2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第八章立體幾何初步8.1第1課時多面體教學(xué)用書教案新人教A版必修第二冊

PAGE第八章立體幾何初步8.1基本立體圖形第1課時多面體素養(yǎng)目標(biāo)·定方向素養(yǎng)目標(biāo)學(xué)法指導(dǎo)1．通過對實物模型的視察，歸納認(rèn)知簡潔多面體——棱柱、棱錐、棱臺的結(jié)構(gòu)特性.(直觀想象)2．能運(yùn)用棱柱、棱錐、棱臺的結(jié)構(gòu)特征來推斷、描述現(xiàn)實生活中的實物模型.(直觀想象)1．通過視察和感知實物模型，從整體上相識棱柱、棱錐、棱臺的結(jié)構(gòu)特性.2．與平面幾何的有關(guān)概念、圖形和性質(zhì)進(jìn)行適當(dāng)類比，逐步學(xué)會用類比思想分析問題和解決問題.必備學(xué)問·探新知學(xué)問點(diǎn)1空間幾何體1．概念：假如只考慮物體的__形態(tài)__和__大小__，而不考慮其他因素，那么由這些物體抽象出來的__空間圖形__叫做空間幾何體.2．多面體與旋轉(zhuǎn)體(1)多面體：由若干個__平面多邊形__圍成的幾何體叫做多面體(如圖)，圍成多面體的各個多邊形叫做多面體的__面__；相鄰兩個面的__公共邊__叫做多面體的棱；棱與棱的__公共點(diǎn)__叫做多面體的頂點(diǎn).(2)旋轉(zhuǎn)體：我們把由一個平面圖形繞它所在平面內(nèi)的一條定__直線__旋轉(zhuǎn)所形成的__封閉幾何體__叫做旋轉(zhuǎn)體，這條定直線叫做旋轉(zhuǎn)體的軸.[歸納總結(jié)]對多面體概念的理解，留意以下幾個方面：(1)多面體是由平面多邊形圍成的，不是由圓面或其它曲面圍成，也不是由空間多邊形圍成.(2)本章所說的多邊形，一般包括它內(nèi)部的平面部分，故多面體是一個“封閉”的幾何體.(3)圍成一個多面體至少要有四個面.(4)規(guī)定：在多面體中，不在同一面上的兩個頂點(diǎn)的連線叫做多面體的對角線，不在同一面上的兩條側(cè)棱稱為多面體的不相鄰側(cè)棱，側(cè)棱和底面多邊形的邊統(tǒng)稱為棱.(5)一個多面體是由幾個面圍成，那么這個多面體稱為幾面體.學(xué)問點(diǎn)2幾種常見的多面體1．棱柱定義一般地，有兩個面相互__平行__，其余各面都是__四邊形__，并且每__相鄰__兩個四邊形的公共邊都相互__平行__，由這些面所圍成的__多面體__叫做棱柱有關(guān)概念棱柱中，兩個相互__平行__的面叫做棱柱的底面，簡稱底；其余各面叫做棱柱的側(cè)面；相鄰側(cè)面的__公共邊__叫做棱柱的側(cè)棱；側(cè)面與底面的__公共頂點(diǎn)__叫做棱柱的頂點(diǎn)圖形表示法用表示底面各頂點(diǎn)的__字母__表示棱柱，如上圖中的棱柱可記為棱柱ABCDE－A′B′C′D′E′分類按底面多邊形的__邊數(shù)__分為三棱柱、四棱柱、五棱柱……[歸納總結(jié)]棱柱的簡潔性質(zhì)：(1)側(cè)棱相互平行且相等；側(cè)面都是平行四邊形.(2)兩個底面與平行于底面的截面是全等的多邊形，如圖①所示.(3)過不相鄰的兩條側(cè)棱的截面是平行四邊形，如圖②所示.棱柱概念的推廣：(1)斜棱柱：側(cè)棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱.(2)直棱柱：側(cè)棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱.(3)正棱柱：底面是正多邊形的直棱柱叫做正棱柱.(4)平行六面體：底面是平行四邊形的四棱柱叫做平行六面體，即平行六面體的六個面都是平行四邊形.(5)長方體：底面是矩形的直棱柱叫做長方體.(6)正方體：棱長都相等的長方體叫做正方體.2．棱錐定義一般地，有一個面是__多邊形__，其余各面都是__有一個公共頂點(diǎn)__的三角形，由這些面所圍成的多面體叫做棱錐有關(guān)概念多邊形面叫做棱錐的底面或底；有__公共頂點(diǎn)__的各個三角形面叫做棱錐的側(cè)面；各側(cè)面的__公共頂點(diǎn)__叫做棱錐的頂點(diǎn)；相鄰側(cè)面的__公共邊__叫做棱錐的側(cè)棱圖形表示法用表示頂點(diǎn)和底面各頂點(diǎn)的__字母__表示，如上圖中的棱錐可記為棱錐__S－ABCD__分類按底面多邊形的__邊數(shù)__分為三棱錐、四棱錐、五棱錐……，其中三棱錐又叫__四面體__[歸納總結(jié)]棱錐的性質(zhì)：(1)側(cè)棱有公共點(diǎn)，即棱錐的頂點(diǎn)；側(cè)面都是三角形.(2)底面與平行于底面的截面是相像多邊形，如圖①所示.(3)過不相鄰的兩條側(cè)棱的截面是三角形，如圖②所示.3．棱臺定義用一個__平行于__棱錐底面的平面去截棱錐，__底面與截面__之間的部分叫做棱臺有關(guān)概念原棱錐的底面和截面分別叫做棱臺的__下底面__和__上底面__；其余各面叫做棱臺的__側(cè)面__；相鄰側(cè)面的__公共邊__叫做棱臺的側(cè)棱；底面與__側(cè)面__的公共頂點(diǎn)叫做棱臺的頂點(diǎn)圖形表示法用表示底面各頂點(diǎn)的__字母__表示棱臺，如上圖中的棱臺可記為棱臺__ABCD－A′B′C′D′__分類按底面多邊形的__邊數(shù)__分為三棱臺、四棱臺、五棱臺……[歸納總結(jié)]棱臺的性質(zhì)：(1)側(cè)棱延長后交于一點(diǎn)；側(cè)面是梯形.(2)兩個底面與平行于底面的截面是相像多邊形，如圖①所示.(3)過不相鄰的兩條側(cè)棱的截面是梯形，如圖②所示.關(guān)鍵實力·攻重難題型探究題型一棱柱的結(jié)構(gòu)特征典例1下列關(guān)于棱柱的說法：(1)全部的面都是平行四邊形；(2)每一個面都不會是三角形；(3)兩底面平行，并且各側(cè)棱也平行；(4)被平面截成的兩部分可以都是棱柱.其中正確說法的序號是__(3)(4)__.[分析]首先看是否有兩個平行的面作為底面，再看是否滿意其他性質(zhì).[解析](1)錯誤，棱柱的底面不肯定是平行四邊形；(2)錯誤，棱柱的底面可以是三角形；(3)正確，由棱柱的定義易知；(4)正確，棱柱可以被平行于底面的平面截成兩個棱柱，所以說法正確的序號是(3)(4).[歸納提升]棱柱結(jié)構(gòu)特征問題的解題策略(1)有關(guān)棱柱概念辨析問題應(yīng)緊扣棱柱定義：①兩個底面相互平行；②其余各面是平行四邊形；③相鄰兩個平行四邊形的公共邊相互平行且相等.求解時，首先看是否有兩個面平行，再看是否滿意其他特征.(2)多留意視察一些實物模型和圖片便于反例解除.【對點(diǎn)練習(xí)】?下列說法正確的是(B)A．棱柱的側(cè)面都是矩形B．棱柱的側(cè)棱都相等C．棱柱的棱都平行D．棱柱的側(cè)棱總與底面垂直[解析]由棱柱的定義知，棱柱的側(cè)面都是平行四邊形，不肯定都是矩形，故A不正確；而平行四邊形的對邊相等，故側(cè)棱都相等，所以B正確；對選項C，側(cè)棱都平行，但底面多邊形的邊(也是棱)不肯定平行，所以錯誤；棱柱的側(cè)棱可以與底面垂直也可以不與底面垂直，故D不正確.題型二棱錐、棱臺的結(jié)構(gòu)特征典例2(1)下列說法正確的有__0__個.①有一個面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐.②正棱錐的側(cè)面是等邊三角形.③底面是等邊三角形，側(cè)面都是等腰三角形的三棱錐是正三棱錐.(2)下列關(guān)于棱錐、棱臺的說法：①棱臺的側(cè)面肯定不會是平行四邊形；②棱錐的側(cè)面只能是三角形；③由四個面圍成的封閉圖形只能是三棱錐；④棱錐被平面截成的兩部分不行能都是棱錐.其中正確說法的序號是__①②③__.[分析]依據(jù)棱錐、棱臺的結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行推斷.[解析](1)①錯誤.棱錐的定義是：有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面所圍成的多面體叫做棱錐.而“其余各面都是三角形”并不等價于“其余各面都是有一個公共頂點(diǎn)的三角形”，故此說法是錯誤的.如圖所示的幾何體不是棱錐，理由是△ADE和△BCF無公共頂點(diǎn).②錯誤.正棱錐的側(cè)面都是等腰三角形，不肯定是等邊三角形.③錯誤.由已知條件知，此三棱錐的三個側(cè)面未必全等，所以不肯定是正三棱錐.如圖所示的三棱錐中有AB＝AD＝BD＝BC＝CD，滿意底面△BCD為等邊三角形，三個側(cè)面△ABD，△ABC，△ACD都是等腰三角形，但AC長度不肯定，三個側(cè)面不肯定全等.(2)①正確，棱臺的側(cè)面都是梯形.②正確，由棱錐的定義知棱錐的側(cè)面只能是三角形.③正確，由四個面圍成的封閉圖形只能是三棱錐.④錯誤，如圖所示四棱錐被平面截成的兩部分都是棱錐.[歸納提升](1)棱柱、棱臺、棱錐關(guān)系圖(2)關(guān)于棱錐、棱臺結(jié)構(gòu)特征題目的推斷方法：①舉反例法結(jié)合棱錐、棱臺的定義舉反例干脆推斷關(guān)于棱錐、棱臺結(jié)構(gòu)特征的某些說法不正確.②干脆法棱錐棱臺定底面只有一個面是多邊形，此面即為底面兩個相互平行的面，即為底面看側(cè)棱相交于一點(diǎn)延長后相交于一點(diǎn)【對點(diǎn)練習(xí)】?下列說法正確的有(A)①由五個面圍成的多面體只能是四棱錐；②僅有兩個面相互平行的五面體是棱臺；③兩個底面平行且相像，其余各面都是梯形的多面體是棱臺；④有兩個面相互平行，其余四個面都是等腰梯形的六面體是棱臺.A．0個 B．1個C．2個 D．3個[解析]由五個面圍成的多面體還可能是三棱臺、三棱柱等，故①錯；三棱柱是只有兩個面平行的五面體，故②錯.如圖，可知③④錯誤.題型三空間想象實力與幾何體的側(cè)面綻開典例3如圖是三個幾何體的側(cè)面綻開圖，請問各是什么幾何體？[分析]由題目可獲得以下主要信息：(1)都是多面體；(2)①中的折痕是平行線，是棱柱；②中折痕交于一點(diǎn)，是棱錐；③中側(cè)面是梯形，是棱臺.[解析]①五棱柱；②五棱錐；③三棱臺.如圖所示.[歸納提升]多面體綻開圖問題的解題策略(1)繪制綻開圖：繪制多面體的表面綻開圖要結(jié)合多面體的幾何特征，發(fā)揮空間想象實力或者是親自制作多面體模型.在解題過程中，經(jīng)常給多面體的頂點(diǎn)標(biāo)上字母，先把多面體的底面畫出來，然后依次畫出各側(cè)面，便可得到其表面綻開圖.(2)由綻開圖復(fù)原幾何體：若是給出多面體的表面綻開圖，來推斷是由哪一個多面體綻開的，則可把上述過程逆推.同一個幾何體表面綻開圖可能是不一樣的，也就是說，一個多面體可有多個表面綻開圖.【對點(diǎn)練習(xí)】?紙制的正方體的六個面依據(jù)其方位分別標(biāo)記為上、下、東、南、西、北，如圖1，現(xiàn)在沿該正方體的一些棱將正方體剪開，外面朝上展平，得到右側(cè)的平面圖形，如圖2．則標(biāo)“△”的面的方位是(B)A．南 B．北C．西 D．下[解析]將所給圖形還原為正方體，如圖3所示，最上面為△，最左面為東，最里面為上，將正方體旋轉(zhuǎn)后讓左面對東，讓“上”面對上可知“△”的方位為北.易錯警示憑直觀感覺推斷幾何體致誤典例4對如圖1所示的幾何體描述正確的是__①③④⑤__(填序號).①這是一個六面體；②這是一個四棱臺；③這是一個四棱柱；④此幾何體可由三棱柱截去一個小三棱柱而得到；⑤此幾何體可由四棱柱截去一個三棱柱而得到.[錯解]①②③④⑤[錯因分析]解答本題時，學(xué)生易直觀上感覺是棱臺，忽視此幾何體側(cè)棱的延長線不能相交于一點(diǎn)，從而錯選②.[正解]①正確，因為該幾何體有六個面，屬于六面體.②錯誤，因為側(cè)棱的延長線不能交于一點(diǎn).③正確，假如把幾何體正面