遼寧省本溪中學2025屆高一數(shù)學第一學期期末達標檢測試題含解析

遼寧省本溪中學2025屆高一數(shù)學第一學期期末達標檢測試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．函數(shù)y＝sin（2x）的單調(diào)增區(qū)間是（）A.，]（k∈Z） B.，]（k∈Z）C.，]（k∈Z） D.，]（k∈Z）2．已知集合M＝{x|0≤x＜2}，N＝{x|x2－2x－3＜0}，則M∩N＝（）A.{x|0≤x＜1} B.{x|0≤x＜2}C.{x|0≤x≤1} D.{x|0≤x≤2}3．下列函數(shù)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增是A. B.C. D.4．定義在上的偶函數(shù)的圖象關于直線對稱，當時，．若方程且根的個數(shù)大于3，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.5．直線的傾斜角為（）A. B.30°C.60° D.120°6．為了預防信息泄露，保證信息的安全傳輸，在傳輸過程中都需要對文件加密，有一種加密密鑰密碼系統(tǒng)，其加密、解密原理為：發(fā)送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文．現(xiàn)在加密密鑰為，如“4”通過加密后得到密文“2”，若接受方接到密文“”，則解密后得到的明文是（）A. B.C.2 D.7．函數(shù)（）的最大值為（）A. B.1C.3 D.48．在長方體中，，，則該長方體的外接球的表面積為A. B.C. D.9．，則A.1 B.2C.26 D.1010．已知角α的終邊過點P(4，－3)，則sinα＋cosα的值是（）A. B.C. D.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知冪函數(shù)過定點，且滿足，則的范圍為________12．函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性是______．（填寫“單調(diào)遞增”或“單調(diào)遞減”）13．在空間直角坐標系中，點關于平面的對稱點是B，點和點的中點是E，則___________.14．某商廈去年1月份的營業(yè)額為100萬元.如果該商廈營業(yè)額的月增長率為1%，則商廈的月營業(yè)額首次突破110萬元是在去年的___________月份.15．函數(shù)的定義域是_____________16．若點在過兩點的直線上，則實數(shù)的值是________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．在平面直角坐標系中，為坐標原點，已知兩點、在軸的正半軸上，點在軸的正半軸上．若，（）求向量，夾角的正切值（）問點在什么位置時，向量，夾角最大？18．已知定義域為的函數(shù)是奇函數(shù)（Ⅰ）求值；（Ⅱ）判斷并證明該函數(shù)在定義域上的單調(diào)性；（Ⅲ）若對任意的，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍；（Ⅳ）設關于的函數(shù)有零點，求實數(shù)的取值范圍.19．環(huán)保生活，低碳出行，電動汽車正成為人們購車的熱門選擇.某型號的電動汽車在一段平坦的國道上進行測試，國道限速80km/h.經(jīng)多次測試得到該汽車每小時耗電量M(單位：Wh)與速度v(單位：km/h)的數(shù)據(jù)如下表所示：v0104060M0132544007200為了描述國道上該汽車每小時耗電量M與速度v的關系，現(xiàn)有以下三種函數(shù)模型供選擇：①；②；③.（1）當0≤v≤80時，請選出你認為最符合表格中所列數(shù)據(jù)的函數(shù)模型，并求出相應的函數(shù)解析式；（2）現(xiàn)有一輛同型號電動汽車從A地全程在高速公路上行駛50km到B地，若高速路上該汽車每小時耗電量N(單位：Wh)與速度v(單位：km/h)的關系滿足(80≤v≤120)，則如何行駛才能使得總耗電量最少，最少為多少?20．已知函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）將函數(shù)的圖象向右平移個單位后得到的圖象，求在區(qū)間上的最小值.21．已知函數(shù)（1）若存在，使得成立，則求的取值范圍；（2）將函數(shù)的圖象上每個點縱坐標不變，橫坐標縮短到原來的，得到函數(shù)的圖象，求函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的所有零點之和

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、D【解析】先將自變量的系數(shù)變?yōu)檎龜?shù)，再由三角函數(shù)的單調(diào)性得出自變量所滿足的不等式，求解即可得出所要的單調(diào)遞增區(qū)間【詳解】y＝sin（2x）＝﹣sin（2x）令，k∈Z解得，k∈Z函數(shù)的遞增區(qū)間是，]（k∈Z）故選D【點睛】本題考查正弦函數(shù)的單調(diào)性，求解本題的關鍵有二，一是將自變量的系數(shù)為為正，二是根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性得出相位滿足的取值范圍，解題時不要忘記引入的參數(shù)的取值范圍即k∈Z2、B【解析】先化簡集合N，再進行交集運算即得結(jié)果.【詳解】由于N＝{x|x2－2x－3＜0}＝{x|－1＜x＜3}，M＝{x|0≤x＜2}，所以M∩N＝{x|0≤x＜2}故選：B.3、C【解析】是偶函數(shù)，是奇函數(shù)，和既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，在上是減函數(shù)，是增函數(shù)，故選C4、D【解析】由題設，可得解析式且為周期為4的函數(shù)，再將問題轉(zhuǎn)化為與交點個數(shù)大于3個，討論參數(shù)a判斷交點個數(shù)，進而畫出和的圖象，應用數(shù)形結(jié)合法有符合題設，即可求范圍.【詳解】由題設，，即，所以是周期為4的函數(shù)，若，則，故，所以，要使且根的個數(shù)大于3，即與交點個數(shù)大于3個，又恒過，當時，在上，在上且在上遞減，此時與只有一個交點，所以.綜上，、的圖象如下所示，要使交點個數(shù)大于3個，則，可得.故選：D【點睛】關鍵點點睛：根據(jù)已知條件分析出的周期性，并求出上的解析式，將問題轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的交點個數(shù)問題，結(jié)合對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)分析a的范圍，最后根據(jù)交點個數(shù)情況，應用數(shù)形結(jié)合進一步縮小參數(shù)的范圍.5、C【解析】根據(jù)直線的斜率即可得傾斜角.【詳解】因為直線的斜率為，所以直線的傾斜角為滿足，即故選：C.6、A【解析】根據(jù)題意中給出的解密密鑰為，利用其加密、解密原理，求出的值，解方程即可求解.【詳解】由題可知加密密鑰為，由已知可得，當時，，所以，解得，故，顯然令，即，解得，即故選：A.7、C【解析】對函數(shù)進行化簡，即可求出最值.【詳解】，∴當時，取得最大值為3.故選：C.8、B【解析】由題求出長方體的體對角線，則外接球的半徑為體對角線的一半，進而求得答案【詳解】由題意可得，長方體體對角線為，則該長方體的外接球的半徑為，因此，該長方體的外接球的表面積為.【點睛】本題考查外接球的表面積，屬于一般題9、B【解析】根據(jù)題意，由函數(shù)的解析式可得，進而計算可得答案．【詳解】根據(jù)題意，，則；故選B．【點睛】本題考查分段函數(shù)函數(shù)值的計算，注意分析函數(shù)的解析式．解決分段函數(shù)求值問題的策略:(1)在求分段函數(shù)的值f(x0)時，一定要首先判斷x0屬于定義域的哪個子集，然后再代入相應的關系式;(2)分段函數(shù)是指自變量在不同的取值范圍內(nèi)，其對應法則也不同的函數(shù)，分段函數(shù)是一個函數(shù)，而不是多個函數(shù)；分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集，值域是各段值域的并集，故解分段函數(shù)時要分段解決;(3)求f(f(f(a)))的值時，一般要遵循由里向外逐層計算的原則．10、A【解析】由三角函數(shù)的定義可求得sinα與cosα，從而可得sinα+cosα的值【詳解】∵知角α的終邊經(jīng)過點P（4，-3），∴sinα，cosα，∴sinα+cosα故選：A二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】根據(jù)冪函數(shù)所過的點求出解析式，利用奇偶性和單調(diào)性去掉轉(zhuǎn)化為關于的不等式即可求解.【詳解】設冪函數(shù)，其圖象過點，所以，即，解得：，所以，因為，所以為奇函數(shù)，且在和上單調(diào)遞減，所以可化為，可得，解得：，所以的范圍為，故答案為：．12、單調(diào)遞增【解析】求出函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間，再判斷作答.【詳解】函數(shù)的圖象對稱軸為，因此，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，而，所以函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性是單調(diào)遞增.故答案為：單調(diào)遞增13、【解析】先利用對稱性求得點B坐標，再利用中點坐標公式求得點E坐標，然后利用兩點間距離公式求解.【詳解】因為點關于平面的對稱點是，點和點的中點是，所以，故答案為：14、11【解析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)模型求解【詳解】設第月首次突破110萬元，則，，，因此11月份首次突破110萬元故答案為：1115、.【解析】由題意，要使函數(shù)有意義，則，解得：且.即函數(shù)定義域為.考點：函數(shù)的定義域.16、【解析】先由直線過兩點，求出直線方程，再利用點在直線上，求出的值.【詳解】由直線過兩點，得，則直線方程為：，得，即，又點在直線上，得，得.故答案為：【點睛】本題考查了已知兩點求直線的方程，直線方程的應用，屬于容易題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析；（2）見解析.【解析】分析：（）設向量與軸的正半軸所成的角分別為，則向量所成的夾角為，由兩角差的正切公式可得向量夾角的正切值為；（）由（1）知，利用基本不等式即可的結(jié)果.詳解：（1）由題意知，A的坐標為A（0，6），B的坐標為B（0，4），C（x，0），x＞0設向量，與x軸的正半軸所成的角分別為α，β，則向量，所成的夾角為|β﹣α|=|α﹣β|，由三角函數(shù)的定義知：tanα=，tanβ=，由公式tan（α﹣β）=，得向量，的夾角的正切值等于tan（α﹣β）==，故所求向量，夾角的正切值為tan（α﹣β）=；（2）由（1）知tan（α﹣β）==≤=，所以tan（α﹣β）的最大值為時，夾角|α﹣β|的值也最大，當x=時，取得最大值成立，解得x=2，故點C在x的正半軸，距離原點為2，即點C的坐標為C（2，0）時，向量，夾角最大點睛：本題主要考查利用平面向量的夾角、兩角差的正切公式以及基本不等式求最值，屬于難題.利用基本不等式求最值時，一定要正確理解和掌握“一正，二定，三相等”的內(nèi)涵：一正是，首先要判斷參數(shù)是否為正；二定是，其次要看和或積是否為定值（和定積最大，積定和最?。蝗嗟仁?，最后一定要驗證等號能否成立（主要注意兩點，一是相等時參數(shù)否在定義域內(nèi)，二是多次用或時等號能否同時成立）.18、(Ⅰ)；(Ⅱ)答案見解析；(Ⅲ)（Ⅳ）.【解析】（1）根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)得，解得值；（2）根據(jù)單調(diào)性定義，作差通分，根據(jù)指數(shù)函數(shù)單調(diào)性確定因子符號，最后根據(jù)差的符號確定單調(diào)性（3）根據(jù)奇偶性以及單調(diào)性將不等式化為一元二次不等式恒成立問題，利用判別式求實數(shù)的取值范圍；（4）根據(jù)奇偶性以及單調(diào)性將方程轉(zhuǎn)化為一元二次方程有解問題，根據(jù)二次函數(shù)圖像與性質(zhì)求值域，即得實數(shù)的取值范圍.試題解析：（Ⅰ）由題設，需，∴，∴，經(jīng)驗證，為奇函數(shù)，∴.（Ⅱ）減函數(shù)證明：任取，，且，則，∵∴∴，；∴，即∴該函數(shù)在定義域上減函數(shù).（Ⅲ）由得，∵是奇函數(shù)，∴，由（Ⅱ）知，是減函數(shù)∴原問題轉(zhuǎn)化為，即對任意恒成立，∴，得即為所求.（Ⅳ）原函數(shù)零點的問題等價于方程由（Ⅱ）知，，即方程有解∵，∴當時函數(shù)存在零點.點睛:利用函數(shù)性質(zhì)解不等式：首先根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)把不等式轉(zhuǎn)化為的形式，然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性去掉“”，轉(zhuǎn)化為具體的不等式(組)，此時要注意與的取值應在外層函數(shù)的定義域內(nèi).19、（1）；（2）這輛車在高速路上的行駛速度為時，該車從地到地的總耗電量最少，最少為.【解析】（1）根據(jù)當時，無意義，以及是個減函數(shù)，可判斷選擇，然后利用待定系數(shù)法列方程求解即可；（2）利用對勾函數(shù)的性質(zhì)可判斷在高速路上的行駛速度為時耗電最少，從而可得答案.【小問1詳解】對于，當時，它無意義，所以不合題意；對于，它顯然是個減函數(shù)，這與矛盾；故選擇.根據(jù)提供的數(shù)據(jù)，有，解得，當時，.【小問2詳解】高速路段長為，所用時間為，所耗電量為，由對勾函數(shù)的性質(zhì)可知，在上單調(diào)遞增，所以；故當這輛車在高速路上的行駛速度為時，該車從地到地的總耗電量最少，最少為.20、（1）；（2）－2.【解析】(1)化簡f(x)解析式，根據(jù)正弦函數(shù)復合函數(shù)單調(diào)性即可求解；(2)根據(jù)求出的范圍，再根據(jù)正弦函數(shù)最值即可求解.【小問1詳解】.由得f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為：；【小問2詳解】將函數(shù)的圖象向右平移個單位后得