青海省部分學(xué)校高三下學(xué)期4月聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)試題數(shù)學(xué)（理）

高三數(shù)學(xué)試卷（理科）考生注意：1．本試卷分選擇題和非選擇題兩部分，共150分．考試時(shí)間120分鐘．2．請(qǐng)將各題答案填寫(xiě)在答題卡上．3．本試卷主要考試內(nèi)容：高考全部?jī)?nèi)容．一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.（）A. B. C. D.2.已知集合，，則（）A. B. C. D.3.已知向量，，，且，則（）A. B. C. D.4.已知函數(shù)的極值點(diǎn)為a，則（）A. B.0 C.1 D.25.設(shè)x，y滿(mǎn)足約束條件，則最大值為（）A.11 B.7 C.－1 D.－46.已知，分別是雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)，，點(diǎn)P在C的右支上，且的周長(zhǎng)為，則（）A. B. C. D.7.若，，則（）A.1 B.－1 C.2 D.－28.已知F是拋物線C：的焦點(diǎn)，過(guò)F的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，且A，B到直線的距離之和等于，則（）A.6 B.8 C.12 D.149.記數(shù)列的前n項(xiàng)積為，設(shè)甲：為等比數(shù)列，乙：為等比數(shù)列，則（）A.甲是乙的充分不必要條件B.甲是乙必要不充分條件C.甲是乙充要條件D.甲是乙的既不充分也不必要條件10.已知函數(shù)在上的圖象大致如圖所示，則的最小正周期為（）A. B. C. D.11.如圖，在正方體中，，，，，，分別為棱，，，，，的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，連接，．對(duì)于空間任意兩點(diǎn)，，若線段上不存在也在線段，上的點(diǎn)，則稱(chēng)，兩點(diǎn)“可視”，則與點(diǎn)“可視”的點(diǎn)為（）A. B. C. D.12.已知定義在R上的函數(shù)滿(mǎn)足，，則（）A. B. C. D.二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在答題卡中的橫線上．13.在等差數(shù)列中，，則______．14.已知點(diǎn)在圓心為的圓M外，過(guò)P作圓M的兩條切線PA，PB，切點(diǎn)分別為A，B，則過(guò)P與直線AB平行的直線方程為_(kāi)_____．15.為了響應(yīng)中央的號(hào)召，某地教育部門(mén)計(jì)劃安排甲、乙、丙、丁等6名教師前往四個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)支教，要求每個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)至少安排1名教師，則甲、乙在同一鄉(xiāng)鎮(zhèn)支教且丙、丁不在同一鄉(xiāng)鎮(zhèn)支教的安排方法共有______種．16.在半徑為5的球體內(nèi)部放置一個(gè)圓錐，則該圓錐體積的最大值為_(kāi)_____．三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17～21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答．第22，23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分．17.如圖，在三棱錐中，平面PAB，E，F(xiàn)分別為BC，PC中點(diǎn)，且，，．（1）證明：平面．（2）求二面角的余弦值．18.為提升基層綜合文化服務(wù)中心服務(wù)效能，廣泛開(kāi)展群眾性文化活動(dòng)，某村干部在本村的村民中進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，將他們的成績(jī)（滿(mǎn)分：100分）分成7組：.整理得到如下頻率分布直方圖.（1）求的值并估計(jì)該村村民成績(jī)的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表）；（2）從成績(jī)?cè)趦?nèi)的村民中用分層抽樣的方法選取6人，再?gòu)倪@6人中任選3人，記這3人中成績(jī)?cè)趦?nèi)的村民人數(shù)為，求的分布列與期望.19.已知的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且．（1）求B；（2）若，的面積為S．周長(zhǎng)為L(zhǎng)，求的最大值．20.已知橢圓：的離心率為．（1）求的方程；（2）過(guò)的右焦點(diǎn)的直線與交于，兩點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)，且，求的斜率．21.已知質(zhì)數(shù)，且曲線在點(diǎn)處切線方程為．（1）求m的值；（2）證明：對(duì)一切，都有．（二）選考題：共10分．請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答．如果多做，則按所做的第一題計(jì)分．[選修44：坐標(biāo)與參數(shù)方程]22.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為（α為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為．（1）求C與l的直角坐標(biāo)方程；（2）若P是C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求P到l的距離的取值范圍．[選修45：不等式選講]23.已知函數(shù)的最小值為8．（1）求a；（2）若在上單調(diào)遞減，求不等式的解集．

高三數(shù)學(xué)試卷（理科）考生注意：1．本試卷分選擇題和非選擇題兩部分，共150分．考試時(shí)間120分鐘．2．請(qǐng)將各題答案填寫(xiě)在答題卡上．3．本試卷主要考試內(nèi)容：高考全部?jī)?nèi)容．一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】化簡(jiǎn)式子即可得出結(jié)論【詳解】由題意，故選：A.2.已知集合，，則（）A B. C. D.【答案】C【解析】【分析】通過(guò)將集合中的元素代入集合，看是否符合不等式，即可得出結(jié)論.【詳解】由題意，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴和滿(mǎn)足集合的要求，∴，故選：C.3.已知向量，，，且，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)坐標(biāo)運(yùn)算的加減法進(jìn)行運(yùn)算，再結(jié)合向量垂直即可得出結(jié)果.【詳解】由題，因?yàn)?，所以?故選：B.4.已知函數(shù)的極值點(diǎn)為a，則（）A. B.0 C.1 D.2【答案】B【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的極值點(diǎn)，再代入求出函數(shù)值.【詳解】函數(shù)，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因此是的極小值點(diǎn)，且是唯一極值點(diǎn)，所以，.故選：B5.設(shè)x，y滿(mǎn)足約束條件，則最大值為（）A.11 B.7 C.－1 D.－4【答案】A【解析】【分析】畫(huà)出可行域和目標(biāo)函數(shù)，根據(jù)的幾何意義得到當(dāng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，取得最大值，求出答案.【詳解】由約束條件作出可行域和目標(biāo)函數(shù)，變形為，由于為在軸上的截距，要想得到的最大值，只需得到在軸上的截距的最小值，顯然當(dāng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，取得最大值，聯(lián)立，解得，將代入，，當(dāng)直線l：經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，z取得最大值11．故選：A6.已知，分別是雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)，，點(diǎn)P在C的右支上，且的周長(zhǎng)為，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】借助雙曲線定義計(jì)算即可得.【詳解】由雙曲線定義可知：，則三角形的周長(zhǎng)為，故.故選：D7.若，，則（）A.1 B.－1 C.2 D.－2【答案】A【解析】【分析】本題考查指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化、對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則、換底公式的應(yīng)用.【詳解】由，所以故選：A8.已知F是拋物線C：的焦點(diǎn)，過(guò)F的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，且A，B到直線的距離之和等于，則（）A.6 B.8 C.12 D.14【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用拋物線的定義求出，列出方程求解即得.【詳解】依題意，設(shè)點(diǎn)，而拋物線C：的準(zhǔn)線方程為，則，點(diǎn)到直線的距離和為，因此，所以.故選：C9.記數(shù)列的前n項(xiàng)積為，設(shè)甲：為等比數(shù)列，乙：為等比數(shù)列，則（）A.甲是乙的充分不必要條件B.甲是乙的必要不充分條件C.甲是乙的充要條件D.甲是乙的既不充分也不必要條件【答案】D【解析】【分析】利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式、等比數(shù)列定義，結(jié)合充分條件、必要條件的定義判斷得解.【詳解】若為等比數(shù)列，設(shè)其公比為，則，，于是，，當(dāng)時(shí)，不是常數(shù)，此時(shí)數(shù)列不是等比數(shù)列，則甲不是乙的充分條件；若為等比數(shù)列，令首項(xiàng)為，公比為，則，，于是當(dāng)時(shí)，，而，當(dāng)時(shí)，不是等比數(shù)列，即甲不是乙的必要條件，所以甲是乙的既不充分也不必要條件.故選：D10.已知函數(shù)在上的圖象大致如圖所示，則的最小正周期為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)圖象確定周期的范圍，得出，再由特殊點(diǎn)求出即可得解.【詳解】由圖可知，，則．，．解得，，故，則，所以，故的最小正周期為．故選：B11.如圖，在正方體中，，，，，，分別為棱，，，，，的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，連接，．對(duì)于空間任意兩點(diǎn)，，若線段上不存在也在線段，上的點(diǎn)，則稱(chēng)，兩點(diǎn)“可視”，則與點(diǎn)“可視”的點(diǎn)為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】連接、、、、、，借助平行線的性質(zhì)可得四點(diǎn)共面，即可得線段與相交，線段與相交，線段與相交，從而排除A、B、C.【詳解】如圖，連接，，，由正方體的性質(zhì)及、分別為棱、的中點(diǎn)，易得，所以線段與相交，與相交，故A、B錯(cuò)誤；連接，，有，，故，所以線段與相交，C錯(cuò)誤；連接，直線與，直線與均為異面直線，D正確.故選：D.12.已知定義在R上函數(shù)滿(mǎn)足，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依次求出猜想,再用等比數(shù)列求和.【詳解】,,,,,,,故選：D【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:本題關(guān)鍵是通過(guò)計(jì)算觀察得到,進(jìn)而轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和.二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在答題卡中的橫線上．13.在等差數(shù)列中，，則______．【答案】3【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用首項(xiàng)表示公差，再借助等差數(shù)列通項(xiàng)計(jì)算即得.【詳解】令等差數(shù)列的公差為，由，得，因此，所以.故答案為：314.已知點(diǎn)在圓心為的圓M外，過(guò)P作圓M的兩條切線PA，PB，切點(diǎn)分別為A，B，則過(guò)P與直線AB平行的直線方程為_(kāi)_____．【答案】【解析】【分析】利用所求直線與直線AB平行，就是與直線垂直，可直接寫(xiě)出所求直線方程.【詳解】由題意：直線的方程為：，所求直線過(guò)點(diǎn)且與直線垂直，所以所求直線方程為：，即.故答案為：15.為了響應(yīng)中央的號(hào)召，某地教育部門(mén)計(jì)劃安排甲、乙、丙、丁等6名教師前往四個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)支教，要求每個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)至少安排1名教師，則甲、乙在同一鄉(xiāng)鎮(zhèn)支教且丙、丁不在同一鄉(xiāng)鎮(zhèn)支教的安排方法共有______種．【答案】【解析】【分析】先分組后排列計(jì)算即可得.【詳解】若這6名教師的分組為3，1，1，1，則甲、乙必在三人組中，丙、丁分開(kāi)，不同的安排方法有種；若這6名教師的分組為2，2，1，1，則甲、乙必在二人組中，丙、丁分開(kāi)，不同的安排方法有種．故不同的安排方法共有種．故答案為：.16.在半徑為5的球體內(nèi)部放置一個(gè)圓錐，則該圓錐體積的最大值為_(kāi)_____．【答案】##【解析】【分析】利用球的截面小圓性質(zhì)，用圓錐的高表示出圓錐的底面圓半徑，再求出圓錐體積的函數(shù)關(guān)系，利用導(dǎo)數(shù)求出最大值即得.【詳解】過(guò)圓錐的軸的平面截球面得大圓，截圓錐得軸截面等腰三角形，是球的截面大圓的內(nèi)接三角形，如圖，設(shè)圓錐的高為，圓錐底面圓半徑為，球心到圓錐底面距離，則，即，圓錐體積，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，所以圓錐體積的最大值為.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：涉及與旋轉(zhuǎn)體有關(guān)的組合體，作出軸截面，借助平面幾何知識(shí)解題是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17～21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答．第22，23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分．17.如圖，在三棱錐中，平面PAB，E，F(xiàn)分別為BC，PC的中點(diǎn)，且，，．（1）證明：平面．（2）求二面角的余弦值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析.（2）【解析】【分析】（1）利用線面垂直的性質(zhì)結(jié)合勾股定理得到線線垂直，再利用線面垂直的判定定理證明另一組線面垂直即可.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，先求出平面AEF的法向量，再求出面的法向量，利用二面角的向量求法求解即可.【小問(wèn)1詳解】分別為的中點(diǎn),平面，面，平面【小問(wèn)2詳解】以為原點(diǎn)，所在的直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則設(shè)平面AEF的法向量為可得，故，令則解得，，得到平面的一個(gè)法向量為易得平面的一個(gè)法向量為由圖可知二面角為銳角，所以二面角的余弦值為.18.為提升基層綜合文化服務(wù)中心服務(wù)效能，廣泛開(kāi)展群眾性文化活動(dòng)，某村干部在本村的村民中進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，將他們的成績(jī)（滿(mǎn)分：100分）分成7組：.整理得到如下頻率分布直方圖.（1）求的值并估計(jì)該村村民成績(jī)的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表）；（2）從成績(jī)?cè)趦?nèi)的村民中用分層抽樣的方法選取6人，再?gòu)倪@6人中任選3人，記這3人中成績(jī)?cè)趦?nèi)的村民人數(shù)為，求的分布列與期望.【答案】（1）；（2）分布列見(jiàn)詳解；【解析】【分析】（1）由頻率和為1，可求的值，再由平均數(shù)計(jì)算公式求解；（2）根據(jù)分層抽樣可確定的取值，再分別求出概率，最后利用期望公式求解.【小問(wèn)1詳解】由圖可知，，解得，該村村民成績(jī)的平均數(shù)約為；【小問(wèn)2詳解】從成績(jī)?cè)趦?nèi)的村民中用分層抽樣的方法選取6人，其中成績(jī)?cè)诘拇迕裼腥耍煽?jī)?cè)诘拇迕裼?人，從中任選3人，的取值可能為1,2,3，，，，則的分布列為123故19.已知的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且．（1）求B；（2）若，的面積為S．周長(zhǎng)為L(zhǎng)，求的最大值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)正弦定理統(tǒng)一為角，再由三角恒等變換化簡(jiǎn)即可得解；（2）由余弦定理及三角形的面積公式得，再由基本不等式進(jìn)行求解即可.【小問(wèn)1詳解】由正弦定理可得，，所以,所以，即，由，可知，所以，即，由，知.【小問(wèn)2詳解】由余弦定理，得，即，所以，即，因?yàn)?，，所以，所以，又（?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），所以（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），所以（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），所以（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），即的最大值為.20.已知橢圓：的離心率為．（1）求的方程；（2）過(guò)的右焦點(diǎn)的直線與交于，兩點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)，且，求的斜率．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由離心率公式求出即可；（2）首先計(jì)算直線的斜率為時(shí)不符合題意，設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立直線與橢圓方程，消元、列出韋達(dá)定理，表示出，再求出點(diǎn)坐標(biāo)，即可得到，從而得到方程，求出即可.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)闄E圓：的離心率為，所以，解得，所以橢圓方程為.【小問(wèn)2詳解】由（1）可得，當(dāng)直線的斜率為時(shí)，則，，，所以，，顯然不滿(mǎn)足，故舍去；依題意直線的斜率存在且不為，設(shè)直線的方程為，，，由，消去整理得，顯然，則，，所以，又解得，所以，所以，因?yàn)?，所以，解得，綜上可得的斜率為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問(wèn)題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為、；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，必要時(shí)計(jì)算；（3）列出韋達(dá)定理；（4）將所求問(wèn)題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、的形式；（5）代入韋達(dá)定理求解.21.已知質(zhì)數(shù)，且曲線在點(diǎn)處的切線方程為．（1）求m的值；（2）證明：對(duì)一切，都有．【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）借助導(dǎo)數(shù)的幾何意義計(jì)算即可得；（2）將轉(zhuǎn)化，從而可構(gòu)造函數(shù)，借助導(dǎo)數(shù)研究其在上的最大值即可得.【小問(wèn)1詳解】，，，則有，，解得；【小問(wèn)2詳解】由，故，要證對(duì)一切，都有，即證對(duì)一切恒成立，即證對(duì)一切恒成立，令，，則當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，，即在、上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，，故對(duì)一切恒成立，即得證【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：最后一問(wèn)關(guān)鍵