2024-2025學年高考數(shù)學一輪復習專題4.1任意角和蝗制及任意角的三角函數(shù)知識點講解文科版含解析

專題4.1隨意角和弧度制及隨意角的三角函數(shù)【考情分析】1.了解隨意角的概念；了解弧度制的概念．2.能進行弧度與角度的互化．3.理解隨意角的三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)的定義.【重點學問梳理】學問點一角的概念1．角的定義角可以看成平面內(nèi)一條射線圍著端點從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所形成的圖形．2．角的分類角的分類eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al(按旋轉(zhuǎn)方向,不同分類)\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(正角：按逆時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角,負角：按順時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角,零角：射線沒有旋轉(zhuǎn))),\a\vs4\al(按終邊位置,不同分類)\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(象限角：角的終邊在第幾象限，這,個角就是第幾象限角,軸線角：角的終邊落在坐標軸上))))3．終邊相同的角全部與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，可構成一個集合：S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}或{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}．學問點二弧度制及應用1．弧度制的定義把長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度的角，弧度記作rad.2．弧度制下的有關公式角α的弧度數(shù)公式|α|＝eq\f(l,r)(弧長用l表示)角度與弧度的換算①1°＝eq\f(π,180)rad；②1rad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°弧長公式弧長l＝|α|r扇形面積公式S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)|α|r2學問點三隨意角的三角函數(shù)三角函數(shù)正弦余弦正切定義設α是一個隨意角，它的終邊與單位圓交于點P(x，y)，那么eq\a\vs4\al(y)叫做α的正弦，記作sinαeq\a\vs4\al(x)叫做α的余弦，記作cosαeq\f(y,x)叫做α的正切，記作tanα各象限符號Ⅰ＋＋＋Ⅱ＋－－Ⅲ－－＋Ⅳ－＋－三角函數(shù)線有向線段MP為正弦線有向線段OM為余弦線有向線段AT為正切線【典型題分析】高頻考點一象限角的推斷【例1】（2024·新課標Ⅱ）若α為第四象限角，則（）A.cos2α>0 B.cos2α<0 C.sin2α>0 D.sin2α<0【答案】D【解析】當時，，選項B錯誤；當時，，選項A錯誤；由α在第四象限可得：，則，選項C錯誤，選項D正確；【方法技巧】象限角的兩種推斷方法①圖象法：在平面直角坐標系中，作出已知角并依據(jù)象限角的定義干脆推斷已知角是第幾象限角；②轉(zhuǎn)化法：先將已知角化為k·360°＋α(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式，即找出與已知角終邊相同的角α，再由角α終邊所在的象限推斷已知角是第幾象限角．【變式探究】（2024·吉林省遼源市試驗中學模擬）設θ是第三象限角，且eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(cos\f(θ,2)))＝－coseq\f(θ,2)，則eq\f(θ,2)是()A．第一象限角 B．其次象限角C．第三象限角 D．第四象限角【答案】B【解析】∵θ是第三象限角，∴π＋2kπ＜θ＜eq\f(3π,2)＋2kπ，k∈Z，∴eq\f(π,2)＋kπ＜eq\f(θ,2)＜eq\f(3π,4)＋kπ，k∈Z，∴eq\f(θ,2)的終邊落在其次、四象限，又eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(cos\f(θ,2)))＝－coseq\f(θ,2)，∴coseq\f(θ,2)＜0，∴eq\f(θ,2)是其次象限角．高頻考點二扇形的弧長及面積公式的應用【例2】（2024·北京101中學模擬）已知一扇形的圓心角為α，半徑為R，弧長為l.(1)若α＝60°，R＝10cm，求扇形的弧長l；(2)已知扇形的周長為10cm，面積是4cm2，求扇形的圓心角；(3)若扇形周長為20cm，當扇形的圓心角α為多少弧度時，這個扇形的面積最大？【解析】(1)α＝60°＝eq\f(π,3)rad，所以l＝α·R＝eq\f(π,3)×10＝eq\f(10π,3)(cm)．(2)由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2R＋Rα＝10，,\f(1,2)α·R2＝4))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(R＝1，,α＝8))(舍去)或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(R＝4，,α＝\f(1,2).))故扇形圓心角為eq\f(1,2)rad.(3)由已知得l＋2R＝20，所以S＝eq\f(1,2)lR＝eq\f(1,2)(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25，所以當R＝5cm時，S取得最大值25cm2，此時l＝10cm，α＝2rad.【方法技巧】(1)利用扇形的弧長和面積公式解題時，要留意角的單位必需是弧度．(2)求扇形面積的最大值時，常轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題，利用配方法使問題得到解決．(3)在解決弧長問題和扇形面積問題時，要合理地利用圓心角所在的三角形．【變式探究】（2024·湖南衡陽八中模擬）已知扇形弧長為20cm，圓心角為100°，則該扇形的面積為cm2.【答案】eq\f(360,π)【解析】由弧長公式l＝|α|r，得r＝eq\f(20,\f(100π,180))＝eq\f(36,π)，所以S扇形＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)×20×eq\f(36,π)＝eq\f(360,π).高頻考點三三角函數(shù)的概念【例3】(2024·浙江卷)已知角α的頂點與原點O重合，始邊與x軸的非負半軸重合，它的終邊過點Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)，－\f(4,5))).(1)求sin(α＋π)的值；(2)若角β滿意sin(α＋β)＝eq\f(5,13)，求cosβ的值?！窘馕觥?1)由角α的終邊過點Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)，－\f(4,5)))，得sinα＝－eq\f(4,5).所以sin(α＋π)＝－sinα＝eq\f(4,5).(2)由角α的終邊過點Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)，－\f(4,5)))，得cosα＝－eq\f(3,5).由sin(α＋β)＝eq\f(5,13)，得cos(α＋β)＝±eq\f(12,13).由β＝(α＋β)－α，得cosβ＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα，所以cosβ＝－eq\f(56,65)或cosβ＝eq\f(16,65).【方法技巧】三角函數(shù)定義解題的技巧(1)已知角α終邊上一點P的坐標，可求角α的三角函數(shù)值．先求點P到原點的距離，再用三角函數(shù)的定義求解．(2)已知角α的某三角函數(shù)值，可求角α終邊上一點P的坐標中的參數(shù)值，依據(jù)定義中的兩個量列方程求參數(shù)值．(3)已知角α的終邊所在的直線方程或角α的大小，依據(jù)三角函數(shù)的定義可求角α終邊上某特定點的坐標．(4)已知一角的三角函數(shù)值(sinα，cosα，tanα)中隨意兩個的符號，可分別確定出角終邊所在的可能位置，二者的交集即為該角的終邊位置．留意終邊在坐標軸上的特別狀況．【變式探究】(2024·北京卷)在平面直角坐標系xOy中，角α與角β均以Ox為始邊，它們的終邊關于y軸對稱．若sinα＝eq\f(1,3)，則sinβ＝__________?！窘馕觥?1)方法一當角α的終邊在第一象限時，取角α終邊上一點P1(2eq\r(2)，1)，其關于y軸的對稱點(－2eq\r(2)，1)在角β的終邊上，此時sinβ＝eq\f(1,3)；當角α的終邊在其次象限時，取角α終邊上一點P2(－2eq\r(2)，1)，其關于y軸的對稱點(2eq\r(2)，1)在角β的終邊上，此時sinβ＝eq\f(1,3).綜合可得sinβ＝eq\f(1,3).方法二令角α與角β均在區(qū)間(0，π)內(nèi)，故角α與角β互補，得sinβ＝sinα＝eq\f(1,3).【答案】eq\f(1,3)高頻考點四三角函數(shù)線的應用【例4】(2024·北京卷)在平面坐標系中，eq\o\ac(AB,\s\up10(︵))，eq\o\ac(CD,\s\up10(︵))，eq\o\ac(EF,\s\up10(︵))，eq\o\ac(GH,\s\up10(︵))是圓x2＋y2＝1上的四段弧(如圖)，點P在其中一段上，角α以Ox為始邊，OP為終邊，若tanα＜cosα＜sinα，則P所在的圓弧是()A．eq\o\ac(AB,\s\up10(︵)) B．eq\o\ac(CD,\s\up10(︵))C．eq\o\ac(EF,\s\up10(︵)) D．eq\o\ac(GH,\s\up10(︵))【答案】C【解析】當點P在eq\o\ac(AB,\s\up10(︵))或eq\o\ac(CD,\s\up10(︵))上時，由三角函數(shù)線易知，sinα＜tanα，不符合題意；當點P在eq\o\ac(GH,\s\up10(︵))上時，tanα＞0，sinα＜0，不符合題意；進一步可驗證，只有點P在eq\o\ac(EF,\s\up10(︵))上時才滿意條件?！痉椒记伞坷萌呛瘮?shù)線求解三角不等式的方法對于較為簡潔的三角不等式，在單位圓中，利用三角函數(shù)線先作出訪其相等的角(稱為臨界狀態(tài)，留意實線與虛線)，再通過大小找到其所滿意的角的區(qū)域，由此寫出不等式的解集．【變式探究】（2024·江蘇