舉一反三系列高考高中數(shù)學同步及復習資料人教A版必修2專題7.3 復數(shù)的四則運算（重難點題型精講）（含答案及解析）

專題7.3復數(shù)的四則運算（重難點題型精講）1．復數(shù)的加法運算及其幾何意義(1)復數(shù)的加法法則

設=a+bi，=c+di(a,b,c,dR)是任意兩個復數(shù)，那么+=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.(2)復數(shù)的加法滿足的運算律

對任意,,∈C，有

①交換律：+=+；

②結(jié)合律：(+)+=+(+).(3)復數(shù)加法的幾何意義在復平面內(nèi)，設=a+bi，=c+di(a,b,c,d∈R)對應的向量分別為，，則=(a,b)，=(c,d).以，對應的線段為鄰邊作平行四邊形(如圖所示)，則由平面向量的坐標運算，可得=+=(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)，即z=(a+c)+(b+d)i，即對角線OZ對應的向量就是與復數(shù)(a+c)+(b+d)i對應的向量.2．復數(shù)的減法運算及其幾何意義(1)復數(shù)的減法法則類比實數(shù)減法的意義，我們規(guī)定，復數(shù)的減法是加法的逆運算，即把滿足(c+di)+(x+yi)=a+bi的復數(shù)x+yi(x,y∈R)叫做復數(shù)a+bi(a,b∈R)減去復數(shù)c+di(c,d∈R)的差，記作(a+bi)-(c+di).

根據(jù)復數(shù)相等的定義，有c+x=a，d+y=b，因此x=a-c，y=b-d，所以x+yi=(a-c)+(b-d)i，即(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.這就是復數(shù)的減法法則.(2)復數(shù)減法的幾何意義兩個復數(shù)=a+bi，=c+di(a,b,c,d∈R)在復平面內(nèi)對應的向量分別是，，那么這兩個復數(shù)的差-對應的向量是-，即向量.如果作=，那么點Z對應的復數(shù)就是-(如圖所示).

這說明兩個向量與的差就是與復數(shù)(a-c)+(b-d)i對應的向量.因此，復數(shù)的減法可以按照向量的減法來進行，這是復數(shù)減法的幾何意義.3．復數(shù)的乘法運算(1)復數(shù)的乘法法則

設=a+bi，=c+di(a,b,c,d∈R)是任意兩個復數(shù)，那么它們的積(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+=(ac-bd)+(ad+bc)i.

可以看出，兩個復數(shù)相乘，類似于兩個多項式相乘，只要在所得的結(jié)果中把換成-1，并且把實部與虛部分別合并即可.(2)復數(shù)乘法的運算律對于任意,,∈C，有

①交換律：=；

②結(jié)合律：()=()；

③分配律：(+)=+.

在復數(shù)范圍內(nèi)，正整數(shù)指數(shù)冪的運算律仍然成立.即對于任意復數(shù)z，,和正整數(shù)m,n，有=，=，=.4．復數(shù)的除法(1)定義

我們規(guī)定復數(shù)的除法是乘法的逆運算.即把滿足(c+di)(x+yi)=a+bi(c+di≠0)的復數(shù)x+yi叫做復數(shù)a+bi除以復數(shù)c+di的商，記作(a+bi)÷(c+di)或(a,b,c,d∈R，且c+di≠0).(1)復數(shù)的除法法則(a+bi)÷(c+di)====+i(a,b,c,d∈R，且c+di≠0).

由此可見，兩個復數(shù)相除(除數(shù)不為0)，所得的商是一個確定的復數(shù).5．|z-z0|(z,z0∈C)的幾何意義

設復數(shù)=a+bi，=c+di(a,b,c,d∈R)在復平面內(nèi)對應的點分別是(a,b)，(c,d)，則|???????|=，又復數(shù)-=(a-c)+(b-d)i，則|-|=.

故|???????|=|-|，即|-|表示復數(shù)，在復平面內(nèi)對應的點之間的距離.6．復數(shù)范圍內(nèi)實數(shù)系一元二次方程的根

若一元二次方程+bx+c=0(a≠0，且a,b,c∈R)，則當>0時，方程有兩個不相等的實根，=；

當=0時，方程有兩個相等的實根==-；

當<0時，方程有兩個虛根=，=，且兩個虛數(shù)根互為共軛復數(shù).7．復數(shù)運算的常用技巧(1)復數(shù)常見運算小結(jié)論①；②；③；④；⑤.(2)常用公式；；.【題型1復數(shù)的加、減運算】【方法點撥】兩個復數(shù)相加(減)，就是把兩個復數(shù)的實部相加(減)，虛部相加(減).復數(shù)的減法是加法的逆運算，兩個復數(shù)相減，也可以看成是加上這個復數(shù)的相反數(shù).當多個復數(shù)相加(減)時，可將這些復數(shù)的所有實部相加(減)，所有虛部相加(減).【例1】（2022秋·貴州畢節(jié)·高三階段練習）已知z1=1+i，z2=2?2A．4 B．5+3i C．4?3i 【變式1-1】（2022秋·陜西延安·高三階段練習）若z?3+5i=8?2i，則zA．5?3i B．11?7i C．8+7i【變式1-2】（2022春·廣西桂林·高一期末）1+i+?2+2A．?1+3i B．1+i C．?1+i【變式1-3】（2023·山西大同·大同市模擬預測）若復數(shù)z滿足2z+z+3z?A．12+1C．2+2i D．【題型2復數(shù)加、減法的幾何意義的應用】【方法點撥】(1)向量加、減運算的平行四邊形法則和三角形法則是復數(shù)加、減法幾何意義的依據(jù).(2)利用向量的加法“首尾相接”和減法“指向被減向量”的特點，在三角形內(nèi)可求得第三個向量及其對應的復數(shù).【例2】（2022春·北京西城·高一階段練習）在復平面內(nèi)，O為原點，四邊形OABC是復平面內(nèi)的平行四邊形，且A，B，C三點對應的復數(shù)分別為z1，z2，z3，若z1=1,?z3=?2+A．1+i B．1－i C．－1+i D．－1－i【變式2-1】（2022·高一課時練習）在平行四邊形ABCD中，若A，C對應的復數(shù)分別為－1＋i和－4－3i，則該平行四邊形的對角線AC的長度為（

）A．5 B．5 C．25 D．10【變式2-2】（2022·全國·高一專題練習）如圖在復平面上，一個正方形的三個頂點對應的復數(shù)分別是1+2i,?2+i,0，那么這個正方形的第四個頂點對應的復數(shù)為（

）．A．3+i B．3?i C．1?3i D．?1+3i【變式2-3】（2022春·高一課時練習）如圖，設向量OP，PQ，OQ所對應的復數(shù)為z1，z2，z3，那么（）A．z1－z2－z3＝0B．z1＋z2＋z3＝0C．z2－z1－z3＝0D．z1＋z2－z3＝0【題型3復數(shù)的乘除運算】【方法點撥】(1)復數(shù)的乘法可以按照多項式的乘法計算，只是在結(jié)果中要將換成-1，并將實部、虛部分別合并.(2)復數(shù)的除法法則在實際操作中不方便使用，一般將除法寫成分式形式，采用分母“實數(shù)化”的方法，即將分子、分母同乘分母的共軛復數(shù)，使分母成為實數(shù)，再計算.【例3】（2023·遼寧·遼寧模擬預測）已知z1+i=7+5i，則A．6?i B．6+i C．3?2i【變式3-1】（2023·湖北·校聯(lián)考模擬預測）在復平面內(nèi)，復數(shù)z對應的點為(?1,1)，則z1+i=A．?1+i B．?1?i C．i 【變式3-2】（2022春·陜西榆林·高二期中）已知復數(shù)z=?1+2i（i為虛數(shù)單位）的共軛復數(shù)為z，則z?iA．-2-i B．-2+i C．2?i D．【變式3-3】（2022秋·河北唐山·高三階段練習）已知復數(shù)z滿足z?i=4+3iA．3+3i B．3?3i C．?3+3i【題型4虛數(shù)單位i的冪運算的周期性】【方法點撥】根據(jù)虛數(shù)單位i的冪運算的周期性，進行求解即可.【例4】（2022·云南紅河·?？寄M預測）已知i為虛數(shù)單位，則i20231?iA．?12+12i B．1【變式4-1】（2022春·湖北十堰·高一階段練習）i2022=（A．?1 B．1 C．?i D．【變式4-2】（2022·全國·高一假期作業(yè)）設i是虛數(shù)單位，則i+i2A．i+1 B．i?1 C．i【變式4-3】1+i1?iA．i B．?i C．22005 【題型5解復數(shù)方程】【方法點撥】實系數(shù)一元二次方程的虛根是成對出現(xiàn)的，即若復數(shù)a+bi(a,b∈R，b≠0)是實系數(shù)一元二次方程的根，則其共軛復數(shù)a-bi是該方程的另一根，據(jù)此進行求解即可.【例5】（2022·重慶江北·校考一模）已知復數(shù)1+i是關(guān)于x的方程x2+mx+2=0的一個根，則實數(shù)mA．?2 B．2 C．?4 D．4【變式5-1】（2022秋·寧夏石嘴山·高三期中）已知復數(shù)1+i（i為虛數(shù)單位）為實系數(shù)方程x2+px+q=0的一根，則p+q=（A．4 B．2 C．0 D．?2【變式5-2】（2022·全國·高三專題練習）已知ω是方程x2+x+1=0的虛數(shù)根，則1+ω+ωA．0 B．±1 C．12±3【變式5-3】（2022秋·上海寶山·高二階段練習）若1+2i是關(guān)于x的實系數(shù)方程x2A．b=2，c=3 B．b=2，c=?C．b=?2，c=?3 D．b=?2，【題型6四則運算下的復數(shù)概念】【方法點撥】先根據(jù)復數(shù)的四則運算法則進行化簡復數(shù)，再結(jié)合復數(shù)的有關(guān)概念，進行求解即可.【例6】（2022·江蘇常州·?？寄M預測）已知復數(shù)z是純虛數(shù)，1+z1+i是實數(shù)，則z=A．－i B．i C．－2i D．2i【變式6-1】（2023秋·江西撫州·高三期末）已知復數(shù)z滿足3+iz=4?2i，則復數(shù)zA．1?i B．1+i C．2+i【變式6-2】（2023秋·江蘇揚州·高三期末）若i為虛數(shù)單位，復數(shù)z滿足z1+i=3+4iA．?3 B．3 C．?2 D．2【變式6-3】在復平面內(nèi)，復數(shù)z=2i?2A．位于第一象限B．對應的點為(2,?2)C．zD．是純虛數(shù)專題7.3復數(shù)的四則運算（重難點題型精講）1．復數(shù)的加法運算及其幾何意義(1)復數(shù)的加法法則

設=a+bi，=c+di(a,b,c,dR)是任意兩個復數(shù)，那么+=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.(2)復數(shù)的加法滿足的運算律

對任意,,∈C，有

①交換律：+=+；

②結(jié)合律：(+)+=+(+).(3)復數(shù)加法的幾何意義在復平面內(nèi)，設=a+bi，=c+di(a,b,c,d∈R)對應的向量分別為，，則=(a,b)，=(c,d).以，對應的線段為鄰邊作平行四邊形(如圖所示)，則由平面向量的坐標運算，可得=+=(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)，即z=(a+c)+(b+d)i，即對角線OZ對應的向量就是與復數(shù)(a+c)+(b+d)i對應的向量.2．復數(shù)的減法運算及其幾何意義(1)復數(shù)的減法法則類比實數(shù)減法的意義，我們規(guī)定，復數(shù)的減法是加法的逆運算，即把滿足(c+di)+(x+yi)=a+bi的復數(shù)x+yi(x,y∈R)叫做復數(shù)a+bi(a,b∈R)減去復數(shù)c+di(c,d∈R)的差，記作(a+bi)-(c+di).

根據(jù)復數(shù)相等的定義，有c+x=a，d+y=b，因此x=a-c，y=b-d，所以x+yi=(a-c)+(b-d)i，即(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.這就是復數(shù)的減法法則.(2)復數(shù)減法的幾何意義兩個復數(shù)=a+bi，=c+di(a,b,c,d∈R)在復平面內(nèi)對應的向量分別是，，那么這兩個復數(shù)的差-對應的向量是-，即向量.如果作=，那么點Z對應的復數(shù)就是-(如圖所示).

這說明兩個向量與的差就是與復數(shù)(a-c)+(b-d)i對應的向量.因此，復數(shù)的減法可以按照向量的減法來進行，這是復數(shù)減法的幾何意義.3．復數(shù)的乘法運算(1)復數(shù)的乘法法則

設=a+bi，=c+di(a,b,c,d∈R)是任意兩個復數(shù)，那么它們的積(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+=(ac-bd)+(ad+bc)i.

可以看出，兩個復數(shù)相乘，類似于兩個多項式相乘，只要在所得的結(jié)果中把換成-1，并且把實部與虛部分別合并即可.(2)復數(shù)乘法的運算律對于任意,,∈C，有

①交換律：=；

②結(jié)合律：()=()；

③分配律：(+)=+.

在復數(shù)范圍內(nèi)，正整數(shù)指數(shù)冪的運算律仍然成立.即對于任意復數(shù)z，,和正整數(shù)m,n，有=，=，=.4．復數(shù)的除法(1)定義

我們規(guī)定復數(shù)的除法是乘法的逆運算.即把滿足(c+di)(x+yi)=a+bi(c+di≠0)的復數(shù)x+yi叫做復數(shù)a+bi除以復數(shù)c+di的商，記作(a+bi)÷(c+di)或(a,b,c,d∈R，且c+di≠0).(1)復數(shù)的除法法則(a+bi)÷(c+di)====+i(a,b,c,d∈R，且c+di≠0).

由此可見，兩個復數(shù)相除(除數(shù)不為0)，所得的商是一個確定的復數(shù).5．|z-z0|(z,z0∈C)的幾何意義

設復數(shù)=a+bi，=c+di(a,b,c,d∈R)在復平面內(nèi)對應的點分別是(a,b)，(c,d)，則|???????|=，又復數(shù)-=(a-c)+(b-d)i，則|-|=.

故|???????|=|-|，即|-|表示復數(shù)，在復平面內(nèi)對應的點之間的距離.6．復數(shù)范圍內(nèi)實數(shù)系一元二次方程的根

若一元二次方程+bx+c=0(a≠0，且a,b,c∈R)，則當>0時，方程有兩個不相等的實根，=；

當=0時，方程有兩個相等的實根==-；

當<0時，方程有兩個虛根=，=，且兩個虛數(shù)根互為共軛復數(shù).7．復數(shù)運算的常用技巧(1)復數(shù)常見運算小結(jié)論①；②；③；④；⑤.(2)常用公式；；.【題型1復數(shù)的加、減運算】【方法點撥】兩個復數(shù)相加(減)，就是把兩個復數(shù)的實部相加(減)，虛部相加(減).復數(shù)的減法是加法的逆運算，兩個復數(shù)相減，也可以看成是加上這個復數(shù)的相反數(shù).當多個復數(shù)相加(減)時，可將這些復數(shù)的所有實部相加(減)，所有虛部相加(減).【例1】（2022秋·貴州畢節(jié)·高三階段練習）已知z1=1+i，z2=2?2A．4 B．5+3i C．4?3i 【解題思路】根據(jù)復數(shù)加法法則，實部和虛部分別相加即可得出結(jié)果.【解答過程】由z1=1+iz1故選：D.【變式1-1】（2022秋·陜西延安·高三階段練習）若z?3+5i=8?2i，則zA．5?3i B．11?7i C．8+7i【解題思路】設復數(shù)z=a+bia,b∈R，利用復數(shù)的加減運算法則，解出a，b，即可得【解答過程】設z=a+bia,b∈則z?3+5i所以a?3=8b+5=?2得a=11b=?7所以z=11?7i故選：B.【變式1-2】（2022春·廣西桂林·高一期末）1+i+?2+2A．?1+3i B．1+i C．?1+i【解題思路】利用復數(shù)的加法運算直接計算作答.【解答過程】1+i故選：A.【變式1-3】（2023·山西大同·大同市模擬預測）若復數(shù)z滿足2z+z+3z?A．12+1C．2+2i D．【解題思路】由復數(shù)的運算法則與復數(shù)相等的概念求解即可【解答過程】設z=a+bia,b∈R所以z+zz?z所以2z+所以a=1故選：A.【題型2復數(shù)加、減法的幾何意義的應用】【方法點撥】(1)向量加、減運算的平行四邊形法則和三角形法則是復數(shù)加、減法幾何意義的依據(jù).(2)利用向量的加法“首尾相接”和減法“指向被減向量”的特點，在三角形內(nèi)可求得第三個向量及其對應的復數(shù).【例2】（2022春·北京西城·高一階段練習）在復平面內(nèi)，O為原點，四邊形OABC是復平面內(nèi)的平行四邊形，且A，B，C三點對應的復數(shù)分別為z1，z2，z3，若z1=1,?z3=?2+A．1+i B．1－i C．－1+i D．－1－i【解題思路】根據(jù)復數(shù)加法的幾何意義及法則即可求解.【解答過程】因為O為原點，四邊形OABC是復平面內(nèi)的平行四邊形，又因為z1所以由復數(shù)加法的幾何意義可得，z2故選：C.【變式2-1】（2022·高一課時練習）在平行四邊形ABCD中，若A，C對應的復數(shù)分別為－1＋i和－4－3i，則該平行四邊形的對角線AC的長度為（

）A．5 B．5 C．25 D．10【解題思路】根據(jù)復數(shù)減法的幾何意義求出向量AC對應的復數(shù)，再根據(jù)復數(shù)的模的計算公式即可求出．【解答過程】依題意，AC對應的復數(shù)為(－4－3i)－(－1＋i)＝－3－4i，因此AC的長度為|－3－4i|＝5.故選：B．【變式2-2】（2022·全國·高一專題練習）如圖在復平面上，一個正方形的三個頂點對應的復數(shù)分別是1+2i,?2+i,0，那么這個正方形的第四個頂點對應的復數(shù)為（

）．A．3+i B．3?i C．1?3i D．?1+3i【解題思路】利用復數(shù)的幾何意義、向量的平行四邊形法則即可得出．【解答過程】∵OC＝∴OC對應的復數(shù)為：1+2i?2+i=?1+3i，∴點C對應的復數(shù)為?1+3i．故選D．【變式2-3】（2022春·高一課時練習）如圖，設向量OP，PQ，OQ所對應的復數(shù)為z1，z2，z3，那么（）A．z1－z2－z3＝0B．z1＋z2＋z3＝0C．z2－z1－z3＝0D．z1＋z2－z3＝0【解題思路】由向量PQ+QP=【解答過程】由題圖可知，PQ+QP=∴z1＋z2－z3＝0.故選：D.【題型3復數(shù)的乘除運算】【方法點撥】(1)復數(shù)的乘法可以按照多項式的乘法計算，只是在結(jié)果中要將換成-1，并將實部、虛部分別合并.(2)復數(shù)的除法法則在實際操作中不方便使用，一般將除法寫成分式形式，采用分母“實數(shù)化”的方法，即將分子、分母同乘分母的共軛復數(shù)，使分母成為實數(shù)，再計算.【例3】（2023·遼寧·遼寧模擬預測）已知z1+i=7+5i，則A．6?i B．6+i C．3?2i【解題思路】根據(jù)復數(shù)的四則運算和共軛復數(shù)的概念即可求解.【解答過程】因為z=7+5所以z=6+故選：B.【變式3-1】（2023·湖北·校聯(lián)考模擬預測）在復平面內(nèi)，復數(shù)z對應的點為(?1,1)，則z1+i=A．?1+i B．?1?i C．i 【解題思路】由復數(shù)z對應的點的坐標得到z=?1+i【解答過程】由題意可知z=?1+i，所以z故選：C.【變式3-2】（2022春·陜西榆林·高二期中）已知復數(shù)z=?1+2i（i為虛數(shù)單位）的共軛復數(shù)為z，則z?iA．-2-i B．-2+i C．2?i D．【解題思路】先得到z=?1?2【解答過程】由題意得：z=?1?2i，故故選：C.【變式3-3】（2022秋·河北唐山·高三階段練習）已知復數(shù)z滿足z?i=4+3iA．3+3i B．3?3i C．?3+3i【解題思路】根據(jù)復數(shù)的運算法則，以及共軛復數(shù)的定義進行求解即可.【解答過程】因為z?所以z=則z=3+3i故選：A.【題型4虛數(shù)單位i的冪運算的周期性】【方法點撥】根據(jù)虛數(shù)單位i的冪運算的周期性，進行求解即可.【例4】（2022·云南紅河·?？寄M預測）已知i為虛數(shù)單位，則i20231?iA．?12+12i B．1【解題思路】利用復數(shù)的除法運算和乘方運算，進行化簡、整理，即可得答案．【解答過程】i2023故選：B．【變式4-1】（2022春·湖北十堰·高一階段練習）i2022=（A．?1 B．1 C．?i D．【解題思路】根據(jù)i的周期性，計算即可得到結(jié)果.【解答過程】因為i則i故選:A.【變式4-2】（2022·全國·高一假期作業(yè)）設i是虛數(shù)單位，則i+i2A．i+1 B．i?1 C．i【解題思路】利用in【解答過程】i+i2+i故選:B.【變式4-3】1+i1?iA．i B．?i C．22005 【解題思路】先利用復數(shù)除法化簡1+i1?i【解答過程】1+i故選：A.【題型5解復數(shù)方程】【方法點撥】實系數(shù)一元二次方程的虛根是成對出現(xiàn)的，即若復數(shù)a+bi(a,b∈R，b≠0)是實系數(shù)一元二次方程的根，則其共軛復數(shù)a-bi是該方程的另一根，據(jù)此進行求解即可.【例5】（2022·重慶江北·?？家荒＃┮阎獜蛿?shù)1+i是關(guān)于x的方程x2+mx+2=0的一個根，則實數(shù)mA．?2 B．2 C．?4 D．4【解題思路】根據(jù)1+i是關(guān)于x的方程x【解答過程】因為1+i是關(guān)于x的方程x所以(1+i)2+m(1+i解得：m=?2，故選：A.【變式5-1】（2022秋·寧夏石嘴山·高三期中）已知復數(shù)1+i（i為虛數(shù)單位）為實系數(shù)方程x2+px+q=0的一根，則p+q=（A．4 B．2 C．0 D．?2【解題思路】將1+i代入方程中，根據(jù)復數(shù)相等的充要條件即可求解.【解答過程】因為1+i