【五年中考+一年模擬】 幾何與圓中檔題-2023年溫州中考數(shù)學(xué)真題模擬題分類匯編（解析版）-中考數(shù)學(xué)備考復(fù)習(xí)重點資料歸納

專題20幾何與圓中檔題

1.(2022?溫州)如圖，在AA8C中，于點。，E,F分別是AC,AB的中點,

O是小的中點，EO的延長線交線段3。于點G,連結(jié)。E,EF,FG.

(1)求證：四邊形是平行四邊形.

(2)當(dāng)4)=5,tanNE￡>C=*時，求FG的長.

2

【詳解】(I)證明：E,F分別是4C,45的中點,

.?.防是AABC的中位線，

:.EF//BC,

:.AEFO=Z.GDO,

O是"'的中點，

.\OF=OD,

在AOEF和XOGD中，

Z.EFO=ZGDO

"OF=OD,

NEOF=NGOD

\OEF=AOGD(ASA),

:.EF=GD,

：.四邊形ZJEFG是平行四邊形.

(2)解：ADXBC.

:.ZADC^90°,

E是AC的中點，

:.DE=-AC=CE,

2

:.ZC=ZEDC,

An5

/.tanC=——=tanZEZX;="

CD2

即---=一，

CD2

:.CD=2,

：.AC=yjAD2+CD2=yj52+22=729,

.-.DE=-AC=-,

22

由（1）可知，四邊形DEFG是平行四邊形，

,一則

..FG=DE=-----.

2

2.（2021?溫州）如圖，在.A8CD中，E,尸是對角線3。上的兩點（點石在點尸左側(cè)）,

且NA￡B=NC立＞=90。.

（1）求證：四邊形AEC廠是平行四邊形；

3

（2）當(dāng)AB=5,tanZAB￡=-,N8E=ZE4F時，求的長.

4

【答案】(1)見解析；(2)6+V13

【詳解】(1)證明：ZAEB=NCFD=90。,

:.AE±BD,CF.LBD,

:.AE//CFf

四邊形ABC。是平行四邊形，

:.AB=CD,AB//CD,

:.ZABE=/CDF,

在AA龐:和ACO產(chǎn)中，

NAEB=NCFD

<NABE=NCDF,

AB=CD

.\AABE=^CDF(AAS),

：.AE=CF,

.??四邊形AECF是平行四邊形；

3AF

（2）解：在RtAABE中，tanZA5￡=—=——，

4BE

設(shè)AE=3a,則應(yīng)：=4a,

由勾股定理得：（3tz）2+（W=52,

解得：4=1或々=—1（舍去），

.?.AE=3,BE=4,

由（1）得：四邊形AECF是平行四邊形，

:,ZEAF=ZECF,CF=AE=3,

.NCBE=NEAF,

:.ZECF=/CBE,

/.tanNCBE=tanZ.ECF,

CFEF

?.,■=----，

BFCF

:.CF2=EFxBF,

設(shè)￡F=x,則BF=x+4,

32=x（x+4）,

解得：x=>/i_5-2或x=-2,（舍去），

即￡尸=而一2,

由（1）得：/^ABE=ACDF,

：.BE=DF=4,

：.BD=BE+EF+DF=4+y[\3-2+4=6+.

3.（2020?溫州）如圖，C,D為。上兩點，且在直徑A3兩側(cè)，連接CD交A8于點E,

G是4c上一點，ZADC=^G.

（1）求證：Z1=Z2.

（2）點C關(guān)于OG的對稱點為尸，連接CN.當(dāng)點F落在直徑他上時，CF=10,

tanZl=-,求O的半徑.

5_

【答案】（1）見解析；（2）—

4

【詳解】（1）ZADC=Z.G,

AC=AD,

AB為O的直徑，

BC—BD,

/.Z1=Z2；

（2）如圖，連接OF,

G

AC=ADfAB是一O的直徑,

:.AB±CD,CE=DE,

/.FD=FC=10,

?點、C,尸關(guān)于OG對稱，

/.DC=DF=\0,

:.DE=5,

八2

tanZl=—,

5

/.EB—DE-tanZ1=2,

Z1=Z2,

八2

tanZ2=—,

5

..DE25

AE=-----=—,

tanZ22

29

...AB=AE+EB=—,

2

o的半徑為”.

4.（2019?溫州）如圖，在AABC中，NS4C=90。，點E在BC邊上，且C4=CE,過A,

C,￡三點的。交至于另一點尸，作直徑A。，連接。E并延長交他于點G,連接C￡>,

CF.

（1）求證：四邊形DCFG是平行四邊形.

求:O的直徑長.

【答案】（1）見解析；（2）3石

【詳解】（1）證明：連接AE,

ABAC=90°，

，C尸是O的直徑，

AC=EC,

AC=CE,

.\CF±AE,

AD是_O的直徑，

/.ZA￡D=90°,

即GO_LAE,

:.CF//DG,

是。的直徑，

/.ZACD=90°,

ZACD+N班。=180。，

:.AB//CD,

二.四邊形DC尸G是平行四邊形;

(2)解：由CD=—A5,

8

設(shè)CD=3x,AB=8%,

CD-FG=3x，

ZAOF=/COD,

/.AF=CD=3x，

/.BG=8x—3x—3x=2x,

GE//CF,

BEBG2

耘一定一晨

BE=4,

/.AC=CE=6,

一.BC=6+4=10,

???AB=V102-62=8=8X,

x=1,

在RtAACF中，AF=3,AC=6,

.?.CF=5/32+62=34,

即；。的直徑長為3檔.

5.(2018?溫州)如圖，。是AABC的8c邊上一點，連接A￡),作AAB￡)的外接圓，將AAZ5C

沿直線折疊，點。的對應(yīng)點E落在O上.

(1)求證：AE=AB.

(2)若NC4B=9O°,cosZADB=-,BE=2,求BC的長.

3

C

【答案】（1）見解析；（2）BC=3及

【詳解】（1）由折疊的性質(zhì)可知，AADE=AA1XJ,

:.ZAED=ZACD,AE=AC,

ZABD=ZAED,

:.ZABD=ZACD，

AB=AC,

AE=AB；

(2)如圖，過A作于點〃，

c

AB=AE,BE=2,

:.BH=EH=1,

ZABE=ZAEB=ZADB,cosZADB=-,

3

/.cosZABE=cosZADB=-,

3

BH1

/.------=—.

AB3

/.AC=AB=3,

NBAC=90。，AC=AB,

BC=3夜.

6.（2022?鹿城區(qū)校級一模）如圖，AB是。的直徑，弦C￡>_LA8于點E,G是劣弧AC

上一點，AG,DC的延長線交于點尸.

（1）求證：ZFGC=ZAGD.

（2）若G是AC的中點，CE=-CF=2,求G/的長.

3

【答案】（1）見解析；（2）6/=亞

10

【詳解】（1）證明：如圖1,連接AC,

A

B

AB是。的直徑，弦C￡>_LAB,

AD=AC,

AD=AC，

：.ZADC=ZACD,

?點A、D、C>G在二。上,

/.NFGC=ZADC,

.ZAGD=ZACD,

:.ZFGC=ZAGD；

(2)解：如圖，過點G作/于點H.

ZZMG+ZDCG=180°,ZDCG+ZFCG=180。，

??.ZDAC=NFCG,

AG=GCf

/.AG=CG,

ZAGD=/FGC,

ADAG=AFCG(ASA)，

,\CF=AD=3,DG=FG,

GH工DF,

:.DH=FH,

AB±CD,

DE=EC=2,

/.DF=2+2+3=7,

：.DH=HF=35,

AE=y/AD2-DE2=732-22^75,

AFVAE?+EF?=J（逐4+5」=回，

GH//AE,

.GFFH

~FA~~EF'

,GF_3.5

'.而一5'

10

7.（2022?溫州一模）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于O,AEJ_CB的延長線于點￡,連結(jié)AC,

BD,AB平分NEBD,

（1）求證：AC=AD.

（2）當(dāng)3為AC的中點，BC=3BE,AD=6時，求C￡＞的長.

E——

【答案】（1）見解析；（2）4

【詳解】（1）證明：-四邊形ABCD內(nèi)接于O,

.?.NADC+NABC=180。，

ZABE+ZABC=180°,

:.ZABE=ZADC,

AB平分NDBE,

：.ZABE=ZDBA,

.\ZADC=ZDBA,

.ZACD=4DBA,

ZADC=ZACD,

...AC=AD；

（2）解：過A作AF_LCD于F,

A

E~-------

3為AC的中點，

AB=BC，

BC=3BE,

AB=3BE，

,四邊形ABC。是二O的內(nèi)接四邊形，

:.ZADF=ZABE,

ZAFD=ZAEB=90°,

AABE^AADF，

.DFBE1

…AD-Afi-3'

AD=6，

:.DF=2,

AC=AD,

.\CD=2DF=4.

8.(2022?平陽縣一模)數(shù)學(xué)家龐斯萊發(fā)明過一種玩具(如圖1),這種玩具用七根小棍做成,

各結(jié)點均可活動，AD=AF,CD=DE=EF=FC,且OC<A尸一CF.使用時，將A,O

釘牢在平板上，使A,O間的距離等于木棍X的長，繞點O轉(zhuǎn)動點C,則點C在O上

運動，點E在直線BG上運動，BGLAB.圖2是該玩具轉(zhuǎn)動過程中的一幅示意圖.

(1)判斷點A,C,E在同一條直線上嗎？請說明理由，

(2)當(dāng)點O,C,尸在同一條直線上時.

①求證：CD//AB.

②若OC=2,CD=3,tanZOAC=-,求8E的長.

2

【答案】（1）見解析；（2）4

【詳解】（1）解：點A,C,￡在同一條直線上，理由如下:

CD=DE=EF=CF,

四邊形CDE尸是菱形，

：.CELFD,OF=OD,

.?.NR7E=90。，

AF=AD,

AOLFD,

ZAO尸=90。，

ZAO尸+NR7￡=180。,

???點A,C,f在同一條直線上;

①證明：四邊形CDE廠是菱形,

:.CF=CD,AEYFD,

:.NCFD=NCDF,

AM是直徑，

：.AE±CM,

:.FD//CM,

:.ZOCM=ZCFD,ZFDC=ZDCM,

:.ZDCM=/OCM，

OC=OM,

:.NOCM=NOMC,

ZDCM=NOMC，

:.CD//AB；

②解：延長￡D與AB交于點N,

設(shè)BN=x,BE=y,

四邊形CD￡尸是菱形，

:.FO//EN,ED=CD,

:.AECD=/CED,

CD//AB,

???四邊形CQVD是平行四邊形，

:.ZECD=4CAB,

；.CD=ON=3,NCAB=NCED,

AN=EN,

OC=OA=2f

：.EN=AN=AO+ON=2+3=5,

:.AB=5+x，

BEI

在RtAAEB中，tanZOAC=—二一,

AB2

?.?y—_—i>

5+x2

二.x=2y-5,

在RtAEBN中，EN2=BE2+BN2,

.-.52=/+（2y-5）2,

解得，X=。（舍去），>2=4,

:.BE=4.

9.（2022?樂清市一模）如圖，將矩形MNPQ按照圖1方式剪成4個直角三角形，再將這4

個直角三角形按照圖2方式無縫拼接成連結(jié)。G,BE.

（1）求證：四邊形DE3G為平行四邊形；

（2）當(dāng)AE=3,A￡）=5,NFAB=NGDE,求8E的長.

【答案】（1）見解析；（2）x/5

【詳解】（1）證明：-由題意可得NAED=NC"E>=NBGC=N4/8=/?TN

:.DE//BG,

ED=BG

.?.四邊形。為平行四邊形；

(2)解：AE=3,A￡)=5,ZAED=90°

:.ED=yjAD2-AE2=>/52-32=4

:.AF=4,EF=\,

?四邊形。旗G是平行四邊形，

/GDE=NEBG,

?:占AB=/GDE,

/FAB=/EBG,

MEBSMBA,

：.EFxAF=BF2,

:.BF=2,

BE=VfF2+BF2=+2?=亞.

D

10.（2022?甌海區(qū)一模）如圖，四邊形A3C。內(nèi)接于，O,AC是.。的直徑，作■DEMBC,

交30的延長線于點￡,且BE平分NAfiZ）.

（1）求證：四邊形BCDE是平行四邊形：

3

（2）若4）=8,tanZBDE=-,求AC的長與，3CDE的周長.

【答案】（1）見解析；（2）4G+12

【詳解】證明：（1）延長交4）于點尸，交:jO于點G,

:.ZABG=ZDBG,

AG—DG9

BE是。的直徑，

..BG上AD,

.\ABFD=90°，

AC是O的直徑，

:,ZADC=90°.

.?.NB/D+NADC=180°,

:.BE//CD.

DE/IBC,

.?.四邊形是平行四邊形；

解：（2）DEHBC,

:.ZBDE=NCBD,

?.NCBD=NCAD,

:.ZBDE=ZCAD,

AC為。的直徑，

:.ZADC=90°f

3CD

在RtAACD中，tanACAD=tanZBDE=-=—,

48

CD=6?

：.AC=>J62+82=10,

:.OA=OC=OH=5,

OF是AAC￡）的中位線，

；.OF=3,

BF=OB+OF=3+5=8,

在RtABDF中，8￡>=加+不=4百,

班'是4）的垂直平分線，

AB=BD=4上,

在RtAABC中，BC=M_（4舟=26,

CBCDE=（275+6）x2=475+12.

11.（2022?瑞安市一模）如圖，在RtAABC中，ZACB=90°,CD平分NAC3交AB于點。,

交O于點、E,以03為直徑作，O交8c于點F,連結(jié)BE,EF.

（1）證明：ZA=ZBEF.

（2）若AC=4,tanZB￡F=4,求EF的長.

【詳解】（1）證明：連接。尸,

E

BD足。的直徑,

.\ZDFB=90°，

.ZACB=90。,

;.ZACB=ZDFB=90。,

??.AC//DF,

：.ZA=&DB,

ZFDB=ZBEF,

:.ZA=ZBEF；

（2）解：過點石作E771.BC,垂足為“，

E

CD平分ZACB,

ZACD=/DCB=-ZACB=45°,

2

NCDF=90。-ZDCB=45。,

:.CF=DF,

設(shè)CF=DF=x,

ZA=ZBEF,

tanA=tanZBEF=4,

.\BC=ACtanA=4x4=16,

；.BF=BC-CF=16-x，

ZACF=ZDFB=90。,

MCBS/^DFB，

.ACBC

而一而’

416

—=-----

x16-x

16

:.x=——

5

經(jīng)檢驗，工=3是原方程的根,

5

BD是_O的直徑,

.\ZBED=90°,

ZEBC=90。一ZDCB=45。，

:.EC=EB,

EH工BC,

：.CH=BH=-BC=3，

2

:.EH=LBC=8,

2

:.FH=CH-CF=—,

5

EF=\lFH2+EH2=^(y)2+82=|V34?

.?.EF的長為1庖.

12.(2022?龍港市一模)如圖，A5是半圓。的直徑，半徑OCLAB,。是OC延長線上

任意一點，DE切半圓。于點E,連結(jié)AE,交OC于點、F.

(1)求證：DE=DF.

(2)若8=2,tanNAb0=3,求砂的長.

【答案】（1）見解析；（2）二以

5

【詳解】（1）證明：連接OE,

OE=OA,

...ZA=NOEA,

DE切半圓。于點E,

.?.zr應(yīng)o=90。，

.?.ZDEF+ZAEO=90°,

OC±AB,

.*.ZAOC=90°,

/.ZA+ZAFO=90o,

:.ZAFO=ADEF，

,ZAFO=ZDFE,

:.ZDFE=ZDEF,

；.DF=DE：

r)A

(2)解：tanZAFO=—=3,

OF

設(shè)OA=3x，OF=x，

OC=OA=3x，

/.DF=2+2x,

Z￡>EO=90°,

OE2+DE2=OD2,

9/+(2+2x)2=(2+3x3,

.,.x=l,x=0(不合題意舍去),

:.DE=4,OE=3,OD=5,

過￡作_L8于〃，

Si1MsoJEAOj=2-DEOE=2-EHOD,

L〃DEOE3x412

OD55

.\OH=>JOE2-EH2

5

5

/.EF=y/EH2+HF2=生回.

5

D

13.（2022?蒼南縣一模）如圖，A3是：O的直徑，點。在,：。上，A石是:。的切線，BE

平分NAB。交AC于點。，交。于點尸.

（1）求證：AD=AE.

（2）若AB=8,AD=6,求CD的長.

【答案】（1）見解析；（2）—

25

【詳解】（1）證明：4?是；O的直徑,

/.ZACB=90%

ZCBD+NCDB=90°,

BE平分ZABC,

.?./CBD=NEBA,

M是。的切線，

:.ZBAE=90°，

.?.ZES4+ZE=90。，

NCDB=/E,

又：ZCDB=ZEDAf

.\ZE=ZED4,

AE=AD；

(2)解：由(1)知：AE=AD,

A8=8,AD=6,AE是＜。的切線,

:.AE=6,ZBAE=9Q°,

:.ZBAE=NBCD,

BE平分ZABC,

/./CBD=ZABE,

.-.AEAB^ADCB,

AEAB

..-------=--------9

CDCB

即￡=_^-----,

CD^AB--AC2

AC=AD+CD,

68

CD^82-[6+CD）2’

47

解得C￡>=-6（不合題意，舍去）或8=—,

25

即CD的長是空.

25

14.(2022?溫州模擬)如圖，A48c內(nèi)接于O,直徑即交A3于點M,延長EF與過點

C的切線交于點。.己知NABC與/。互余.

(1)求證：ACA.EF.

(2)連結(jié)EB,當(dāng)Z4BE=60。，tanZBME=—,￡>E=12時，求O的半徑和BE的長.

2

【詳解】(1)證明：連接OA、OC,如圖:

CDO相切于點C,

.\OC±CD,

??.NOCD=90。，

ZD+NDOC=90。,

Z￡>+ZABC=90°,

ZABC=ZDOC,

???ZABC2ZAOC,

2

/.ZDOC=-ZAOC,

2

「.OF平分NAOC,

AF=CF,

??."_LAC,即ACJ.￡F；

（2）解：連接。4、OC、AF.設(shè)AC、￡F交于點G,如圖:

ZAB￡=60。，

ZAOE=2ZAB￡=2x60°=120°,

??.ZAOF=180O-ZAOE，=180°-120°=60°，

由（1）知。尸平分NAOC,

??.NCOF=ZAOF=60。,

NOC￡）=90。，

???ND=90?！狽ZXTC=90?！?0。=30°,

:.OD=2OC、

OE=OC,DE=12,

,.EO+DO=\2,即OC+20c=12,

?.OC=4,

。的半徑為4,

,\OA=OF=OE=4,EF=OE+OF=4+4=8,

NAO尸=60。，

.?.AAO尸是等邊三角形，

.\AF=4,

由（1）知AC_L￡F于G,

:.ZAGF=ZAGM=90°,

??AAG.℃FG

sin/AFG-，cos=，

AFAF

，AG=AF-sinZAFG=4xcos600=2,

在RtAAMG中，

tanZ.AMG=tanZBME=—,tanZAMG-,

2MG

.AG

.1MG=2AG=-1=x26=4,

AM=\lAG2+MG2=7（2^）2+42=277,

:.ME=EF-GF-MG=8-2-4=2,

根據(jù)圓周角的性質(zhì)可得：ZBEM=ZEAM,ZEBM=ZAFM,

:.gEMs^FAM，

BEEMUllBE2

FAAM4277

..BE-------.

7

15.（2022?溫州模擬）如圖，點C,。在以AB為直徑的半圓。上，AD=BC,切線DE交

AC的延長線于點E,連接OC.

（1）求證：ZACO=AECD.

（2）若NCDE=45。，DE=4,求直徑鉆的長.

【答案】（1）見解析；（2）AB=4\/2

【詳解】證明：（1）如圖，連接OD，

AC=BD，

ZAOC=/BOD,

OA=OC=OD,

:,ZOAC=ZOCA,/OCD=NODC,

ZAOC+ABOD+Z.COD=180°=NOCD+ZODC+ZCOD，

/./OCD=ZAOC,

AO//CD,

:.ZECD=ZCAO,

:.ZACO=ZECD；

(2)DE是：O切線，

ZEDO=90°,

NCDE=45。,

/.ZCDO=45°,

二ZAOC=45°=ZOCD，

???ZCCD=90°,

CD=>J2OC，

ZAOC=ZCDF=45°,ZACO=ZECD,

:2OCs.DC,

:?匹=匹=近,

AOCO

AO=—=2>/2,

72

.\AB=442.

16.(2022?溫州模擬)如圖，在AABC中，AB=AC,以鉆為直徑作。分別交AC,BC

于點。，E,連結(jié)EO并延長交」。于點F,連結(jié)AF.

(1)求證：四邊形ACEF是平行四邊形；

(2)連結(jié)DE,若△<?￡>￡的面積為20,cosZF=—,求二。的直徑.

C

D

—---]B

Z/O/

J

【答案】（1）見解析；（2）5V10

【詳解】（1）AB和所為O直徑，

:.AB=EF.

AB=AC,

AC=EF,NC=NA8C.

OE=OB，

ZABC=ZOEB,

:.NC=NOEB,

AC//EF,

四邊形ACEF為平行四邊形.

（2）由平行四邊形ACE/得NC=NF.連結(jié)班＞,AE,

AB為O直徑，

.\ZADB=90°.

cosZ.F=,

，設(shè)CD=x,則C3=6,

/.BD=2x.

回為直徑，

/.AE±BC,

AB=AC,

1.E為BC中點,

?*SgcD=2sApc￡=40,

???-x-2x=40,

2

%>0,

x=2A/10.

:.CD=2回,BC=&=10夜，84=2x=4廂，

AB=———=-^=5y/2xy/5=5y/W,

cosZABEcosC

.?.一O的直徑為5加.

17.（2022?溫州模擬）如圖，在菱形ABCD中，點E,F分別在4）,CD邊上，且DE=DF,

連結(jié)EF并延長EF交BC的延長線于點G.

（1）求證：ZG=—ZA.

2

1n/7

（2）連結(jié)BE,BF,當(dāng)NEBF=NA,tan/G=一時，求"的值.

2CG

【答案】（1）見解析；（2）-

3

【詳解】（1）證明：-四邊形ABCD是菱形,

/.ZA=ZDC4,ADIIBC,

:,ZDEF=ZGf

DE=DF,

:.ZDEF=ZDFE,

ZDFE=/CFG,

:.4CFG=4G,

ZDG4.NG+NC尸G,

.?.ZDC4=2NG,

「.ZA=2NG,

ZG=-ZA；

2

(2)解：連結(jié)3。交￡F于點G,交AC于點〃，

D

四邊形ABCD是菱形，

：.ZEDB=ZFDB,AC±BD,DH=-BD,

DE=DF,BD=BD,

:.垃)EBM^DFB(SAS),

..NDBE=/DBF△NEBF,EB=EF,

ZEBF=ZA,

ZDBE=ZDBF=-ZA,

2

ZG=-ZA,

2

..NG=/DBE,

DE=DF,EB=BF,

.?.BO是即的垂直平分線,

:.BD±EFf

:.^EGD=ZEGB=90°,

tanZG=—1,

/.tanZDEF=-=-,tanZEBD=—=-

EG2BG2

設(shè)。G=a,EG=2a,BG=2EG=4a,

，BD=DG+BG=5a,

:.DH=-BD=2.5a,

2

:.GH=DH-DG=i.5a,

ACA.BD.EhBD,

:.EF//AC,

DEDG_a_2

AEGH1.5。3

AD/IBC,

???四邊形ACGE是平行四邊形,

AE=CG，

.DE2

~CG~3,

.?.匹的值為2.

CG3

18.(2022?永嘉縣模擬)如圖，在A43C中，AC=6,48=8,3C=10,點P在邊AC上

運動，PE//BC,交AB于點E,以4為半徑的。交邊4C于點Q,延長交C于點、F,

GF上EF,交AC延長線于點G.

(1)求證：ZG=ZB.

【答案】（1）見解析；（2）5T

15

【詳解】（1）證明：AC=6,A8=8,BC=\0,

:.AC2+AB2=BC2,

/.ZA=90°,

GF工EF,

.?.ZGfP=ZA=90°,

PE!IBC,

:.NGPF=ZACB,

ZG=ZB；

（2）解：作C"_L/V”于點"，連接CF,如圖：

B

CQ=4,PC=PQ,

pc=PQ=2f

PE/IBC,

NCPH=ZBCA,

/.tanZCP//=tanZBC4,即空=空，

PHAC

CH84

■-——=一,

PH63

4

;.CH=-PH,

3

222

在RtACPH中，CH+PH=CPt

.\(-W/)2+P//2=22,

3

解得產(chǎn)〃（負值已舍去）,

5

???仁

在RtACHF中,

6+4歷

PF=PH+FH=

5

在RtAGPF中，tanZGPF=—=-,

PF3

加處里224+16⑨

315

答：GF的長為小臀.

19.（2022?鹿城區(qū)校級二模）如圖，在O中，弦CD垂直平分半徑Q4于8,點￡是圓上

一點，連結(jié)AE交線段BC于E,過點E作，O的切線交QC的延長線于點P,已知。，O,

E三點共線.

（1）求證：AC=CE.

（2）若CP=2,求APEF的面積.

A[-B0]

A—,

【答案】（1）見解析；（2）473

【詳解】（1）證明：連接DE,AC,OC,CE,如圖所示:

弦8垂直平分半徑。4,

.".CA=CO，

OC=OA,

.?.A4OC是等邊三角形，

/.ZAOC=60%NOC8=30°,

D,O,石三點共線，

.?.DE為直徑,

.\ZDCE=90°,

??.ZOCE=60°,

OC=OE,

「.△COE為等邊三角形，

/.NCOS=60。，

二.ZAOC=ZCOE,

AC=CE.

（2）解：.點￡作（O的切線交。。的延長線于點尸,

.?."￡『二90。，

NCEP=30。,

CP=2,

tanZCEP=—=—,

CE3

:.CE=2y/3,

■.ZAOE=120°,OA=OE,

:.ZOEA=30°,

.?.ZAEC=30°,

:.CF=PC=2,

二.APE/的面積=1X4X2G=4>Q.

2

20.（2022?溫州模擬）如圖，AD是RtAABC斜邊3c上的中線，E是AD的中點，過點A

作A尸//8。交8E的延長線于點F,連結(jié)CF.

（1）求證：四邊形ADCF為菱形；

【詳解】（1）證明：E是4）的中點,

/.AE=DE，

AF//BC,

:.ZAFE=ZDBE,

在AAEF和ADEB中，

ZAFE=NDBE

<ZAEF=ZDEB,

AE=DE

:.^AEF=ADEB（AAS）,

:.AF=DB,

四邊形ADCF是平行四邊形，

ZBAC=9O°,。是8C的中點，

/.AD=-BC=CD,

2

.??四邊形ADb是菱形;

(2)解：E是4)的中點，AE=A,tanZABC=-,

3

AD=2y/l3,BC=4屈,

設(shè)A8=3x,AC=2x,

由勾股定理得：(2x)2+3)2=?炳2,

解得：x=4?

:,AB=n.AC=8,

。是的中點，

??S菱形ADCF=25必8=SAABC=—AB-AC=—xl2x8=48,

21.(2022?文成縣一模)如圖，在四邊形A5C。中，DA=DC,ZADC=ZB=90°,過點。

作。石_LAB于￡.

(1)求證：DE=BE.

(2)連結(jié)AC交。石于點尸，若tanNADE=l，4)=15,求小的長.

2

【答案】（1）見解析；（2）5右

【詳解】（1）證明：過點。作。GJ_3C,交的延長線于點G,如圖所示:

DE1.AB,ZB=90。，DG工BC,

.\ZDEA=ZDEB=ZB=ZBGD=9O09

四邊形。旗G是矩形，

:.ZEDG=90°,DG=BE,

??.NEDC+NCDG=90。,

ZADC=90°f

.?.NEDC+ZAr>￡=90。，

.?.ZADE=NCDG,

在AADE?和ACDG中，

/ADE=ZCDG

<NOE4=NDGC=90。，

DA=DC

/.MD￡^ACDG(A4S),

:.DE=DG,

DE=BE；

⑵解：tanZADE=-,ZDEA=90°,

2

AE1

---=一，

DE2

：.DE^2AE,

在RtAAED中，由勾股定理得：AE2+DE2=AD2,

即AE2+(2AE)2=152,

解得：AE=3\f5,

:.DE=2AE=6出,

由(1)得：AADE=ACDG,四邊形￡)EBG是矩形，DE=BE，

.,?四邊形AE3G是正方形，AE=CG=3/,

BE=BG=DE=645,

:.BC=BG-CG=6亞-3亞=3亞,AB=AE+BE=34+6有=9框,

FELAB,BCrAB,

:.FE//CB,

AAEF^AABC，

,AE_EF

麗一茄’

3亞一EF

即訪一訪‘

解得：EF=y[5,

DF=DE-EF=6y/5-45=5yf5,

即DF的長是575.

22.(2022?瑞安市二模)如圖，AABC內(nèi)接于:O,AB為直徑，NACB的平分線分別交至

于點。，交O于點E,過點E作O的切線，交CE的平行線A尸于點F.

(1)求證：四邊形ADE廠為平行四邊形.

7

(2)若tanNC4B=—,AF=5,求四邊形ADE廠的面積.

3

【答案】（1）見解析；（2）—

13

【詳解】（1）證明：連接OE,如圖1,

ZACS=90。，

ZACB的平分線交O7點石，

/.ZACE=/BCE=45。,

:.ZAOE=2ZACE=90°

￡F為一。的切線，

.\OELEF,

:.EF/IAB,

AF//CE,

：.EF//AD,AF//DE,

四邊形AD所為平行四邊形；

（2）解：如圖2,過點。作。M_LAC于點DNLBC干點、N,連接。石,

CE平分NAC8,DMLAC,DNLBC,

:.DM=DN,

.-ACDMAC2

Jgpc=2tanZCAB=——=-,

SABDC',BC?DNBCAC3

2

SAAOC_4D

-R

AD3

-----=—,

BD2

設(shè)AP=3f,則=AB=5t,

:.OE=OB=-AB^-t,OD=OB-BD=-t-2t=-t,

2222

,四邊形ABC。是平行四邊形，

.-.DE=AF=5,

在RtAODE中，

OE2+ODr=DE2,即(|fy+(gr)2=52,

解得：產(chǎn)=竺,

13

四邊形4)防的面積=45.0E=3，.9U竺/=g*竺=膽.

2221313

23.(2022?甌海區(qū)模擬)如圖，在RtAABC中，ABAC=90°,以43為一邊構(gòu)造ABDE,

DA//BC,連結(jié)EC交A4的延長線于點尸，DFA.EC,延長E4交8C于點G.

(1)求證：點A是EG的中點.

(2)若tanZABC=‘，DA=6,求3c的長.

2

【答案】（1）見解析；（2）10

【詳解】（1）證明：四邊形是平行四邊形,

.BD//AE,BD=AE,

:.BDHAG,

DA//BG,

四邊形ADBG是平行四邊形，

:.BD=AG，

AE=AG,

???點A是的中點；

（2）解：?四邊形4）8G是平行四邊形，

:.BG=DA=69

DA/IBC,DFLEC,

??.BC±EC,

??.ZECG=90。，

由（1）可知，點A是EG的中點，

AC=-EG=AG,

2

/.ZACG=ZAGC,

ZBAC=90°,

.\ZBAC=ZECG,

:.\BAC^\ECG,

ACCG

----=-----,

ABCE

tanZABC=—=-,

AB2

CG1

——=—，

CE2

設(shè)AC=a,則AB=2a,EG=2AC=2a,

設(shè)CG=6,則CE=?，

CE2+CG2=EG2,

即（2力2+從=Qa）2,

,2后

..b=-----a,

5

AB2+AC-=BC-,

即（24）2+/=（6+亭”）2,

解得：a=2#>,

2fs

.-.BC=6+^-x2x/5=10.

24.(2022?鹿城區(qū)二模)如圖，AABC內(nèi)接于O(AC>BC),AB是O的直徑，E,C,

。是一。上的點，EC=CB=BD,連結(jié)￡?分別交AC,居于點尸，G.

(1)求證：/^EFA^ABCA.

(2)若3C=5,BG=4,求4?的長.

【詳解】(1)證明：EC=CB=BD,

ZEAC=ZBAC，ZE=NCBA,

(2)解：AB為O直徑，

ZACB=90°.

NEFA^NBCA.

EFBC

:.ZEFA=ZC=90°

fAE-AB'

又?.ZCAE=ZCAB,AF=AF，

:.^AEF^MFG(ASA),

:.AE=AG,EF=FG.

ZAEG=ZABD,ZAGE=ZBGD,

:.MJEG^ADBG,

3。_AE_5

BG~EG~4"

設(shè)所=FG=2x,AE=AG=5x,

.\AB=5x+4f

BCEF52

"AE-5X4-4-5'

17

x=—，

10

/.AE=5x=—.

2

25.(2022?鹿城區(qū)校級二模)如圖，是0。的直徑，弦CD_L4?于點石，尸是A3上

一點，連結(jié)4尸并延長，與C。的延長線交于點G.連結(jié)電＞,FC,AC.

(1)求證：ZDFG=ZAFC.

(2)若尸是AO的中點，CE=LDG=2,求G/的長.

【答案】（1）見解析；（2）-

8

【詳解】（1）證明：AB是二。的直徑，弦CDJLA3,

AC=AD,

:.ZAFC=ZACD,

四邊形ACDF內(nèi)接于O,

ZACD+NAFD=180。，

ZDFG+ZAFD=180°,

.?.ZDFG=ZACD=ZAFC；

（2）解：尸是AO的中點，

AF=FD,

.\AF=FD,

四邊形ACM內(nèi)接于O,

/.NC4F+NCD尸=180。，

ZFDG+ZCE>F=180°?

:.ZFDG=ZCAF,

由（1）,得ZDFG=ZAFC,

:.ACAF=AGDF（ASA）,

:.CF=FG,

CE=-DG=2,

3

/.AC=DG=6,

AB是?。的直徑，弦CE>_LAB,

DE=CE=2，

AE=VAC2-C￡2=472,CG=CE+DE+DG=IQ，EG=ED+DG=8.

AG=\lAE2+EG2=476,

GH=-CG=5,FH//AE,

2

FGGH5

AG-EG-8

.CF-5在

..Crr=-----

2

26.（2022?蒼南縣二模）如圖，在O的內(nèi)接A48C中，AB=AC,直徑4）交8c于點E,

連結(jié)C￡）.

(1)求證：AACES&CDE.

(2)若=AD=1O,求AC的長.

【答案】（1）見解析；（2）4右

連接03,OC,

AB=AC,OB=OC,

A3是BC的垂直平分線，

/.ZA￡C=ZDEC=90°,BE=EC,

AB=AC,

AB=AC，

:.ZACE=ZADC.

/.AACE^ACDE.;

(2)解：BE=EC=-BC,AE=BC,

2

,\CE=-AE.

2

CE1

tanZC4E=—=-,

AE2

AT＞是_。的直徑，

/.ZACD=90°,

CD1

在RtAACD,tanZCAD=——=一，

AC2

設(shè)CD=a>AC=2a，

AC2+CD2=AD2,

（2a）2+fz2=100,

:.a=2舊或a=-2后（舍去），

AC=2a=4>/5,

r.AC的長為4K.

27.（2022?龍灣區(qū)模擬）如圖，在RtAABC中，ZABC=90°,AB=3C.點A,C落在一O

上，他的延長線交。于點O,作直徑￡尸交BC于點E,CG切。于點C,交AF的

延長線于點G.

（1）求證：四邊形ECGF為平行四邊形.

（2）若AB=6,BD=2,求FG的長.

D

【答案】（I）見解析；（2）5

【詳解】（1）證明：ZAfiC=90°,AB=BC.

/.ZfiAC=ZACB=45°,

.?.ZDOC=2ZBAC=90°，

CG馬。相切于點C,

ZOCG=90°,

/.ZDOC=ZOCG=90°,

:.EF//CG，

DF是_O的直徑，

.?.ZZMF=90。，

.\ZDAF+ZABC=180°,

:.FGHBC，

/.四邊形ECGF為平行四邊形；

(2)解：ZDBC=ZDAF=90°,ZD=ZD,

:.NDBEs/SDAF，

?DBDE21

一詼一加—2+6-"

:.DE=-DF,

4

：.DE=LOD,

2

/.DE=OE,

設(shè)則CE=8C—8E=6—x,

在RtADBE中，DE2=DB2+BE2=4+x2,

OE2=DE2=4+x2,

OC=OD=2OE,

OC2=(2OE)2=4OE2=16+4x2,

在RtAEOC中，OE2+OC2=EC2,

4+x2+16+4x2=(6-x)2,

x=l或x=T(舍去)，

:,EC=6—x=5,

?四邊形ECG/為平行四邊形，

:.FG=EC=5,

.?.FG的長為5.

28.(2022?龍港市模擬)如圖，在A4BC中，。為的中點，點E在4)的延長線上，使

Zl=Zfi4Z).

(1)求證：CE=AB.

(2)若AB=6,BC=2"T,tanNl=2也，求名儂■的值.

s

2MBe

【答案】(1)見解析；(2)—

10

【詳解】(1)證明：過點8作3G1.AE于G,過點C作B_LAE,交AE延長線于尸，

如圖所示：

則ZCFD=ABGD=ZBGA=90°,

。為8c中點，

/.CD=BD9

在ACDF和ABDG中，

NCFD=NBGD

<ZCDF=ZBDG,

CD=BD

:.ACDF=M3DG(AAS),

:.CF=BG,

在△C￡F和ABAG中，

ZCFE=NBGA

<Zl=ZBAG,

CF=BG

/.ACEF=ABAG(A4S),

:.CE=AB；

(2)解：Zft4G=Zl,

/.tanZBAG=tanN1=2夜,

/.tanZBAG=—=272，

AG

設(shè)AG二％,則3G=2岳，

222

在RtABGA中，AG+BG=ABf

即X?+(20X)2=62,

解得：x=2(負值己舍去)，

ACEF=ABAG，

：.EF=AG=2,CF=BG=4近,

BD=LBC=、2向=向,

22

在RtABDG中，由勾股定理得：DG=NB?-心=小雨了一(4回2=3,

\CEF=^BAG,

:.DF=DG,

DE=DF-EF=DF-EF=3-