2021年新初二數(shù)學人教專題復習《實數(shù)》

2021年新初二數(shù)學人教新版專題復習《實數(shù)》

一.選擇題（共10小題）

1.（2020秋?沙坪壩區(qū)校級期末）邊長為1的正方形從如圖所示的位置開始在數(shù)軸上順時針

滾動，當正方形某個頂點落在數(shù)字2023時停止運動，此時與2023重合的點是（）

]力___。1II1）

-2-101234

A.點AB.點BC.點。D.點O

2.（2021?霍邱縣一模）數(shù)軸上A,B,C,。四點中，兩點之間的距離最接近于b+1的是

ABCD

——I-----------1_._?-----------1------------1-----------1-----------1----------1_._I_

（）-4-3-2.5-2-101233.54

A.點A和點BB.點8和點CC.點C和點。D.點A和點C

3.（2021春?哪城區(qū)期末）下列說法錯誤的是（）

A.-1的立方根是-1

B.3的平方根是

C.0.1是0.01的一個平方根

D.算術平方根是本身的數(shù)只有0和1

4.（2021?福州模擬）若實數(shù)a,b,c,d在數(shù)軸上的對應點的位置如圖所示，則①心-4；

②b+d<。；③|a|<c、2；④c<F的結論中，正確的是（）

-4-3-2-1012345

A.①②B.①④C.②③D.③④

5.（2021?北京）實數(shù)a,b在數(shù)軸上的對應點的位置如圖所示，下列結論中正確的是（）

ab

1?1t.i?I.I???i.

-5-4-3-2-1012345

A.a>-2B.⑷C.a+h>0D.h-a<0

6.（2021春?倉山區(qū)校級期中）下列說法正確的是（）

A.也等于±2

B.2和-泥都是實數(shù)

C.無理數(shù)和數(shù)軸上的點一一對應

D.愿<1

7.（2021?東莞市二模）如圖所示，數(shù)軸上A,8兩點表示的數(shù)分別1,加，則的直徑

長為（）

8.（2021春?榮昌區(qū)校級月考）對于實數(shù)內b,定義加6}的含義為：當時，加〃{“,

b}—a,當b<a時，加”{a,b}—b,例如：min{1,-2]--2.已知a}—a,

加〃{倔，切=>/品，且a和人為兩個連續(xù)正整數(shù)，則a-%的立方根為（）

A.-1B.1C.-2D.2

9.（2021春?福田區(qū)校級期中）對于實數(shù)a和江定義兩種新運算:?a*fe=A（|a-b\+a+b）,

2

②4（8）6=/叱則（503）*（305）=（）

A.355B.533C.533-355D.533+355

10.（2021春?武昌區(qū)期中）已知%o.2]4?0,5981，版市Q1289,版工區(qū)-2.776,則

力21400二（）

A.27.76B.12.89C.59.81D.5.981

二.填空題（共10小題）

11.（2021?福州模擬）已知a是整數(shù)，且a<牛而<a+l,則a的值是.

12.（2019秋?鹿邑縣期末）已知4,B,C是數(shù)軸上的三個點，且C在B的左側.點A,B

示的數(shù)分別是1,3,如圖所示.若8C=2AB,則點C表示的數(shù)是.

W~0~t~2~3~4*

13.（2019秋?東臺市期末）在—,3.14,0,0.1010010001-,2中，無理數(shù)有個.

23

14.（2020秋?朝陽區(qū)校級期中）若任的小數(shù)部分為.

15.（2020秋?淮陰區(qū)期中）如圖，正方形OABC的邊OC落在數(shù)軸上，點C表示的數(shù)為1,

點尸表示的數(shù)為-1,以P點為圓心，P8長為半徑作圓弧與數(shù)軸交于點。，則點。表示

的數(shù)為

16.（2020春?西城區(qū)校級期中）已知4a+l的算術平方根是3,則a-10的立方根是.

17.（2018秋?平谷區(qū)期末）已知，a,b是正整數(shù).

（1）若聘是整數(shù)，則滿足條件的a的值為:

（2）若f+J?是整數(shù)，則滿足條件的有序數(shù)對（a,b）為.

18.（2015秋?蕭山區(qū)期末）一個長為3,寬為2的長方形從表示-1的點開始繞著逆時針翻

轉90°到達E點，則E點所表示的數(shù)是.

CD

BC

七|一、

--101

19.（2009?連云港模擬）元宵聯(lián)歡晚會上，魔術師劉謙表演了一個魔術，用幾個小正方形拼

成一個大的正方形，現(xiàn)有四個小正方形的面積分別為八氏c、d,且這四個小正方形能

拼成一個大的正方形，則這個大的正方形的邊長為.

20.已知小6是有理數(shù)，x是無理數(shù)，如果.3癡-6生2018乂上2><2018.是有理數(shù),則且等

4bx-8bx+2017x-2X2017b

于.

三.解答題（共10小題）

21.（2020秋?北培區(qū)校級期末）眾所周知，所有實數(shù)都可以用數(shù)軸上的點來表示.其中，

我們將數(shù)軸上表示正整數(shù)的點稱為“正點”.取任意一個“正點”P,該數(shù)軸上到點P距

離為1的點所對應的數(shù)分別記為小bCa<b）.定義：若數(shù)〃7=^-G則稱數(shù)根為“復

合數(shù)”.例如：若“正點”尸所表示的數(shù)為3,則〃=2,b=4,那么機=43-23=56,所

以56是“復合數(shù)”.【提示：Z>3-a3=（b-a）（淋+血/）.】

（1）請直接判斷12是不是“復合數(shù)”，并且證明所有的“復合數(shù)”與2的差一定能被6

整除；

（2）已知兩個“復合數(shù)”的差是42,求這兩個“復合數(shù)”.

22.（2021春?西城區(qū)校級期中）任何實數(shù)a,可用⑷表示不超過“的最大整數(shù)，如⑷=4,

=現(xiàn)對72進行如下操作：

72第一次［\1］=8第二為泥］=2第二次［小石=1，這樣對72只需進行3次操作后變?yōu)?.

（1）對10進行1次操作后變?yōu)?對200進行3次操作后變?yōu)椋?/p>

（2）對實數(shù)m恰進行2次操作后變成1,則m的取值范圍是.

（3）恰需要進行3次操作后變?yōu)?的所有正整數(shù)中，最大的是.

23.（2021春?黃埔區(qū)期中）已知一個正數(shù)，〃的兩個不同的平方根是24+3和1-3a,求相的

值.

24.（2021春?長白縣期中）判斷下面各式是否成立

探究：（1）你判斷完上面各題后，發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？并猜想:---------------

（2）用含有〃的代數(shù)式將規(guī)律表示出來，說明〃的取值范圍，并給出證明.

25.（2020秋?未央?yún)^(qū)期中）若含根號的式子。+公々可以寫成式子〃計〃4的平方（其中〃，

2

b,m,〃都是整數(shù)，x是正整數(shù)），a+byfx~,則稱a+以1G為子母根式，

機+，?G為。+八G的子母平方根，例如，因為3+2亞=（1+&）2,所以歷是3+2雙

的子母平方根.

（1）已知2+?是。+以行的子母平方根，貝!］。=,b=.

（2）若機+〃正是“+/??的子母平方根，用含〃1,"的式子分別表示“，b.

（3）已知21-12正是子母根式，直接寫出它的一個子母平方根.

26.（2020秋?越秀區(qū)期末）如圖，數(shù)軸上點A,C對應的實數(shù)分別為-4和4,線段AC=

8cm,AB=2cm,CD=4cm,若線段48以3c血秒的速度向右勻速運動，同時線段CD以

1C7"/秒的速度向左勻速運動.

IIIII、

AB0CD

（1）問運動多少秒時BC=2c/w?

（2）線段AB與線段CD從開始相遇到完全離開共經過多長時間？

（3）P是線段AB上一點，當B點運動到線段CD上時,是否存在關系式BD-AP=3PC.若

存在，求線段尸。的長；若不存在，請說明理由.

27.（2020秋?吉安期中）閱讀下面的文字，解答問題：大家知道我是無理數(shù)，而無理數(shù)是

無限不循環(huán)小數(shù)，因此“歷的小數(shù)部分我們不可能全部寫出來，而1＜我＜2于是可用加

-1來表示&的小數(shù)部分.請解答下列問題：

(1)幅的整數(shù)部分是，小數(shù)部分是:

(2)如果5+旄的小數(shù)部分為m5-遍的整數(shù)部分為b,求“+J訪的值.

28.(2020秋?廣安期末)點A、B在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)a、b,A、8兩點之間的距離表

示為4B,在數(shù)軸上A、8兩點之間的距離-加，

例如：數(shù)軸上表示-1與-2的兩點間的距離=|-1-(-2)|=-1+2=1；

而|%+2|=卜-(-2)|,所以僅+2|表示x與-2兩點間的距離.

利用數(shù)形結合思想回答下列問題：

(1)數(shù)軸上表示-2和5兩點之間的距離.

(2)若數(shù)軸上表示點x的數(shù)滿足(X-1|=3,那么x=.

(3)若數(shù)軸上表示點x的數(shù)滿足-4<x<2,則卜-2|+卜+4|=.

AB

-----1-----i------------

a0b

29.(2021春?研口區(qū)期中)某同學想用一塊面積為400c〃?2的正方形紙片，(如圖所示)沿

著邊的方向裁出一塊面積為300cm2的長方形紙片，使它的長寬之比為3：2,請你用所學

過的知識來說明能否用這塊紙片裁出符合要求的紙片.

30.(2019秋?錦江區(qū)校級期末)閱讀下面材料：

點A、8在數(shù)軸上分別表示實數(shù)a、h,A、B兩點之間的距離表示為|AB|.

當A、B兩點中有一點在原點時，不妨設點A在原點，如圖1,HB|=|OB|=|6|=|a-勿；

OAB

O(A)BJ____I___________L

I___________________________|_0ab

0b

圖1圖2

當A、B兩點都不在原點時，如圖2,點A、8都在原點的右邊，\AB\=\OB\-\OA\=\b\-

\a\=b-a=\a-b\；

如圖3,當點A、8都在原點的左邊，\AB\=\OB\-\OA\=\b\-\a\=-b-(-a)=\a-b\；

B/O??一

I—ib0a

b

圖3圖4

如圖4,當點A、B在原點的兩邊，\AB\=\OB\+\OA\=\a\+\b\=a+(-b)=\a-b\.

回答下列問題：

(1)數(shù)軸上表示1和6的兩點之間的距離是數(shù)軸上表示2和-3的兩點之間的距離

是.

(2)數(shù)軸上若點A表示的數(shù)是x,點8表示的數(shù)是-4,則點A和8之間的距離是,

若依用=3,那么x為.

(3)當x是時，代數(shù)式k+2|+k-1|=7.

(4)若點A表示的數(shù)-1,點B與點A的距離是10,且點B在點A的右側，動點P、Q

同時從A、B出發(fā)沿數(shù)軸正方向運動，點P的速度是每秒3個單位長度，點Q的速度是

每秒上個單位長度，求運動幾秒后，8、P、。三點中，有一點恰好是另兩點所連線段的

2

中點？(請寫出必要的求解過程).

2021年新初二數(shù)學人教新版專題復習《實數(shù)》

參考答案與試題解析

選擇題（共10小題）

1.（2020秋?沙坪壩區(qū)校級期末）邊長為1的正方形從如圖所示的位置開始在數(shù)軸上順時針

滾動，當正方形某個頂點落在數(shù)字2023時停止運動，此時與2023重合的點是（）

?4___。????）

-2-101234

A.點AB.點8C.點CD.點。

【考點】實數(shù)與數(shù)軸.

【專題】數(shù)形結合；數(shù)與式；應用意識.

【分析】滾動四次一個循環(huán)，用2023除以4,商即是循環(huán)的次數(shù)，由余數(shù)即可得到與2023

重合的點.

【解答】解：720234-4=504……3,

...與2023重合的點即是滾動后與3重合的點，

而與1重合的是C,與2重合的是8,與3重合的是4,

與2023重合的是4,

故選：A.

【點評】本題考查數(shù)軸上點表示的數(shù)，解題的關鍵是理解與2023重合的點即是與3重合

的點.

2.（2021?霍邱縣一模）數(shù)軸上A,B,C,。四點中，兩點之間的距離最接近于&+1的是

ABCD

——I----------1_._I----------1--------1--------1--------1----------1_._I_k

（）-4-3-2.5-2-101233.54

A.點A和點BB.點8和點CC.點C和點。D.點A和點C

【考點】實數(shù)與數(shù)軸；估算無理數(shù)的大小.

【專題】實數(shù)；二次根式；應用意識.

【分析】先估算a+1的大小，然后根據(jù)選項即可判斷.

【解答】解：1＜加＜2.

A2<V2+1<3.

AB=-1-（-2.5）=1.5,BC=\-（-1）=2、CD=3.5-1=2.5、AC=\-（-2.5）

=3.5.

故揚1最接近的是點C和點D之間的距離.

故選：C.

【點評】本題考查無理數(shù)的估算大小、實數(shù)與數(shù)軸的關系.關鍵在于利用數(shù)軸，找到點

之間的距離.

3.（2021春?哪城區(qū)期末）下列說法錯誤的是（）

A.-1的立方根是-1

B.3的平方根是?

C.0.1是0.01的一個平方根

D.算術平方根是本身的數(shù)只有0和1

【考點】平方根；算術平方根；立方根.

【專題】運算能力.

【分析】根據(jù)立方根的定義和求法，平方根的定義和求法，以及算術平方根的定義和求

法，逐項判定即可.

【解答】解：A、-1的立方根是-1,原說法正確，故此選項不符合題意；

B、3的平方根是土相，原說法錯誤，故此選項符合題意；

C、0.1是0.01的一個平方根，原說法正確，故此選項不符合題意；

。、算術平方根是本身的數(shù)只有。和1,原說法正確，故此選項不符合題意.

故選：B.

【點評】此題考查了立方根、平方根、算術平方根.解題的關鍵是熟練掌握立方根的定

義，平方根的定義，以及算術平方根的定義.

4.（2021?福州模擬）若實數(shù)a,b,c,d在數(shù)軸上的對應點的位置如圖所示，貝KDa>-4；

②b+d<0；③④c<F的結論中，正確的是（）

-4-3-2-1012345

A.①②B.①④C.②③D.③④

【考點】實數(shù)與數(shù)軸.

【專題】實數(shù)；運算能力.

【分析】①根據(jù)在數(shù)軸上，右邊的點表示的數(shù)比左邊的大即可判斷；

②根據(jù)異號兩數(shù)的加法法則判斷；

③注意到C是一個真分數(shù)，所以C，2<1,而⑷>3,從而作出判斷；

④先判斷C2與d的大小，再開方即可.

【解答】解：①根據(jù)在數(shù)軸上，右邊的點表示的數(shù)比左邊的大可知：a>-1,符合題意;

②異號兩數(shù)相加，取絕對值較大數(shù)的符號，取”的符號正號，所以6+d>0,不符合題意;

③?.?同>3,c2<l,.-.k/|>c2,不符合題意；

④；於<1,d>2,：.c2<d,.*.c<Vd-符合題意；

故選：B.

【點評】本題考查了實數(shù)與數(shù)軸，解題的關鍵是注意到c是一個真分數(shù)，所以

5.（2021?北京）實數(shù)a,。在數(shù)軸上的對應點的位置如圖所示，下列結論中正確的是（）

??P??.

-5-4-3-2-1012345

A.a>-2B.\a\>bC.a+b>0D.b-a<0

【考點】絕對值；實數(shù)與數(shù)軸.

【專題】實數(shù)；運算能力；推理能力.

【分析】根據(jù)圖象逐項判斷對錯.

［解答］解：A.由圖象可得點A在-2左側，

-2,A選項錯誤，不符合題意.

B.至U0的距離大于〃至U0的距離，

/.\a\>b,3選項正確，符合題意.

9

C.：\a\>bfa<0,

?.一ab，

.\a+b<0f。選項錯誤，不符合題意.

D.??》〉〃，

：.b-a>0,。選項錯誤，不符合題意.

故選：B.

【點評】本題考查數(shù)軸與絕對值，解題關鍵是掌握數(shù)軸上點的意義及絕對值的含義.

6.（2021春?倉山區(qū)校級期中）下列說法正確的是（）

A.也等于±2

B.2和-旄都是實數(shù)

C.無理數(shù)和數(shù)軸上的點一一對應

D.73<1

【考點】算術平方根；實數(shù)與數(shù)軸；實數(shù)大小比較.

【專題】實數(shù)；推理能力.

【分析】A,根據(jù)算術平方根的定義判斷.

B,根據(jù)實數(shù)的定義判斷.

C,根據(jù)實數(shù)與數(shù)軸的對應關系判斷.

D,根據(jù)無理數(shù)比較大小判斷.

【解答】解：V4=2,A選項錯誤，不符合題意.

2和-加都是實數(shù)，8選項正確，符合題意.

實數(shù)和數(shù)軸上的點一一對應，C選項錯誤，不符合題意.

、質>1,。選項錯誤，不符合題意.

故選：B.

【點評】本題考查實數(shù)的大小比較與算式平方根，解題關鍵是掌握實數(shù)與平方根，算術

平方根的意義.

7.（2021?東莞市二模）如圖所示，數(shù)軸上A,8兩點表示的數(shù)分別1,后，則OA的直徑

長為（）

【考點】實數(shù)與數(shù)軸.

【專題】數(shù)形結合；應用意識.

【分析】根據(jù)己知條件可以求出線段AB的長度，然后根據(jù)直徑等于2倍的半徑，即可解

答.

【解答】解：???數(shù)軸上A、8兩點表示的數(shù)分別為1和加，

:.AB=42-

,/OA的直徑為2AB=2&-2.

故選：c.

【點評】本題考查知識點為求數(shù)軸上兩點間的距離，解本題關鍵，求兩點間的距離用大

數(shù)減去小數(shù)，圓的直徑等于2倍的半徑.

8.(2021春?榮昌區(qū)校級月考)對于實數(shù)〃、b,定義加〃{“，切的含義為：當時，加加他,

b}—a,當匕Va時，b}—b,例如:min{1,-2}=-2.已知就〃{J前,a}—a,

wzn{V30)V30>且”和人為兩個連續(xù)正整數(shù)，則a-〃的立方根為()

A.-1B.1C.-2D.2

【考點】算術平方根；立方根；實數(shù)大小比較.

【專題】數(shù)與式；運算能力.

【分析】根據(jù)a,b的范圍即可求出a-h的立方根.

【解答】解：,.'加〃{5/無，a}=a,min{\f30,b}=愿5.

?'?a<V30>b>y/30.

,：a,6是兩個連續(xù)的正整數(shù).

??。=5,Z?=6.

-b=-1.

???a-b的立方根等于-1.

故選：A.

【點評】本題考查用新定義解決數(shù)學問題及無理數(shù)的估計，立方根的求法，正確理解新

定義是求解本題的關鍵.

9.(2021春?福田區(qū)校級期中)對于實數(shù)a和從定義兩種新運算：①-例+〃+",

2

②a<g)b=a"b,則(5(8)3)*(305)=()

A.355B.533C.533-355D.533+355

【考點】實數(shù)的運算.

【專題】實數(shù)；運算能力.

【分析】直接利用根據(jù)新定義進而將原式變形得出答案.

【解答】解:(503)*(305)=533*355

=_!(|533-355|+5B+355)

2

=_1(355-533+533+355)

2

2

=355.

故選：A.

【點評】此題主要考查了實數(shù)運算，正確將原式變形是解題關鍵.

10.（2021春?武昌區(qū)期中）已知%o.麗=0.5981,版工Q1289,短匚4Q2.776,則

曬400=（）

A.27.76B.12.89C.59.81D.5.981

【考點】立方根.

【專題】實數(shù)；運算能力.

【分析】先將病赤化簡成含有的版匚％式子再計算.

【解答】解：病麗=病7衣1麗=版匚4義肌1而=10版匚422.776X10=

27.76.

故選：A.

【點評】本題考查求立方根的計算，解題關鍵是熟練掌握根式運算方法.

填空題（共10小題）

11.（2021?福州模擬）已知。是整數(shù)，且“＜牛花＜“+1,則a的值是3.

【考點】估算無理數(shù)的大小.

【專題】實數(shù)；運算能力.

【分析】由27＜36＜64可得加牛死＜?；颍瑥亩贸?。的值.

【解答】解：：?。疾。疾?，

**?Q=3.

故答案為3.

【點評】本題考查無理數(shù)的估算，解題關鍵是將“與4+1轉化洞與洞進行比較.

12.（2019秋?鹿邑縣期末）已知A,B,C是數(shù)軸上的三個點，且C在B的左側.點A,B

示的數(shù)分別是1,3,如圖所示.若BC=2AB,則點C表示的數(shù)是-1.

~~0~t~~2~~3~4^

【考點】實數(shù)與數(shù)軸.

【專題】數(shù)形結合.

【分析】先利用點A、B表示的數(shù)計算出AB,再計算出8C,然后計算點C到原點的距

離即可得到C點表示的數(shù).

【解答】解：???點A,8表示的數(shù)分別是1,3,

：.AB=3-1=2,

'：BC^2AB=4,

：.OC=BC-OB=4-3=1,

在B的左側，

.??點C表示的數(shù)是-1.

故答案為：-1.

CAB

~0~~2~3~4^

【點評】本題考查了數(shù)軸：所有的有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點表示，但數(shù)軸上的點不都

表示有理數(shù).（一般取右方向為正方向，數(shù)軸上的點對應任意實數(shù)，包括無理數(shù).）

13.（2019秋?東臺市期末）在三，3.14,0,0.1010010001…，2中，無理數(shù)有2個.

23

【考點】無理數(shù).

【專題】常規(guī)題型.

【分析】根據(jù)無理數(shù)的定義求解即可.

【解答】解：在三，3.14,0,0.1010010001-,2中，2L,0.1010010001…是無

232

理數(shù)，無理數(shù)有2個.

故答案為：2.

【點評】此題主要考查了無理數(shù)的定義，注意帶根號的要開不盡方才是無理數(shù)，無限不

循環(huán)小數(shù)為無理數(shù).如71,娓,O.8O8OO8OOO8-（每兩個8之間依次多1個0）等形式.

14.（2020秋?朝陽區(qū)校級期中）若、用的小數(shù)部分為J"旨-3.

【考點】估算無理數(shù)的大小.

【分析】先估算出J石的范圍，再得出答案即可.

【解答】解：..FCJ石＜4,

...任的整數(shù)部分為3,小數(shù)部分為任-3,

故答案為：V13-3.

【點評】本題考查了估算無理數(shù)的大小，能估算出行的范圍是解此題的關鍵.

15.（2020秋?淮陰區(qū)期中）如圖，正方形0A8C的邊OC落在數(shù)軸上，點C表示的數(shù)為1,

點尸表示的數(shù)為-1,以P點為圓心，PB長為半徑作圓弧與數(shù)軸交于點。，則點。表示

的數(shù)為.

-1O1I2

【考點】實數(shù)與數(shù)軸；勾股定理.

【分析】根據(jù)勾股定理求出PB的長，即PD的長，再根據(jù)兩點間的距離公式求出點D

對應的數(shù).

【解答】解：由勾股定理知：PB=^pc2+^c2=,J22+12=^,

."￡>=“，

.?.點。表示的數(shù)為、而-1.

故答案是：Vs-1-

【點評】此題考查了正方形的性質，勾股定理和實數(shù)與數(shù)軸，得出PD的長是解題的關

鍵.

16.（2020春?西城區(qū)校級期中）已知40+1的算術平方根是3,則a-10的立方根是-2.

【考點】算術平方根；立方根.

【分析】根據(jù)算術平方根定義得出4a+l=9,求出。=2,求出a-10的值，再根據(jù)立方

根定義求出即可.

【解答】解：???44+1的算術平方根是3,

4。+1=9,?,?。=2,

：.a-10的立方根是-2,

故答案為：-2.

【點評】本題考查了平方根，立方根，算術平方根的應用，解此題的關鍵是能關鍵題意

求出。的值，難度適中.

17.（2018秋?平谷區(qū)期末）已知，a,人是正整數(shù).

（I）若A是整數(shù)，則滿足條件的a的值為」

（2）若F+舊是整數(shù),則滿足條件的有序數(shù)對（a,b）為（3,7）或（12,28）

【考點】估算無理數(shù)的大小.

【專題】實數(shù).

【分析】（1）依據(jù)、回是整數(shù)，可得旦=1,即可得出滿足條件的a的值為3；

Vaa

（2）依據(jù)若丑+J7是整數(shù)，分兩種情況即可得出滿足條件的有序數(shù)對（a,b）為（3,

7）或（12,28）.

【解答】解：（1）若，叵是整數(shù)，則旦=1,

Vaa

,滿足條件的。的值為3,

故答案為：3；

（2）若在+點是整數(shù)，則

①當4=3,匕=7時，+^^.=A/1+,S/1=5

②設4=3X”2,則舊=JL,

.7Jn-1)2

r—7n2

??u―,

(n-1)2

?.?是正整數(shù),

/.(n-1)2=1,即〃=2,

二當。=12,6=28時,

滿足條件的有序數(shù)對（a,b）為：（3,7）或（12,28）,

故答案為：（3,7）或（12,28）.

【點評】本題考查了二次根式的性質和二次根式的運算，估算無理數(shù)的大小的應用，分

情況討論是解決第（2）問的難點.

18.（2015秋?蕭山區(qū)期末）一個長為3,寬為2的長方形從表示-1的點開始繞著逆時針翻

轉90°到達E點，則E點所表示的數(shù)是

CD

BC

--101

【考點】實數(shù)與數(shù)軸.

【分析】根據(jù)兩點間的距離公式可求E點所表示的數(shù).

【解答】解：-1-2=-3.

故E點所表示的數(shù)是-3.

故答案為：-3.

【點評】此題考查了實數(shù)與數(shù)軸，關鍵是熟練掌握兩點間的距離公式.

19.（2009?連云港模擬）元宵聯(lián)歡晚會上，魔術師劉謙表演了一個魔術，用幾個小正方形拼

成一個大的正方形，現(xiàn)有四個小正方形的面積分別為4、b,C、d,且這四個小正方形能

拼成一個大的正方形，則這個大的正方形的邊長為_"a+b+c+d_-

【考點】算術平方根.

【專題】應用題；壓軸題.

【分析】利用正方形的面積公式計算即可求解.

【解答】解：設大正方形的邊長為X,

則它的面積為，，

在本題中大正方形的面積為四個小正方形面積的和有x2=a+h+c+d,

?"-x—Va+b+c+d

故答案為：Va+b+c+d-

【點評】本題主要考查了利用算術平方根的定義解決實際問題，主要利用了正方形的面

積公式和算術平方根的概念求解.

2

20.已知“、人是有理數(shù)，x是無理數(shù)，如果,3注:6客2°18x±2X2018是有理數(shù),則包等

4bx2-8bx+2017x-2X2017b

于_8072

6051-，

【考點】無理數(shù).

【專題】創(chuàng)新題型.

【分析】先對分式進行化簡，由于分式的結果是有理數(shù)，設分式的結果為m,得到關于

山的方程，由加、。、6是有理數(shù)，x是無理數(shù)，確定〃?的系數(shù)和結果均為0,求出加和包

b

的值.

9?

r碓容】解.3ax-6ax-2018x+2X2018

04bx2-8bx+2017x-2X2017

=3ax(x-2)-2018(x-2)

4bx(x-2)+2017(x-2)

=(x-2)(3ax-2018)

(x-2)(4bx+2017)

?.'x是無理數(shù)，...X-2WO,

所以原式=3ax-2018

4bx+2017

...3ax-2018是有理數(shù),

4bx+2017

設囪

4bx+2017

貝ij4/?z?ir+201Im=3ax-2018

整理，得34-4,“3=2°18+2°171n

x

因為〃八a、人是有理數(shù)，x是無理數(shù)，

.f2018+2017m=0

I3a-41nb=0

旦=細=_4X2014=_8072

b~33X20176051

【點評】本題考查了分式的化簡、及無理數(shù)、有理數(shù)的相關知識，題目難度較大，掌握

有理數(shù)除以無理數(shù)若等于有理數(shù)，則該有理數(shù)一定為0是解決本題的關鍵.

三.解答題（共10小題）

21.（2020秋?北暗區(qū)校級期末）眾所周知，所有實數(shù)都可以用數(shù)軸上的點來表示.其中，

我們將數(shù)軸上表示正整數(shù)的點稱為“正點取任意一個“正點”尸，該數(shù)軸上到點尸距

離為1的點所對應的數(shù)分別記為a,b（a<b\定義：若數(shù)機=扇-“3’則稱數(shù)根為“復

合數(shù)”.例如：若“正點”尸所表示的數(shù)為3,則a=2,b=4,那么m=43-23=56,所

以56是“復合數(shù)”.【提示：/-〃3=（…）（b^ab+a2）.}

（1）請直接判斷12是不是“復合數(shù)”，并且證明所有的“復合數(shù)”與2的差一定能被6

整除；

(2)已知兩個“復合數(shù)”的差是42,求這兩個“復合數(shù)”.

【考點】實數(shù)與數(shù)軸.

【專題】數(shù)與式；推理能力.

【分析】(1)直接利用定義進行判斷12不是復合數(shù)，利用定義對復合數(shù)進行變形即可證

明；

(2)借助(1)的證明，所有的復合數(shù)都可以寫成67+2,設出兩個復合數(shù)進行轉化.

【解答】解：(1)V133-113^12,

???12不是復合數(shù)，

設“正點”尸所表示的數(shù)為x(x為正整數(shù))，

則a=x-1,b=x+\,

：.(x+1)3-(x-1)3

=(x+1-x+1)(/+2x+l+/-1+x2-2x+l)

=2(3/+1)

=6，+2,

.,.6?+2-2=6/一定能被6整除.

(2)設兩個復合數(shù)為6根2+2和6戶+2(m,"都是正整數(shù))，

；兩個“復合數(shù)”的差是42,

二(6m2+2)-(6n2+2)=42,

.*.w2-”2=7,

〃都是正整數(shù)，

.Jm+n=7

Im-n=1

.?.上，

ln=3

：.6m2+2=98,6n2+2=56,

這兩個“復合數(shù)”為98和56.

【點評】本題是新定義題，主要考查學生的閱讀理解能力，解決本題的關鍵是掌握“復

合數(shù)”的定義.

22.(2021春?西城區(qū)校級期中)任何實數(shù)m可用⑷表示不超過”的最大整數(shù)，如［4］=4,

=現(xiàn)對72進行如下操作：

72第一；&J75］=8第二次［逐］=2第二次［、/勿=1,這樣對72只需進行3次操作后變?yōu)?.

(1)對10進行1次操作后變?yōu)?,對200進行3次操作后變?yōu)?；

(2)對實數(shù)m恰進行2次操作后變成1,則m的取值范圍是4W〃?<16.

(3)恰需要進行3次操作后變?yōu)?的所有正整數(shù)中，最大的是255.

【考點】估算無理數(shù)的大小.

【專題】創(chuàng)新題型；能力層次.

【分析】(1)根據(jù)間的含義和無理數(shù)的估計可求.

(2)根據(jù)⑷的含義倒推。的范圍.

(3)根據(jù)同的含義求出這個數(shù)的范圍，再求最大值.

【解答】解：(1)[7101=3.

200進行第一次操作：麗]=14,

第二次操作后：[小訪=3.

第三次操作后：[b]=1.

故答案為：3,1.

(2)V[x]=l

".1WXV2.

1W

116.

???操作兩次.

16.

故答案為：4W,”V16.

(3)設這個數(shù)是p,

V[x]=l

1?2.

/.1W\/"iiv2.

；.lWp<256.

；3次操作，故0216.

16<p<256.

,:p是整數(shù).

；.p的最大值為255.

故答案為：255.

【點評】本題考查取整函數(shù)及無理數(shù)的估計，正確理解取整含義是求解本題的關鍵.

23.（2021春?黃埔區(qū)期中）已知一個正數(shù)的兩個不同的平方根是24+3和1-3”，求機的

值.

【考點】平方根.

【專題】二次根式；運算能力.

【分析】一個正數(shù)的兩個平方根互為相反數(shù)，根據(jù)它們的和為0,求出。的值，然后求出

平方根，最后根據(jù)平方根的平方求出m的值.

【解答】解：根據(jù)題意得：（2“+3）+（1-3a）—0,

2a+3+1-3a=0,

-a=-4,

a=4,

：.2a+3

=2X4+3

=11,

.,.W=112=121.

【點評】這道題考查平方根的定義，一個正數(shù)的兩個平方根之間的關系，一個正數(shù)和它

的平方根的關系，解題的關鍵是這兩個平方根互為相反數(shù)，它們的和為0.

24.（2021春?長白縣期中）判斷下面各式是否成立

（2）用含有〃的代數(shù)式將規(guī)律表示出來，說明"的取值范圍，并給出證明.

【考點】算術平方根.

【專題】規(guī)律型.

【分析】（1）利用己知得出展=限2，即可得出命題正確，同理即可得出其他正

確性;

(2)利用(1)的方法，可以得出規(guī)律，并加以證明即可.

:?跨=5息

【點評】此題主要考查了平方根的性質，利用已知得出數(shù)字之間的規(guī)律是解決問題的關

鍵.

25.(2020秋?未央?yún)^(qū)期中)若含根號的式子“+以6可以寫成式子山+〃4的平方(其中a,

6,如〃都是整數(shù)，x是正整數(shù))，即a+以&=2,則稱〃+方4為子母根式，

，"+〃?為a+久6的子母平方根，例如，因為3+2a=(1+72)2,所以是3+20

的子母平方根.

(1)已知2+?是“+/??的子母平方根，則a=7,b=4.

(2)若機+"正是a+從幾的子母平方根，用含“，”的式子分別表示a,h.

(3)已知21-12我是子母根式，直接寫出它的一個子母平方根.

【考點】平方根.

【專題】新定義；實數(shù)；符號意識；運算能力.

【分析】(1)由(2+73)2=a+bM，即7+4遙=a+妁巧，從而得出答案；

(2)由Gn+>r\E)2=a+bJ￡即(>n2+6n2)+2mny[^)=a+by[^),從而得出答案；

(3)由21-12爪=3?-2X2如X3+(273)2=<3-2蟲)2,根據(jù)子母平方根的定義

可得答案.

【解答】解：(1)根據(jù)題意知(2+V3)2=a+b?,

，4+4J§+3=a+人即7+4j§

:?a=7,〃=4,

故答案為：7,4；

(2)根據(jù)題意知(加+小而)2=a+b氓,

貝!]相2+2〃皿5y^+6“2=a+65y即(W2+6“2)+2mn-\[^)=a+by[(),

".a=m2+6n2,b—1mn-,

(3)V21-12A/3=32-2X2?X3+(2?)2=(3-273)21

A3-是21-12y的子母根式.

【點評】本題主要考查平方根，解題的關鍵是掌握子母平方根的定義和完全平方公式.

26.(2020秋?越秀區(qū)期末)如圖，數(shù)軸上點A,C對應的實數(shù)分別為-4和4,線段AC=

8cm,AB=2cm,CD=4cm,若線段AB以3aM秒的速度向右勻速運動，同時線段C￡>以

秒的速度向左勻速運動.

11I11,

AB0CD

(1)問運動多少秒時8c=2cm?

(2)線段48與線段CD從開始相遇到完全離開共經過多長時間？

(3)P是線段AB上一點，當B點運動到線段CD上時，是否存在關系式BD-AP=3PC.若

存在，求線段尸。的長；若不存在，請說明理由.

【考點】實數(shù)與數(shù)軸；一元一次方程的應用.

【專題】數(shù)與式；幾何直觀；推理能力.

【分析】(1)設運動，秒時，BC=2cm,然后分點B在點C的左邊和右邊兩種情況討論,

根據(jù)題意列出方程求解即可；

(2)根據(jù)時間=路程和+速度和，進行計算即可求解；

(3)隨著點B的運動，分別討論當點B和點C重合、點C在點A和B之間及點A與點

C重合時的情況.

【解答】解：(1)設運動f秒時，BC=2cm,

①當點B在點C的左邊時，由題意得：3r+2+f=6,解得：f=l；

②當點8在點C的右邊時，由題意得：3/-2+t=6,解得：f=2.

的值是1或2.

(2)(2+4)+(3+1)=1.5(秒).

答：線段AB與線段從開始相遇到完全離開，共經過1.5秒的時間.

(3)存在關系式8。-AP=3PC.

設運動時間為f秒，

①當f=3時，點8和點C重合，點P在線段上，0VPCW2,且80=8=4,

PA+3PC=AB+2PC^2+2PC,

當尸C=1時，BD=AP+3PC,即BD-AP=3PC；

②當3<f<」與時，點C在點A和點8之間，0VPC<2；

4

當點尸在線段BC上時，

BD=CD-8c=4-BC,

AP+3>PC=AC+4PC^AB-BC+4PC=2-BC+4PC

當^℃=工時，WBD=AP+3PC,即BD-AP=3PC.

2

③當時，點A與點C重合，

4

0<PC<2,BD=CD-AB=2AP+3PC=4PC,

當PC=工時，WBD=AP+3PC,BRBD-AP=3PC,

2

在C點左側或右側

的長有2種可能,即5或35

【點評】本題考查兩點間的距離，并綜合了數(shù)軸、一元一次方程和線段長短的比較，難

度較大，注意對第三問進行分情況討論，不要漏解.

27.(2020秋?吉安期中)閱讀下面的文字，解答問題：大家知道&是無理數(shù)，而無理數(shù)是

無限不循環(huán)小數(shù)，因此的小數(shù)部分我們不可能全部寫出來，而1<&<2于是可用血

-1來表示后的小數(shù)部分.請解答下列問題：

(1)、成的整數(shù)部分是5,小數(shù)部分是、成-5；

(2)如果5+加的小數(shù)部分為a,5-遍的整數(shù)部分為6,求a+倔的值.

【考點】估算無理數(shù)的大小.

【專題】實數(shù)；數(shù)感.

【分析】(1)估算后的近似值，即可得出揚的整數(shù)部分和小數(shù)部分；

(2)求出4、h的值，再代入計算即可.

【解答】解：(1)vV25<V29<V36，

?'-5<V29<6>

J前的整數(shù)部分為5,小數(shù)部分為技-5,

故答案為：5,A/29-5；

(2)V2<V5<3.

二7<5+&<8,

；.5+捉的小數(shù)部分。=5+娓-7=泥-2,

V2<V5<3>

/--3<-_2,

.\2<5-娓<3,

；.5-泥的整數(shù)部分為b=2,

??.〃+倔=遙-2+2旄=3旄-2.

【點評】本題考查無理數(shù)的估算，掌握算術平方根的意義是正確估算的前提.

28.(2020秋?廣安期末)點A、B在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)〃、b,A、B兩點之間的距離表

示為AB,在數(shù)軸上4、8兩點之間的距離AB=|a-引，

例如：數(shù)軸上表示-1與-2的兩點間的距離=|-1-(-2)|=-1+2=1；

而卜+2|=卜-(-2)|,所以|x+2|表示x與-2兩點