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專(zhuān)題4.6等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式(重難點(diǎn)題型檢測(cè))【人教A版2019選擇性必修第二冊(cè)】考試時(shí)間:60分鐘;滿(mǎn)分:100分姓名:___________班級(jí):___________考號(hào):___________考卷信息:本卷試題共22題,單選8題,多選4題,填空4題,解答6題,滿(mǎn)分100分,限時(shí)60分鐘,本卷題型針對(duì)性較高,覆蓋面廣,選題有深度,可衡量學(xué)生掌握本節(jié)內(nèi)容的具體情況!一.選擇題(共8小題,滿(mǎn)分24分,每小題3分)1.(3分)(2022·四川省模擬預(yù)測(cè)(文))已知Sn是等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和,若S9=36,則A.3 B.4 C.6 D.82.(3分)(2022·陜西·高二階段練習(xí)(理))已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn.若S4=6,S8A.35 B.42 C.24 D.633.(3分)已知等差數(shù)列an,bn的前n項(xiàng)和分別為Sn,Tn,且SnA.12 B.712 C.584.(3分)(2022·陜西咸陽(yáng)·高二期中(文))設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,a3+a5=?18,SA.11或12 B.12 C.13 D.12或135.(3分)(2022·重慶·高一階段練習(xí))設(shè){an}是等差數(shù)列,a1>0,a2007+a2008A.4013 B.4014 C.4015 D.40166.(3分)(2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí))等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,若S20212021=A.a(chǎn)n=2n+1 C.Sn=2n7.(3分)(2022·四川·高二階段練習(xí)(文))已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,則(A.若S9>S8,S9>S10,則S17>0,C.若S17>0,S18<0,則a17>0,a18<0 8.(3分)(2022·江蘇·高二期末)風(fēng)雨橋(如圖1所示)是侗族最具特色的民間建筑之一.風(fēng)雨橋由橋、塔、亭組成.其中亭、塔的俯視圖通常是正方形、正六邊形或正八邊形.圖2是某風(fēng)雨橋亭的大致俯視圖,其中正六邊形的邊長(zhǎng)的計(jì)算方法如下:A1B1=A0B0?B0B1,A2BA.120m B.210m C.130m D.310m二.多選題(共4小題,滿(mǎn)分16分,每小題4分)9.(4分)(2022·福建省高二階段練習(xí))等差數(shù)列an中,a1>0,公差d<0,Sn為其前n項(xiàng)和,對(duì)任意正整數(shù)n,若點(diǎn)A. B. C. D.10.(4分)(2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí))(多選)已知兩個(gè)等差數(shù)列an和bn的前n項(xiàng)和分別為Sn,Tn,且n+1Sn=A.2 B.3 C.4 D.511.(4分)(2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí))在等差數(shù)列{an}中,其前n的和是Sn,若a1A.{an}是遞增數(shù)列C.當(dāng)Sn取最小值時(shí),n的值只能是3 D.Sn12.(4分)(2022·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí))已知數(shù)列an滿(mǎn)足:a1=1,an+2=2an+1A.Sn的通項(xiàng)公式可以是B.若a3,a7為方程xC.若S4SD.若S4=S8,則使得三.填空題(共4小題,滿(mǎn)分16分,每小題4分)13.(4分)(2022·上海市高三開(kāi)學(xué)考試)若Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和,且a1+a5=22,14.(4分)(2021·天津市高二期末)已知等差數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=-2n+11,其前n項(xiàng)和為Sn,則當(dāng)15.(4分)(2021·江西南昌·高一期中)各項(xiàng)不全為0的等差數(shù)列an,前n項(xiàng)和為Sn.若S100=S10416.(4分)(2022·江蘇·高二期末)我國(guó)古代《九章算術(shù)》一書(shū)中記載關(guān)于“竹九”問(wèn)題:今有竹九節(jié),下三節(jié)容量四升,上四節(jié)容量三升,問(wèn)五、六兩節(jié)欲均容各多少?意思是下三節(jié)容量和為4升,上四節(jié)容量和為3升,且每一節(jié)容量變化均勻,問(wèn)第五、六兩節(jié)容量分別是多少?在這個(gè)問(wèn)題中,九節(jié)總?cè)萘渴?四.解答題(共6小題,滿(mǎn)分44分)17.(6分)(2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí))已知兩個(gè)等差數(shù)列an和bn的前n項(xiàng)和分別為An和Bn,18.(6分)(2022·廣西·高二期中(文))等差數(shù)列an,S11=?11(1)求通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式;(2)當(dāng)n取何值時(shí),前n項(xiàng)和最大,最大值是多少.19.(8分)(2022·上海市高三階段練習(xí))公差不為零的等差數(shù)列an滿(mǎn)足a(1)求an(2)記an的前n項(xiàng)和為Sn,求使Sn20.(8分)(2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí))已知一個(gè)等差數(shù)列an(1)求S12、S(2)通過(guò)計(jì)算觀察,尋找S4、S8、S12(3)根據(jù)上述結(jié)論,請(qǐng)你歸納出對(duì)于等差數(shù)列而言的一般結(jié)論,并證明.21.(8分)(2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí))已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,數(shù)列{an}為等差數(shù)列,a1=12,d=-2.(1)求Sn,并畫(huà)出{Sn}(1≤n≤13)的圖象;(2)分別求{Sn}單調(diào)遞增、單調(diào)遞減的n的取值范圍,并求{Sn}的最大(或最小)的項(xiàng);(3){Sn}有多少項(xiàng)大于零?22.(8分)(2022·浙江·高三期中)流感是由流感病毒引起的急性呼吸道傳染病,秋冬季節(jié)是其高發(fā)期,其所引起的并發(fā)癥和死亡現(xiàn)象非常嚴(yán)重.我國(guó)北方某市去年12月份曾發(fā)生大面積流感,據(jù)資料統(tǒng)計(jì),12月1日該市新增患者有20人,此后12月的某一段時(shí)間內(nèi),每天的新增患者比前一天的新增患者多50人.為此,該市醫(yī)療部門(mén)緊急采取措施,有效控制了病毒傳播.從12月的某天起,每天的新增患者比前一天的新增患者少30人.設(shè)12月第n天,該市新增患者人數(shù)最多.(1)求第n天的新增患者人數(shù)(結(jié)果用n表示);(2)求前n天的新增患者的人數(shù)之和(結(jié)果用n表示);(3)若截止12月30日,該市30天內(nèi)新增患者總共有8670人,求n的值.專(zhuān)題4.6等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式(重難點(diǎn)題型檢測(cè))參考答案與試題解析一.選擇題(共8小題,滿(mǎn)分24分,每小題3分)1.(3分)(2022·四川省模擬預(yù)測(cè)(文))已知Sn是等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和,若S9=36,則A.3 B.4 C.6 D.8【解題思路】用等差數(shù)列前n項(xiàng)和的公式展開(kāi),結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì),整體代入即可得到..【解答過(guò)程】因?yàn)閿?shù)列an為等差數(shù)列,∴a1+a故選:B.2.(3分)(2022·陜西·高二階段練習(xí)(理))已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn.若S4=6,S8A.35 B.42 C.24 D.63【解題思路】根據(jù)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn滿(mǎn)足【解答過(guò)程】因?yàn)榈炔顢?shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,故S4,S故選:C.3.(3分)已知等差數(shù)列an,bn的前n項(xiàng)和分別為Sn,Tn,且SnA.12 B.712 C.58【解題思路】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)以及等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求得正確答案.【解答過(guò)程】a5b5由題意可得S9故選:B.4.(3分)(2022·陜西咸陽(yáng)·高二期中(文))設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,a3+a5=?18,SA.11或12 B.12 C.13 D.12或13【解題思路】設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,根據(jù)題意求得首項(xiàng)與公差,從而可求得數(shù)列的通項(xiàng),令an≤0【解答過(guò)程】設(shè)等差數(shù)列an的公差為d因?yàn)閍3+a則有2a1+6d=?18所以an令an=n?13≤0,則又a13=0,所以當(dāng)n=12或13時(shí),故選:D.5.(3分)(2022·重慶·高一階段練習(xí))設(shè){an}是等差數(shù)列,a1>0,a2007+a2008A.4013 B.4014 C.4015 D.4016【解題思路】由題意利用等差數(shù)列的性質(zhì)可得a2007>0,且a2008<0,推出S4013>0,【解答過(guò)程】因?yàn)槭醉?xiàng)為正數(shù)的等差數(shù)列an滿(mǎn)足:a2007+所以{a所以a2007>0,且所以a1+a由Sn=n(a1又因?yàn)閍2007+a故選:B.6.(3分)(2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí))等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,若S20212021=A.a(chǎn)n=2n+1 C.Sn=2n【解題思路】等差數(shù)列前n項(xiàng)和Sn構(gòu)成的數(shù)列{S【解答過(guò)程】設(shè)an的公差為d∵S∴Sn即{Snn}為等差數(shù)列,公差為由S20212021?故an故選:A.7.(3分)(2022·四川·高二階段練習(xí)(文))已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,則(A.若S9>S8,S9>S10,則S17>0,C.若S17>0,S18<0,則a17>0,a18<0 【解題思路】根據(jù)等差數(shù)列前n項(xiàng)和、通項(xiàng)公式的知識(shí)對(duì)選項(xiàng)逐一分析,由此確定正確選項(xiàng).【解答過(guò)程】設(shè)等差數(shù)列an的公差為dA選項(xiàng),若S9>S8,S9>SS17=aS18B選項(xiàng),S17=a所以S8+aS18=a所以S9>SC選項(xiàng),若S17>0,S18S17=aS18=a則a1>0,dD選項(xiàng),若a17>0,a18當(dāng)1≤n≤17,n∈N但S18故選:B.8.(3分)(2022·江蘇·高二期末)風(fēng)雨橋(如圖1所示)是侗族最具特色的民間建筑之一.風(fēng)雨橋由橋、塔、亭組成.其中亭、塔的俯視圖通常是正方形、正六邊形或正八邊形.圖2是某風(fēng)雨橋亭的大致俯視圖,其中正六邊形的邊長(zhǎng)的計(jì)算方法如下:A1B1=A0B0?B0B1,A2BA.120m B.210m C.130m D.310m【解題思路】由題意得圖2中五個(gè)正六邊形的邊長(zhǎng)(單位:m)構(gòu)成以a1=8為首項(xiàng),d=?0.5為公差的等差數(shù)列ak【解答過(guò)程】由已知得AnBn=AB3以a1=8為首項(xiàng),d=?0.5為公差的等差數(shù)列設(shè)數(shù)列akk∈N?,1≤k≤5所以圖2中的五個(gè)正六邊形的周長(zhǎng)總和為6S故選:B.二.多選題(共4小題,滿(mǎn)分16分,每小題4分)9.(4分)(2022·福建省高二階段練習(xí))等差數(shù)列an中,a1>0,公差d<0,Sn為其前n項(xiàng)和,對(duì)任意正整數(shù)n,若點(diǎn)A. B. C. D.【解題思路】等差數(shù)列的前n項(xiàng)和關(guān)于n的二次函數(shù),根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì),判斷圖象的開(kāi)口方向,可判斷A,B;判斷圖象對(duì)稱(chēng)軸位置,判斷C,D,即可到答案.【解答過(guò)程】∵等差數(shù)列{an}中,a1>0,公差d<0∴S∴點(diǎn)(n,Sn)∵d<0,∴二次函數(shù)開(kāi)口向下,故A,B不可能;∵對(duì)稱(chēng)軸x=?a∴對(duì)稱(chēng)軸在y軸的右側(cè),故C可能,D不可能.故選:ABD.10.(4分)(2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí))(多選)已知兩個(gè)等差數(shù)列an和bn的前n項(xiàng)和分別為Sn,Tn,且n+1Sn=A.2 B.3 C.4 D.5【解題思路】首先利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式,求出an與S2n?1之間的關(guān)系,進(jìn)而可求出【解答過(guò)程】由題意,可得Sn∵an和b∴S2n?1同理,T2n?1∴an若anbn為整數(shù),則只需n=1,2,4故選:AC.11.(4分)(2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí))在等差數(shù)列{an}中,其前n的和是Sn,若a1A.{an}是遞增數(shù)列C.當(dāng)Sn取最小值時(shí),n的值只能是3 D.Sn【解題思路】由公差的正負(fù)性判斷等差數(shù)列的單調(diào)性,由首項(xiàng)、公差寫(xiě)出等差數(shù)列通項(xiàng)公式,進(jìn)而可得前n項(xiàng)和公式,即可判斷各選項(xiàng)的正誤.【解答過(guò)程】由d=3>0,可知等差數(shù)列{a由題設(shè),anSn故當(dāng)n=3或4時(shí),Sn取最小值且為?18故選:ABD.12.(4分)(2022·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí))已知數(shù)列an滿(mǎn)足:a1=1,an+2=2an+1A.Sn的通項(xiàng)公式可以是B.若a3,a7為方程xC.若S4SD.若S4=S8,則使得【解題思路】根據(jù)an+2=2an+1?an求出a1利用韋達(dá)定理可得a3+a根據(jù)S4S2根據(jù)S4=S8求得公差,從而可求得【解答過(guò)程】解:因?yàn)閍n+2=2a所以數(shù)列an是等差數(shù)列,設(shè)公差為d,則S對(duì)于A,若Sn=n2?n+1所以a3?a對(duì)于B,若a3,a7為方程x2即2a1+8d=?6,解得d=?1所以a6=?4,a對(duì)于C,S4S2所以S8對(duì)于D,由S4=S8,得所以Sn由Sn>0,即?1所以正整數(shù)n的最大值為11,故D正確.故選:BD.三.填空題(共4小題,滿(mǎn)分16分,每小題4分)13.(4分)(2022·上海市高三開(kāi)學(xué)考試)若Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和,且a1+a5=22,Sn【解題思路】根據(jù)已知,利用等差數(shù)列的性質(zhì)以及通項(xiàng)公式求解.【解答過(guò)程】因?yàn)榈炔顢?shù)列an滿(mǎn)足a所以2a3=22又因?yàn)镾n所以S2=a1+所以an=a故答案為:an=4n?1,14.(4分)(2021·天津市高二期末)已知等差數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=-2n+11,其前n項(xiàng)和為Sn,則當(dāng)【解題思路】根據(jù)通項(xiàng)公式,設(shè)n=k時(shí),Sk【解答過(guò)程】n∈N*,設(shè)nak≥0ak+1≤0故當(dāng)n=k=5故答案為:5.15.(4分)(2021·江西南昌·高一期中)各項(xiàng)不全為0的等差數(shù)列an,前n項(xiàng)和為Sn.若S100=S104【解題思路】根據(jù)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和可看成關(guān)于n【解答過(guò)程】因?yàn)榈炔顢?shù)列an的前n項(xiàng)和為S可看成關(guān)于n的二次函數(shù)且無(wú)常數(shù)項(xiàng),由二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性及S100=S得100+1042所以k=98,S所以k+S故答案為:98.16.(4分)(2022·江蘇·高二期末)我國(guó)古代《九章算術(shù)》一書(shū)中記載關(guān)于“竹九”問(wèn)題:今有竹九節(jié),下三節(jié)容量四升,上四節(jié)容量三升,問(wèn)五、六兩節(jié)欲均容各多少?意思是下三節(jié)容量和為4升,上四節(jié)容量和為3升,且每一節(jié)容量變化均勻,問(wèn)第五、六兩節(jié)容量分別是多少?在這個(gè)問(wèn)題中,九節(jié)總?cè)萘渴?0122【解題思路】設(shè)由下到上九節(jié)容量分別記為a1,a2,...,【解答過(guò)程】設(shè)由下到上九節(jié)容量分別記為a1,a2,則a1+a2+a3=4,a6故S9故答案為:20122四.解答題(共6小題,滿(mǎn)分44分)17.(6分)(2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí))已知兩個(gè)等差數(shù)列an和bn的前n項(xiàng)和分別為An和Bn,【解題思路】根據(jù)等差數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)得到a2+a5+【解答過(guò)程】解:∵數(shù)列an,bn為等差數(shù)列,且前n項(xiàng)和分別為An∴a2+a又AnBn=3n+1n+1,18.(6分)(2022·廣西·高二期中(文))等差數(shù)列an,S11=?11(1)求通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式;(2)當(dāng)n取何值時(shí),前n項(xiàng)和最大,最大值是多少.【解題思路】(1)根據(jù)等差中項(xiàng)可得S11=11a6=?11(2)a6=?1,a5=2知當(dāng)n=5時(shí),前【解答過(guò)程】(1)由Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和,則S11an=aSn(2)由an=17?3n,則數(shù)列由a6=?1<0,a5=2>0,則當(dāng)n=5時(shí),19.(8分)(2022·上海市高三階段練習(xí))公差不為零的等差數(shù)列an滿(mǎn)足a(1)求an(2)記an的前n項(xiàng)和為Sn,求使Sn【解題思路】(1)根據(jù)等差數(shù)列公式,代入計(jì)算得到答案.(2)根據(jù)等差數(shù)列求和公式,考慮兩種情況,代入數(shù)據(jù)得到不等式,解得答案.【解答過(guò)程】(1)a15=a3a5,即故an=3n?5(2)當(dāng)an=3n?5時(shí),Sn<an,即3n當(dāng)an=1Sn<an,即18綜上所述:當(dāng)an=3n?5時(shí),n=3;當(dāng)an20.(8分)(2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí))已知一個(gè)等差數(shù)列an(1)求S12、S(2)通過(guò)計(jì)算觀察,尋找S4、S8、S12(3)根據(jù)上述結(jié)論,請(qǐng)你歸納出對(duì)于等差數(shù)列而言的一般結(jié)論,并證明.【解題思路】(1)設(shè){an}公差為d,由等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式列方程組求得a1和d,再計(jì)算出(2)由(1)求出S4,S8?S4(3)根據(jù)等差數(shù)列的定義證明.【解答過(guò)程】(1)設(shè){an}公差為d,則SS12S16(2)由(1)得S4=32,S8?S所以S4,S8?S4(3)設(shè){an}則Skt同理S(k+1)t所以(S(k+1)t?所以St,S2t?St,S21.(8分)(2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí))已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,數(shù)列{an}為等差數(shù)列,a1=12,d=-2.(1)求Sn,并畫(huà)出{Sn}(1≤n≤13)的圖象;(2)分別求{Sn}單調(diào)遞增、單調(diào)遞減的n的取值范圍,并求{Sn}的最大(或最小)的項(xiàng);(3){Sn}有多少項(xiàng)大于零?【解題思路】(1)利用等差數(shù)列的求和公式得到Sn關(guān)于n的二次函數(shù)表達(dá)式Sn=-n2+13n,畫(huà)出二次函數(shù)的圖象上對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo)為正整數(shù)值的點(diǎn)即為所求圖像;(2)利用配方法,利用二次函數(shù)的性質(zhì)可以得到單調(diào)性,根據(jù)單調(diào)性和對(duì)稱(chēng)性可以得到最大項(xiàng)及最大值;(3)
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