舉一反三系列高考高中數(shù)學(xué)同步及復(fù)習(xí)資料人教A版必修2專題7.6 復(fù)數(shù)的三角表示（重難點題型檢測）（含答案及解析）

專題7.6復(fù)數(shù)的三角表示（重難點題型檢測）【人教A版2019】考試時間：60分鐘；滿分：100分姓名：___________班級：___________考號：___________考卷信息：本卷試題共22題，單選8題，多選4題，填空4題，解答6題，滿分100分，限時60分鐘，本卷題型針對性較高，覆蓋面廣，選題有深度，可衡量學(xué)生掌握本節(jié)內(nèi)容的具體情況！一．選擇題（共8小題，滿分24分，每小題3分）1．（3分）（2023·高一課時練習(xí)）下列結(jié)論中正確的是（

）．A．復(fù)數(shù)z的任意兩個輻角之間都差2πB．任何一個非零復(fù)數(shù)的輻角有無數(shù)個，但輻角主值有且只有一個；C．實數(shù)0不能寫成三角形式；D．復(fù)數(shù)0的輻角主值是0．2．（3分）（2022·全國·高三專題練習(xí)）復(fù)數(shù)z=cos?2A．8π5 B．?8π5 3．（3分）復(fù)數(shù)12?3A．cos?π3C．cosπ3?4．（3分）（2023·高一課時練習(xí)）將復(fù)數(shù)1+3i對應(yīng)的向量ON繞原點按順時針方向旋轉(zhuǎn)π2，得到的向量為OA．3?i B．3+i C．?35．（3分）（2023·高一課時練習(xí)）已知i為虛數(shù)單位，z1=2cos60°+isinA．4cos90°+iC．4cos30°?i6．（3分）（2022·全國·高三專題練習(xí)）棣莫弗公式(cosx+isinx)n=cosA．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限7．（3分）（2022·高一課時練習(xí)）把復(fù)數(shù)z1與z2對應(yīng)的向量OA，OB分別按逆時針方向旋轉(zhuǎn)π4和5π3后，重合于向量OM且模相等，已知zA．?2?2i，3π4 B．?28．（3分）（2022春·福建福州·高二期末）已知i為虛數(shù)單位，若z1=r1(cosθ1+isinθ1)，z2=r2(cosθ2+isinθ2A．若z=cosπ6+iB．若z=cosπ5+iC．若z1=2(cos7π12+isin7πD．若z1=3(cosπ12?isinπ二．多選題（共4小題，滿分16分，每小題4分）9．（4分）（2022·全國·高一假期作業(yè)）以下不是復(fù)數(shù)?1?3i的三角形式是（A．?2cosπ3C．2sin7π10．（4分）（2022·高一單元測試）已知單位向量OZ1、OZ2分別對應(yīng)復(fù)數(shù)z1A．i B．1 C．?1 D．?11．（4分）（2022春·江蘇鹽城·高一階段練習(xí)）任何一個復(fù)數(shù)z=a+bi（其中a,b∈R，i為虛數(shù)單位）都可以表示成：z=r(cosθ+isinθ)的形式，通常稱之為復(fù)數(shù)A．z2=|z|2 B．當(dāng)r=2C．當(dāng)r=1，θ=π3時，z3=?1 D．當(dāng)r=1，θ=π12．（4分）（2022·高一單元測試）著名的歐拉公式為：eiπ+1=0，其中i2=?1，e為自然對數(shù)的底數(shù)，它使用了幾個基本的數(shù)學(xué)常數(shù)描述了實數(shù)集和復(fù)數(shù)集的聯(lián)系．其廣義一般式是eiA．lnB．若復(fù)數(shù)z滿足z=12C．若復(fù)數(shù)eiα與復(fù)數(shù)eD．復(fù)數(shù)eiα與復(fù)數(shù)三．填空題（共4小題，滿分16分，每小題4分）13．（4分）（2023·高一課時練習(xí)）?cosα+isinα14．（4分）（2023·高一課時練習(xí)）已知z的輻角主值是π4，則它的共軛復(fù)數(shù)的輻角主值是15．（4分）（2022春·福建漳州·高一期末）如果向量OZ對應(yīng)復(fù)數(shù)?2i,OZ繞原點O按順時針方向旋轉(zhuǎn)π4后再把模變?yōu)樵瓉淼?2倍得到向量OZ116．（4分）（2022春·浙江·高二期末）人教版新教材中增加了如下內(nèi)容：任何一個復(fù)數(shù)z=a+bi（其中a、b∈R，i為虛數(shù)單位）都可以表示成：z=rcosθ+isinθ的形式，通常稱之為復(fù)數(shù)z的三角形式．法國數(shù)學(xué)家棣莫弗發(fā)現(xiàn)：zn=①z2②當(dāng)r=1，θ=π6時，③當(dāng)r=2，θ=π3時，④當(dāng)r=1，θ=π4時，若n為偶數(shù)，則復(fù)數(shù)⑤1+i=四．解答題（共6小題，滿分44分）17．（6分）（2023·高一課時練習(xí)）求復(fù)數(shù)?1+cos18．（6分）（2022·高一課時練習(xí)）如圖，向量OZ對應(yīng)的復(fù)數(shù)為1+i，把OZ繞點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)120°，得到OZ'.求向量19．（8分）（2022·高一課時練習(xí)）把下列復(fù)數(shù)表示成三角形式，并畫出與之對應(yīng)的向量．(1)6；(2)1+i(3)1?3(4)?320．（8分）（2022·全國·高一假期作業(yè)）計算下列各式：(1)16cos(2)3cos(3)?1+i21．（8分）（2022·高二課時練習(xí)）已知復(fù)數(shù)z1,z2,（1）若z1=32+12i,向量（2）若z1?z22．（8分）（2022·全國·高一專題練習(xí)）一般地，任何一個復(fù)數(shù)z=a+bi（a，b∈R）都可以表示成rcosθ+isinθ形式，其中，r是復(fù)數(shù)z的模，θ是以x軸的非負(fù)半軸為始邊，向量OZ所在射線（射線OZ）為終邊的角，叫做復(fù)數(shù)z=a+bi的輻角，rcosθ+(1)畫出復(fù)數(shù)z=1?i對應(yīng)的向量，并把z=1?(2)已知z1=cosθ1+isinθ1，專題7.6復(fù)數(shù)的三角表示（重難點題型檢測）參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題，滿分24分，每小題3分）1．（3分）（2023·高一課時練習(xí)）下列結(jié)論中正確的是（

）．A．復(fù)數(shù)z的任意兩個輻角之間都差2πB．任何一個非零復(fù)數(shù)的輻角有無數(shù)個，但輻角主值有且只有一個；C．實數(shù)0不能寫成三角形式；D．復(fù)數(shù)0的輻角主值是0．【解題思路】根據(jù)復(fù)數(shù)輻角、輻角主值定義及復(fù)數(shù)0輻角判斷各項的正誤.【解答過程】A：復(fù)數(shù)0的輻角為任意值，其兩個輻角之差不一定為2πB：任何一個非零復(fù)數(shù)的輻角有無數(shù)個，但輻角主值有且只有一個，正確；C：0×(cosθ+iD：復(fù)數(shù)0的輻角主值不唯一，錯誤.故選：B.2．（3分）（2022·全國·高三專題練習(xí)）復(fù)數(shù)z=cos?2A．8π5 B．?8π5 【解題思路】設(shè)出輻角為θ，利用公式計算出θ=?25π+2【解答過程】設(shè)復(fù)數(shù)z=cos?2則tanθ=所以θ=?25π+2因為argz∈所以當(dāng)k=1時，滿足要求，arg所以輻角主值為8π故選：A.3．（3分）復(fù)數(shù)12?3A．cos?π3C．cosπ3?【解題思路】根據(jù)對應(yīng)象限角的三角函數(shù)值及誘導(dǎo)公式，寫出復(fù)數(shù)的三角形式.【解答過程】由cos(5π3故選：A.4．（3分）（2023·高一課時練習(xí)）將復(fù)數(shù)1+3i對應(yīng)的向量ON繞原點按順時針方向旋轉(zhuǎn)π2，得到的向量為OA．3?i B．3+i C．?3【解題思路】先將復(fù)數(shù)1+3【解答過程】復(fù)數(shù)1+3i的三角形式是2cos2cos故選：A.5．（3分）（2023·高一課時練習(xí)）已知i為虛數(shù)單位，z1=2cos60°+isinA．4cos90°+iC．4cos30°?i【解題思路】利用復(fù)數(shù)三角形式乘法運算法則計算即可.【解答過程】∵z∴=4cos60°+300°=4cos故選：D.6．（3分）（2022·全國·高三專題練習(xí)）棣莫弗公式(cosx+isinx)n=cosA．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【解題思路】根據(jù)棣莫弗公式及誘導(dǎo)公式代入計算即可．【解答過程】解：由已知得cosπ∴復(fù)數(shù)cosπ6+故選：C．7．（3分）（2022·高一課時練習(xí)）把復(fù)數(shù)z1與z2對應(yīng)的向量OA，OB分別按逆時針方向旋轉(zhuǎn)π4和5π3后，重合于向量OM且模相等，已知zA．?2?2i，3π4 B．?2【解題思路】由題可知z1cosπ4+i【解答過程】由題可知z1則z1∴z可知z1對應(yīng)的坐標(biāo)為?2,故選：B.8．（3分）（2022春·福建福州·高二期末）已知i為虛數(shù)單位，若z1=r1(cosθ1+isinθ1)，z2=r2(cosθ2+isinθ2A．若z=cosπ6+iB．若z=cosπ5+iC．若z1=2(cos7π12+isin7πD．若z1=3(cosπ12?isinπ【解題思路】A.z4=cos4π6B.z5=cosC.z1z2D.z1z2【解答過程】A.若z=cosπ6+isinπ6，則B.若z=cosπ5+isinπC.若z1=2(cos7π12+isin7π12)D.z1=3(cos23π12+isin23π12)故選：A.二．多選題（共4小題，滿分16分，每小題4分）9．（4分）（2022·全國·高一假期作業(yè)）以下不是復(fù)數(shù)?1?3i的三角形式是（A．?2cosπ3C．2sin7π【解題思路】提取復(fù)數(shù)的模，結(jié)合三角函數(shù)的值即可化代數(shù)形式為三角形式．【解答過程】解：?1?3i=2故選：AD.10．（4分）（2022·高一單元測試）已知單位向量OZ1、OZ2分別對應(yīng)復(fù)數(shù)z1A．i B．1 C．?1 D．?【解題思路】根據(jù)題意，設(shè)復(fù)數(shù)z1=cosθ1【解答過程】因為單位向量OZ1、設(shè)復(fù)數(shù)z1=cos因為OZ1?OZ所以z1故選：AD.11．（4分）（2022春·江蘇鹽城·高一階段練習(xí)）任何一個復(fù)數(shù)z=a+bi（其中a,b∈R，i為虛數(shù)單位）都可以表示成：z=r(cosθ+isinθ)的形式，通常稱之為復(fù)數(shù)A．z2=|z|2 B．當(dāng)r=2C．當(dāng)r=1，θ=π3時，z3=?1 D．當(dāng)r=1，θ=π【解題思路】根據(jù)復(fù)數(shù)的相關(guān)定義及性質(zhì)，逐項分析即可得出答案.【解答過程】對于復(fù)數(shù)z=a+biz2∴z2=根據(jù)復(fù)數(shù)的三角形式，r=2，θ=π6時，此時，z=r=1，θ=π3根據(jù)棣莫弗定理，z3r=1，θ=π4時，zn設(shè)n=2k,k∈Z?,zn所以k為奇數(shù)時，zn為純虛數(shù)；k為偶數(shù)時z故選：AC.12．（4分）（2022·高一單元測試）著名的歐拉公式為：eiπ+1=0，其中i2=?1，e為自然對數(shù)的底數(shù)，它使用了幾個基本的數(shù)學(xué)常數(shù)描述了實數(shù)集和復(fù)數(shù)集的聯(lián)系．其廣義一般式是eiA．lnB．若復(fù)數(shù)z滿足z=12C．若復(fù)數(shù)eiα與復(fù)數(shù)eD．復(fù)數(shù)eiα與復(fù)數(shù)【解題思路】對于A：根據(jù)已知得12對于B：由已知計算得z2021對于C：由已知得eiα對應(yīng)的向量坐標(biāo)為cosα,sinα對于D:根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示可判斷．【解答過程】∵12+32∵12+32∵eiα對應(yīng)的向量坐標(biāo)為cosα,sinα∴cosαcosβ+sinβsinα=0，即cosα?β=0，又∵eiα=cosα+isinα，復(fù)數(shù)ie故選：ABD.三．填空題（共4小題，滿分16分，每小題4分）13．（4分）（2023·高一課時練習(xí)）?cosα+isinα【解題思路】設(shè)?cosα+isinα【解答過程】令?cosα+i所以r=1cosθ=?cos所以三角形式可寫成cos(故答案為：cos(14．（4分）（2023·高一課時練習(xí)）已知z的輻角主值是π4，則它的共軛復(fù)數(shù)的輻角主值是7π【解題思路】根據(jù)復(fù)數(shù)的三角表示可得z=r22+【解答過程】解：z的輻角主值是π4，則z=rcosπ所以共軛復(fù)數(shù)z=r則共軛復(fù)數(shù)的輻角主值是7π故答案為：7π15．（4分）（2022春·福建漳州·高一期末）如果向量OZ對應(yīng)復(fù)數(shù)?2i,OZ繞原點O按順時針方向旋轉(zhuǎn)π4后再把模變?yōu)樵瓉淼?2倍得到向量OZ1【解題思路】先求出復(fù)數(shù)?2i的三角形式，然后利用三角形式變換求解O【解答過程】解：因為?2i所以由題意可得OZ2=3=3=3×=?3故答案為：?316．（4分）（2022春·浙江·高二期末）人教版新教材中增加了如下內(nèi)容：任何一個復(fù)數(shù)z=a+bi（其中a、b∈R，i為虛數(shù)單位）都可以表示成：z=rcosθ+isinθ的形式，通常稱之為復(fù)數(shù)z的三角形式．法國數(shù)學(xué)家棣莫弗發(fā)現(xiàn)：zn①z2②當(dāng)r=1，θ=π6時，③當(dāng)r=2，θ=π3時，④當(dāng)r=1，θ=π4時，若n為偶數(shù)，則復(fù)數(shù)⑤1+i=【解題思路】利用復(fù)數(shù)的模長公式可判斷①的正誤，利用復(fù)數(shù)的三角運算可判斷②③④⑤的正誤.【解答過程】對于①，z2所以，z2=r2cos所以，z2=z對于②，當(dāng)r=1，θ=π6時，z6對于③，當(dāng)r=2，θ=π3時，z=2cosπ3對于④，當(dāng)r=1，θ=π4時，取n=4，則z4對于⑤，2cosπ4故答案為：①③⑤.四．解答題（共6小題，滿分44分）17．（6分）（2023·高一課時練習(xí)）求復(fù)數(shù)?1+cos【解題思路】根據(jù)三角很恒等變換換成Z=a+bi=【解答過程】?1+=2sin故復(fù)數(shù)?1+cos2π18．（6分）（2022·高一課時練習(xí)）如圖，向量OZ對應(yīng)的復(fù)數(shù)為1+i，把OZ繞點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)120°，得到OZ'.求向量【解題思路】根據(jù)復(fù)數(shù)乘法的幾何意義，向量OZ'對應(yīng)的復(fù)數(shù)是復(fù)數(shù)1+i與z0【解答過程】解：向量OZ(1+i)(=(1+i)=?1?19．（8分）（2022·高一課時練習(xí)）把下列復(fù)數(shù)表示成三角形式，并畫出與之對應(yīng)的向量．(1)6；(2)1+i(3)1?3(4)?3【解題思路】對（1）（2）（3）（4）中的復(fù)數(shù)，先畫出圖像，結(jié)合圖像求得輻角主值和模，從而求得其三角形式.【解答過程】（1）設(shè)復(fù)數(shù)的模為r，輻角主值為θ．6對應(yīng)的向量如下圖中OZ∵r=6，cosθ=1，sinθ=0，又∴θ=0，∴6=6(cos（2）設(shè)復(fù)數(shù)的模為r，輻角主值為θ．1+i對應(yīng)的向量如下圖中O∵r=2，cosθ=2又θ∈[0,2π)，∴∴1+i（3）設(shè)復(fù)數(shù)的模為r，輻角主值為θ．1?3i對應(yīng)的向量如下圖中∵r=1+3=2，cosθ=又θ∈[0,2π)，∴∴1?3（4）設(shè)復(fù)數(shù)的模為r，輻角主值為θ．?32+∵r=1，cosθ=?32又θ∈[0,2π∴θ=5∴?320．（8分）（2022·全國·高一假期作業(yè)）計算下列各式：(1)16cos(2)3cos(3)?1+i【解題思路】根據(jù)復(fù)數(shù)三角形式的乘法運算直接求解即可.【解答過程】(1)16