期中解答壓軸題 （四大模塊十一大題型）（原卷版）

期中解答壓軸題模塊1：全等三角形（題型1：截長補短法）1．（24-25八年級上·江蘇無錫·階段練習(xí)）已知：中，，，點為直線上一動點，連接，在直線右側(cè)作，且．(1)如圖1，當(dāng)點在線段上時，過點作于，直接寫出，，的關(guān)系：______；(2)如圖2，連接，當(dāng)點在線段的延長線上時，連接交的延長線于點，求證：；(3)當(dāng)點在射線上時，連接交直線于，若，則的值為______．2．（23-24八年級上·江蘇南京·階段練習(xí)）如圖1，在四邊形中，，分別是上的點，且，試探究圖中線段之間的數(shù)量關(guān)系．(1)小亮同學(xué)認(rèn)：如圖1，延長到點，使，連接，先證明，再證明，可得出結(jié)論是什么？并給出理由．(2)如圖2，在四邊形中，分別是上的點，，上述結(jié)論是否仍然成立？說明理由．(3)如圖3，在某次軍事演習(xí)中，艦艇甲在指揮中心（處）北偏西的處，艦艇乙在指揮中心南偏東的處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等，接到行動指令后，艦艇甲向正東方向以60海里/小時的速度前進(jìn)，艦艇乙沿北偏東的方向以80海里/小時的速度前進(jìn)1.5小時后，指揮中心觀測到甲、乙兩艦艇分別到達(dá)處，且兩艦艇之間的夾角為，試求此時兩艦艇之間的距離．(4)如圖4，已知在四邊形中，，若點在的延長線上，點在的延長線上，仍然滿足1中的結(jié)論，請直接寫出與的數(shù)量關(guān)系并加以說明．模塊1：全等三角形（題型2：倍長中線法）3．（23-24八年級上·江蘇南通·期中）課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：如圖1，中，若，求邊上的中線的取值范圍．小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：如圖1所示，延長到點，使，連接．請根據(jù)小明的思路繼續(xù)思考：(1)由已知和作圖能證得，得到，在中求得的取值范圍，從而求得的取值范圍是______________．方法總結(jié)：上述方法我們稱為“倍長中線法”．“倍長中線法”多用于構(gòu)造全等三角形和證明邊之間的關(guān)系；(2)如圖2，是的中線，，試判斷線段與的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；(3)如圖3，在中，是的三等分點．求證：．模塊1：全等三角形（題型3：情景探究題）4．（23-24八年級上·江蘇鹽城·階段練習(xí)）問題提出：．（1）我們把兩個面積相等但不全等的三角形叫做偏等積三角形，如圖中，，，，P為上一點，當(dāng)時，與是偏等積三角形；問題探究：（2）如圖，與是偏等積三角形，，，且線段的長度為正整數(shù)，過點C作交的延長線于點E，則的長度為；問題解決：（3）如圖，四邊形是一片綠色花園，，，（）．與是偏等積三角形嗎？請說明理由．模塊2：全等三角形、等腰三角形綜合（題型4：傳統(tǒng)幾何解答證明）5．（24-25八年級上·江蘇蘇州·階段練習(xí)）如圖，在中，，，為邊的中點，點分別在射線上，且，連接．(1)如圖1，當(dāng)點分別在邊和上時，連接，①判斷的形狀，并說明理由；②寫出、和的關(guān)系，并說明理由；(2)探究：如圖2，當(dāng)點分別在邊的延長線上時，寫出、和的關(guān)系，并說明理由；(3)應(yīng)用：若，，利用上面的結(jié)論，直接寫出的面積：______．模塊2：全等三角形、等腰三角形綜合（題型5：截長補短法）6．（23-24八年級上·江蘇南通·期末）如圖1，在中，，，，點D為外一點，且在右側(cè)，上方，，連接，作，交于點F，(1)圖1中與相等的角是________；(2)如圖2，延長與射線相交于點E，①求的度數(shù)；②過點F作的平行線，交于點G，求的長．7．（24-25八年級上·江蘇南京·階段練習(xí)）已知為等腰三角形，，點P在線段上（不與B、C重合），以為腰作等腰直角，如圖1，過Q作于E．(1)求證：；(2)連接交于M，探究線段與線段之間存在什么數(shù)量關(guān)系？并說明理由；(3)如圖2．過點Q作交的延長線于點F，過點P作交于點D．連接．當(dāng)點P在線段上運動時（不與B、C重合）．式子的值會變化嗎？若不變，求出該值：若變化，請說明理由．模塊2：全等三角形、等腰三角形綜合（題型6：定值問題）8．（23-24八年級上·江蘇泰州·期中）已知中，，，為邊上一點，點在延長線上，連接．(1)如圖1，已知，，當(dāng)時，求的面積；(2)如圖2，過點作的垂線，分別交于點，過點作交于，連接，求的度數(shù)；(3)如圖3，當(dāng)點在上運動，且始終為時，過點作，垂足為，則的值是否發(fā)生改變？若不變，求出這個值；若發(fā)生改變，說明理由．9．（23-24八年級上·江蘇南通·階段練習(xí)）已知等腰和等腰中，，．(1)如圖（1），①若，，在等腰可繞點A旋轉(zhuǎn)過程中，線段的最大值為______；②若，當(dāng)B、D、E三點共線時，則的度數(shù)為______；(2)如圖（2），若，且C與D重合，．當(dāng)?shù)拇笮≡诜秶鷥?nèi)之間任意改變，的度數(shù)是否隨之改變？請說明理由；(3)在（2）的條件下，F(xiàn)是延長線上一點，且，連接，如圖3，試探究之間的關(guān)系，并證明．模塊3：全等三角形、等腰三角形、線段的垂直平分線、角平分線綜合（題型7：角平分線中作垂線）10．（24-25八年級上·江蘇揚州·階段練習(xí)）在中，，．若點D在的平分線所在的直線上．(1)如圖1，當(dāng)點D在的外部時，過點D作于E，作交的延長線于F，且．①求證：點D在的垂直平分線上；②________；(2)如圖2，當(dāng)點D在線段上時，若，平分，交于點E，交與點F，過點F作，交于點G．①________；②若，，求的長度；(3)如圖3，過點A的直線，若，，點D到三邊所在直線的距離相等，則點D到直線l的距離是________．模塊3：全等三角形、等腰三角形、線段的垂直平分線、角平分線綜合（題型8：截長補短法）11．（24-25八年級上·江蘇宿遷·階段練習(xí)）根據(jù)三角形全等知識易證：中，①若，則；②若，則，有時恰當(dāng)使用上述結(jié)論，可使解題過程更簡化．?dāng)?shù)學(xué)實驗課上，小穎、小亮、小慧三位同學(xué)每人拿的一張畫有“形狀、大小完全相同的”的紙張，是的中線，他們進(jìn)行如下操作：(1)如圖1，小穎測量發(fā)現(xiàn)，那么邊、有何數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論；(2)如圖2，小亮在上取一點，將沿翻折后發(fā)現(xiàn)，點的對應(yīng)點恰好在線段上，且平分，則___________．(3)如圖3，小慧在的延長線上取一點，連接交延長線于點，延長到，連接交延長于點，測量發(fā)現(xiàn)，探究線段與的數(shù)量關(guān)系；12．（23-24八年級上·江蘇泰州·階段練習(xí)）已知，如圖，在中，的垂直平分線與的角平分線交于點D，

(1)如圖1，判斷和之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(2)如圖2，若時，探究線段之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．(3)如圖3，在（2）的條件下，和的延長線交于點E，點F是上一點且，連接交于點G，若，求的長．13．（20-21八年級上·江蘇無錫·階段練習(xí)）等邊的兩邊、所在直線上分別有兩點M、N，D為外一點，且，，．當(dāng)點M、N分別在直線、上移動時，探究之間的數(shù)量關(guān)系以及的周長Q與等邊的周長L的關(guān)系．

(1)如圖①，當(dāng)點M、N在邊、上，且時，之間的數(shù)量關(guān)系式為______；此時的值是______；(2)如圖②，當(dāng)點M、N在邊、上，且時，猜想（1）問的兩個結(jié)論還成立嗎？寫出你的猜想并加以證明；(3)如圖③，當(dāng)點M、N分別在邊、的延長線上時，若，試用含x、L的代數(shù)式表示Q．模塊4：勾股定理在前兩章的應(yīng)用（題型9：折疊問題）14．（23-24八年級上·江蘇鎮(zhèn)江·期中）“做數(shù)學(xué)”可以幫助我們積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗．【初步感知】數(shù)學(xué)課上，同學(xué)們用紙片進(jìn)行折紙操作．如圖①，在中，，，．將沿著翻折，使點A落在AB邊上的處，且，則______，______．【方法探索】折紙，常常能為證明一個命題提供思路和方法．小明遇到這樣一個問題：如圖②，在中，，，平分，求證：．小明的思路如下：如圖③，將沿翻折，使點落在邊上的處，連接，（1）請完成小明的證明過程；（2）如圖④，是邊上的高線，其他條件不變，請你用剛剛獲得的方法探索、、之間的數(shù)量關(guān)系，并直接寫出它們之間的數(shù)量關(guān)系______．【思維拓展】如圖⑤，在中，，，，、是邊上的點，連接、，先將邊沿折疊，使點的對稱點落在邊上：再將邊沿折疊，使點的對稱點落在的延長線上，則線段的長為______．15．（23-24八年級上·江蘇·期末）在生活中、折紙是一種大家喜歡的活動、在數(shù)學(xué)中，我們可以通過折紙進(jìn)行探究，探尋數(shù)學(xué)奧秘．【紙片規(guī)格】三角形紙片，，，點是底邊上一點．【換作探究】(1)如圖，若，，連接，求的長度；(2)如圖，若，連接，將沿所在直線翻折得到，點的對應(yīng)點為點若所在的直線與的一邊垂直，求的長；(3)如圖，將沿所在直線翻折得到，邊與邊交于點，且，再將沿所在直線翻折得到，點的對應(yīng)點為點，與、分別交于，，若，請直接寫出邊的長．模塊4：勾股定理在前兩章的應(yīng)用（題型10：情景探究題）16．（23-24八年級上·江蘇鹽城·階段練習(xí)）如圖1，在四邊形中，，分別是上的點，且，探究圖中線段之間的數(shù)量關(guān)系．(1)提示：探究此問題的方法是延長到點G，使，連接，先證明，再證明．請根據(jù)提示按照提示的方法完成探究求解過程．(2)探索延伸：如圖2，若在四邊形中，，E，F(xiàn)分別是上的點，且，上述結(jié)論是否仍然成立？請說明理由．(3)能力提高：如圖，等腰直角三角形中，，點M，N在邊上，，若，則的長為．17．（23-24八年級上·江蘇蘇州·期中）【問題情境】課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：如圖①，中，若，，求邊上的中線的取值范圍．小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：延長至點E，使，連接．請根據(jù)小明的方法思考：（1）由已知和作圖能得到，依據(jù)是____________．A．

B．

C．

D．（2）由“三角形的三邊關(guān)系”可求得的取值范圍是____________．解后反思：題目中出現(xiàn)“中點”、“中線”等條件，可考慮延長中線構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集中到同一個三角形之中．（3）【初步運用】如圖②，是的中線，交于E，交于F，且．若，，求線段的長．（4）【靈活運用】如圖③，在中，，D為中點，，交于點E，交于點F，連接．試猜想線段三者之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．18．（23-24八年級上·江蘇南京·期中）解決問題常常需要最近聯(lián)想，遷移經(jīng)驗，例如研究直角三角形邊的關(guān)系時需要想到……【經(jīng)驗積累】（1）如圖①，中，，，則與的數(shù)量關(guān)系為_____．

【問題解決】用問題（1）中結(jié)論解決以下問題

（2）如圖②，中，，，，求的長；（3）如圖③，中，，，，，求長；【拓展提升】（4）如圖④，中，，，，，，則______．

19．（23-24八年級上·江蘇揚州·期中）新定義：我們把兩個面積相等但不全等的三角形叫做積等三角形．(1)【初步嘗試】如圖1，已知中，，，，P為上一點，當(dāng)__________時，與為積等三角形；(2)【理解運用】如圖2，與為積等三角形，若，，且線段的長度為正整數(shù)，求的長；(3)【綜合應(yīng)用】如圖3，已知和為兩個等腰直角三角形，其中，，，F(xiàn)為中點．請根據(jù)上述條件，回答以下問題．①的度數(shù)為__________°．②試探究線段與的數(shù)量關(guān)系，并寫出解答過程．模塊4：勾股定理在前兩章的應(yīng)用（題型11