圓錐的母線與它的軸的

夾角為30°,0G,0c2的半徑分別為1,4,點M為OC2上的一個定點，點P為橢圓

上的一個動點，則從點P沿圓錐表面到達(dá)點M的路線長與線段PF\的長之和的最小值是

()

*Oi

A.6B.8C.3百D.孰反

二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。

11.（5分）在“互聯(lián)網(wǎng)+”時代，國家積極推動信息化技術(shù)與傳統(tǒng)教學(xué)方式的深度融合，

實現(xiàn)線上、線下融合式教學(xué)模式變革.某校高一、高二和高三學(xué)生人數(shù)如圖所示.采用

分層抽樣的方法調(diào)查融合式教學(xué)模式的實施情況，在抽取樣本中，高一學(xué)生有16人，則

該樣本中的高三學(xué)生人數(shù)為.

人數(shù)

12.（5分）設(shè)等比數(shù)列｛%｝的前〃項和為S“.若-Si、S2、的成等差數(shù)列，則數(shù)列｛斯｝的公

比為_______

13.（5分）已知雙曲線的左、右焦點分別為丹，尸2,點M（-3,4）,則雙

2

曲線的漸近線方程為;\MF\I-\MF2\=.

14.（5分）已知函數(shù)/（x）是定義域R的奇函數(shù)，且xWO時，/（x）=aex-1,則a—,

f（x）的值域是.

15.（5分）已知圓P:（x-5）2+（>>-2）2=2,直線/：點M（5,2+J］）,點A

（s,/）.給出下列4個結(jié)論：

①當(dāng)〃=0,直線/與圓P相離：

②若直線/圓P的一條對稱軸，則

5

9n

③若直線/上存在點A,圓尸上存在點N,使得NMAN=90°,則。的最大值為套；

④N為圓尸上的一動點，若NMAN=90°,則r的最大值為芻返型.

4

其中所有正確結(jié)論的序號是.

三、解答題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程。

16.（15分）在三棱柱ABC-4B|Ci中，側(cè)面8CGB］為矩形，AC-L平面D,E

分別是棱AA,BBi的中點.

(I)求證：AE〃平面

(II)求證：CCJ平面ABC;

(III)若AC=BC=A4i=2,求直線AB與平面BCQ所成角的正弦值.

17.(14分)若存在AABC同時滿足條件①、條件②、條件③、條件④中的三個，請選

擇一組這樣的三個條件并解答下列問題：

(I)求NA的大??；

(II)求cosB和a的值.

條件①:sinC=:

14

條件②：a=Jc；

條件③：b-?=1；

條件④：bcosA=~---

18.(14分)某公司在2013?2021年生產(chǎn)經(jīng)營某種產(chǎn)品的相關(guān)數(shù)據(jù)如表所示：

年份201320142015201620172018201920202021

年生產(chǎn)臺數(shù)(單位：萬臺)3456691010a

年返修臺數(shù)(單位：臺)3238545852718075b

年利潤(單位：百萬元)3.854.504.205.506.109.6510.0011.50c

..年派修軍一年返修臺數(shù)

年,修年年生產(chǎn)臺數(shù).

(1)從2013—2020年中隨機(jī)抽取一年，求該年生產(chǎn)的產(chǎn)品的平均利潤不小于100元/

臺的概率；

(II)公司規(guī)定：若年返修率不超過千分之一，則該公司生產(chǎn)部門當(dāng)年考核優(yōu)秀.現(xiàn)從

2013?2020年中隨機(jī)選出3年，記;表示這3年中生產(chǎn)部門獲得考核優(yōu)秀的次數(shù).求彳

的分布列和數(shù)學(xué)期望；

(III)記公司在2013?2015年，2016?2018年，2019?2021年的年生產(chǎn)臺數(shù)的方差分

別為S/，，出若$3二〃7奴缶2,S2),其中“ZtRsJ,.小｝表示S」，，鼠，這兩個數(shù)中

最大的數(shù).請寫出〃的最大值和最小值.(只需寫出結(jié)論)

(注：s-=L[(x1-x)2+(x2-x)?+…(x”-x)*],其中x為數(shù)據(jù)xi,X2,■■,

n1zn

%的平均數(shù))

221(a>b>0)的離心率為返,

19.(14分)已知橢圓W：\+了且經(jīng)過點C(2,愿).

b22

(I)求橢圓W的方程及其長軸長；

(II)A,B分別為橢圓W的左、右頂點，點。在橢圓W上，且位于x軸下方，直線8

交x軸于點Q.若aACQ的面積比△BOQ的面積大2次，求點。的坐標(biāo).

20.(14分)已知函數(shù)/(X)=工型.

X

(I)求函數(shù)/(X)的單調(diào)區(qū)間：

(II)設(shè)g(x)=f(x)-x,求證：g(x)W-l;

(III)設(shè)/?(x)=f(x)-x+2cix-4?2+1.若存在沏使得〃(沏)20,求4的最大值.

21.(14分)設(shè)A是由〃X〃(〃22)個實數(shù)組成的〃行〃列的數(shù)表，滿足：每個數(shù)的絕對

值是1,且所有數(shù)的和是非負(fù)數(shù)，則稱數(shù)表A是“〃階非負(fù)數(shù)表”.

(I)判斷如下數(shù)表A]，A2是否是“4階非負(fù)數(shù)表”；

數(shù)表A]

11-1-1

11-1-1

1-11-1

11-1-1

11-1-1

(II)對于任意“5階非負(fù)數(shù)表”A,記R(s)為A的第s行各數(shù)之和QWsW5),證

明：存在｛i,j,燈勺｛1,2,3,4,5｝,使得R(/)+R(j)+R(k)23;

(III)當(dāng)”=2A(依N")時，證明：對與任意“〃階非負(fù)數(shù)表”4,均存在左行改列，使

得這k行k列交叉處的產(chǎn)個數(shù)之和不小于k.

參考答案

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目

要求的一項。

1.拋物線J=x的準(zhǔn)線方程是（）

__1

A.x=B.x=~—C.y=--D.

242

解：拋物線y2=x的焦點在x軸上，且開口向右，2P=1,

?P.=A

"24,

拋物線/=%的準(zhǔn)線方程為x=-工

4

故選:B.

i

2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)■對應(yīng)的點位于（)

1+i

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

ii(1-i)

解：'I—：--"7一■E一-Ki，

1+i(1+i)(l-i)

.??復(fù)數(shù)去對應(yīng)的點的坐標(biāo)為（$■，★），

位于第一象限.

故選：A.

3.在（x-2）5的展開式中，一的系數(shù)為（)

A.5B.-5C.10D.10

解：（x-2）5的展開式的通項為7rH=c#-'21

所以f的系數(shù)為C：X2=10.

U

故選：D.

4.已知直線/:X+OT+2=0,點4(-1,-1)和點8(2,2),若/〃48,則實數(shù)。的值為

()

A.1B.-1C.2D.-2

解：???直線/:x+ay+2=0,點A(-1,-1)和點3(2,2),

二直線AB的斜率為2tL=1,

2+1

若/〃AB,則-工=1,求得a=-l,

a

故選:B.

5.某三棱錐的三視圖如圖所示，該三棱錐的體積為（）

正（主）視圖側(cè)（左）視圖

俯視圖

A.2B.4C.6D.12

解：由三視圖可知，該三棱錐的兩個頂點為正方體的頂點，另外兩個頂點是正方體棱的

中點，

故選：A.

6.已知向量之，4滿足|；|=1,芯=（-2,1）,且戛-3=2，則1b=（）

A.-1B.0C.1D.2

解：向量之，芯滿足q=1,b=（-2,1）,且|Z-E|=2,

即1-211+5=4,

則］b=1-

故選：C.

7.已知a,0是兩個不同的平面，“a〃0”的一個充分條件是（）

A.a內(nèi)有無數(shù)直線平行于p

B.存在平面丫，a±y?P-Ly

C.存在平面Y，aP)Y=m，pny=H,且"2〃〃

D.存在直線/,/±a,/±p

解：由a內(nèi)有無數(shù)直線平行于0,不一定得到a〃'a與0也可能相交,

故A錯誤；

若存在平面丫，使a_Ly,p±y?不一定得到a〃da與0也可能相交,

故3錯誤：

存在平面Y，aPlY=〃2,pny=n,且加〃心不一定得到a〃0,a與0也可能相交,

如圖：

故C錯誤；

存在直線/,/±a,/±p,由直線與平面垂直的性質(zhì)，可得a〃0,故。正確.

故選：D.

cJT

8.已知函數(shù)/(無)=1-2sin~(x+----)，則()

4

A.f(x)是偶函數(shù)

B.函數(shù)/(x)的最小正周期為2冗

JT

C.曲線y=/(x)關(guān)于又二^一丁對稱

D.f(1)>f(2)

解：f(x)=1-2sin2(x+--)=cos2(x+---)=cos(2r+---)=-sin2x,

442

9jr

則函數(shù)/(x)為奇函數(shù),函數(shù)的周期T=-=n,

jIjI11jI

當(dāng)x=----時，/(x)=-sin[2X(---)]=-sin(-——)=1為最大值，則=----是

442x4

對稱軸，

/(1)=-sin2,f(2)=-sin4,則f(l)</(2),

故正確的是C,

故選：C.

9.數(shù)列｛的｝的通項公式為詼=〃2-3〃,寐N*,前〃項和為&.給出下列三個結(jié)論:

①存在正整數(shù)n(機(jī)手〃)，使得S”=S"；

②存在正整數(shù)m,〃(m*n),使得2'a二a

③記7；1=。1〃2…%(?=1,2,3,…)則數(shù)列｛KJ有最小項.

其中所有正確結(jié)論的序號是()

A.①B.③C.①③D.①②③

解：若存在正整數(shù)〃?，n("#〃)，使得S"=S,”則S”-S”=O,

即??i+1+Clm+2+,,=0,

令斯=0,解得"=0(舍)或〃=3,即的=。，

所以存在m=2,”=3,使得S"=S"

故選項①正確；

因為即+a”=2j^H即胃二)=0'

即即=%，且a,”》。，

記y=〃2-3〃，對稱軸為n。*，

而〃=1,2,3,…故只有〃i=l,m=2時，有anja%,

但此時a\=\-3=-2=a2Vo不成立，

故不存在正整數(shù)，%n(/〃=#〃)，使得a,"+a”=263；,故選項②錯誤；

因為北=。1〃2…%(〃=1,2,3,…)，

則0=-2,“2=-2,43=0,且當(dāng)〃22時，斯單調(diào)遞增，

所以當(dāng)”>3時，a?>0,而兀=0,

故當(dāng)〃>3時，，=0,又"=4,Ti=-2,

所以數(shù)列｛〃｝有最小項T,=-2,故選項③正確.

故選：C.

10.如圖所示，在圓錐內(nèi)放入兩個球。，。2,它們都與圓錐相切（即與圓錐的每條母線相

切），切點圓（圖中粗線所示）分別為OG,OC2.這兩個球都與平面4相切，切點分別

為F\,尸2,丹德林（G,Dandelin'）利用這個模型證明了平面a與圓錐側(cè)面的交線為橢圓，

Fi,巳為此橢圓的兩個焦點，這兩個球也稱為力“加屹〃〃雙球.若圓錐的母線與它的軸的

夾角為30°,0G,0c2的半徑分別為1,4,點”為0c2上的一個定點，點P為橢圓

上的一個動點，則從點P沿圓錐表面到達(dá)點M的路線長與線段PQ的長之和的最小值是

（）

A.6B.8C.3百D.473

解：如圖所示，在橢圓上任取一點P,連接VP交Ci于Q,交C2于點R,

連接0衛(wèi)，。/|,PO\,PFi,O2R,

在△OIPF與△OIPQ中，O|Q=O/=n,其中n為球半徑，

NOiQP=NOiFP=90°,O|P為公共邊，

所以△OiPF0Z\O|P。，所以PQ=PQ,

設(shè)P沿圓錐表面到達(dá)M的路徑長為（1,

則PF\+d=PQ+d^PQ+PR=QR,

當(dāng)且僅當(dāng)P為直線VM與橢圓的交點時取等號，

rr

°區(qū)2_0%_2-l.2r

3

QR=V/?-ve=tan30°\an30°;6一的，

故從點p沿圓錐表面到達(dá)點M的路線長與線段PF1的長之和的最小值是3a.

故選：C.

二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。

11.（5分）在“互聯(lián)網(wǎng)+”時代，國家積極推動信息化技術(shù)與傳統(tǒng)教學(xué)方式的深度融合,

實現(xiàn)線上、線下融合式教學(xué)模式變革.某校高一、高二和高三學(xué)生人數(shù)如圖所示.采用

分層抽樣的方法調(diào)查融合式教學(xué)模式的實施情況，在抽取樣本中，高一學(xué)生有16人，則

該樣本中的高三學(xué)生人數(shù)為12.

人數(shù)

解：根據(jù)直方圖知，抽樣比例為磊■=/，

所以應(yīng)該抽取高三人數(shù)為600X2-=12（人）.

50

故答案為：12.

12.（5分）設(shè)等比數(shù)列｛斯｝的前w項和為S”.若-Si、52、。3成等差數(shù)列,則數(shù)列｛斯｝的公

比為3或-1.

解：S2,.成等差數(shù)列,

：.2S2=-St+a3,又?jǐn)?shù)列｛斯｝為等比數(shù)列，

.*.2=一。1+〃]才，

整理得：Qi/--3〃]=0,

又m#=O,/.q2-2q-3=0,

解得：q=3或-1.

故答案為：3或-1.

2

13.（5分）已知雙曲線f-2_=1的左、右焦點分別為人，點“（-3,4）,則雙

2

曲線的漸近線方程為y=±J3v；\MFx\-\MF^=-2.

解：雙曲線-2_=1的漸近線方程為：y=±J*,

雙曲線的焦點坐標(biāo)（土愿，0）,

M在雙曲線上，

所以IMKI一|“尸2尸-2a=-2,

故答案為：y=±J永；-2.

14.（5分）已知函數(shù)f（x）是定義域R的奇函數(shù)，且xWO時，/（x）=ae-1,則a=1

f(x)的值域是(-1,1)

解：根據(jù)題意，函數(shù)/(x)是定義域R的奇函數(shù)，則/(0)=0,

又由xWO時，f(x)=ae-1,則/(0)=a-1=0,解可得a—1,

在區(qū)間(-8,0]±,/(%)=/-1,有W0,

又由/(x)為奇函數(shù)，則有-lV/(x)<1,即函數(shù)的值域為(-1,1),

故答案為：1,(-1,1).

15.(5分)已知圓P:(x-5)2+(y-2)n=2,直線/：y=ax,點H(5,2+料)，點A

(s,r).給出下列4個結(jié)論：

①當(dāng)。=0,直線/與圓P相離；

②若直線/圓尸的一條對稱軸，則4=2；

5

③若直線/上存在點A,圓P上存在點N,使得NM4N=90°,則〃的最大值為

④N為圓P上的一動點，若NM4N=90°,則r的最大值為殳反也.

4

其中所有正確結(jié)論的序號是①②④.

解：當(dāng)〃=0時，直線/:y=0,

故圓的半徑r=J，小于點P到直線的距離，

所以當(dāng)。=0,直線/與圓P相離，故選項①正確;

因為圓的對稱軸過圓心，故直線/過點(5,2),

9

又直線/:y=ax,所以“='，故選項②正確;

考慮極限情況：M,N為切點時比例，N為割點時的NAMN更大,

故直線/的斜率最大時，點A/,N均應(yīng)為切點，過M作圓的切線,

則XA=5-V^，yA=2-h/2,

所以a與g一號I2＞朵，故選項③錯誤；

5-V22320

設(shè)N(5+&COS8,2+&sin8),M(5,2+衣)，

則MN的中點Q(5+^^CQS0，2^2Sn8)，

而NM4N=90°,則點A為以MN為直徑的圓上，

設(shè)半徑為r,MN1=4-4sin0,則廠A,

所以t最大時應(yīng)該是點。的縱坐標(biāo)加半徑,即t—sin0+Vl-sin0，

令g(%)=4*^]-X，〔一1,1】,

令-Wi-?[°，得/(。=2^^(1-1I2)+1i,咋[0,收,

/(口)=N?+N+2+^2，當(dāng)艮^2時，/(U)3=f(P^)=

手埠+2地序,

所以r的最大值為由退竺，故選項④正確；

4

故答案為：①②④.

三、解答題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程。

16.(15分)在三棱柱ABC-4B1G中，側(cè)面8CGB1為矩形，ACJ■平面BCGBi,D,E

分別是棱AAi,的中點.

(I)求證：AE〃平面8C。；

(II)求證：CCJ平面ABC;

(III)若AC=BC=A4|=2,求直線AB與平面BiCQ所成角的正弦值.

【解答】解：(I)證明：在三棱柱ABC-中，AA\//BB\,且A4|=8&.

因為點￡>,E分別時棱23的中點，

所以4￡>〃B|E,且AO=8|E.

所以四邊形AEB\D是平行四邊形.

所以AE〃DBi.

又因為AEC平面8CQ,。2仁平面8GQ,

所以AE〃平面B\C\D.

(II)證明：因為ACJ■平面BCGBi,CGu平面BCG所,

所以AULCG.

因為側(cè)面BCGBi為矩形,

所以CCt±BC.

又因為ACHBC=C,ACu平面ABC,BCu平面ABC,

所以CCJ平面ABC.

(Ill)解：分別以CA,CB,CG所在的直線為x軸，)，軸，z軸建立如圖所示的空間直

角坐標(biāo)系C-xyz,

由題意得A(2,0,0)B(2,0,0),Bi(0,2,2),C1(0,0,2),D(2,0,1).

所以族=(-2,2,2),“；=(0,2,0),C7D=(2,0,-1).

設(shè)平面的法向量為〃=(x,yfz),則

n'C^^O,f2y=0,

<aa即<

n：Ci6=0,12x-z=0.

令x=l,則y=0,z=2.

于是(1,0,2).

AB_______^2_____V~10

所以cos<n,AB〉=

Gl國廣遮X2a=F

所以直線AB與平面BiG。所成角的正弦值為Tio

~L0~1

17.(14分)若存在△ABC同時滿足條件①、條件②、條件③、條件④中的三個，請選

擇一組這樣的三個條件并解答下列問題：

(I)求NA的大小;

(II)求cosB和a的值.

條件①：sinC二2號；

14

條件②：a=Jc；

O

條件③：b-a=1;

5

條件④：bcosA=-

解：若選擇①②③，

(I)因為a^c，sinC=￥>由正弦定理可得sinA=史里里=坐

314c2

TT冗

因為8-4=1,所以a<b,可得0VNAV丁，可得NA=F?.

/o

7K

(II)在△ABC中，a'c，所以”>c,所以O(shè)VNCC—,

32

因為sinC=—可得cosC=71-sin2C='||''

所以cos8=cos|n-(A+C)]=cos-(A+C)=sinAsinC-cosAcosC=&2X里14—2X衛(wèi)14

_1

一r

所以sin8=Ji-cos2B=^^,

W3返

由正弦定理可得一^-=2，可得7匕=8。,

ba

因為8-4=1,所以。=7.

若選擇①②④，

(I)因為a<c，sinC=m應(yīng)，由正弦定理可得sinA=竺囪區(qū)>=坐

314c2

R

在AABC中，hcosA=-—,

,,冗

所以---<NAVn,

2

可得NA=今2冗.

o

7

(II)在AABC中，a《c，

o

所以a>cf

n

所以O(shè)VNCV-^-,

因為sinC可得cosC=Vl-sin2C=^'

所以cosB=cos[it-(A+C)]=-cos(A+C)=sinAsinC-cosAcosC—^-^-XX-^-

214214

=11

14'_

所以力歷={"0$2『警,

5

因為bcosA=--,

_5

所以b=―^-=5,

T

,返X5

由正弦定理可得a=b'SirA=2=7.

sinB5V3

14

18.(14分)某公司在2013?2021年生產(chǎn)經(jīng)營某種產(chǎn)品的相關(guān)數(shù)據(jù)如表所示：

年份201320142015201620172018201920202021

年生產(chǎn)臺數(shù)(單位：萬臺)3456691010a

年返修臺數(shù)(單位：臺)3238545852718075h

年利泗(單位：百萬元)3.854.504.205.506.109.6510.0011.50c

異飯性主年返修臺數(shù)

汪：年返修率一年生產(chǎn)臺數(shù)?.

(I)從2013—2020年中隨機(jī)抽取一年，求該年生產(chǎn)的產(chǎn)品的平均利潤不小于100元/

臺的概率;

(II)公司規(guī)定：若年返修率不超過千分之一，則該公司生產(chǎn)部門當(dāng)年考核優(yōu)秀.現(xiàn)從

2013?2020年中隨機(jī)選出3年，記E表示這3年中生產(chǎn)部門獲得考核優(yōu)秀的次數(shù).求；

的分布列和數(shù)學(xué)期望；

(III)記公司在2013?2015年，2016?2018年，2019—2021年的年生產(chǎn)臺數(shù)的方差分

別為S/，S2),S3，若S2),其中〃7ax{s/，.*2}表示S『，S2?,這兩個數(shù)中

最大的數(shù).請寫出。的最大值和最小值.(只需寫出結(jié)論)

(注：s~=工［(X［-x)2+(x,-x)?+…(x”-x)2］，其中x為數(shù)據(jù)為,X2,■■■,

n1"n

X”的平均數(shù))

解：(I)由圖表知，2013年?2020年中，產(chǎn)品的平均利潤小于100元/臺的看人發(fā)只

有2015年，2016年,

.?.從2013年?2020年中隨機(jī)抽取一年，該年生產(chǎn)的平均利潤不小于100元/臺的^率為

P=—=0.75.

8

(II)由圖表得，2013?2020年中，返修率超過千分之一的年份只有2013年和2015年,

.苫的所有可能取值為1,2,3,

cir2

P（日）3

28

^8

C2c1

15

P（『2）

c328

c洌5

P伐=3）

7r14

的分布列為:

123

p3155

2828II

.?.E⑻=ix±+2X圣+3X三

2828144

(III)a的最大值為13,最小值為7.

(。＞方＞0)的離心率為返，且經(jīng)過點c(2,J3)

19.(14分)已知橢圓W:

2

(I)求橢圓W的方程及其長軸長;

(II)A,B分別為橢圓W的左、右頂點，點。在橢圓W上，且位于x軸下方，直線CQ

交x軸于點Q.若44。。的面積比△2。。的面積大2我，求點。的坐標(biāo).

cV3

解:(I)由已知可得：3

2飛-：

b

22,

a八=b+c

解得。=4,b=2,。=2日,

22

故橢圓的方程為：2_個。=1，且長軸長為2a=8；

164

(II)因為點。在x軸下方，所以點。在線段AB(不包括端點)上,

由(I)可知A(-4,0),8(4,0),

所以△AOC的面積為/X4X?=2勺與，

因為△AC。的面積比XBDQ的面積大2日，

所以點Q在線段08(不包括端點)上，且△OC。的面積等于△80。的面積，

所以△OCB的面積等于△BCO的面積，

所以O(shè)D//BC,

設(shè)。(加，〃),7?<0,

則工

m4-22

22

因為點。在橢圓W上，所以典_J_=i，

164

解得力=2,〃=-百，

所以點。的坐標(biāo)為(2,-^3).

20.(14分)已知函數(shù)/(x)型.

X

(I)求函數(shù)/(X)的單調(diào)區(qū)間；

(II)設(shè)g(x)=f(x)-X,求證：g(x)W-l;

(III)設(shè)力(x)=f(x)-x'+lax-4a2+1.若存在即使得/?(沏)20,求a的最大值.

1

解：(I)?"(X)=^~,：.f(尤)」尸,

Xx"

令(x)=0,解得：x=e,

x,f(x),f(x)的變化如下:

X(0,e)e(.e,+8)

f'(x)+0-

/(x)遞增極大值遞減

故/(x)在(0,e)遞增，在(%+8)；

(II)證明：:/(x)=^~,：.g(X)

XX

2

lTnxi_1-lnx-x

...g'(x)=o-1=-----------，

①當(dāng)xe(o,i)時，-1曲>0,故g'(x)>0,

②當(dāng)xe(1,+8)時，-lnx<0,故g'(x)<0,

故g(X)在(0,1)遞增，在(1,4-00)遞減，

故g(X)Wg(1)=-1；

n

(III)V/(x)=1三,/./?(x)=-^n^--X2+2CIX-4a2+1,

XX

①當(dāng)OWaW，■時，h(1)=2a-4a=2a(1-2a)》0,即存在1,使得/?(1)>0:

②當(dāng)a>工時，由(II)可知：@即@"Wx-I,

2xx

故h(x)Wx-x+2ax-4a2

=-(xWg2+(2a+M-4/

ix2J4

W-3cr2+a+—

4

_一(2a-l)(6a+l)

4，

綜上，對任意x>0,/?Or)<0,

即不存在xo使得力（xo）》0,

綜上，。的最大值是處.

21.（14分）設(shè)A是由〃X"（〃22）個實數(shù)組成的〃行〃列的數(shù)表，滿足：每個數(shù)的絕對

值是1,且所有數(shù)的和是非負(fù)數(shù)，則稱數(shù)表A是''〃階非負(fù)數(shù)表”.

（I）判斷如下數(shù)表A,4是否是“4階非負(fù)數(shù)表”；

數(shù)表A2

-1

111-1

1-11-1

11-1-1

(II)對于任意“5階非負(fù)數(shù)表”A,記R(s)為A的第s行各數(shù)之和(lWs<5),證

明