基本不等式 高一上學(xué)期數(shù)學(xué)蘇教版（2019）必修第一冊(cè)

基本不等式

我們都知道，把一個(gè)物體放在天平的一個(gè)盤(pán)子上，在另一個(gè)盤(pán)子上放砝碼使天平平衡，可稱(chēng)得物體的質(zhì)量為.

如果是一架臂長(zhǎng)不同（其他因素不計(jì)）的天平，那么

并非物體的實(shí)際質(zhì)量.

問(wèn)題1.怎樣用兩臂長(zhǎng)不同的天平稱(chēng)物體的質(zhì)量？

你同意嗎？問(wèn)題1.怎樣用兩臂長(zhǎng)不同的天平稱(chēng)物體的質(zhì)量？取平均值：

問(wèn)題1.怎樣用兩臂長(zhǎng)不同的天平稱(chēng)物體的質(zhì)量？

問(wèn)題1.怎樣用兩臂長(zhǎng)不同的天平稱(chēng)物體的質(zhì)量？

問(wèn)題1.怎樣用兩臂長(zhǎng)不同的天平稱(chēng)物體的質(zhì)量？

問(wèn)題1.怎樣用兩臂長(zhǎng)不同的天平稱(chēng)物體的質(zhì)量？

問(wèn)題1.怎樣用兩臂長(zhǎng)不同的天平稱(chēng)物體的質(zhì)量？

問(wèn)題1.怎樣用兩臂長(zhǎng)不同的天平稱(chēng)物體的質(zhì)量？平均值

是大了還是小了呢？問(wèn)題2.與

的大小關(guān)系？因?yàn)?/p>

，所以得（當(dāng)且僅當(dāng)

時(shí)，等號(hào)成立）.因?yàn)?/p>

，所以即如果

是正數(shù)，那么（當(dāng)且僅當(dāng)

時(shí)，等號(hào)成立）.證明：（當(dāng)且僅當(dāng)

時(shí)，等號(hào)成立）.比較法：作差后，判斷正負(fù).如果

是正數(shù)，那么（當(dāng)且僅當(dāng)

時(shí)，等號(hào)成立）.證法2：對(duì)于正數(shù)

，要證

，只要證

，只要證

，只要證.因?yàn)樽詈笠粋€(gè)不等式成立，所以

成立，當(dāng)且僅當(dāng)

時(shí)，等號(hào)成立.分析法：是從結(jié)論出發(fā)，分析確定不等式成立的條件，是“執(zhí)果索因”的一種證明思路.如果

是正數(shù)，那么（當(dāng)且僅當(dāng)

時(shí)，等號(hào)成立）.證法3：對(duì)于正數(shù)

，有當(dāng)且僅當(dāng)

時(shí)，等號(hào)成立.綜合法：是從條件出發(fā)進(jìn)行綜合推理，是“由因?qū)Ч钡淖C明思路.如果

是正數(shù)，那么（當(dāng)且僅當(dāng)

時(shí)，等號(hào)成立）.當(dāng)

時(shí)，不等式仍然成立.基本不等式:算術(shù)平均數(shù):幾何平均數(shù):兩個(gè)正數(shù)的幾何平均數(shù)不大于算術(shù)平均數(shù)對(duì)于正數(shù)

，問(wèn)題3.設(shè)

為正數(shù)，證明下列不等式成立：證明：（1）因?yàn)?/p>

為正數(shù)，所以

也為正數(shù).由基本不等式，得當(dāng)且僅當(dāng)

，即

時(shí)，取得等號(hào).所以原不等式成立.問(wèn)題3.設(shè)

為正數(shù)，證明下列不等式成立：證明：（2）因?yàn)?/p>

為正數(shù)，所以

也為正數(shù).由基本不等式，得當(dāng)且僅當(dāng)

，即

時(shí)，取得等號(hào).所以原不等式成立.所以問(wèn)題4.設(shè)

，

，求

的最小值.由基本不等式，得因?yàn)?/p>

，所以.當(dāng)且僅當(dāng)

，即

時(shí)，等號(hào)成立.因此，當(dāng)

時(shí)，

的最小值為6.基本不等式

可以求函數(shù)的最值：一正二定三相等.解：回顧反思：實(shí)際問(wèn)題三種證明方法：