2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章概率5第1課時(shí)離散型隨機(jī)變量的均值課后作業(yè)含解析北師大版選修2-3

PAGE離散型隨機(jī)變量的均值[A組基礎(chǔ)鞏固]1．設(shè)隨機(jī)變量X的分布列為P(X＝k)＝eq\f(1,4)，k＝1,2,3,4，則EX的值為()A.eq\f(5,2) B．3.5C．0.25 D．2解析：EX＝1×eq\f(1,4)＋2×eq\f(1,4)＋3×eq\f(1,4)＋4×eq\f(1,4)＝eq\f(1,4)×10＝eq\f(5,2).答案：A2．已知ξ～B(n，eq\f(1,2))，η～B(n，eq\f(1,3))，且Eξ＝15，則Eη等于()A．5 B．10C．15 D．20解析：因?yàn)棣巍獴(n，eq\f(1,2))，所以Eξ＝eq\f(n,2)，又Eξ＝15，則n＝30，所以η～B(30，eq\f(1,3))，故Eη＝30×eq\f(1,3)＝10.故正確選項(xiàng)為B.答案：B3．籃球運(yùn)動(dòng)員在競(jìng)賽中每次罰球命中得1分，罰不中得0分．已知某運(yùn)動(dòng)員罰球的命中率是0.7，則他罰球6次的總得分的均值是()A．0.70 B．6C．4.2 D．0.42解析：設(shè)得分X即罰中X次，故X～B(6,0.7)．∴EX＝6×0.7＝4.2.答案：C4．今有兩臺(tái)獨(dú)立工作在兩地的雷達(dá)，每臺(tái)雷達(dá)發(fā)覺飛行目標(biāo)的概率分別為0.9和0.85，設(shè)發(fā)覺目標(biāo)的雷達(dá)臺(tái)數(shù)為X，則EX等于()A．0.765 B．1.75C．1.765 D．0.22解析：P(X＝0)＝(1－0.9)×(1－0.85)＝0.1×0.15＝0.015；P(X＝1)＝0.9×(1－0.85)＋0.85×(1－0.9)＝0.22；P(X＝2)＝0.9×0.85＝0.765.∴EX＝0×0.015＋1×0.22＋2×0.765＝1.75.答案：B5．口袋中有編號(hào)分別為1、2、3的三個(gè)大小和形態(tài)相同的小球，從中任取2個(gè)，則取出的球的最大編號(hào)X的均值為()A.eq\f(1,3) B.eq\f(2,3)C．2 D.eq\f(8,3)解析：X＝2,3.P(X＝2)＝eq\f(1,C\o\al(2,3))＝eq\f(1,3)，P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(1,2),C\o\al(2,3))＝eq\f(2,3).故EX＝2×eq\f(1,3)＋3×eq\f(2,3)＝eq\f(8,3).答案：D6．隨機(jī)變量ξ的概率分布列由下表給出：X78910P(ξ＝X)0.30.350.20.15則隨機(jī)變量ξ的均值是________．解析：Eξ＝7×0.3＋8×0.35＋9×0.2＋10×0.15＝8.2.答案：8.27．某學(xué)校高一年級(jí)男生人數(shù)占該年級(jí)學(xué)生人數(shù)的40%.在一次考試中，男、女生平均分?jǐn)?shù)分別是75,80，則這次考試該年級(jí)學(xué)生平均分?jǐn)?shù)為________．解析：平均分?jǐn)?shù)為eq\f(40,100)×75＋eq\f(60,100)×80＝78.答案：788．一離散型隨機(jī)變量ξ的概率分布列為：ξ0123P0.1ab0.1且其數(shù)學(xué)期望Eξ＝1.5，則a－b＝________.解析：由分布列性質(zhì)知0.1＋a＋b＋0.1＝1，所以a＋b＝0.8，又Eξ＝0×0.1＋1×a＋2×b＋3×0.1＝1.5，即a＋2b＝1.2，由以上兩式可求得a＝b＝0.4.所以a－b＝0.答案：09．李教授現(xiàn)有100萬元，打算采納兩種投資方案：方案一：購(gòu)買股票(形勢(shì)好，可獲利40萬元，形勢(shì)中等，可獲利10萬元，形勢(shì)不好，損失20萬元)；方案二：存入銀行(年利率8%)．假設(shè)經(jīng)濟(jì)形勢(shì)好、中、差的概率分別為0.3,0.5,0.2，李教授應(yīng)選擇哪種方案，可使投資效益較大？解析：設(shè)購(gòu)買股票收益為X，則X的分布列為：X400000100000－200000P0.30.50.2所以EX＝400000×0.3＋100000×0.5－200000×0.2＝130000＞80000，所以購(gòu)買股票的投資效益較大．10．某商場(chǎng)實(shí)行的“三色球”購(gòu)物摸獎(jiǎng)活動(dòng)規(guī)定：在一次摸獎(jiǎng)中，摸獎(jiǎng)?wù)呦葟难b有3個(gè)紅球與4個(gè)白球的袋中隨意摸出3個(gè)球，再?gòu)难b有1個(gè)藍(lán)球與2個(gè)白球的袋中隨意摸出1個(gè)球，依據(jù)摸出4個(gè)球中紅球與藍(lán)球的個(gè)數(shù)，設(shè)一、二、三等獎(jiǎng)如下：獎(jiǎng)級(jí)摸出紅、藍(lán)球個(gè)數(shù)獲獎(jiǎng)金額一等獎(jiǎng)3紅1藍(lán)200元二等獎(jiǎng)3紅0藍(lán)50元三等獎(jiǎng)2紅1藍(lán)10元其余狀況無獎(jiǎng)且每次摸獎(jiǎng)最多只能獲得一個(gè)獎(jiǎng)級(jí)．(1)求一次摸獎(jiǎng)恰好摸到1個(gè)紅球的概率；(2)求摸獎(jiǎng)?wù)咴谝淮蚊?jiǎng)中獲獎(jiǎng)金額X的分布列與數(shù)學(xué)期望EX.解析：設(shè)Ai表示摸到i個(gè)紅球，Bj表示摸到j(luò)個(gè)藍(lán)球，則Ai(i＝0,1,2,3)與Bj(j＝0,1)獨(dú)立．(1)恰好摸到1個(gè)紅球的概率為P(A1)＝eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(2,4),C\o\al(3,7))＝eq\f(18,35).(2)X的全部可能值為0,10,50,200，且P(X＝200)＝P(A3B1)＝P(A3)P(B1)＝eq\f(C\o\al(3,3),C\o\al(3,7))·eq\f(1,3)＝eq\f(1,105)，P(X＝50)＝P(A3B0)＝P(A3)P(B0)＝eq\f(C\o\al(3,3),C\o\al(3,7))·eq\f(2,3)＝eq\f(2,105)，P(X＝10)＝P(A2B1)＝P(A2)P(B1)＝eq\f(C\o\al(2,3)C\o\al(1,4),C\o\al(3,7))·eq\f(1,3)＝eq\f(12,105)＝eq\f(4,35)，P(X＝0)＝1－eq\f(1,105)－eq\f(2,105)－eq\f(4,35)＝eq\f(6,7).綜上知，X的分布列為X01050200Peq\f(6,7)eq\f(4,35)eq\f(2,105)eq\f(1,105)從而有EX＝0×eq\f(6,7)＋10×eq\f(4,35)＋50×eq\f(2,105)＋200×eq\f(1,105)＝4(元)．[B組實(shí)力提升]1．甲、乙兩臺(tái)自動(dòng)機(jī)床生產(chǎn)同種標(biāo)準(zhǔn)零件，ξ表示甲機(jī)床生產(chǎn)1000件產(chǎn)品中的次品數(shù)，η表示乙機(jī)床生產(chǎn)1000件產(chǎn)品中的次品數(shù)，經(jīng)過一段時(shí)間的考察，ξ，η的分布列分別如下，據(jù)此可以推斷()ξ0123P0.70.10.10.1η012P0.50.30.2A．乙比甲質(zhì)量好 B．甲比乙質(zhì)量好C．甲與乙質(zhì)量相同 D．無法推斷解析：因?yàn)镋ξ＝1×0.1＋2×0.1＋3×0.1＝0.6，Eη＝1×0.3＋2×0.2＝0.7.又因?yàn)镋ξ<Eη，所以甲比乙質(zhì)量好．答案：B2．某人進(jìn)行一項(xiàng)試驗(yàn)，若試驗(yàn)勝利，則停止試驗(yàn)，若試驗(yàn)失敗，再重新試驗(yàn)一次，若試驗(yàn)3次均失敗，則放棄試驗(yàn)．若此人每次試驗(yàn)勝利的概率為eq\f(2,3)，則此人試驗(yàn)次數(shù)ξ的均值是()A.eq\f(4,3) B.eq\f(13,9)C.eq\f(5,3) D.eq\f(13,7)解析：試驗(yàn)次數(shù)ξ的可能取值為1,2,3，則P(ξ＝1)＝eq\f(2,3)，P(ξ＝2)＝eq\f(1,3)×eq\f(2,3)＝eq\f(2,9)，P(ξ＝3)＝eq\f(1,3)×eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)＋\f(1,3)))＝eq\f(1,9).所以ξ的分布列為ξ123Peq\f(2,3)eq\f(2,9)eq\f(1,9)∴Eξ＝1×eq\f(2,3)＋2×eq\f(2,9)＋3×eq\f(1,9)＝eq\f(13,9).答案：B3．袋中裝有標(biāo)有數(shù)字1的小球6個(gè)，標(biāo)有數(shù)字2的小球4個(gè)，從袋中任取一個(gè)球，用X表示“取到的標(biāo)有數(shù)字1的小球的個(gè)數(shù)”，即X＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，當(dāng)取到標(biāo)有數(shù)字1的小球時(shí)；,0，當(dāng)取到標(biāo)有數(shù)字2的小球時(shí).))則隨機(jī)變量X的均值EX＝________.解析：依題意，P(X＝0)＝eq\f(4,6＋4)＝eq\f(2,5)，P(X＝1)＝eq\f(6,6＋4)＝eq\f(3,5)，因?yàn)殡S機(jī)變量X聽從兩點(diǎn)分布，所以EX＝P(X＝1)＝eq\f(3,5).答案：eq\f(3,5)4．馬老師從課本上抄錄一個(gè)隨機(jī)變量X的分布列如下表：X123P？?。空?qǐng)小牛同學(xué)計(jì)算X的數(shù)學(xué)期望．盡管“！”處完全無法看清，且兩個(gè)“？”處字跡模糊，但能斷定這兩個(gè)“？”處的數(shù)值相同．據(jù)此，小牛給出了正確答案EX等于________．解：設(shè)“？”處的數(shù)值為x，則“！”處的數(shù)值為1－2x，則EX＝x＋2(1－2x)＋3x＝x＋2－4x＋3x＝2.答案：25．一出租車司機(jī)從飯店到火車站途中有6個(gè)交通崗，假設(shè)他在各交通崗遇到紅燈這一事務(wù)是相互獨(dú)立的，并且概率都是eq\f(1