題型突破：實數(shù)（解析版）

第十四章實數(shù)知識歸納與題型突破（題型清單）0101思維導(dǎo)圖0202知識速記一、算術(shù)平方根的概念及性質(zhì)1.算術(shù)平方根的定義：如果一個正數(shù)的平方等于，即,那么這個正數(shù)x叫做的算術(shù)平方根（規(guī)定0的算術(shù)平方根還是0）；的算術(shù)平方根記作，讀作“的算術(shù)平方根”，叫做被開方數(shù).二、平方根的概念與性質(zhì)1.平方根的定義：如果，那么叫做的平方根.求一個數(shù)的平方根的運算，叫做開平方.平方與開平方互為逆運算.(≥0)的平方根的符號表達為，其中是的算術(shù)平方根.2.平方根和算術(shù)平方根的區(qū)別與聯(lián)系區(qū)別：（1）定義不同；（2）結(jié)果不同：和聯(lián)系：（1）平方根包含算術(shù)平方根；（2）被開方數(shù)都是非負數(shù)；（3）0的平方根和算術(shù)平方根均為0．3.平方根的性質(zhì)三、立方根的概念1.立方根的定義：如果一個數(shù)的立方等于，那么這個數(shù)叫做的立方根或三次方根.這就是說，如果，那么叫做的立方根.求一個數(shù)的立方根的運算，叫做開立方.2.立方根的特征：正數(shù)的立方根是正數(shù)，負數(shù)的立方根是負數(shù)，0的立方根是0.3.立方根的性質(zhì)：4.立方根的應(yīng)用：利用立方根的定義解方程和求解實際問題.四、認識無理數(shù)無理數(shù)的定義：無限不循環(huán)小數(shù)。有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)都稱為有理數(shù).無理數(shù)的特征：無理數(shù)的小數(shù)部分位數(shù)無限.無理數(shù)的小數(shù)部分不循環(huán)，不能表示成分數(shù)的形式.五、實數(shù)概念及分類無理數(shù)：無限不循環(huán)小數(shù)統(tǒng)稱為無理數(shù)．實數(shù)：有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù)．無理數(shù)常見的三種類型：（1）開不盡的方根；（2）特定結(jié)構(gòu)的無限不循環(huán)小數(shù)；（3）含有π的絕大部分數(shù).六、實數(shù)與數(shù)軸每一個實數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個點來表示；反過來，數(shù)軸上的每一個點都表示一個實數(shù)．即實數(shù)和數(shù)軸上的點一一對應(yīng)．0303題型歸納題型一算術(shù)平方根、平方根與立方根概念理解例題：（23-24八年級上·河南新鄉(xiāng)·期中）下列說法正確的是（）A．64的平方根是8B．的立方根是C．的立方根是D．只有非負數(shù)才有立方根【答案】C【分析】根據(jù)平方根、立方根的定義并逐項進行判斷即可．【詳解】解：A．64的平方根是；故本選項不符合題意；B．的立方根是，故本選項不符合題意；C．的立方根是，故本選項符合題意；D．所有實數(shù)都有立方根，故本選項不符合題意；故選：C．鞏固訓(xùn)練1.（23-24七年級下·江蘇南通·階段練習(xí)）下列說法錯誤的是（）A．4是16的算術(shù)平方根 B．2是4的一個平方根C．的平方根是 D．0的平方根與算術(shù)平方根都是0【答案】C【分析】此題考查了算術(shù)平方根、平方根，根據(jù)算術(shù)平方根、平方根的定義解答即可．【詳解】A、4是16的算術(shù)平方根，原說法正確，故此選項不符合題意；B、2是4的一個平方根，原說法正確，故此選項不符合題意；C、的平方根是，原說法錯誤，故此選項符合題意；D、0的平方根與算術(shù)平方根都是0，原說法正確，故此選項不符合題意；故選：C．2.（23-24八年級上·四川成都·階段練習(xí)）下列說法正確的是（

）A．的立方根是 B．的立方根是C．的立方根是 D．的立方根是【答案】D【分析】根據(jù)立方根的定義及性質(zhì)逐項進行判斷即可．【詳解】、的立方根是，此選項錯誤，不符合題意；、的立方根是，此選項錯誤，不符合題意；、的立方根是，此選項錯誤，不符合題意；、的立方根是，此選項正確，符合題意；故選：．【點睛】此題考查了立方根，解題的關(guān)鍵是正確理解：一般地，如果一個數(shù)的立方等于，那么這個數(shù)叫做的立方根．3.（23-24八年級上·湖南湘潭·期末）下列說法中正確的個數(shù)是（

）①的平方根是；②沒有平方根；③非負數(shù)a的平方根是非負數(shù)；④負數(shù)沒有平方根；⑤0和1的平方根等于本身．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】A【分析】此題考查了平方根的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平方根的性質(zhì)．根據(jù)平方根的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：①的平方根是，原說法錯誤；②當時，有平方根，原說法錯誤；③非負數(shù)a的平方根可以是負數(shù)，原說法錯誤；④負數(shù)沒有平方根，說法正確；⑤0的平方根等于本身，原說法錯誤；正確的為④，故選A．4.（23-24八年級上·安徽宿州·期中）下列語句：①任意一個數(shù)都有兩個平方根；②是1的平方根；③帶根號的數(shù)都是無理數(shù)；④的平方根是；⑤的算術(shù)平方根2．其中正確的有（

）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】B【分析】本題考查平方根及算術(shù)平方根，根據(jù)平方根及算術(shù)平方根的定義進行判斷即可．【詳解】解：0的平方根為0，負數(shù)沒有平方根，則①錯誤；是1的一個平方根，則②正確；，是有理數(shù)，則③錯誤；，其平方根是，則④正確；，其算術(shù)平方根是2，則⑤正確；綜上，正確的有3個，故選：B．題型二求一個數(shù)的算術(shù)平方根、平方根、立方根例題：（2024七年級下·云南·專題練習(xí)）．【答案】【分析】本題考查了立方根的定義，屬于基礎(chǔ)題，比較簡單．根據(jù)一個數(shù)的立方等于，這個數(shù)就是的立方根即可得解．【詳解】解：，∴，故答案為：．鞏固訓(xùn)練1.（23-24八年級上·四川眉山·期中）根式的化簡；；；；【答案】33【分析】本題考查了算術(shù)平方根、平方根、立方根．解題的關(guān)鍵在于靈活運用相關(guān)知識點成為解答本題的關(guān)鍵．【詳解】解：，，，，故答案為：3，，3，．2.（23-24八年級上·陜西西安·期末）的立方根是；的平方根是．【答案】【分析】本題主要考查求平方根和立方根，熟練掌握平方根和立方根的計算是解題的關(guān)鍵．分別進行計算即可得到答案．【詳解】解：的立方根是；的平方根是．故答案為：；．3.（22-23七年級下·河南信陽·階段練習(xí)）的算術(shù)平方根是7；的立方根是；的平方根是．【答案】49【分析】根據(jù)平方運算，可得平方根、算術(shù)平方根和立方根．【詳解】解：∵，∴49的算術(shù)平方根是7；∵，∴的立方根是；∵，∴9的平方根是．即的平方根是．故答案為：49；；．【點睛】本題考查了算術(shù)平方根、平方根和立方根，平方和立方運算是求平方根和立方根的關(guān)鍵．題型三已知一個數(shù)的平方根或立方根，求這個數(shù)例題1：（23-24七年級下·吉林長春·期末）一個正數(shù)的兩個平方根分別是與，則的值是．【答案】1【分析】本題考查了平方根的概念．注意一個正數(shù)有兩個平方根，它們互為相反數(shù)；0的平方根是0；負數(shù)沒有平方根．一個正數(shù)有兩個平方根，且它們互為相反數(shù)，即兩者相加等于零，由此可列方程，解方程即可得解．【詳解】解：∵一個正數(shù)的兩個平方根分別是和，，，故答案為：1．例題2：（23-24八年級上·福建三明·期末）若一個數(shù)的立方根是2，則這個數(shù)為．【答案】8【分析】本題考查立方根，如果一個數(shù)的立方等于a，那么這個數(shù)叫做a的立方根或三次方根．這就是說，如果，那么x叫做a的立方根．記作：．找到立方根等于2的數(shù)即可．【詳解】解：，這個數(shù)是8，故答案為：8．鞏固訓(xùn)練1.（23-24七年級下·山東臨沂·期末）如果一個正數(shù)的平方根是和，則這個正數(shù)是．【答案】49【分析】本題考查了平方根的意義，根據(jù)正數(shù)有兩個平方根，它們互為相反數(shù)，先求出a的值，再求出這個數(shù)的平方．【詳解】解：因為一個非負數(shù)的平方根互為相反數(shù)，所以解得∴．即這個數(shù)是49．故答案為：49．2.（23-24七年級下·陜西安康·期末）已知一個正數(shù)的兩個不同的平方根是和，則這個正數(shù)是．【答案】4【分析】本題考查了平方根，根據(jù)一個正數(shù)有兩個平方根，它們互為相反數(shù)，求出a的值，從而得出這個正數(shù)的兩個平方根，即可得出這個正數(shù)，掌握一個正數(shù)有兩個平方根，它們互為相反數(shù)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵一個正數(shù)的兩個不同的平方根是和∴，，即這個正數(shù)的兩個平方根是，∴這個正數(shù)是，故答案為：4．3.（23-24七年級下·山東德州·期中）已知的平方根是，的算術(shù)平方根是，則的值為．【答案】3【分析】本題考查了根據(jù)平方根，算術(shù)平方根的知識進行計算求解等知識．先根據(jù)題意得到，求出，即可求出．【詳解】解：∵的平方根是，的算術(shù)平方根是，∴，解得，∴．故答案為：34.（23-24七年級下·內(nèi)蒙古烏?！て谀┮阎牧⒎礁牵堑乃阈g(shù)平方根，則．【答案】【分析】本題考查了算術(shù)平方根和立方根，代數(shù)式求值，根據(jù)算術(shù)平方根和立方根的定義求出的值，再把的值代入到代數(shù)式計算即可求解，掌握算術(shù)平方根和立方根的定義是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵的立方根是，是的算術(shù)平方根，∴，，∴，∴，故答案為：．5.（23-24七年級下·陜西西安·期末）已知的立方根是，的算術(shù)平方根是5．則的平方根為．【答案】【分析】本題主要考查的是立方根、平方根、算術(shù)平方根的定義，熟練掌握相關(guān)定義是解題的關(guān)鍵．依據(jù)立方根和算術(shù)平方根的定義得到和，然后再求得代數(shù)式的值，最后再求得的平方根即可．【詳解】解：因為的立方根是，所以．因為的算術(shù)平方根是5，所以，所以．所以的平方根是．故答案為：．6.（23-24七年級下·四川德陽·階段練習(xí)）已知的平方根是的立方根是2，則的立方根是．【答案】【分析】本題考查平方根和立方根，根據(jù)平方根和立方根的定義，求出x，y的值，進而求解即可．【詳解】解：∵的平方根是的立方根是2，∴，∴，∴的立方根為：；故答案為：．題型四利用算術(shù)平方根的非負性解題例題：（23-24八年級下·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·期末）若，則．【答案】//【分析】本題主要考查偶次方及算術(shù)平方根的非負性，代數(shù)式求值，根據(jù)偶次方及算術(shù)平方根的非負性求出的值，代入即可．【詳解】解：，，，故答案為：．鞏固訓(xùn)練1.（23-24七年級下·北京·期中）已知，則的算術(shù)平方根為．【答案】3【分析】本題主要考查了求一個數(shù)的算術(shù)平方根，絕對值的非負性以及算術(shù)平方根的非負性質(zhì)，先利用非負性質(zhì)求出的值，再根據(jù)算術(shù)平方根的定義求解即可．【詳解】解：，∴①，②，由①+②得：整理得：，解得：，∴的算術(shù)平方根為3．故答案為：3．2.（23-24七年級下·新疆喀什·期末）若實數(shù)，滿足，則的值是．【答案】1【分析】本題主要考查了非負數(shù)的性質(zhì)，求一個數(shù)的算術(shù)平方根，根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)可得，，據(jù)此代值計算即可．【詳解】解：∵，，∴，∴，∴，∴，故答案為：．3.（23-24七年級下·四川廣安·期中）已知，m、n是有理數(shù)，且，則的算術(shù)平方根是．【答案】0【分析】本題主要考查了非負數(shù)的性質(zhì)，求一個數(shù)的算術(shù)平方根，根據(jù)幾個非負數(shù)的和為0，那么這幾個數(shù)的值都為0得到，則，再求出的值即可根據(jù)算術(shù)平方根的定義求出答案．【詳解】解：∵，，∴，∴，解得，∴，∵0的算術(shù)平方根是0，∴的算術(shù)平方根是0，故答案為：0．題型五利用平方根、立方根的定義解方程例題：（23-24七年級下·重慶開州·期末）求下列各式中x的值：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了利用平方根、立方根解方程的知識，（1）原方程變型為，再利用平方根求解方程的根即可；（2）原方程變型為，再利用立方根求解方程的根即可．【詳解】（1）；（2），．鞏固訓(xùn)練1.（23-24七年級下·河北保定·期中）求下列各式中x的值：(1)；(2)．【答案】(1)，．(2)．【分析】本題考查了平方根、立方根，關(guān)鍵是能準確理解并運用相關(guān)知識進行計算．（1）運用平方根知識進行求解，即可解題；（2）運用立方根知識進行求解，即可解題．【詳解】（1）解：，，，或，解得，．（2）解：，，，解得．2.（23-24八年級上·河南南陽·階段練習(xí)）求下列各式中的的值．(1)(2)【答案】(1)或；(2)．【分析】（1）本題考查開平方運算解方程，掌握開平方運算法則，即可解題．（2）本題考查開立方運算解方程，掌握開立方運算法則，即可解題．【詳解】（1）解：或，解得或；（2）解：．題型六求代數(shù)式的平方根例題：（23-24七年級下·河南新鄉(xiāng)·期中）已知與互為相反數(shù)，求的平方根．【答案】【分析】本題考查了算術(shù)平方根的非負性，平方根以及相反數(shù)，解一元一次方程，熟練掌握相關(guān)知識點是解題的關(guān)鍵．由題意得，求出a、b值，即可求解．【詳解】解：∵，，則當與互為相反數(shù)時，只能是，解得：，∴，∴其平方根為．鞏固訓(xùn)練1.（23-24七年級下·福建莆田·階段練習(xí)）一個正數(shù)b的平方根是與，(1)求a和b的值．(2)求平方根．【答案】(1)，(2)【分析】本題主要考查平方根：（1）根據(jù)正數(shù)的兩個平方根互為相反數(shù)，列方程求出a的值，再根據(jù)平方根求出b的值；（2）將（1）中結(jié)果代入，再計算平方根即可．【詳解】（1）解：∵正數(shù)b的平方根是與，∴，∴．∴，，∵9的個平方根是，∴；（2）解：∵，，∴，∴，即平方根是．2.（23-24七年級下·河南商丘·期中）已知的算術(shù)平方根是5，的平方根是，c是的整數(shù)部分，求的平方根．【答案】【分析】根據(jù)算術(shù)平方根及平方根確定，，再由估算算術(shù)平方根的整數(shù)部分確定，將其代入代數(shù)式，然后計算平方根即可．【詳解】解：的算術(shù)平方根是5，，解得：．∵的平方根是，，解得：．是的整數(shù)部分，而，，，的平方根為．【點睛】此題題目主要考查算術(shù)平方根及平方根，估算算術(shù)平方根的整數(shù)部分，求代數(shù)式的平方根，熟練掌握這些基本運算是解題關(guān)鍵．3.（22-23七年級下·陜西安康·期中）一個正數(shù)的兩個不同的平方根分別是和．(1)求和的值．(2)求的平方根．【答案】(1)(2)【分析】本題考查平方根定義與性質(zhì)、相反數(shù)性質(zhì)，熟記平方根定義與性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)平方根性質(zhì)，一個正數(shù)的兩個平方根互為相反數(shù)，列方程求解即可得到答案；（2）由（1）中，代入，利用平方根定義求解即可得到答案．【詳解】（1）解：∵一個正數(shù)的兩個不同的平方根分別是和，∴，解得，∴；（2）解：將代入中，得，∵的平方根為，∴的平方根為．題型七立方根的性質(zhì)例題：（23-24七年級下·廣西崇左·階段練習(xí)）下列計算正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了算術(shù)平方根、立方根，熟練掌握算術(shù)平方根、立方根的概念和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)算術(shù)平方根、立方根、平方根的定義進行判斷即可．【詳解】解：A．，原式計算錯誤，故選項不符合題意；B．，原式計算錯誤，故選項不符合題意；C．，原式計算錯誤，故選項不符合題意；D．，原式計算正確，故選項符合題意；故選：D．鞏固訓(xùn)練1.（22-23七年級下·河南商丘·期中）若，，，則a，b，c的大小關(guān)系是（）.A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了平方根、立方根的性質(zhì)等知識點，靈活運用平方根、立方根的性質(zhì)成為解題的關(guān)鍵.先根據(jù)平方根、立方根的性質(zhì)化簡，然后再根據(jù)有理數(shù)的大小比較法則比較大小即可.【詳解】解：∵，，，∴.故選B.2.（23-24七年級下·福建龍巖·階段練習(xí)）下列各式正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查算術(shù)平方根，平方根與立方根，是基礎(chǔ)考點，難度較易，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．根據(jù)算術(shù)平方根，平方根與立方根的定義，逐項分析解題即可．【詳解】解：A、，故A錯誤；B、，故B錯誤；C、，故C錯誤；D、，故D正確，故選：D．3.（23-24八年級上·湖南衡陽·階段練習(xí)）下列各式中正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了平方根和立方根的概念，正確理解平方根和立方根的概念是解答本題的關(guān)鍵．“如果，則x叫做a的平方根，記作，叫做a的算術(shù)平方根．”“如果，則x叫做a的立方根，記作．”，根據(jù)概念即可解答本題．【詳解】選項A，表示9的算術(shù)平方根，，所以該選項不正確，不符合題意；選項B，表示的立方根，，所以該選項正確，符合題意；選項C，表示16的平方根，，所以該選項不正確，不符合題意；選項D，表示的算術(shù)平方根，，所以該選項不正確，不符合題意．故選：B．4.（23-24七年級下·山東日照·期中）如圖，有理數(shù)化簡：．【答案】/【分析】本題主要考查了實數(shù)的運算，整式的加減，絕對值，算術(shù)平方根和立方根的化簡，解題的關(guān)鍵是熟悉掌握絕對值的性質(zhì)．先利用數(shù)軸表示數(shù)的方法得到，再利用絕對值和立方根和算術(shù)平方根定義得原式，然后去括號后合并即可．【詳解】解：根據(jù)題圖可知：，且，∴，∴，故答案為：．題型八無理數(shù)的識別例題：（23-24七年級下·天津濱海新·期末）在，，，，，這六個數(shù)中，無理數(shù)有（

）A．個 B．個 C．個 D．個【答案】B【分析】本題考查了無理數(shù)的識別，無限不循環(huán)小數(shù)叫無理數(shù)，初中范圍內(nèi)常見的無理數(shù)有：①類，如，等；②開方開不盡的數(shù)，如，等；③具有特殊結(jié)構(gòu)的數(shù)，如（兩個之間依次增加個），（兩個之間依次增加個）．直接根據(jù)無理數(shù)的定義判斷即可．【詳解】解：在，，，，，這六個數(shù)中，無理數(shù)有：，，共個，故選：B．鞏固訓(xùn)練1.（23-24七年級下·四川南充·期中）在，，，，，，，，（每兩個之間依次增加一個）中，無理數(shù)的個數(shù)有（

）A．個 B．個 C．個 D．個【答案】A【分析】本題考查了無理數(shù)，根據(jù)無理數(shù)的定義即可求解，掌握無理數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：在，，，，，，，，（每兩個之間依次增加一個）中，無理數(shù)有，，，（每兩個之間依次增加一個），共個，故選：．2.（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）已知實數(shù)，0.16，3，，，，其中為無理數(shù)的有個．【答案】2【分析】本題主要考查了無理數(shù)定義．初中范圍內(nèi)學(xué)習(xí)的無理數(shù)有三類：①類，如，等；②開方開不盡的數(shù)，如，等；③雖有規(guī)律但是無限不循環(huán)的數(shù)，如，等．注意解答此類問題時，常常要結(jié)合有理數(shù)概念來求解．【詳解】解：，0.16，3，是有理數(shù)，，是無理數(shù)，共2個無理數(shù)，故答案為：2．3.（23-24七年級下·上海黃浦·期中）下列實數(shù)中：3.1416，，，，，，……（它的位數(shù)無限，且相鄰兩個“3”之間的“1”依次增加1個），無理數(shù)有個．【答案】4【分析】本題考查了無理數(shù)的識別，無限不循環(huán)小數(shù)叫無理數(shù)，初中范圍內(nèi)常見的無理數(shù)有：①π類，如2π，等；②開方開不盡的數(shù)，如，等；③具有特殊結(jié)構(gòu)的數(shù)，如0.1010010001…（兩個1之間依次增加1個0），0.2121121112…（兩個2之間依次增加1個1）．【詳解】解：3.1416，，是有理數(shù)；，，，……（它的位數(shù)無限，且相鄰兩個“3”之間的“1”依次增加1個）是無理數(shù)．故答案為：4．題型九實數(shù)概念理解例題：（22-23八年級上·全國·單元測試）下列說法正確的是（

）A．正實數(shù)和負實數(shù)統(tǒng)稱實數(shù) B．正數(shù)、和負數(shù)統(tǒng)稱有理數(shù)C．帶根號的數(shù)和負數(shù)統(tǒng)稱實數(shù) D．無理數(shù)和有理數(shù)統(tǒng)稱實數(shù)【答案】D【分析】此題主要考查實數(shù)的定義和分類，解題的關(guān)鍵是熟知實數(shù)的定義．根據(jù)實數(shù)的定義判斷即可．【詳解】解：A、正實數(shù)和負實數(shù)統(tǒng)稱實數(shù)，錯誤，0也是實數(shù)，故不符合題意；B、正數(shù)、0和負數(shù)統(tǒng)稱有理數(shù)，錯誤，正數(shù)、0和負數(shù)統(tǒng)稱實數(shù)，故不符合題意；C、帶根號的數(shù)和分數(shù)統(tǒng)稱實數(shù)，錯誤，故不符合題意；D、無理數(shù)和有理數(shù)統(tǒng)稱實數(shù)，正確，故符合題意；故選：D．鞏固訓(xùn)練1.（23-24八年級上·安徽·開學(xué)考試）下列說法正確的是（

）A．兩個無理數(shù)的和一定是無理數(shù) B．無限小數(shù)都是無理數(shù)C．實數(shù)可以用數(shù)軸上的點來表示 D．分數(shù)可能是無理數(shù)【答案】C【分析】根據(jù)實數(shù)的有關(guān)概念、實數(shù)與數(shù)軸的關(guān)系對各項逐一分析判斷即可．【詳解】A.兩個無理數(shù)的和可能是無理數(shù)，也可能是有理數(shù)，如互為相反數(shù)的一對無理數(shù)和，它們的和是0，是有理數(shù)，故本選項說法錯誤，不符合題意；B.無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，無限小數(shù)不一定是無理數(shù)，故本選項說法錯誤，不符合題意；C.實數(shù)可以用數(shù)軸上的點來表示，說法正確，符合題意；D.分數(shù)是有理數(shù)，故本選項說法錯誤，不符合題意．故選：C．【點睛】本題主要考查了實數(shù)的有關(guān)概念和實數(shù)與數(shù)軸的關(guān)系，熟練掌握實數(shù)的基本概念是解題的關(guān)鍵．2.（22-23八年級上·山東青島·期中）已知下列結(jié)論，其中正確的結(jié)論是（

）①在數(shù)軸上只能表示無理數(shù)；②任何一個無理數(shù)都能用數(shù)軸上的點表示；③實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應(yīng)；④有理數(shù)有無限個，無理數(shù)有有限個．A．①② B．②③ C．③④ D．②③④【答案】B【分析】本題主要考查實數(shù)．熟練掌握實數(shù)的概念，有理數(shù)的概念和性質(zhì)，無理數(shù)的概念和性質(zhì)，數(shù)軸的概念和性質(zhì)。是解決問題的關(guān)鍵．根據(jù)實數(shù)與數(shù)軸的關(guān)系，實數(shù)的概念，有理數(shù)的概念和性質(zhì)，無理數(shù)的概念和性質(zhì)，數(shù)軸的概念和性質(zhì)，逐一判斷，即得．【詳解】解：數(shù)軸上除了2還能表示有理數(shù)與其它無理數(shù)，故①項錯誤；任何一個無理數(shù)都能用數(shù)軸上的點表示，故②項正確；實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應(yīng)，故③項正確；整數(shù)和分數(shù)統(tǒng)稱有理數(shù)，無限不循環(huán)小數(shù)為無理數(shù)，∴無理數(shù)也有無限個，故④項錯誤．∴正確的是②③．故選：B．3.（23-24八年級上·湖南衡陽·階段練習(xí)）下列說法中，正確的個數(shù)是（

）①實數(shù)包括有理數(shù)、無理數(shù)和0；②有理數(shù)和數(shù)軸上的點一一對應(yīng)；③無理數(shù)都是無限小數(shù)；④；⑤平方根與立方根都等于它本身的數(shù)為0和1．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】A【分析】根據(jù)實數(shù)的概念和分類，實數(shù)與數(shù)軸關(guān)系，完全平方公式，平方根和立方根的性質(zhì)分別判斷即可．【詳解】解：①實數(shù)包括有理數(shù)、無理數(shù)，0屬于有理數(shù)，故錯誤；②實數(shù)和數(shù)軸上的點一一對應(yīng)，故錯誤；③無理數(shù)都是無限小數(shù)，故正確；④，故錯誤；⑤平方根等于它本身的數(shù)有：0，立方根等于它本身的數(shù)有：0、1、，則平方根、立方根都等于它本身的數(shù)為0，故錯誤；正確結(jié)論的個數(shù)是1．故選：A．【點睛】本題考查了實數(shù)的概念和分類，實數(shù)與數(shù)軸關(guān)系，完全平方公式，平方根和立方根的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)知識，要熟練掌握．題型十實數(shù)的分類例題：（24-25八年級上·江蘇·假期作業(yè)）把下列各數(shù)填入相應(yīng)的大括號內(nèi)：有理數(shù)集合：；無理數(shù)集合：；正實數(shù)集合：；負實數(shù)集合：．【答案】，，，，，，，，，，，，【分析】本題考查的是實數(shù)的分類，實數(shù)分為有理數(shù)與無理數(shù)，無限不循環(huán)的小數(shù)是無理數(shù)，熟記定義是解本題的關(guān)鍵．根據(jù)實數(shù)的分類逐一填寫即可．【詳解】，，，，，，，，中，有理數(shù)集合為：，，，；無理數(shù)集合為：，，，；正實數(shù)集合為：，，，，；負實數(shù)集合為：，，；故答案為：①，，，；②，，，；③，，，，；④，，．鞏固訓(xùn)練1.（23-24七年級下·新疆伊犁·期中）把下列各數(shù)分別填入相應(yīng)的集合內(nèi)：，0，，，，，整數(shù)集合{

}；無理數(shù)集合{

}；負實數(shù)集合{

}．【答案】整數(shù)集合0，，；無理數(shù)集合，，；負實數(shù)集合，【分析】本題主要考查了實數(shù)的分類，算術(shù)平方根，立方根，掌握整數(shù)、無理數(shù)、負實數(shù)的定義是解答本題的關(guān)鍵．根據(jù)整數(shù)、無理數(shù)、負實數(shù)的定義分類即可．【詳解】，整數(shù)集合{0，，}；無理數(shù)集合{，，}；負實數(shù)集合{，}．故答案為：0，，；，，；，．2.（23-24八年級上·全國·單元測試），3，，，0.1010010001…，，0，，，(1)正數(shù)集合：{

…}(2)無理數(shù)集合：{

…}；(3)分數(shù)集合：{

…}；(4)非正整數(shù)集合：{

…}；【答案】(1)3，0.1010010001…，，(2)0.1010010001…，(3)，，，(4)，0，【分析】本題考查了實數(shù)的分類、化簡多重符號、求絕對值，熟練掌握實數(shù)的分類是解此題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)正數(shù)的定義即可解答；（2）根據(jù)無理數(shù)的定義即可解答；（3）根據(jù)分數(shù)的定義即可解答；（4）根據(jù)非正整數(shù)的定義即可解答．【詳解】（1）解：，，正數(shù)集合：{3，0.1010010001…，，}（2）解：無理數(shù)集合：{0.1010010001…，}（3）解：分數(shù)集合：{，，，}（4）解：非正整數(shù)集合：{，0，}．3.（23-24八年級上·全國·單元測試）把下列各數(shù)填在相應(yīng)的大括號內(nèi)．，，，，，，，，，，（每相鄰兩個之間依次多個），．有理數(shù)：；無理數(shù)：；正數(shù)：整數(shù)：；非負數(shù)：；分數(shù)：．【答案】見解析【分析】本題考查的是實數(shù)的概念和分類，掌握實數(shù)的分類方法是解題的關(guān)鍵．根據(jù)實數(shù)的概念和分類解答．【詳解】解：，，有理數(shù)：，，，，，，，；無理數(shù)：，，，（每相鄰兩個之間依次多個），；正數(shù)：，，，，，，（每相鄰兩個之間依次多個），；整數(shù)：，，，；非負數(shù)：，，，，，，，（每相鄰兩個之間依次多個），；分數(shù)：，，，，．題型十一實數(shù)的性質(zhì)例題：（23-24八年級上·全國·單元測試）（1）的絕對值為；的相反數(shù)為；（2）的絕對值為；的相反數(shù)為．【答案】//【分析】本題主要考查了求一個數(shù)的相反數(shù)和絕對值，只有符號不同的兩個數(shù)互為相反數(shù)，正數(shù)和0的絕對值是它本身，負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)，據(jù)此求解即可．【詳解】解：（1）的絕對值為；的相反數(shù)為；（2）的絕對值為；的相反數(shù)為．故答案為：（1）；；（2）；鞏固訓(xùn)練1.（23-24八年級上·全國·單元測試）的相反數(shù)是；的絕對值是；的相反數(shù)是．【答案】/【分析】本題主要考查了求一個數(shù)的相反數(shù)和絕對值，只有符號不同的兩個數(shù)互為相反數(shù)，正數(shù)和0的絕對值是它本身，負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)，據(jù)此求解即可．【詳解】解：的相反數(shù)是；的絕對值是；的相反數(shù)是；故答案為：；；．2.（23-24七年級下·天津?qū)幒印て谥校┑钠椒礁?，的相反?shù)為，的絕對值為．【答案】/【分析】本題考查了求一個數(shù)的平方根、立方根，實數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)平方根、立方根，以及相反數(shù)的定義，絕對值，即可求解．【詳解】解：的平方根是，的相反數(shù)為，的絕對值為故答案為：，，．3.（23-24七年級下·湖南衡陽·期中）的絕對值是，的相反數(shù)是．【答案】【分析】本題是對絕對值和相反數(shù)知識的考查，熟練掌握實數(shù)知識是解決本題的關(guān)鍵．根據(jù)絕對值和相反數(shù)知識求解即可．【詳解】解：絕對值是，的相反數(shù)是：．故答案為：；題型十二實數(shù)與數(shù)軸例題：（23-24七年級下·北京·階段練習(xí)）如圖，直徑為1個單位長度的圓從點A沿數(shù)軸向右滾動（無滑動）一周到達點B，則的長度為；若點A對應(yīng)的數(shù)是，則點B對應(yīng)的數(shù)是．【答案】/【分析】本題主要考查了圓的周長及實數(shù)與數(shù)軸，解題的關(guān)鍵是求了出．運用圓的周長公式求出周長即可．【詳解】解：的長度為：，點對應(yīng)的數(shù)是，故答案為：，．鞏固訓(xùn)練1.（22-23八年級上·四川成都·期中）實數(shù)a、b、c在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡代數(shù)式．【答案】/【分析】本題考查實數(shù)和數(shù)軸，化簡絕對值，求算術(shù)平方根和立方根，根據(jù)點在數(shù)軸上的位置，判斷式子的符號，進行化簡計算即可．【詳解】解：由圖可知：．故答案為：2.（22-23八年級上·四川成都·期中）如圖，已知于點C，點C對應(yīng)的數(shù)是，那么數(shù)軸上點B所表示的數(shù)是．

【答案】【分析】本題考查實數(shù)與數(shù)軸，勾股定理與無理數(shù)，勾股定理求出的長，進而得到的長，即可得出結(jié)果．【詳解】解：由題意，得：，∴點B所表示的數(shù)是；故答案為：．3.（23-24八年級上·山東濟南·開學(xué)考試）如圖，實數(shù)，，m在數(shù)軸上所對應(yīng)的點分別為A，B，C，點