2022年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)沖刺：圓與三角形綜合應(yīng)用題

2022年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)沖刺：圓與三角形綜合應(yīng)用題

(每題10分，共120分)

I.在OO中，弦8與直徑A8相交于點(diǎn)P,ZA?C=16°.

（i）pzr是oo的切線;

⑵AM2=OMPM

(D如圖①，若NBAD=52。,求/APC和NCD8的大?。?.如圖，已知在OO中，CD是OO的直徑，點(diǎn)A,B在OO上，若NBCD=26°,且AC=AA.

(2)如圖②，若CDJ.AB,過點(diǎn)D作0。的切線，與A8的延長線相交于點(diǎn)E,求NE的大小.

2.某數(shù)學(xué)小組在研究三角形的內(nèi)切圓時(shí)，遇到「如下問題：

如圖①，已知等腰△48C的底邊人B為12,底邊上的高。＞為8,如何在這個(gè)等腰三角形中畫出其內(nèi)切圓？

小紅同學(xué)經(jīng)過計(jì)算，在高CD上截取正=3,以點(diǎn)。為圓心，以3為半徑作的圓即為所求.

⑴求ZA8C的度數(shù)；

(2)過點(diǎn)B作。。的切線交C4,8的延長線干點(diǎn)尸和點(diǎn)E,求NE的度數(shù).

5.如圖，已知△048中，。4=。6,。。與A3切于點(diǎn)C,與OA、08分別交于點(diǎn)￡、G,與AO的延長線交于點(diǎn)

(1)小紅的方法是否正確？如果正確，給出理由；如果不正確，請(qǐng)給出你的方法.D,連接80、DG,延長OG交A8于點(diǎn)尸，已知8D=8c.

(2)如圖②，在圖①的基礎(chǔ)上，以為邊作一個(gè)正方形人用獷，連接FC并延長與跳交于點(diǎn)G,則8G:GE的值為

3.如圖，已知AC為OO的直徑，直線用與OO相切于點(diǎn)4直線PQ經(jīng)過OO上的點(diǎn)8且連接

OP交AB于息M.求證：

(1)判斷8。與。。的位置關(guān)系，并說明理由:

(2)若AE=2,求圖中陰影部分的面積.

6.如圖，在“18。中，ZABC=90°,ZBAC=30°,以48為直徑作OO.交AC于點(diǎn)Q.過點(diǎn)D作。O的切線

交BC于點(diǎn)M.

C

9.如圖，在中，。為AC上一點(diǎn)，以點(diǎn)。為圓心，OC為半徑作圓，與8C相切于點(diǎn)C,過點(diǎn)A作/

交80的延長線于點(diǎn)O,且NAQD=NBAO.

(1)求證：CM=BM.

⑵若AQ=2萬，P為AB上一點(diǎn),當(dāng)月M+QD為最小值時(shí)，求AP的長.

⑴求證：A8為O。的切線；

(2)證明：ADBC=BDCF

7.【問題原型】如圖①，在00中，弦8c所對(duì)的圓心角N8OC=90。，點(diǎn)4在優(yōu)弧8c上運(yùn)動(dòng)(點(diǎn)A不與點(diǎn)8、4

(3)若8C=6,tanZA25C=-,求4。的長.

C重合)，連接A8、AC.

10.如圖，銳角AAAC內(nèi)接于OO,。是劣弧AC上一點(diǎn)，8。與AC交于點(diǎn)￡且80=4c.

圖①圖②

(1)在點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)過程中，NA的度數(shù)是否發(fā)生變化？請(qǐng)通過計(jì)算說明理由.

(2)若6c=2,求弦AC的最大值.

(3)【問題拓展】如圖②，在8c中，8C=4,ZA=60°.若M、N分別是A8、8c的中點(diǎn)，則線段MN的最大(1)求證：△旗C是等腰三角形；

值為.(2)若A5=4,tanC=也，求的半徑長和劣弧CO的長.

3

8.如圖，在.ABC中，點(diǎn)。是AC邊上一點(diǎn)，且AD=AB,以線段A8為直徑作。0,分別交切九4。于點(diǎn)E,

點(diǎn)F,"AC=2/CBD.11.如圖，OO是A/IBC的外接圓，點(diǎn)。在8C上，44。的角平分線交OO于點(diǎn)。，連接3。，CD,過點(diǎn)。作

8c的平行線與4c的延長線相交于點(diǎn)P.

(1)求證：8c是。0的切線：

(2)若。=2,BC=4,求點(diǎn)8到AC的距離:(1)求證：PO是。。的切線:

(2)求證：AABDSADCP；

(3)若AB=6,AC=8,求點(diǎn)O到4。的距離.

12.如圖，A8是G>O的直徑，8是的弦,ABA.CD,垂足是點(diǎn)〃，過點(diǎn)C作直線分別與A3,AO的延長

線交于點(diǎn)E,F,且NECD=2N84D.

⑴求證：C尸是。。的切線;

(2)如果AA=1O,8=6,

①求AE的長；

②求AAE戶的面積.

參考答案

1.

(1)

解：?；BD=BD

：.ZC=ZJB4Z)=52O

.??ZAPC=ZC+ZABC=68°

如圖，連接AC,TAB為O。直徑

???ZACB=90°

Zfi4C=180°-ZACB-ZABC=74°

,:BC=BC

：.ZCDB=ZBAC=74°

(2)

解：如圖，連接0。

,：CD1.AB

???ZCPB=90°

:.ZPCB=90。—NPBC=74°

???在G)O中，/BOD=2NBCD

：.N3OD=148。

,/OE是OO的切線

/.OD_LDE即ZODE=90°

???ZE=ZBOr>-90°=58°.

2.

(1)

正確，理由如下：

???△ABC是等腰三角形，底邊上的高CD=8,AB=12,

：.AD=BD=6,

AC=y/AD2+CD1=10.

如圖，過點(diǎn)。作O"，AC,垂足為點(diǎn)H,則。0=8-0。=8-3=5,

VZACD=ZOCH,NADC=NOHC=90。,

:.ACOW^ACAZ)，

.OHOC

??----=-----，

ADAC

.OH5

??----=—，

610

/.OH=3,

又---OHA.AC,

：.AC是。。的切線，

同理，BC是。。的切線，

由題意易知A8是。。的切線,

OO為等腰AABC的內(nèi)切圓.

(2)

如圖，延長OC與EF相交于點(diǎn)

,/以AB為邊作一個(gè)正方形ABEF,

：.AF=DM=AB=12,

VCD=8,：.CM=DM-CD=4,

'JCDVAB,。為AB中點(diǎn)，

：.CMLEF,M為EB中點(diǎn)，

:.CM為&EFG的中位線，

；.EG=2CM=8,

，BG=12-8=4,

：.BG:GE=1：2；

故答案為：1：2.

3.

(1)

連接OB,

A

MP

CB

I)

?.?OA=OB=OC,

??.ZOAB=4OBA,ZOBC=40cB,

??,AC為O。的直徑，

/.ZABC=/OBA+NOBC,

?;NCBD=/CAB,

；./OBA=/CBD,

Z.CBD+AOBC=90°=NOBD,

尸。是oo的切線；

(2)

???直線網(wǎng)與OO相切于點(diǎn)A,

ZOAP=90°,

???尸。是oo的切線，

.?.ZAMO=ZAMP=ZOAP=90°,

ZOAM+ZPAM=ZPAM+ZAPM=90°.

二ZOAM=ZAPM,

:.^OAMfAPM,

.AMOM

一麗一而‘

?<-AM2=OMPM.

4.

(1)

解：???CD是OO的直徑，

???ZCAD=90°.

■:NBA。=NBC。=26。，

:.ZCAB=ZCAD+/.BAD=116°.

,:AC=AB,

：.NB=ZACB.

?/ZB+ZACB+ZC4B=180°,

???2ZB=180°-116o=64°,

：.ZB=ZACB=32°；

A

(2)

解：連接BO,

與。。相切，

NOBE=90°.

???NBOD=2NBCD=52。,

Z￡=90°-ZBO￡>=38°.

⑴

(1)BO與。。相切，理由如下:

如圖，連接OC,

與4B切于點(diǎn)C,

：.OCVAB,

在48￡>0和4BCO中,

OD=OC

'：?OB=OB,

BC=BD

：.ZBDO=ZBCO=9G°,

...B。與。。相切；

(2)

■■■OA=OB,OC1AB,

?.Z-AOC=Z.BOC9

；,乙BOD=cBOC,

：.AOC=LBOC=LBOD,

又???ZAOC+2BOC+4BOO=180°,

JZAOC=ZBOC=ZBOD=60°9

：.NA=NA8O=30。，

???△ODG是等邊三角形，

:.DF//OC,

：.DFLAB,

在心△OAC中，ZA=30°,

：.OA=2OC,

又?:OC=OE,

JOE=AE=2,

：.AD=3AE=6f

在R/ZkADF中，ZA=30°,

：.AD=2DFf

：.DF=3f

又,??△OOG是等邊三角形，

：.DG=OD=29

：.GF=lfOC=2,

DZ

在RmOBC中，/BOC=60°,tanZBOC=tan60°=——=—

OC2

二BC=2^=AC,

RFBF

在RmBGF中，ZBGF=60°,tanZBGF=tan60°=—=—

GF1

:.BF=0,

:.CF=BC-BF=6

2

sm=S悌形obG+S^AOC~S用形OECG=；（GF+OCyCF+^ACOC-120°x^xOC

360°

7044

~2r

6.

(1)

如圖，連接OM,O。,

??,ZABC=90°,

??.ABLBCf

二.A出是OO的切線，

???OM是OO的切線，

:.MD=MB,

???MO平分N0O3,

???ZBAC=30°f

??.ZBOD=60°,

??.NMOB=-Z.DOB=30°,

2

:"BAC=/BOM,

:.OM//AB,

CMAO?

/.-----=——=1,

MBOB

:.CM=MB,

⑵

如圖，過點(diǎn)。作Z)FJ_BC,垂足為尸，延長C8至E,使得=連接QB,DE交AB于點(diǎn)P,連接PM,

則PM=PE,

DP+PM=DP+PE>DE,當(dāng)DP,E三點(diǎn)共線時(shí)，PM+PZ）最小,

AB是直徑，

ZADB=90°,ZBAC=30°,AD=20,

"8=9=4,

cos30°

:.DB=-AB=2

2f

???ZABC=90。,NB4c=30°,

AZC=60°,

回

2石

=一=c=473

3-3CB2n3

DB

石

一DC1

2=，

???DW=M8=CM,NC=60。,

.?.△OCM是等邊三角形，

/.FM=-CM=—,BE=MB=MC=DC=,

233

sn

DF=lEF=—,

y3

?:DF〃PD,

:AEPBSAEDF,

PBBE

,DF-EFJ

,PB_265G

..=",

133

:.PB=-

59

21Q

:.AP=AB-PB=4--=—.

55

7.

(1)

/A的度數(shù)不發(fā)生變化，理由如下：

VZA=-ZBOC,/8OC=90。，

2

ZA=-x90°=45°；

2

(2)

當(dāng)AC為。。的直徑時(shí)，AC最大，

在RfABOC中,NBOC=90。，

根據(jù)勾股定理，^OB2+OC2=BC2,

?：OB=OC,

：.OC=—fiC=—x2=V2,

22

AC=2OC=2y/2>

即AC的最大值為2五；

(3)

如圖，畫△A8C的外接圓。。，連接。8,OC,ON,

則OMLBC,/BON=60°,BN=^BC=2,

BN2

0B=sin60。一百一亍，

T

???M、N分別是A8、BC的中點(diǎn)，

是△ABC的中位線，

.?.例N=；AC,

，AC為直徑時(shí)，AC最大，此時(shí)AC=2OB=M,

3

:.MN最大值為

3

故答案為：蟲叵.

3

8.

(1)

證明：'：AD=AB

：.ZABD=ZADB

ZABD+ZADB+ABAD=180°

AABD+-ZBAD=90°

2

ZBAC=2ZCBD

：.ZABD+ZCBD=90°

；.BC是。。的切線

(2)

如圖，連接8尸

設(shè)A￡>=A8=x

：BC是。。的切線，

.".ZABC=90°,

AAC2=AB2+BC2,EP(X+2)2=X2+42

解得：x=3

AAD=AB=3,AC=5

：AB是圓O的直徑

BFLAC

'：S.?=-ABBC=-BFAC

AMBCr22

???吟

9.

(1)

證明：過點(diǎn)。作。于點(diǎn)E,

VADIBO交BO的延長線于點(diǎn)

???ZD=90°,

：.ZBAD+ZABD=9Q°fNAOQ+NOAZ>90。,

???ZAOD=ZBADf

：.ZABD=ZOADf

又???3C為。。的切線，

：.AC±BC,

：.N5co=/。=90。，

":/BOC=/AOD,

：.ZOBC=ZOAD=AABD,

在^BOC^AL80E中，

/OBC=40BE

NOCB=NOEB,

BO=BO

:.叢BOCq叢BOE(AAS),

OE=OC,

,JOELAB,

.?.AB是。。的切線；

(2)

證明：VZABD^ZOBC,ZD=ZACB=90°,

：.叢ABDs^OBC,

.ADBD

??=,

OCBC

:.ADBC=BDCF,

(3)

解：VZA^C+ZBAC=90°,NEQ4+N84O90。,

???ZEOA=ZABCf

4

VtanZABC=-,BC=6,

3

???AC:BC?tan/A8C=8,

則AB=10,

由(1)知BE=8C=6,

/.AE=4,

4

tanZEOA=tanZABC=-,

3

.OE3

**A￡-4*

.??0E=3,OB7BE、OE2=*，

???AABDsROBC,

.OCOB33/

??---=-----,RH]Jn------=------,

ADABAD10

，AD=2亞.

10.

(1)

證明：；AC=BD,

AC=BD>BPAD+CD=AB+AD>

AB=CD，

：.ZDBC=ZACB,即NEBC=NECB,

:.BE=CE,

AE8C是等腰三角形；

(2)

解：如圖，作。。的直徑AF,連接BF,OC、OD,

尸是。。的直徑，

NABF=90°,

NF=NACB,

tanF=tanNACB=^-,

3

：.ZF=ZACB=30°,

；.A尸=2AB=2x4=8,

QO的半徑長Af=4,

由(1)知，NEBC=NECB=30°,

???NDOC=2NEBC=60。,

.，1、」亦AA1/60^x44

??劣弧CO的長=—7^—=彳乃?

1oUJ

11.

(1)

證明：連接?！?gt;,

：A￡)平分NB4C,

，BAD=ADAC,

：.BD=DC.

又?：BC為直徑,

.?.0為BC中點(diǎn)，

ODABC.

'：BC//DP,

：.OD工DP.

又；OD為半徑,

???P。是。。的切線；

(2)

證明：VBC//DP,

：.ZACB=NP.

ZACB=ZADB,

：.AP=ZADB.

???四邊形ABQC為圓內(nèi)接四邊形，

ZABD+ZACD=ISO°.

又,/ZDCP+ZACD=180°,

ZABD=ZDCP,

：.AABDs4DCP.

(3)

過點(diǎn)。作。E_LA￡>于點(diǎn)E,

：BC為直徑，

ABAC=90°.

VAB^6,AC=8,

BC=y)AB2+AC2=10-

XVBD=DC,

BD2+DC2=2BD2=BC2,

；?BD=DC=5丘.

由(2)知△AB￡>sA￡)CP,

.ABBD

??----=-----,

DCCP

.會(huì)

..Cr=-B-D-D--C=—50=—25,

AB63

2549

:.AP=AC+CP=8+—=—.

33

又?：ZADB=ZACB=/P,ZBAD=ZDAP,

△BADsGAP，

.ABAD

??二,

ADAP

???AD2=ABAP=9S,

?*-