2022年高中物理第三章萬有引力定律學(xué)案教科版必修2

萬有引力定律

一、能夠復(fù)述開普勒三大定律★☆☆☆☆☆

開普勒第一定律：所有行星繞太陽運動的軌道都是,太陽處在橢圓的一個________上.

開普勒第二定律：對任意一個行星來說，它與太陽的連線在相同的時間內(nèi)掃過相等的.

開普勒第三定律：所有行星的軌道的半長軸的三次方跟它的的比值都相等，即

a3

T2=A.

解析：1.橢圓焦點2.面積3.公轉(zhuǎn)周期的二次方

二、能夠復(fù)述萬有引力基本定義★☆☆☆☆☆

內(nèi)容

自然界中任何兩個物體都相互吸引，引力的方向在它們的連線上，引力的大小與

成正比，與它們之間成反比.

公式

,通常取G=N?m2/kg2,G是比例系數(shù)，叫引力常量.

適用條件

公式適用于間的相互作用.當兩物體間的距離遠大于物體本身的大小時，物體可視為質(zhì)

點；均勻的球體可視為質(zhì)點，r是間的距離；對一個均勻球體與球外一個質(zhì)點的萬有

引力的求解也適用，其中r為球心到間的距離.

mlm2

解析：1.物體的質(zhì)量ml和m2的乘積距離r的二次方2.F=Gr26.67X10—113.質(zhì)點兩球

心質(zhì)點

三、能夠判斷基本物理量的關(guān)系★★☆☆☆☆

例1.某行星沿橢圓軌道運行，遠日點離太陽的距離為a,近日點離太陽的距離為b,過遠日點時

行星的速率為Va,則過近日點時行星的速率V為（）

3

D.Vb=bva

【解答】解：取極短時間At,

根據(jù)開普勒第二定律得行星與太陽的連線在相等時間內(nèi)掃過的面積相等,

11

,,

2ava*At=2bvb,At

a

得到:Vb=bv?.

故選:D.

例2.開普勒分別于1609年和1619年發(fā)表了他發(fā)現(xiàn)的行星運動規(guī)律，后人稱之為開普勒行星運動

定律.關(guān)于開普勒行星運動定律，下列說法正確的是（）

A.所有行星繞太陽運動的軌道都是圓，太陽處在圓心上

B.對任何一顆行星來說，離太陽越近，運行速率越大

C.所有行星繞太陽運動的軌道半長軸的平方與周期的三次方的比值都相等

D.開普勒獨立完成了行星的運行數(shù)據(jù)測量、分析、發(fā)現(xiàn)行星運動規(guī)律等全部工作

【解答】解：A、所有的行星圍繞太陽運動的軌道都是橢圓，太陽處在所有橢圓的一個焦點上，

故A錯誤；

B、根據(jù)第二定律：對每一個行星而言，太陽行星的連線在相同時間內(nèi)掃過的面積相等.所以對

任何一顆行星來說，離太陽越近，運行速率就越大.故B正確；

C、所有行星的軌道的半長軸的三次方跟公轉(zhuǎn)周期的二次方的比值都相等，故C錯誤；

D、第谷觀測了行星的運行，積累了大量數(shù)據(jù)，開普勒整理和研究了他的觀測數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)了行星

運動規(guī)律，故D錯誤.

故選：B.

R3

例3.關(guān)于開普勒行星運動的公式丁=K,以下理解不正確的是（）

A.K是一個與行星有關(guān)的常數(shù)B.K是一個與恒星有關(guān)的常數(shù)

C.T表示行星運動的公轉(zhuǎn)周期D.R表示軌道的半長軸

【解答】解：AB、k是一個與行星無關(guān)的常量，與恒星的質(zhì)量有關(guān)，故A錯誤，B正確.

C、T代表行星運動的公轉(zhuǎn)周期，故C正確；

D、R代表行星橢圓運動的半長軸，故D正確.

本題選擇錯誤的，故選：A.

例4.行星繞太陽公轉(zhuǎn)軌道是橢圓，冥王星公轉(zhuǎn)周期為T。，其近日點距太陽的距離為a,遠日點距

太陽的距離為b,半短軸的長度為c,如圖所示.若太陽的質(zhì)量為M,萬有引力常數(shù)為G,忽

略其它行星對它的影響，則（）

A.冥王星從B-C-D的過程中，速率逐漸變小

B.冥王星從A-B-C的過程中，萬有引力對它先做負功后做正功

Io

C.冥王星從A-B所用的時間等于4

4GM

D.冥王星在B點的加速度為（a-b）.4c2

【解答】解：A、根據(jù)第二定律：對每一個行星而言，太陽行星的連線在相同時間內(nèi)掃過的面積

相等.所以冥王星從B-C-的過程中，冥王星與太陽的距離先增大后減小，所以速率先變小后增

大，故A錯誤；

B、太陽行星的連線在相同時間內(nèi)掃過的面積相等.所以冥王星從A-B-C的過程中，冥王星與

太陽的距離增大，速率逐漸變小，萬有引力對它做負功.故B錯誤；

C、公轉(zhuǎn)周期為T。，冥王星從A-C的過程中所用的時間是0.5T。，由于冥王星從A-B-C的過程

Jo

中，速率逐漸變小，從A-B與從B-C的路程相等，所以冥王星從A-B所用的時間小于4,故

C錯誤；

2,/b-ax22r幽fa

c'+（----）二1/G2-ma

D、設(shè)B點到太陽的距離1,則2,根據(jù)萬有引力充當向心力知1

4GM

22

知冥王星在B點的加速度為a=（a-b）+4c，故D正確;

故選：D

例5.長期以來“卡戎星（Charon）”被認為是冥王星唯一的衛(wèi)星，它的公轉(zhuǎn)軌道半徑n=19600km,

公轉(zhuǎn)周期「=6.39天.2006年3月，天文學(xué)家發(fā)現(xiàn)兩顆冥王星的小衛(wèi)星，其中一顆的公轉(zhuǎn)半

徑0=480000,則它的公轉(zhuǎn)周期T2,最接近于（）

A.15天B.25天C.35天D.45天

33----------------

3121.392x4800（）3

【解答】解：據(jù)開普勒第二定律得：口=12得：T2N196003=24.6天，故人，口錯誤,

B正確.

故選：B.

【過關(guān)檢測】

1.金星的質(zhì)量為繞太陽的運動的橢圓軌道半長軸為R,公轉(zhuǎn)周期為地球的質(zhì)量為此，

繞太陽運動的橢圓軌道半長軸為Rz,公轉(zhuǎn)周期為T2,那么，下面判斷正確的是（）

333

pR1pR2T,R,不

—（—）

~T2，T~2乙Tpz

A.11>:2B.12=K2

3

IlliII（&廣

C.T2=^2D,T2=R1

【解答】解：金星的質(zhì)量為M”繞太陽的運動的橢圓軌道半長軸為L,公轉(zhuǎn)周期為

R3R；_

則由開普勒第三定律中的公式T，得11

而地球的質(zhì)量為岫，繞太陽運動的橢圓軌道半長軸為Rz,公轉(zhuǎn)周期為49

4

則有其

f?3口3

KR31K2[tR]5

-2=-2—=（—）2

由于同一中心天體，所以K值相同，因此入丁2即為丁2R2

而公轉(zhuǎn)周期與自身質(zhì)量無關(guān).

故選：B

2.關(guān)于開普勒定律，下列說法正確的是（）

A.開普勒定律是根據(jù)長時間連續(xù)不斷的、對行星位置觀測記錄的大量數(shù)據(jù)，進行計算分析后獲

得的結(jié)論

B.根據(jù)開普勒第二定律，行星在橢圓軌道上繞太陽運動的過程中，其速度隨行星與太陽之間距

離的變化而變化，距離小時速度大，距離大時速度小

C.行星繞太陽運動的軌道，可以近似看做為圓，即可以認為行星繞太陽做勻速圓周運動

D.開普勒定律，只適用于太陽系，對其他恒星系不適用；行星的衛(wèi)星（包括人造衛(wèi)星）繞行星

的運動，是不遵循開普勒定律的

【解答】解：A、開普勒定律是根據(jù)長時間連續(xù)不斷的、對行星位置觀測記錄的大量數(shù)據(jù)，進行

計算分析后獲得的結(jié)論.故A正確

B、第二定律：對每一個行星而言，太陽行星的連線在相同時間內(nèi)掃過的面積相等.行星在此橢

圓軌道上運動的速度大小不斷變化，故B正確；

C、第一定律的內(nèi)容為：所有行星分別沿不同大小的橢圓軌道繞太陽運動，太陽處于橢圓的一個

焦點上，可以近似看做為圓，即可以認為行星繞太陽做勻速圓周運動，故C正確；

D、開普勒定律，也適用于太陽系，對其他恒星系也適用；行星的衛(wèi)星（包括人造衛(wèi)星）繞行星

的運動，是遵循開普勒定律的，故D錯誤；

故選：ABC.

3.下列關(guān)于萬有引力定律的說法中正確的是（）

A.萬有引力定律是卡文迪許發(fā)現(xiàn)的

ID?ID2

B.F=Gr"中的G是一個比例常量，是沒有單位的

C.萬有引力定律適用于質(zhì)點間的相互作用

D.兩物體間的引力大小與質(zhì)量成正比，與此兩物間距離的平方成反比

【解答】解：A、牛頓提出了萬有引力定律，而萬有引力恒量是由卡文迪許測定的，故A錯誤；

ID?ID2

B、F=Gr"中的G是一個比例系數(shù)，單位為Nm2/k/.故B錯誤；

C、萬有引力定律適用于宇宙萬物任意兩個物體之間的引力，是自然界一種基本相互作用的規(guī)律,

故C正確；

ID?ID2

D、根據(jù)萬有引力公式F=Gr”可知自然界中任何兩個物體都是相互吸引的，引力的大小與兩物

體的質(zhì)量的乘積成正比，與兩物體間距離的平方成反比，故D錯誤.

故選：c.

4.由于萬有引力定律和庫侖定律都滿足于平方反比律，因此引力場和電場之間有許多相似的性

質(zhì)，在處理有關(guān)問題時可以將它們進行類比，例如電場中反映各點電場強弱的物理量是電場

F

強度，其定義式為E=W,在引力場中可以有一個類似的物理量來反映各點引力場的強弱，設(shè)

地球質(zhì)量為M,半徑為R,地球表面處重力加速度為g,引力常量為G,如果一個質(zhì)量為m的

物體位于距地表r處的上空某點，則下列表達式中能反映該點引力場強弱的是（）

MMMmMm

A.Gr2B.G（R+r）2C.Gr2D.G（R+r）2

F

【解答】解：類比電場強度定義式E=W，

由萬有引力等于重力得

GMn

在地球表面：mg=R①

GMm

F（r+R）2----M----

該點引力場強弱m―=G（R+r）2,故ACD錯誤，B正確；

故選：B.

5.萬有引力常量適應(yīng)于任何兩個物體，引力常量的普適性成了萬有引力定律正確性的最早證

據(jù).引力常量G不僅有大小，還有單位.下面哪個選項是用國際單位制中的基本單位來表示

引力常量G的單位的（）

A.N,m'/kg2B.N,m/kg"C.m/（kg*s2）D.m',kgVs"

【解答】解：國際單位制中質(zhì)量m、距離r、力F的單位分別是：kg、m、N,根據(jù)牛頓的萬有引

IDjID2

力定律F=Gr”，得到

G的單位是N-m7s2.

故選A

四、運用萬有引力定律計算基本量

例6.經(jīng)長期觀測發(fā)現(xiàn)，A行星運行的軌道半徑為Ro,周期為T。但其實際運行的軌道與圓軌道總存

在一些偏離，且周期性地每隔t。時間發(fā)生一次最大的偏離.如圖所示，天文學(xué)家認為形成這

種現(xiàn)象的原因可能是A行星外側(cè)還存在著一顆未知行星B,則行星B運動軌道半徑為（）

【解答】解：由題意可知：A、B相距最近時，B對A的影響最大，且每隔時間t。發(fā)生一次最大的

偏離，說明A、B相距最近，設(shè)B行星的周期為T,

/2H2兀、cr

（互-〒）/2冗

則有:

10丁。

解得：T=t（）-T0

R3___

3-2

據(jù)開普勒第三定律：R0To

3Ixo2

得:R=1（-T°））

故A正確、BCD錯誤.

故選：A

例7.太陽系各行星幾乎在同一平面內(nèi)沿同一方向繞太陽做圓周運動，當?shù)厍蚯『眠\行到某地外行

星和太陽之間，且三者幾乎排成一條直線的現(xiàn)象，天文學(xué)家稱為“行星沖日”，據(jù)報道，2014

年各行星沖日時間分別為：1月6日木星沖日；4月9日火星沖日；5月11日土星沖日；8

月29日海王星沖日；10月8日天王星沖日.已知地球及各地外行星繞太陽運動的軌道半徑

如下表所示，則下列判斷正確的是（）

地球火工木星土星天王星海王星

軌道半徑（AU）1.01.55.29.51930

A.各地外行星每年都會出現(xiàn)沖日現(xiàn)象

B.在2015年內(nèi)一定會出現(xiàn)木星沖日

C.天王星相鄰兩次沖日的時間間隔為土星的一半

D.地外行星中，海王星相鄰兩次沖日的時間間隔最短

R3—囁

~~2~~~2~

【解答】解：根據(jù)開普勒第三定律，有：T丁地；

J（/-）3T地

解得：T=V尺地；

故T火=41.5?年=1.84年；

T木=45.2?年=11.86年；

T±=^9.53年=29.28年；

T天H193年=82.82年；

T海年=164.32年；

A、如果兩次行星沖日時間間隔為1年，則地球多轉(zhuǎn)動一周，有：

2兀_2兀

2n=（丁地T0）t

代入數(shù)據(jù)，有：

2?？?/p>

2Ji=（1-T0）XI

解得：T。為無窮大；

即行星不動，才可能在每一年內(nèi)發(fā)生行星沖日，顯然不可能，故A錯誤；

B、2014年1月6日木星沖日，木星的公轉(zhuǎn)周期為11.86年，在2年內(nèi)地球轉(zhuǎn)動2圈，木星轉(zhuǎn)動

不到一圈，故在2015年內(nèi)一定會出現(xiàn)木星沖日，故B正確；

C、如果兩次行星沖日時間間隔為t年，則地球多轉(zhuǎn)動一周，有：

2兀_2兀

2JT=（1地T0）t

解得：

TQT地

t=T（）-T地

82.82X1

故天王星相鄰兩次沖日的時間間隔為：t天=82?82-l^i.oi年；

29.28X1

土星相鄰兩次沖日的時間間隔為：t土=29.2804年；

故C錯誤；

D、如果兩次行星沖日時間間隔為t年，則地球多轉(zhuǎn)動一周，有：

2兀_2兀

2"=（丁地丁0）t

解得：

T地

"T地.T地

1一''

1=丁0-丁地=T0,故地外行星中，海王星相鄰兩次沖日的時間間隔最短；故D正確；

故選：BD.

F

例&某物體在地球表面，受到地球的萬有引力為F.若此物體受到的引力減小為N,則其距離地

面的高度應(yīng)為（R為地球半徑）（）

A.RB.2RC.4RD.8R

【解答】解：根據(jù)萬有引力定律表達式得：

GMn

-2

F=r,其中r為物體到地球中心的距離.

某物體在地球表面，受到地球的萬有引力為F,此時r=R,

FGMir

-2

若此物體受到的引力減小為4,根據(jù)F=I1得出此時物體到地球中心的距離r'=2R,

所以物體距離地面的高度應(yīng)為R.

故選A.

【過關(guān)檢測】

6.宇宙中存在一些離其他恒星較遠的、由質(zhì)量相等的三顆星組成的三星系統(tǒng)，通?？珊雎云渌?/p>

星體對它們的引力作用，已觀測到穩(wěn)定的三星系統(tǒng)存在形式之一是：三顆星位于同一直線上，

兩顆環(huán)繞星圍繞中央星在同一半徑為R的圓形軌道上運行,設(shè)每個星體的質(zhì)量均為M,則（）

?M'

M0-H-o0

/一/'

回

A.環(huán)繞星運動的線速度為丫下

B.環(huán)繞星運動的線速度為丫藏

T=g

C.環(huán)繞星運動的周期為V

T=2兀

D.環(huán)繞星運動的周期為

式4-2R

【解答】解：對某一個環(huán)繞星：R?+4R2=MT=MT2

解得：V=V4R,V5GM

故選BC

7.假設(shè)航天飛機在太空繞地球作勻速圓周運動.宇航員利用機械手將衛(wèi)星舉到機艙外，并相對

航天飛機靜止釋放該衛(wèi)星，則被釋放的衛(wèi)星將（）

A.停留在軌道的被釋放處

B.隨航天飛機同步繞地球作勻速圓周運動

C.向著地球做自由落體運動

D.沿圓周軌道的切線方向做直線運動

【解答】解：航天飛機在太空繞地球作勻速圓周運動時，由地球的萬有引力提供向心力，由牛頓

第二定律得到航天飛機的速度表達式為,M是地球的質(zhì)量，r是航天飛機的軌道半徑.將

衛(wèi)星相對航天飛機靜止釋放時，衛(wèi)星的速度也等于v=Vr,地球?qū)πl(wèi)星萬有引力恰好提供向心力,

所以衛(wèi)星將隨航天飛機同步繞地球作勻速圓周運動，不做自由落體運動.故B正確.

故選B

8.地球赤道上有一物體隨地球自轉(zhuǎn)而做圓周運動，所受到的向心力為F”向心加速度為a“線

速度為V”角速度為3底繞地球表面附近做圓周運動的人造衛(wèi)星（高度忽略）所受到的向心

力為F2,向心加速度為a2,線速度為V2,角速度為32；地球同步衛(wèi)星所受到的向心力為F3,

向心加速度為a3,線速度為V3,角速度為33；地球表面的重力加速度為g,第一宇宙速度為

v,假設(shè)三者質(zhì)量相等，則（）

A.FI=F2>FJB.ai=a2=g>a3C.Vi=V2=v>vjD.o；=w3<o2

【解答】解：A、根據(jù)題意三者質(zhì)量相等，軌道半徑r產(chǎn)nVn

物體1與人造衛(wèi)星2比較，由于赤道上物體受引力和支持力的合力提供向心力，而近地衛(wèi)星只受

萬有引力，故以<作，故A錯誤；

B、由選項A的分析知道向心力3<Fz,故由牛頓第二定律，可知&<a2,故B錯誤；

2

v

C、由A選項的分析知道向心力Fi<Fz,根據(jù)向心力公式F=mR,由于m、R一定，故Vi<V2,故

C錯誤；

D、同步衛(wèi)星與地球自轉(zhuǎn)同步，故「=13,根據(jù)周期公式T=2ng,可知，衛(wèi)星軌道半徑越大，

2兀

周期越大，故再根據(jù)3=-T,有3尸33<32,故D正確；

故選:D.

9.質(zhì)量為m的探月航天器在接近月球表面的軌道上飛行，其運動視為勻速圓周運動.已知月球

質(zhì)量為M,月球半徑為R,月球表面重力加速度為g,引力常量為G,不考慮月球自轉(zhuǎn)的影響,

則航天器的（）

、回L

A.線速度v=VRB.角速度s=UgR

.fi粵

C.運行周期T=2W,RD.向心加速度a=R

【解答】解：根據(jù)萬有引力提供衛(wèi)星做圓周運動的向心力和萬有引力等于重力得出:

Mmv2

A、根據(jù)萬有引力提供向心力RK,得故A正確;

根據(jù)mg二mJR,得3=YR,故B錯誤;

A2L?R

C、根據(jù)mg二mT2R,得T=2五Ng,故C錯誤;

GM

G~~2=n）a-o

D、根據(jù)萬有引力提供向心力R,得a=區(qū)，故D錯誤.

故選：A.

10.科學(xué)家經(jīng)過深入觀測研究，發(fā)現(xiàn)月球正逐漸離我們遠去，并且將越來越暗.有地理學(xué)家觀察

了現(xiàn)存的幾種鸚鵡螺化石，發(fā)現(xiàn)其貝殼上的波狀螺紋具有樹木年輪一樣的功能，螺紋分許多

隔，每隔上波狀生長線在30條左右，與現(xiàn)代農(nóng)歷一個月的天數(shù)完全相同.觀察發(fā)現(xiàn)，鸚鵡

螺的波狀生長線每天長一條，每月長一隔.研究顯示，現(xiàn)代鸚鵡螺的貝殼上，每隔生長線是

30條，中生代白堊紀是22條，侏羅紀是18條，奧陶紀是9條.已知地球表面的重力加速度

為10m/s.地球半徑為6400kin,現(xiàn)代月球到地球的距離約為38萬公里.始終將月球繞地球

的運動視為圓周軌道，由以上條件可以估算奧陶紀月球到地球的距離約為（）

A.8.4X10smB.1.7X10mC.1.7X10mD.8.4X10%

【解答】解：在地球表面的物體受到的重力等于萬有引力，有：R，則有：GM=gR2,

nMm4九2

=mrx-

又根據(jù)萬有引力提供向心力為：rT,

3產(chǎn)

聯(lián)立解得：r=Y4兀2.

代入數(shù)據(jù)得：r七1.7X10%.故B正確，A、C、D錯誤.

故選：B.

五、運用萬有引力定律計算重力加速度★★★★☆☆

例9.衛(wèi)星電話在搶險救災(zāi)中能發(fā)揮重要作用.第一代、第二代海事衛(wèi)星只使用靜止軌道衛(wèi)星，不

能覆蓋地球上的高緯度地區(qū).而第三代海事衛(wèi)星采用同步和中軌道衛(wèi)星結(jié)合的方案，解決了

覆蓋全球的問題.它由4顆同步衛(wèi)星與12顆中軌道衛(wèi)星構(gòu)成.中軌道衛(wèi)星高度約為地球半

徑的2倍，分布在幾個軌道平面上（與赤道平面有一定的夾角）.地球表面處的重力加速度

為g,則中軌道衛(wèi)星處的重力加速度約為（）

g_g

A.4B.9C.4gD.9g

【解答】解：由題意可知中軌道衛(wèi)星的軌道半徑是地球半徑的3倍，設(shè)地球半徑為R,則中軌道

衛(wèi)星的軌道半徑為3R,

在地球表面有:

G-x-mg

R2

對中軌道衛(wèi)星有:

G—弧―

(3R)2

_g

解得：&而

故選B.

例10.2012年8月9日，美國“好奇”號火星探測器登陸火星后傳回的首張360°全景圖，火

星表面特征非常接近地球，可能適合人類居住.為了實現(xiàn)人類登陸火星的夢想，近期我國宇

1

航員王躍與俄羅斯宇航員一起進行“模擬登火星”實驗活動.已知火星半徑是地球半徑的2

1

質(zhì)量是地球質(zhì)量的Q自轉(zhuǎn)周期也基本相同.地球表面重力加速度是g,若王躍在地面上能

向上跳起的最大高度是h,在忽略自轉(zhuǎn)影響的條件下，下述分析正確的是（）

4

A.王躍在火星表面受的萬有引力是在地球表面受萬有引力的年

2

B.火星表面的重力加速度是冬

選

C.火星第一宇宙速度是地球第一宇宙速度廳的3

4

D.王躍以相同的初速度在火星上起跳時，可跳的最大高度是2

【解答】解：A、根據(jù)萬有引力定律得，F(xiàn)=GR知王躍在火星表面受的萬有引力是在地球表面受萬

4

有引力的石倍.故A正確.

MmGM

~9-9

B、根據(jù)萬有引力等于重力得，GR=mg,g=R\知火星表面重力加速度時地球表面重力加速度的

44

§倍，則火星表面重力加速度為故B錯誤.

她式回

C、根據(jù)萬有引力提供向心力GR2初R,得v=VR,知火星的第一宇宙速度是地球第一宇宙速度

選

的3倍.故C正確.

4J

I）、因為火星表面的重力加速度是地球表面重力加速度的百倍，根據(jù)h=2g,知火星上跳起的高度

99

是地球上跳起高度的N倍，為Nh.故D錯誤.

故選AC.

例11.原香港中文大學(xué)校長、被譽為“光纖之父”的華裔科學(xué)家高保和另外兩名美國科學(xué)家共

同分享了2009年度的諾貝爾物理學(xué)獎.早在1996年中國科學(xué)院紫金山天文臺就將一顆于

1981年12月3日發(fā)現(xiàn)的國際編號為“3463”的小行星命名為“高餛星”.假設(shè)“高餛星”為

11

均勻的球體，其質(zhì)量為地球質(zhì)量的X,半徑為地球半徑的q,則“高餛星”表面的重力加速

度是地球表面的重力加速度的（）

]212

qk_q_k_

A.kB.qC.kD.Q

GM

G-^-mg—

【解答】解：根據(jù)r"得，g=r”.

12

因為高餛星的質(zhì)量為地球質(zhì)量的X,半徑為地球半徑的q,則“高銀星”表面的重力加速度是地

q2

球表面的重力加速度的k.故C正確，A、B、D錯誤.

故選：C.

【過關(guān)檢測】

11.2014年4月美國宇航局科學(xué)家宣布，在距離地球約490光年的一個恒星系統(tǒng)中，發(fā)現(xiàn)一顆宜

居行星，代號為開普勒-186f.科學(xué)家發(fā)現(xiàn)這顆行星表面上或存在液態(tài)水，這意味著上面可

能存在外星生命.假設(shè)其半徑為地球半徑的a倍，質(zhì)量為地球質(zhì)量的b倍，則下列說法正確

的是（）

b

A.該行星表面由引力產(chǎn)生的加速度與地球表面的重力加速度之比為a

a

B.該行星表面由引力產(chǎn)生的加速度與地球表面的重力加速度之比為b”

C.該行星的第一宇宙速度與地球的第一宇宙速度之比為1a

D.該行星的第一宇宙速度與地球的第一宇宙速度之比為1b

cMm_GM

G-^-mg—

【解答】解：A、根據(jù)R'得：g=R,因為行星的半徑為地球半徑的a倍，質(zhì)量為地球質(zhì)量

b

的b倍，則重力加速度與地球表面重力加速度之比為a：故A正確，B錯誤.

v2回

C、根據(jù)尺得第一宇宙速度為:v=V-R,因為行星的半徑為地球半徑的a倍，質(zhì)量為地球

b

質(zhì)量的b倍，所以行星的第一宇宙速度與地球的第一宇宙速度之比為Ya.故C正確，D錯誤.

故選：AC.

12.2012年6月15日，“蛟龍?zhí)枴陛d人潛水器在西太平洋進行第一次下潛試驗，最大下潛深度約

為6.4km.假設(shè)地球是一半徑R=6400km、質(zhì)量分布均勻的球體.已知質(zhì)量分布均勻的球殼對

殼內(nèi)物體的引力為零.則''蛟龍?zhí)?在最大下潛深度處的重力與海面上的重力之比約為（）

99910011000^.10012

A.1000B.1000C.9992D.10002

Mm

【解答】解：重力等于萬有引力，故：GR=mg

GM

解得:g=R…①

43

二兀R

地球的質(zhì)量為：M=PV=p?3…②

聯(lián)立①②解得：g=豆兀GPROCR

1

“蛟龍?zhí)枴钡淖畲笙聺撋疃葹榈厍虬霃降?3面，故:

F71000-1999

F=1000=1000

故選：A.

13.如圖所示，0為地球球心，A為地球表面上的點，B為0、A連線間的點，AB=d,將地球視為

d

質(zhì)量分布均勻的球體，半徑為R.設(shè)想挖掉以B為圓心、以可為半徑的球.若忽略地球自轉(zhuǎn),

則挖出球體后A點的重力加速度與挖去球體前的重力加速度之比為（）

_d_ddd

A.1-4RB.1-8RC.1-RD.R-d

d

【解答】解：沒有挖去以B為圓心、以可為半徑的球之前，根據(jù)萬有引力定律，有:

MID

~9

F=GR①

d

以B為圓心、以可為半徑的球的質(zhì)量為：

9兀（旦）3

Mi=PVi=P?32②

地球質(zhì)量：

O4R3_

M=PV=P?3（3）

d

地球引力是以B為圓心、以立為半徑的球的引力和剩余部分的引力的矢量和，故：

M]m

2~

F=Gd+F,④

聯(lián)立解得：

口且

F=1-8R

根據(jù)牛頓第二定律F=ma,有：

d

挖出球體后A點的重力加速度與挖去球體前的重力加速度之比為1-8R；

故選：B

14.神舟六號載人航天飛船經(jīng)過115小時32分鐘的太空飛行，繞地球飛行77圈，飛船返回艙終

于在2005年10月17日凌晨4時33分成功著陸，航天員費俊龍、聶海勝安全返回.已知萬

有引力常數(shù)G,地球表面的重力加速度g,地球的半徑R,神舟六號飛船太空飛行近似為圓周

運動.則下列論述正確的是（）

A.可以計算神舟六號飛船繞地球的太空飛行離地球表面的高度

B.可以計算神舟六號飛船繞地球的太空飛行的加速度

C.飛船返回艙打開減速傘下降的過程中，飛船中的宇航員處于失重狀態(tài)

D.飛船點火發(fā)射的過程中，飛船中的宇航員處于失重狀態(tài)

G一典（R+h）岑

【解答】解：A、根據(jù)題意可以得出飛船的周期，根據(jù)（R+h）T,GM=gl6

可以求出飛船離地面的高度.故A正確.

G-----—~~^=ma

B、根據(jù)（R+h）和GM=gR°可以求出飛船的加速度，故B正確.

C、飛船返回艙打開減速傘下降的過程中，加速度方向向上，處于超重狀態(tài)，故C錯誤.

I）、飛船點火發(fā)射的過程中，加速度方向向上，處于超重狀態(tài)，故D錯誤.

故選：AB.

15.由中國科學(xué)院、中國工程院兩院院士評出的2012年中國十大科技進展新聞，于2013年1月

19日揭曉，“神九”載人飛船與“天宮一號”成功對接和“蛟龍”號下潛突破7000米分別排

在第一、第二.若地球半徑為R,把地球看做質(zhì)量分布均勻的球體.“蛟龍”下潛深度為d,

天宮一號軌道距離地面高度為h,“蛟龍”號所在處與“天官一號”所在處的加速度之比為（）

R-ddd)’(R-d)(R+h)(R-d)(R+h)2

A.R+hB.(R+h)2R3

o

【解答】解：令地球的密度為p,則在地球表面，重力和地球的萬有引力大小相等，有：g=R,

43

P=兀R

由于地球的質(zhì)量為：M=13,所以重力加速度的表達式可寫成：

根據(jù)題意有，質(zhì)量分布均勻的球殼對殼內(nèi)物體的引力為零，固在深度為d的地球內(nèi)部，受到地球

的萬有引力即為半徑等于（R-d）的球體在其表面產(chǎn)生的萬有引力，故井底的重力加速度g'

4

=3頁GP（R-d）.

g，二R-d

所以有g(shù)-R.

22

根據(jù)萬有引力提供向心力（R+h），“天宮一號”的加速度@=（R+h）

a二R2

所以g(R+h)2

g'=(R-d)(R+h)2

3

所以aR，故D正確，A、B、C錯誤.

故選：D.

六、能夠運用萬有引力定律計算天體的質(zhì)量與密度的

例12.隨著我國登月計劃的實施，我國宇航員登上月球已不是夢想；假如我國宇航員登上月球

并在月球表面附近以初速度V。豎直向上拋出一個小球，經(jīng)時間t后回到出發(fā)點.已知月球的

半徑為R,萬有引力常量為G,則下列說法正確的是（）

A.月球表面的重力加速度為t

2V0R2

B.月球的質(zhì)量為Gt

C.宇航員在月球表面獲得的速度就可能離開月球表面圍繞月球做圓周運動

D.宇航員在月球表面附近繞月球做勻速圓周運動的繞行周期為

【解答】解：A、小球在月球表面做豎直上拋運動，根據(jù)勻變速運動規(guī)律得:

包2VQ

t=g月解得：g產(chǎn)t,故A錯誤；

B、物體在月球表面上時，由重力等于地月球的萬有引力得:

9

..Min2vR

G-月——n—

R,解得：M=Gt,故B正確;

C、宇航員離開月球表面圍繞月球做圓周運動至少應(yīng)獲得的速度大小即月球的第一宇宙速度大小

Mmv2

所以RR

解得:,故C錯誤;

D、宇航員乘坐飛船在月球表面附近繞月球做勻速圓周運動，根據(jù)重力提供向心力得:

4-2R2V0

mg月=m=mt

解得：T=Yv。，故。錯誤.

故選B

例13.為研究太陽系內(nèi)行星的運動，需要知道太陽的質(zhì)量，已知地球半徑為R,地球質(zhì)量為m,

太陽與地球中心間距為r,地球表面的重力加速度為g地球繞太陽公轉(zhuǎn)的周期為T.則太陽

的質(zhì)量為（）

4兀2r3丁2區(qū)2g

2223

A.TRgB.4nrar

ATT22A423

4兒mgr4兒mr

C.r3T2D.T2R2g

【解答】解：設(shè)T為地球繞太陽運動的周期，則由萬有引力定律和動力學(xué)知識得:

如IUV2

2----

r=r

根據(jù)地球表面的萬有引力等于重力得:

Girm/

對地球表面物體m'有R=m'g

AqT23

4兀mr

兩式聯(lián)立得M=TZRg

故選D.

例14.我國“玉兔號”月球車被順利送抵月球表面，并發(fā)回大量圖片和信息.若該月球車在地

球表面的重力為G”在月球表面的重力為Gz.已知地球半徑為R”月球半徑為Rz,地球表面

處的重力加速度為g,則（）

G1

A.“玉兔號”月球車在地球表面與月球表面質(zhì)量之比為

G用

2

B.地球的質(zhì)量與月球的質(zhì)量之比為

G2

C.地球表面處的重力加速度與月球表面處的重力加速度之比為°1

您

I）.地球的第一宇宙速度與月球的第一宇宙速度之比為丫。2~2

【解答】解：A、質(zhì)量是表示物體含物質(zhì)多少的物理量，與引力無關(guān)，故“玉兔號”月球車在地

球表面與月球表面質(zhì)量之比為1：1,故A錯誤.

29

GMgR29:包曳.

B、根據(jù)g=R,有：M=G,故地球的質(zhì)量與月球的質(zhì)量之比為：月g月=&2尺2,故B

錯誤.

G重

c、重力加速度：g=-V,故地球表面處的重力加速度與月球表面處的重力加速度之比為a：G2,

故c錯誤.

D、第一宇宙速度是近地衛(wèi)星的環(huán)繞速度：v=VgR,故地球的第一宇宙速度與月球的第一宇宙速

故選：D.

例15.科學(xué)家在望遠鏡中看到太陽系外某一恒星有一行星，并測得它圍繞該恒星運行一周所用

的時間為1200年，它與該恒星的距離為地球到太陽距離的100倍.假定該行星繞恒星運行

的軌道和地球繞太陽運行的軌道都是圓周，僅利用以上兩個數(shù)據(jù)可以求出的量有（）

A.行星質(zhì)量與太陽質(zhì)量之比

B.恒星密度與太陽密度之比

C.行星質(zhì)量與地球質(zhì)量之比

I）.行星運行速度與地球公轉(zhuǎn)速度之比

【解答】解：行星繞恒星做勻速圓周運動，萬有引力提供向心力，設(shè)恒星質(zhì)量為M,行星質(zhì)量為

m,軌道半徑為r,有

匝空V2

Gr2=m（T）2r=mr①

A-TT23■

-魚兀二-回

解得：M=GT2,v=Vr

4dl3叵

同理，太陽質(zhì)量為：=GT'2,v，小r'

A、由于該行星的周期為1200年，地球的公轉(zhuǎn)周期為1年，則有：T：『=1200：1；題中有：r：

r'=100：1,故可以求得恒星質(zhì)量與太陽質(zhì)量之比，故A錯誤；

B、由于恒星與太陽的體積均不知，故無法求出它們的密度之比，故B錯誤；

C、由于①式中，行星質(zhì)量可以約去，故無法求得行星質(zhì)量，也不能求出地球的質(zhì)量，故C錯誤.

D、由于能求出行星質(zhì)量與太陽質(zhì)量之比，已知r：r'=100：1,所以可求出行星運行速度與地球

公轉(zhuǎn)速度之比，故D正確.

故選：D.

例16.一衛(wèi)星繞某一行星表面附近做勻速圓周運動，其線速度大小為v,假設(shè)宇航員在該行星

表面用彈簧測力計測量一質(zhì)量為m的物體的重力，當物體處于豎直靜止狀態(tài)時，彈簧測力計

的示數(shù)為F,已知引力常量為G,則這顆行星的質(zhì)量為（）

24264

mvmvF1rvFv

A.GFB.GFc.GmD.GID

【解答】解：宇航員用彈簧秤豎直懸掛質(zhì)量為m的鉤碼時，彈簧秤的示數(shù)為F,則有：

F

g=n

一衛(wèi)星繞某一行星表面附近做勻速圓周運動，根據(jù)萬有引力等于需要的向心力得

GMm'v2

根據(jù)萬有引力等于重力得

GMm'

,

區(qū)2=mg

4

mv

解得這顆行星的質(zhì)量M=《F,

故選B.

【過關(guān)檢測】

16.“探路者”號宇宙飛船在宇宙深處飛行過程中，發(fā)現(xiàn)A、B兩顆天體各有一顆靠近表面飛行

的衛(wèi)星，并測得兩顆衛(wèi)星的周期相等，以下說法中正確的是（）

A.通過題目所給信息可分別求出天體A、B的質(zhì)量

B.通過題目所給信息可分別求出兩顆衛(wèi)星的質(zhì)量

C.通過題目所給信息可以確定兩顆衛(wèi)星的線速度一定相等

I）.通過題目所給信息可以確定天體A、B的密度一定相等

【解答】解：A、研究衛(wèi)星繞天體做勻速圓周運動，根據(jù)萬有引力提供向心力，列出等式

GMn4兀24兀2r3

rim產(chǎn)r得：M=GT2①

由于衛(wèi)星靠近天體表面飛行，所以r為天體半徑,T為周期，根據(jù)題意不能求出天體A、B的質(zhì)量.故

A錯誤.

B、通過題目所給信息無法求出兩顆衛(wèi)星的質(zhì)量，故B錯誤.

C、根據(jù)圓周運動知識得：

2兀r

v=T，其中r為天體半徑,

由于不知道天體A、B的半徑關(guān)系，所以兩顆衛(wèi)星的線速度不一定相等，故