2025屆湖北省宜昌市示范高中教學(xué)協(xié)作體高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末調(diào)研模擬試題含解析

2025屆湖北省宜昌市示范高中教學(xué)協(xié)作體高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末調(diào)研模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知F為橢圓的右焦點，A為C的右頂點，B為C上的點，且垂直于x軸．若直線AB的斜率為，則橢圓C的離心率為（）A. B.C. D.2．在二項式的展開式中，前三項的系數(shù)成等差數(shù)列，把展開式中所有的項重新排成一列，則有理項互不相鄰的概率（）A. B.C. D.3．我國的刺繡有著悠久的歷史，如圖，(1)(2)(3)(4)為刺繡最簡單的四個圖案，這些圖案都是由小正方形構(gòu)成，小正方形個數(shù)越多刺繡越漂亮．現(xiàn)按同樣的規(guī)律刺繡(小正方形的擺放規(guī)律相同)，設(shè)第個圖形包含個小正方形，則的表達(dá)式為（）A. B.C. D.4．由于受疫情的影響，學(xué)校停課，同學(xué)們通過三種方式在家自主學(xué)習(xí)，現(xiàn)學(xué)校想了解同學(xué)們對假期學(xué)習(xí)方式的滿意程度，收集如圖1所示的數(shù)據(jù)；教務(wù)處通過分層抽樣的方法抽取4%的同學(xué)進(jìn)行滿意度調(diào)查，得到的數(shù)據(jù)如圖2.下列說法錯誤的是（）A.樣本容量為240B.若，則本次自主學(xué)習(xí)學(xué)生的滿意度不低于四成C.總體中對方式二滿意學(xué)生約為300人D.樣本中對方式一滿意的學(xué)生為24人5．橢圓的兩焦點之間的距離為A. B.C. D.6．已知空間四邊形，其對角線、，、分別是邊、的中點，點在線段上，且使，用向量，表示向量是A. B.C. D.7．過點且垂直于的直線方程為（）A. B.C. D.8．在區(qū)間內(nèi)隨機取一個數(shù)，則方程表示焦點在軸上的橢圓的概率是A. B.C. D.9．已知雙曲線，且三個數(shù)1，，9成等比數(shù)列，則下列結(jié)論正確的是（）A.的焦距為 B.的漸近線方程為C.的離心率為 D.的虛軸長為10．已知橢圓的左右焦點分別為，，點B為短軸的一個端點，則的周長為（）A.20 B.18C.16 D.911．曲線上存在兩點A，B到直線到距離等于到的距離，則（）A.12 B.13C.14 D.1512．已知雙曲線的左右焦點分別為、，過作的一條漸近線的垂線，垂足為，若的面積為，則的漸近線方程為A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．過點且與直線垂直的直線方程為______14．已知函數(shù)集合，若A中有且僅有4個元素，則滿足條件的整數(shù)a的個數(shù)為______15．拋物線上一點到其焦點的距離為，則的值為______16．直線恒過定點，則定點坐標(biāo)為________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知平面直角坐標(biāo)系上一動點滿足：到點的距離是到點的距離的2倍.（1）求點的軌跡方程；（2）若點與點關(guān)于直線對稱，求的最大值.18．（12分）為慶祝中國共產(chǎn)黨成立100周年，某校舉行了黨史知識競賽，在必答題環(huán)節(jié)，甲、乙兩位選手分別從3道選擇題（1）甲至少抽到1道填空題（2）甲答對的題數(shù)比乙多的概率.19．（12分）如圖，在正方體中，分別為，的中點（1）求證：平面平面；（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值20．（12分）在等差數(shù)列中，，（1）求的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和21．（12分）已知直線，以點為圓心的圓C與直線l相切（1）求圓C的標(biāo)方程；（2）過點的直線交圓C于A，B兩點，且，求的方程22．（10分）如圖是一個正三棱柱（以為底面）被一平面所截得到的幾何體，截面為ABC.已知，，M為AB中點.（1）證明：平面；（2）求此幾何體的體積.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】根據(jù)題意表示出點的坐標(biāo)，再由直線AB的斜率為，列方程可求出橢圓的離心率【詳解】由題意得，，當(dāng)時，，得，由題意可得點在第一象限，所以，因為直線AB的斜率為，所以，化簡得，所以，，得（舍去），或，所以離心率，故選：D2、A【解析】先根據(jù)前三項的系數(shù)成等差數(shù)列求，再根據(jù)古典概型概率公式求結(jié)果【詳解】因為前三項的系數(shù)為，，，當(dāng)時，為有理項，從而概率為.故選：A.3、D【解析】先分別觀察給出正方體的個數(shù)為：1，，，，總結(jié)一般性的規(guī)律，將一般性的數(shù)列轉(zhuǎn)化為特殊的數(shù)列再求解【詳解】解：根據(jù)前面四個發(fā)現(xiàn)規(guī)律：，，，，，累加得：，，故選：【點睛】本題主要考查了歸納推理，屬于中檔題4、B【解析】利用扇形統(tǒng)計圖和條形統(tǒng)計圖可求出結(jié)果【詳解】選項A，樣本容量為，該選項正確；選項B，根據(jù)題意得自主學(xué)習(xí)的滿意率，錯誤；選項C，樣本可以估計總體，但會有一定的誤差，總體中對方式二滿意人數(shù)約為，該選項正確；選項D，樣本中對方式一滿意人數(shù)為，該選項正確.故選：B【點睛】本題主要考查了命題真假的判斷，考查扇形統(tǒng)計圖和條形統(tǒng)計圖等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，屬于中檔題5、C【解析】根據(jù)題意，由于橢圓的方程為,故可知長半軸的長為,那么可知兩個焦點的坐標(biāo)為，因此可知兩焦點之間的距離為，故選C考點：橢圓的簡單幾何性質(zhì)點評：解決的關(guān)鍵是將方程變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)式，然后結(jié)合性質(zhì)得到結(jié)論，屬于基礎(chǔ)題6、C【解析】根據(jù)所給的圖形和一組基底，從起點出發(fā)，把不是基底中的向量，用是基底的向量來表示，就可以得到結(jié)論【詳解】解：故選：【點睛】本題考查向量的基本定理及其意義，解題時注意方法，即從要表示的向量的起點出發(fā)，沿著空間圖形的棱走到終點，若出現(xiàn)不是基底中的向量的情況，再重復(fù)這個過程，屬于基礎(chǔ)題7、B【解析】求出直線l的斜率，再借助垂直關(guān)系的條件即可求解作答.【詳解】直線的斜率為，而所求直線垂直于直線l，則所求直線斜率為，于是有：，即，所以所求直線方程為.故選：B8、D【解析】若方程表示焦點在軸上的橢圓，則，解得，，故方程表示焦點在軸上的橢圓的概率是，故選D.9、D【解析】先求得的值，然后根據(jù)雙曲線的知識對選項進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】方程表示雙曲線，則，成等比數(shù)列，則，所以雙曲線方程為，所以，故雙曲線的焦距為，A選項錯誤.漸近線方程為，B選項錯誤.離心率，C選項錯誤.虛軸長，D選項正確.故選：D10、B【解析】根據(jù)橢圓的定義求解【詳解】由橢圓方程知，所以，故選：B11、D【解析】由題可知A，B為半圓C與拋物線的交點，利用韋達(dá)定理及拋物線的定義即求.【詳解】由曲線，可得，即，為圓心為，半徑為7半圓，又直線為拋物線的準(zhǔn)線，點為拋物線的焦點，依題意可知A，B為半圓C與拋物線的交點，由，得，設(shè)，則，，∴.故選：D.12、D【解析】求得，根據(jù)的面積列方程，由此求得，進(jìn)而求得雙曲線的漸近線方程.【詳解】依題意，雙曲線的一條漸近線為，則，所以，所以，所以.所以雙曲線漸近線方程為.故選：D【點睛】本小題主要考查雙曲線漸近線的有關(guān)計算，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】先設(shè)出與直線垂直的直線方程，再把代入進(jìn)行求解.【詳解】設(shè)與直線垂直的直線為，將代入得：，解得：，故所求直線方程為.故答案為：14、32【解析】作出的圖像，由時，不等式成立，所以，判斷出符合條件的非零整數(shù)根只有三個，即等價于時，；時，；利用數(shù)形結(jié)合，進(jìn)行求解.【詳解】作出的圖像如圖所示：因為時，不等式成立，所以，符合條件的非零整數(shù)根只有三個.由可得：時，；時，；所以在y軸左側(cè)，的圖像都在的下方；在y軸右側(cè)，的圖像都在的上方；而，，，，.平移直線，由圖像可知：當(dāng)時，集合A中除了0只含有1，2，3，符合題意，此時整數(shù)a可以取：-23，-22，-21……-9.一共15個；當(dāng)時，集合A中除了0含有1，-1，-2，符合題意.當(dāng)時，集合A中除了0只含有-1，-2，-3，符合題意，此時整數(shù)a可以?。?，6，7……20一共16個.所以整數(shù)a的值一共有15+1+16=32（個）.故答案為：32【點睛】分離參數(shù)法求零點個數(shù)的問題是轉(zhuǎn)化為，分別做出和的圖像，觀察交點的個數(shù)即為零點的個數(shù)．用數(shù)形結(jié)合法解決零點問題常有以下幾種類型：(1)零點個數(shù)：幾個零點；(2)幾個零點的和；(3)幾個零點的積.15、【解析】將拋物線方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，利用拋物線的定義將拋物線上的點到焦點的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離，再利用點到直線的距離公式進(jìn)行求解.【詳解】將拋物線化為，由拋物線定義得點到準(zhǔn)線的距離為，即，解得故答案為：.16、【解析】解方程組可求得定點坐標(biāo).【詳解】直線方程可化為，由，可得.故直線恒過定點.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）直接法求動點的軌跡方程，設(shè)點，列方程即可.（2）點關(guān)于直線對稱的對稱點問題，可以先求出點到直線的距離最值的兩倍就是的距離，也可以求出點的軌跡方程直接求解的距離.【小問1詳解】設(shè)，由題意，得：，化簡得，所以點軌跡方程為【小問2詳解】方法一：設(shè)，因為點與點關(guān)于點對稱，則點坐標(biāo)為，因為點在圓，即上運動，所以，所以點的軌跡方程為，所以兩圓的圓心分別為，半徑均為2，則.方法二：由可得：所以點的軌跡是以為圓心，2為半徑的圓軌跡的圓心到直線的距離為：18、（1）；（2）.【解析】（1）把3道選擇題（2）設(shè)，分別表示甲答對1道題，2道題的事件，，分別表示乙答對0道題，1道題的事件，分別求出它們的概率，甲答對的題數(shù)比乙多這個事件是，然后由相互獨立的事件和互斥事件的概率公式計算【詳解】解：（1）記3道選擇題則試驗的樣本空間，.共有10個樣本點，且每個樣本點是等可能發(fā)生的，所以這是一個古典概型.記事件A=“甲至少抽到1道填空題，.所以，，.所以，.因此，甲至少抽到1道填空題（2）設(shè)，分別表示甲答對1道題，2道題的事件，分別表示乙答對0道題，1道題的事件，根據(jù)獨立性假定，得，.，.記事件B=“甲答對的題數(shù)比乙多”，則，且，，兩兩互斥，與，與，與分別相互獨立，所以..因此，甲答對的題數(shù)比乙多的概率為.19、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）由正方體性質(zhì)易得，根據(jù)線面平行的判定可得面、面，再由面面平行的判定證明結(jié)論；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長為2，確定相關(guān)點的坐標(biāo)，進(jìn)而求兩個半平面的法向量，應(yīng)用空間向量夾角的坐標(biāo)表示求二面角的余弦值【小問1詳解】在正方體中，且，且，且，則四邊形為平行四邊形，即有，因為面，面，則平面，同理平面，又，面，則平面平面E.小問2詳解】以點為坐標(biāo)原點，，，所在直線分別為、、軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為，則，，所以，，設(shè)平面的法向量為,則，令，則由平面，則是平面的一個法向量設(shè)平面與平面夾角,，因此平面與平面所成銳二面角的余弦值為20、（1）；（2）.【解析】(1)根據(jù)等差數(shù)列的通項公式求解；(2)運用裂項相消法求數(shù)列的和.詳解】（1）∵，∴，即∴（2）由（1）可得，即.利用累加法得【點睛】本題考查等差數(shù)列的通項公式和裂項相消法求數(shù)列的和.21、（1）（2）或【解析】（1）根據(jù)點到直線的距離公式求出半徑，即可得到圓C的標(biāo)方程；（2）根據(jù)弦長公式可求出圓心C到直線的距離，再根據(jù)點到直線的距離公式結(jié)合分類討論思想即可求出【小問1詳解】設(shè)圓C的半徑為r，∵C與l相切，∴，∴圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為【小問2詳解】由可得圓心C到直線的距離∴當(dāng)?shù)男甭什淮嬖跁r，其方程為，此時圓心到的距離為3，符合條件；當(dāng)?shù)男甭蚀嬖跁r，設(shè)，圓心C到直線的距離，解得，此時的方程為，即綜上，的方程為或22、（1）證明見解析（2）【解