2024-2025學年高考數學一輪復習專題5.2同角三角函數的基本關系與誘導公式知識點講解含解析

專題5.2同角三角函數的基本關系與誘導公式【考綱解讀與核心素養(yǎng)】1.理解同角三角函數的基本關系.2.駕馭正弦、余弦、正切的誘導公式.3．本節(jié)涉及全部的數學核心素養(yǎng)：數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算、數據分析等.4.高考預料：（1）公式的應用.（2）高考對同角三角函數基本關系式和誘導公式的考查方式以小題或在大題中應用為主．5.備考重點：（1）駕馭誘導公式，留意敏捷運用誘導公式進行三角函數的求值運算和溝通角度之間的聯(lián)系；（2）駕馭同角三角函數基本關系式，留意同角的三個函數值中知一求二.【學問清單】學問點1．同角三角函數的基本關系式1.同角三角函數的基本關系式(1)平方關系：sin2α＋cos2α＝1(α∈R)．(2)商數關系：tanα＝eq\f(sinα,cosα)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z)).2.對同角三角函數基本關系式的理解留意“同角”，這里“同角”有兩層含義，一是“角相同”，二是對“隨意”一個角(在使函數有意義的前提下)關系式都成立，即與角的表達形式無關，如sin23α＋cos23α＝1成立，但是sin2α＋cos2β＝1就不肯定成立．3．常用的等價變形sin2α＋cos2α＝1?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sin2α＝1－cos2α，,cos2α＝1－sin2α，,sinα＝±\r(1－cos2α)，,cosα＝±\r(1－sin2α)；))tanα＝eq\f(sinα,cosα)?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinα＝tanαcosα，,cosα＝\f(sinα,tanα).))學問點2．三角函數誘導公式六組誘導公式角函數2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－αeq\f(π,2)－αeq\f(π,2)＋α正弦sin_α－sin_α－sin_αsin_αcos_αcos_α余弦cos_α－cos_αcos_α－cos_αsin_α－sin_α正切tan_αtan_α－tan_α－tan_α對于角“eq\f(kπ,2)±α”(k∈Z)的三角函數記憶口訣“奇變偶不變，符號看象限”，“奇變偶不變”是指“當k為奇數時，正弦變余弦，余弦變正弦；當k為偶數時，函數名不變”．“符號看象限”是指“在α的三角函數值前面加上當α為銳角時，原函數值的符號”學問點3．特別角的三角函數值（熟記）【典例剖析】高頻考點一同角三角函數的基本關系式【典例1】【多選題】若，且為銳角，則下列選項中正確的有（）A． B．C． D．【答案】AB【解析】，且為銳角，，故正確，，故正確，，故錯誤，，故錯誤.故選：.【典例2】（2024·金華市江南中學高一月考）已知=2，則tanx=____，sinxcosx=____.【答案】3【解析】【分析】將=2左端分子分母同除以，得，解得，.故答案為：；【規(guī)律方法】1.同角三角函數關系式的三種應用方法--“弦切互化法”、““1”的敏捷代換法”、“和積轉換法”(1)利用sin2α＋cos2α＝1可實現α的正弦、余弦的互化，留意等；(2)由一個角的任一三角函數值可求出這個角的另外兩個三角函數值，因為利用“平方關系”公式，需求平方根，會出現兩解，需依據角所在的象限推斷符號，當角所在的象限不明確時，要進行分類探討．2.利用eq\f(sinα,cosα)＝tanα可以實現角α的弦切互化．（1）若已知tanα＝m，求形如eq\f(asinα＋bcosα,csinα＋dcosα)(或eq\f(asin2α＋bcos2α,csin2α＋dcos2α))的值，其方法是將分子、分母同除以cosα(或cos2α)轉化為tanα的代數式，再求值，假如先求出sinα和cosα的值再代入，那么運算量會很大，問題的解決就會變得繁瑣．（2）形如asin2α＋bsinαcosα＋ccos2α通常把分母看作1，然后用sin2α＋cos2α代換，分子、分母同除以cos2α再求解．【變式探究】1.（2024·北京高考模擬（文））已知，且，那么（）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為，>0，故即，又，解得：故選：B2.（2024·山西平城?大同一中高一月考）已知，則（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由已知．故選：B．【總結提升】在運用開平方關系sinα＝±eq\r(1－cos2α)和cosα＝±eq\r(1－sin2α)時，肯定要留意正負號的選取，確定正負號的依據是角α所在的象限，假如角α所在的象限是已知的，則按三角函數在各個象限的符號來確定正負號；假如角α所在的象限是未知的，則須要按象限進行探討．高頻考點二sinαcosα與sinαcosα的關系及應用【典例3】（2024·山東高三期末（理））已知，，則（）A．B．C．或D．或【答案】B【解析】由題意知，，①，即，，為鈍角，，，，，②由①②解得，，故選B.【典例4】（2024·永州市第四中學高一月考）已知.試用k表示的值.【答案】詳見解析【解析】，,當時，，此時，當時，，此時.【規(guī)律方法】和積轉換法:利用的關系進行變形、轉化.【變式探究】1.（2024·河北高考模擬（理））已知，，則的值為()A．B．C．D．【答案】B【解析】∵，∴，∴，又∵，∴，∴，∴，故選B.2.（2024·上海高考模擬）設且，若，則______．【答案】1【解析】設且，若，所以：，=1,又+=1，，=1，又===，故答案為：1．【總結提升】1.對于三角函數式sinθ±cosθ，sinθ·cosθ之間的關系，可以通過(sinθ±cosθ)2＝1±2sinθ·cosθ進行轉化．2.若已知sinθ±cosθ，sinθ·cosθ中三者之一，利用方程思想進一步可以求得sinθ，cosθ的值，從而求出其余的三角函數值．高頻考點三利用誘導公式化簡求值【典例5】（2024·全國高考真題（文））已知θ是第四象限角，且sin（θ+）=，則tan（θ–）=.【答案】【解析】∵θ是第四象限角，∴，則，又sin（θ），∴cos（θ）．∴cos（）＝sin（θ），sin（）＝cos（θ）．則tan（θ）＝﹣tan（）．故答案為：．【典例6】求值：sin(－1200°)cos1290°＋cos(－1020°)·sin(－1050°)＝.【答案】1【解析】原式【規(guī)律方法】1.利用誘導公式化簡求值的步驟:(1)負化正;(2)大化小;(3)小化銳;(4)銳求值.2.利用誘導公式化簡三角函數的基本思路:(1)分析結構特點,選擇恰當公式;(2)利用公式化成單角三角函數;(3)整理得最簡形式.3.化簡要求:(1)化簡過程是恒等變形;(2)結果要求項數盡可能少,次數盡可能低,結構盡可能簡潔,能求值的要求出值.【變式探究】1.（2024·永州市第四中學高一月考）已知是第四象限角，.（1）化簡.（2）若，求的值.【答案】（1）；（2）【解析】（1）．．（2）因為，所以．因為是第四象限角，所以，所以．2.化簡【答案】當時，原式；當時，原式.【解析】（1）當時，原式；（2）當時，原式.【總結提升】用誘導公式求值時,要擅長視察所給角之間的關系,利用整體代換的思想簡化解題過程.常見的互余關系有-α與+α,+α與-α,+α與-α等,常見的互補關系有-θ與+θ,+θ與-θ,+θ與-θ等.高頻考點四同角三角函數基本關系式、誘導公式的綜合應用

【典例7】（2024·山東諸城?高一期中）已知，且是第________象限角.從①一，②二，③三，④四，這四個選項中選擇一個你認為恰當的選項填在上面的橫線上，并依據你的選擇，解答以下問題：（1）求的值；（2）化簡求值：.【答案】（1）答案不唯一，詳細見解析（2）【解析】（1）因為，所以為第三象限或第四象限角；若選③，；若選④，；（2）原式.【典例8】設tan(α＋eq\f(8π,7))＝m，求證：eq\f(sin\f(15π,7)＋α＋3cosα－\f(13π,7),sin\f(20π,7)－α－cosα＋\f(22π,7))＝eq\f(m＋3,m＋1)．【答案】見解析【解析】證法一：左邊＝eq\f(sin[π＋\f(8,7)π＋α]＋3cos[α＋\f(8π,7)－3π],sin[4π－α＋\f(8,7)π]－cos[2π＋α＋\f(8π,7)])＝eq\f(－sinα＋\f(8π,7)－3cosα＋\f(8π,7),－sinα＋\f(8π,7)－cosα＋\f(8π,7))＝eq\f(tanα＋\f(8π,7)＋3,tanα＋\f(8π,7)＋1)＝eq\f(m＋3,m＋1)＝右邊．∴等式成立．證法二：由tan(α＋eq\f(8π,7))＝m，得tan(α＋eq\f(π,7))＝m．左邊＝eq\f(sin[2π＋\f(π,7)＋α]＋3cos[2π－\f(π,7)＋α],sin[2π＋π－\f(π,7)＋α]－cos[2π＋π＋\f(π,7)＋α])＝eq\f(sin\f(π,7)＋α＋3cos\f(π,7)＋α,sin[π－\f(π,7)＋α]－cos[π＋\f(π,7)＋α])＝eq\f(sin\f(π,7)＋α＋3cos\f(π,7)＋α,sin\f(π,7)＋α＋cos\f(π,7)＋α)＝eq\f(tan\f(π,7)＋α＋3,tan\f(π,7)＋α＋1)＝eq\f(m＋3,m＋1)＝右邊，∴等式成立．【規(guī)律方法】(1)三角恒等式的證明一般有三種方法：①一端化簡等于另一端；②兩端同時化簡使之等于同一個式子；③作恒等式兩端的差式使之為0．(2)證明條件恒等式，一般有兩種方法：一是在從被證等式一邊推向另一邊的適當時候將條件代入，推出被證等式的另一邊，這種方法稱作代入法；二是干脆將條件等式變形，變形為被證的等式，這種方法稱作推出法，證明條件等式時，不論運用哪一種方法，都要依據要證的目標的特征進行變形．【變式探究】1.（2024·武威第六中學高一期末）已知α是第三象限角，.(1)化簡；(2)若，求的值；【答案】（1）（2）【解析】第一問利用其次問∵∴從而，從而得到三角函數值．解：（1）（2）∵∴從而又為第三象限角∴即的值為2.(1)已知cos(eq\f(π,6)－α)＝eq\f(\r(3),3)，求cos(eq\f(5π,6)＋α)－sin2(α－eq\f(π,6))的值；(2)已知cos(α－75°)＝－eq\f(1,3)，且α為第四象限角，求sin(105°＋α)的值．【答案】【解析】思路分析：（1）eq\f(π,6)－α與eq\f(5π,6)＋α、α－eq\f(π,6)存在什么關系？用eq\f(π,6)－α表示其它角．（2）α－75°與150°＋α之間存在什么關系？用α－75°表示105°＋α．詳解：(1)∵cos(eq\f(5π,6)＋α)＝cos[π－(eq\f(π,6)－α)]＝－cos(eq\f(π,6)－α)＝－eq\f(\r(3),3)，sin2(α－eq\f(π,6))＝sin2[－(eq\f(π,6)－α)]＝1－cos2(eq\f(π,6)－α)＝1－(eq\f(\r(3),3))2＝eq\f(2,3)，∴cos(eq\f(5π,6)＋α)－sin2(α－eq\f(π,6))＝－eq\f(\r(3),3)－eq\f(2,3)＝－eq\f(2＋\r(3),3)．(2)∵cos(α－75°)＝－eq\f(1,