上海中學(xué)、復(fù)旦附中等八校2025屆數(shù)學(xué)高二上期末學(xué)業(yè)水平測試模擬試題含解析

上海中學(xué)、復(fù)旦附中等八校2025屆數(shù)學(xué)高二上期末學(xué)業(yè)水平測試模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知命題“”為真命題，“”為真命題，則（）A.為假命題，為真命題 B.為真命題，為真命題C.為真命題，為假命題 D.為假命題，為假命題2．已知，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.即不充分又不必要條件3．在三棱柱中，，，，則這個三棱柱的高（）A1 B.C. D.4．已知點(diǎn)B是A（3，4，5）在坐標(biāo)平面xOy內(nèi)的射影，則||＝（）A. B.C.5 D.55．已知函數(shù)，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為（）A. B.C. D.6．不等式的解集是（）A. B.C.或 D.或7．某種心臟手術(shù)成功率為0.9，現(xiàn)采用隨機(jī)模擬方法估計(jì)“3例心臟手術(shù)全部成功”的概率.先利用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)產(chǎn)生09之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，由于成功率是0.9，故我們用0表示手術(shù)不成功，1，2，3，4，5，6，7，8，9表示手術(shù)成功，再以每3個隨機(jī)數(shù)為一組，作為3例手術(shù)的結(jié)果.經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生如下10組隨機(jī)數(shù)：812,832,569,683,271,989,730,537,925,907，由此估計(jì)“3例心臟手術(shù)全部成功”的概率為（）A.0.9 B.0.8C.0.7 D.0.68．已知動圓過定點(diǎn)，并且與定圓外切，則動圓的圓心的軌跡是（）A.拋物線 B.橢圓C.雙曲線 D.雙曲線的一支9．已知拋物線的焦點(diǎn)為，為拋物線上第一象限的點(diǎn)，若，則直線的傾斜角為（）A. B.C. D.10．如圖，在四面體中，，分別是，的中點(diǎn)，則（）A. B.C. D.11．已知，條件，條件，則是的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件12．已知雙曲線的虛軸長是實(shí)軸長的2倍，則實(shí)數(shù)的值是A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．滕王閣，江南三大名樓之一，因初唐詩人王勃所作《滕王閣序》中的“落霞與孤鶩齊飛，秋水共長天一色”而名傳千古，流芳后世.如圖，在滕王閣旁地面上共線的三點(diǎn)，，處測得閣頂端點(diǎn)的仰角分別為，，.且米，則滕王閣高度___________米.14．曲線圍成的圖形的面積是__________15．從1，2，3，4，5中任取兩個不同的數(shù)，其中一個作為對數(shù)的底數(shù)a，另一個作為對數(shù)的真數(shù)b.則的概率為______.16．“第七屆全國畫院美術(shù)作品展”于2021年12月2日至2022年2月20日在鄭州美術(shù)館展出.已知某油畫作品高2米，寬6米，畫的底部離地有2.7米（如圖所示）.有一身高為1.8米的游客從正面觀賞它（該游客頭頂E到眼睛C的距離為10），設(shè)該游客離墻距離CD為x米，視角為.為使觀賞視角最大，x應(yīng)為___________米.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知圓的圓心在直線上，且圓與軸相切于點(diǎn)（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線與圓相交于，兩點(diǎn)，求的面積18．（12分）已知.（1）當(dāng)時，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）若在處取得極值，求在上的最小值.19．（12分）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是，已知（1）求角B的大??；（2）求三角形ABC的面積.20．（12分）在對某老舊小區(qū)污水分流改造時，需要給該小區(qū)重新建造一座底面為矩形且容積為324立方米的三級污水處理池（平面圖如圖所示）.已知池的深度為2米，如果池四周圍墻的建造單價(jià)為400元/平方米，中間兩道隔墻的建造單價(jià)為248元/平方米，池底的建造單價(jià)為80元/平方米，池蓋的建造單價(jià)為100元/平方米，建造此污水處理池相關(guān)人員的勞務(wù)費(fèi)以及其他費(fèi)用是9000元.（水池所有墻的厚度以及池底池蓋的厚度按相關(guān)規(guī)定執(zhí)行，計(jì)算時忽略不計(jì)）（1）現(xiàn)有財(cái)政撥款9萬元，如果將污水處理池的寬建成9米，那么9萬元的撥款是否夠用？（2）能否通過合理的設(shè)計(jì)污水處理池的長和寬，使總費(fèi)用最低？最低費(fèi)用為多少萬元？21．（12分）某公司有員工人，對他們進(jìn)行年齡和學(xué)歷情況調(diào)查，其結(jié)果如下：現(xiàn)從這名員工中隨機(jī)抽取一人，設(shè)“抽取的人具有本科學(xué)歷”，“抽取的人年齡在歲以下”，試求：（1）；（2）；（3）.22．（10分）已知數(shù)列滿足（1）證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）令，求數(shù)列的前項(xiàng)和

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】根據(jù)復(fù)合命題的真假表即可得出結(jié)果.【詳解】若“”為真命題，則為假命題，又“”為真命題，則至少有一個真命題，所以為真命題，即為假命題，為真命題.故選：A2、B【解析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義判斷即可求解.【詳解】由可得或，所以由得不出，故充分性不成立，由可得，故必要性成立，所以“”是“”的必要不充分條件，故選：B.3、D【解析】先求出平面ABC的法向量，然后將高看作為向量在平面ABC的法向量上的投影的絕對值，則答案可求.【詳解】設(shè)平面ABC的法向量為，而，，則,即有,不妨令,則,故,設(shè)三棱柱的高為h，則,故選：D.4、C【解析】先求出B（3，4，0），由此能求出||【詳解】解：∵點(diǎn)B是點(diǎn)A（3，4，5）在坐標(biāo)平面Oxy內(nèi)的射影，∴B（3，4，0），則||＝＝5故選：C5、A【解析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再求出，然后利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解作答.【詳解】函數(shù)，求導(dǎo)得：，則，而，于是得：，即，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為.故選：A6、A【解析】確定對應(yīng)二次方程的解，根據(jù)三個二次的關(guān)系寫出不等式的解集【詳解】，即為，故選：A7、B【解析】由題可知10組隨機(jī)數(shù)中表示“3例心臟手術(shù)全部成功”的有8組，即求.【詳解】由題意，10組隨機(jī)數(shù)：812,832,569,683,271,989,730,537,925,907，表示“3例心臟手術(shù)全部成功”的有：812,832,569,683,271,989,537,925,故8個，故估計(jì)“3例心臟手術(shù)全部成功”的概率為.故選：B.8、D【解析】結(jié)合雙曲線定義的有關(guān)知識確定正確選項(xiàng).【詳解】圓圓心為，半徑為，依題意可知，結(jié)合雙曲線的定義可知，的軌跡為雙曲線的一支.故選：D9、C【解析】設(shè)點(diǎn)，其中，，根據(jù)拋物線的定義求得點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求得直線的斜率，即可得解.【詳解】設(shè)點(diǎn)，其中，，則，可得，則，所以點(diǎn)，故，因此，直線的傾斜角為.故選：C.10、A【解析】利用向量的加法法則直接求解.【詳解】在四面體中，，分別是，的中點(diǎn)，故選：A11、A【解析】利用“1”的妙用探討命題“若p則q”的真假，取特殊值計(jì)算說明“若q則p”的真假即可判斷作答.【詳解】因?yàn)?，由得：，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，因此，，因，，由，取，則，，即，，所以是的充分不必要條件.故選：A12、C【解析】由方程表示雙曲線知，又雙曲線的虛軸長是實(shí)軸長的2倍，所以，即，所以故選C.考點(diǎn)：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡單幾何性質(zhì).二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】設(shè)，由邊角關(guān)系可得，，，在和中，利用余弦定理列方程，結(jié)合可解得的值，進(jìn)而可得長.【詳解】設(shè)，因?yàn)?，，，所以，，?在中，，即①.，在中，，即②，因?yàn)?，所以①②兩式相加可得：，解得：，則，故答案為：.14、【解析】當(dāng)，時，已知方程是，即．它對應(yīng)的曲線是第一象限內(nèi)半圓?。òǘ它c(diǎn)），它的圓心為，半徑為.同理，當(dāng)，；，；，時對應(yīng)的曲線都是半圓弧（如圖）．它所圍成的面積是.故答案為15、##【解析】利用列舉法，結(jié)合古典概型概率計(jì)算公式以及對數(shù)的知識求得正確答案.【詳解】的所有可能取值為，，共種，滿足的為，，共種，所以的概率為.故答案為：16、【解析】設(shè)，進(jìn)而得到，，從而求出，再利用基本不等式即可求得答案.【詳解】設(shè)，則，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”.所以該游客離墻距離為米時，觀賞視角最大.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）4【解析】（1）由已知設(shè)圓心，再由相切求圓半徑從而得解.（2）求弦長，再求點(diǎn)到直線的距離，進(jìn)而可得解.【小問1詳解】因?yàn)閳A心在直線上，所以設(shè)圓心，又圓與軸相切于點(diǎn)，所以，即圓與軸相切，則圓的半徑，于是圓的方程為【小問2詳解】圓心到直線的距離，則，又到直線的距離為，所以.18、（1）；（2）.【解析】(1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線的斜率，再利用點(diǎn)斜式方程即可求出切線方程；(2）根據(jù)極值點(diǎn)求出的值，根據(jù)導(dǎo)數(shù)值的正負(fù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，即可求出最小值.【小問1詳解】∵，，∴∴∴在處的切線為，即；【小問2詳解】∵，由題可知，∴，∴單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，∵，，∴.19、（1）B=300（2）【解析】分析：（1）由同角三角函數(shù)關(guān)系先求，由正弦定理可求值，從而可求的值；（2）先求得的值，代入三角函數(shù)面積公式即可得結(jié)果.詳解：(1)由正弦定理又∴B為銳角sinA=,由正弦定理B=300(2),∴.點(diǎn)睛：以三角形和為載體，三角恒等變換為手段，正弦定理、余弦定理為工具，對三角函數(shù)及解三角形進(jìn)行考查是近幾年高考考查的一類熱點(diǎn)問題，一般難度不大，但綜合性較強(qiáng).解答這類問題，兩角和與差的正余弦公式、誘導(dǎo)公式以及二倍角公一定要熟練掌握并靈活應(yīng)用，特別是二倍角公式的各種變化形式要熟記于心.20、（1）不夠；（2）將污水處理池建成長為16.2米，寬為10米時，建造總費(fèi)用最低，最低費(fèi)用為90000元.【解析】（1）根據(jù)題意結(jié)合單價(jià)直接計(jì)算即可得出；（2）設(shè)污水處理池的寬為米，表示出總費(fèi)用，利用基本不等式可求.【小問1詳解】如果將污水處理池的寬建成9米，則長為（米），建造總費(fèi)用為：（元）因?yàn)?，所以如果污水處理池的寬建?米，那么9萬元的撥款是不夠用的.【小問2詳解】設(shè)污水處理池的寬為米，建造總費(fèi)用為元，則污水處理池的長為米.則因?yàn)?，等號僅當(dāng)，即時成立，所以時建造總費(fèi)用取最小值90000，所以將污水處理池建成長為16.2米，寬為10米時，建造總費(fèi)用最低，最低費(fèi)用為90000元.21、（1）；（2）；（3）.【解析】（1）利用古典概型的概率公式可求得；（2）利用古典概型的概率公式和