2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章空間向量與立體幾何2.1從平面向量到空間向量學(xué)案含解析北師大版選修2-1

PAGE7-§1從平面對量到空間向量授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第12頁一、空間向量定義在空間中，既有大小又有方向的量，叫作空間向量．表示方法①用a，b，c表示；②用有向線段表示，如：eq\o(AB,\s\up6(→))，其中A叫作向量的起點，B叫作向量的終點自由向量數(shù)學(xué)中所探討的向量與向量的起點無關(guān)，稱之為自由向量長度或模與平面對量一樣，空間向量eq\o(AB,\s\up6(→))或a的大小也叫作向量的長度或模，用|eq\o(AB,\s\up6(→))|或|a|表示夾角定義如圖，兩非零向量a，b，在空間中任取一點O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，則∠AOB叫作向量a，b的夾角，記作〈a，b〉范圍規(guī)定0≤〈a，b〉≤π向量垂直當(dāng)〈a，b〉＝eq\f(π,2)時，向量a與b垂直，記作a⊥b向量平行當(dāng)〈a，b〉＝0或π時，向量a與b平行，記作a∥b二、向量、直線、平面1．直線的方向向量設(shè)l是空間始終線，A，B是直線l上隨意兩點，則稱eq\o(AB,\s\up6(→))為直線l的方向向量．2．平面的法向量假如直線l垂直于平面α，那么把直線l的方向向量a叫作平面α的法向量．平面α有多數(shù)個法向量，平面α的全部法向量都平行．[疑難提示]空間向量與平面對量的關(guān)系平面對量的集合是空間向量集合的子集，空間向量內(nèi)容是平面對量內(nèi)容的擴展．因此，平面對量的概念在空間向量中仍舊成立．如零向量、單位向量、相等向量、相反向量、平行向量等概念在空間向量中仍舊成立．[想一想]1．當(dāng)空間中兩直線平行時，它們的方向向量有什么樣的關(guān)系？其方向向量的夾角是多少？提示：由于直線與其方向向量平行，故當(dāng)兩直線平行時，它們的方向向量也平行，從而其夾角為0(同向時)或π(反向時)．[練一練]2．在長方體ABCDA′B′C′D′的棱所在的向量中，與向量eq\o(AA′,\s\up6(→))的模相等的向量至少有()A．0個 B．3個C．7個 D．9個解析：與向量eq\o(AA′,\s\up6(→))的?？隙ㄏ嗟鹊南蛄坑衑q\o(A′A,\s\up6(→))，eq\o(BB′,\s\up6(→))，eq\o(B′B,\s\up6(→))，eq\o(CC′,\s\up6(→))，eq\o(C′C,\s\up6(→))，eq\o(DD′,\s\up6(→))，eq\o(D′D,\s\up6(→))，共7個．答案：C3．下列命題中正確的是()A．若a與b共線，b與c共線，則a與c共線B．若向量a，b平行，則a，b所在直線平行C．零向量沒有確定的方向D．直線的全部方向向量方向相同解析：對于A，若b為零向量，則a與c不肯定共線，故A錯；對于B，考慮到零向量與隨意向量平行，可知B錯；C正確；明顯D錯，故選C.答案：C4．若空間向量m，n，p滿意m＝n，n＝p，則m________p.答案：＝授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第13頁探究一空間向量的概念辨析[典例1]下列關(guān)于單位向量與零向量的敘述中，正確的是()A．零向量是沒有方向的向量，兩個單位向量的模相等B．零向量的方向是隨意的，全部單位向量都相等C．零向量的長度為0，兩個單位向量不肯定是相等向量D．零向量只有一個方向，模相等的單位向量的方向不肯定相同[解析]因為零向量的方向是隨意的，且長度為0，兩個單位向量的模相等，但方向不肯定相同，故選C.[答案]C對于概念辨析題，精確嫻熟地駕馭有關(guān)概念的差別，特殊是微小之處的差別，是解決這類問題的關(guān)鍵．1．下列說法正確的有________．①若|a|＝|b|，則a＝b或a＝－b；②0方向隨意；③相等向量是指它們的起點與終點對應(yīng)重合．解析：①中|a|＝|b|僅說明模相等，方向沒有限定；③中相等向量指大小相等、方向相同，但起點與終點不肯定重合的向量．答案：②2．如圖所示，在長方體ABCDA1B1C1D1中，AB＝3，AD＝2，AA1＝1.則以八個頂點中的兩點分別為起點和終點的向量中：(1)單位向量是哪幾個？(2)模為eq\r(5)的向量是哪些？(3)與eq\o(AB,\s\up6(→))相等的向量是哪些？(4)eq\o(AA1,\s\up6(→))的相反向量是哪些？解析：(1)由于長方體的高為1，所以長方體的四條高對應(yīng)的向量eq\o(AA1,\s\up6(→))，eq\o(A1A,\s\up6(→))，eq\o(BB1,\s\up6(→))，eq\o(B1B,\s\up6(→))，eq\o(CC1,\s\up6(→))，eq\o(C1C,\s\up6(→))，eq\o(DD1,\s\up6(→))，eq\o(D1D,\s\up6(→))為單位向量．(2)由于長方體左、右兩側(cè)的面的對角線長均為eq\r(5)，故模為eq\r(5)的向量有eq\o(AD1,\s\up6(→))，eq\o(D1A,\s\up6(→))，eq\o(A1D,\s\up6(→))，eq\o(DA1,\s\up6(→))，eq\o(BC1,\s\up6(→))，eq\o(C1B,\s\up6(→))，eq\o(B1C,\s\up6(→))，eq\o(CB1,\s\up6(→)).(3)與eq\o(AB,\s\up6(→))相等的向量有eq\o(A1B1,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→))，eq\o(D1C1,\s\up6(→)).(4)eq\o(AA1,\s\up6(→))的相反向量為eq\o(A1A,\s\up6(→))，eq\o(B1B,\s\up6(→))，eq\o(C1C,\s\up6(→))，eq\o(D1D,\s\up6(→)).探究二求向量之間的夾角[典例2]在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點，求：(1)〈eq\o(EF,\s\up6(→))，eq\o(A1C1,\s\up6(→))〉，〈eq\o(A1C1,\s\up6(→))，eq\o(FE,\s\up6(→))〉；(2)〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))〉，〈eq\o(A1B1,\s\up6(→))，eq\o(AD1,\s\up6(→))〉．[解析](1)如圖所示，連接AC，∵E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點，∴EF∥AC，∴eq\o(EF,\s\up6(→))∥eq\o(A1C1,\s\up6(→))，且方向相同，∴〈eq\o(EF,\s\up6(→))，eq\o(A1C1,\s\up6(→))〉＝0°.∴eq\o(A1C1,\s\up6(→))∥eq\o(FE,\s\up6(→))，且方向相反，∴〈eq\o(A1C1,\s\up6(→))，eq\o(FE,\s\up6(→))〉＝180°.(2)∵在正方形ABCD中，AB⊥BC，∴〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))〉＝90°.∵A1B1⊥平面A1ADD1，又AD1平面A1ADD1，∴A1B1⊥AD1.∴〈eq\o(A1B1,\s\up6(→))，eq\o(AD1,\s\up6(→))〉＝90°.1．在利用平面角求向量角時，要留意兩種角的取值范圍，線線角的范圍是[0，eq\f(π,2)]，而向量夾角的范圍是[0，π]，比如〈a，b〉與〈－a，b〉兩個角互補，而它們對應(yīng)的線線角卻是相等的．2．對于非零向量a，b而言，常有以下結(jié)論：(1)當(dāng)a，b同向時，夾角為0°；(2)當(dāng)a，b反向時，夾角為180°；(3)當(dāng)a，b垂直時，夾角為90°.3.如圖，在正四面體ABCD中，〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))〉的大小為()A.eq\f(π,4) B.eq\f(π,3)C.eq\f(π,2) D.eq\f(π,6)解析：在正四面體ABCD中，易證AB⊥CD，所以〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))〉的大小為eq\f(π,2).答案：C4．在長方體ABCD-A′B′C′D′中，AB＝eq\r(3)，AA′＝1，AD＝eq\r(6)，求〈eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(A′B,\s\up6(→))〉．解析：如圖，連接A′C′，BC′.∵eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(A′C′,\s\up6(→))，∴∠BA′C′的大小就等于〈eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(A′B,\s\up6(→))〉．由長方體的性質(zhì)和三角形勾股定理知，在△A′BC′中A′B＝eq\r(AA′2＋AB2)＝2，A′C′＝eq\r(AB2＋AD2)＝3，BC′＝eq\r(AD2＋AA′2)＝eq\r(7).∴cos∠BA′C′＝eq\f(A′C′2＋A′B2－BC′2,2·A′C′·A′B)＝eq\f(1,2).∴∠BA′C′＝eq\f(π,3).即〈eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(A′B,\s\up6(→))〉＝eq\f(π,3).探究三直線的方向向量與平面的法向量eq\x(\a\al(直與,線平,的面,方的,向法,向向,量量))—eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(—\x(求直線的方向向量),—\x(求平面的法向量),—\x(直線的方向向量與平面的法向量的證明)))5．如圖所示，長方體ABCD-A1B1C1D1中，AE＝eq\f(1,3)AA1，AF＝eq\f(1,3)A B.(1)eq\o(EF,\s\up6(→))可以作為哪些直線的方向向量？(2)與eq\o(AA1,\s\up6(→))平行的向量有哪些？解析：(1)eq\o(EF,\s\up6(→))可以作為直線EF，直線A1B，直線D1C的方向向量．(2)與eq\o(AA1,\s\up6(→))平行的向量有：eq\o(BB1,\s\up6(→))，eq\o(CC1,\s\up6(→))，eq\o(DD1,\s\up6(→))，eq\o(B1B,\s\up6(→))，eq\o(C1C,\s\up6(→))，eq\o(D1D,\s\up6(→))，eq\o(A1A,\s\up6(→)).6．已知正四面體ABCD.(1)過點A作出方向向量為eq\o(BC,\s\up6(→))的空間直線；(2)過點A作出平面BCD的一個法向量．解析：(1)如圖，過點A作直線AE∥BC，由直線的方向向量的定義可知，直線AE即為過點A且方向向量為eq\o(BC,\s\up6(→))的空間直線．(2)如圖，取△BCD的中心O，由正四面體的性質(zhì)可知，AO垂直于平面BCD，故向量eq\o(AO,\s\up6(→))可作為平面BCD的一個法向量．對空間向量的概念理解不到位致誤[典例]下列說法中，錯誤的個數(shù)為()①在正方體ABCD-A1B1C1D1中，eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(A1C1,\s\up6(→))；②若兩個非零向量eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(CD,\s\up6(→))滿意eq\o(AB,\s\up6(→))＝－eq\o(CD,\s\up6(→))，則eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))為相反向量．③eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))的充要條件是A與C重合，B與D重合．A．1 B．2C．3 D．0[解析]①正確．②正確.eq\o(AB,\s\up6(→))＝－eq\o(CD,\s\up6(→))，且eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))為非零向量，所以eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))為相反