福建省廈門市雙十中學(xué)2023-2024學(xué)年八上期中數(shù)學(xué)試題（解析版）

2023-2024學(xué)年（上）初二年期中考試試卷數(shù)學(xué)（試卷滿分：150分考試時間：120分鐘）1．全卷分三個部分，共25題．2．答案一律寫在答題卡上，否則不能得分．一、選擇題（共10題，40分）1.以下是歷屆亞運會會徽，其中是軸對稱圖形的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】如果一個圖形沿著某條直線對折后，直線兩旁的部分能夠重合，則稱這個圖形是軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸；根據(jù)這個概念逐項判斷即可．【詳解】由軸對稱圖形的概念知，選項A、B、C中的圖形都不是軸對稱圖形，選項D中的圖形是軸對稱圖形；故選：D．【點睛】本題考查了軸對稱圖形的識別，理解軸對稱圖形的概念是解題的關(guān)鍵．2.下列運算中，結(jié)果正確的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】分別利用合并同類項、同底數(shù)冪的乘法、冪的乘方和積的乘方運算法則逐項排查即可解答．【詳解】解：A．，故此選項錯誤，不符合題意；B．，故此選項錯誤，不符合題意；C．，故此選項錯誤，不符合題意；D．，故此選項正確，符合題意．故選：D．【點睛】本題主要考查了合并同類項、同底數(shù)冪的乘法、冪的乘方和積的乘方運算法則等知識點，熟練掌握相關(guān)運算法則是解題關(guān)鍵．3.如圖，為了估計池塘兩岸A，B之間的距離，小明在池塘一側(cè)選取了一點P，測得，，那么A，B間的距離不可能是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)三角形三邊的關(guān)系求出的取值范圍即可得到答案．【詳解】解：由三角形三邊的關(guān)系可得，∵，，∴，即，∴四個選項中，只有A選項中的符合題意，故選A．【點睛】本題主要考查了三角形三邊的關(guān)系，熟知三角形中，任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊是解題的關(guān)鍵．4.如圖，是的外角的平分線，若，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)，求得，利用三角形的外角性質(zhì)求解即可.【詳解】解：∵是的外角的平分線，，∴，∵，且，∴，故選：C．【點睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，熟練運用兩條性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5.下列運算正確的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)合并同類項，單項式乘以單項式以及完全平方公式進行計算即可求解．【詳解】解：A.與不能合并，故該選項不正確，不符合題意；B.，故該選項不正確，不符合題意；C.，故該選項正確，符合題意；D.，故該選項不正確，不符合題意；故選：C．6.一天課間，頑皮的小明同學(xué)拿著老師的等腰三角板玩，不小心將三角板掉到兩根柱子之間，如圖所示，這一幕恰巧被數(shù)學(xué)老師看見了，于是有了下面這道題．如果每塊磚的厚度，則的長為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由等腰直角三角形的性質(zhì)可得，，因此可以考慮證明，由此即可求解．【詳解】解：由題意得：，，∴，∴，∴，∴．∵，∴，∴．故選：C．【點睛】此題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)，此題是與三角形全等有關(guān)的應(yīng)用題，是很好的練習(xí)題．7.下圖是用邊長相等的正三角形和正n邊形兩種地磚鋪設(shè)的部分地面示意圖，則正n邊形的內(nèi)角和為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】如圖，由題意可得是等邊三角形，可得，延長交于點E，則，求出，即正n邊形的一個外角是，進而得出這個多邊形是十二邊形，從而得到答案.【詳解】解：如圖，由題意可得是等邊三角形，∴，延長交于點E，則，∴，即正n邊形的一個外角是，∴這個多邊形是邊形，∴正n邊形的內(nèi)角和為；故選：A.【點睛】本題考查了正多邊形的內(nèi)角和外角、等邊三角形的性質(zhì)等知識，掌握求解的方法是關(guān)鍵.8.如圖，在長為，寬為的長方形鐵片上，挖去長為，寬為b的小長方形鐵片，則剩余部分面積是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)長方形的面積公式分別計算出大長方形、小長方形的面積，再進行相減即可得出答案．【詳解】解：，故剩余部分面積是，故選B．【點睛】本題考查了多項式乘多項式、整式的混合運算，解題的關(guān)鍵是掌握長方形的面積公式．9.如圖，把矩形紙片紙沿對角線折疊，設(shè)重疊部分為，那么下列說法錯誤的是（）A.是等腰三角形， B.折疊后和一定相等C.折疊后得到的圖形是軸對稱圖形 D.和一定是全等三角形【答案】B【解析】【分析】根據(jù)矩形及折疊得到，，，，即可得到，，即可判斷A，B，C，D．【詳解】解：∵四邊形是矩形，且沿對角線折疊，∴，，，，∴，∴，∴A，C，D正確，故選B，．【點睛】本題考查矩形的折疊，等腰三角形的判定，三角形全等的判定，解題的關(guān)鍵是根據(jù)折疊得到全等．10.如圖，在中，，平分交于點D．平分交于點E，、交于點F．則下列說法正確的個數(shù)為（）①；②；③若，則；④；⑤．A.①②③ B.①③④ C.②③⑤ D.①③④⑤【答案】D【解析】【分析】由，得，則，可判斷①正確；作于點G，于點H，則，因為與不一定相等，與不一定相等，可判斷②錯誤；延長到點K，使，連接，可證明，得，而，所以，則，所以，則，可判斷③正確；在上截取，連接，可證明，得，則，再證明，得，則，可判斷④正確；作于點M，于點N，因為，所以，即可推出，可判斷⑤正確，于是得到問題的答案．【詳解】解：∵，∴，∵平分，平分，∴，∴，∴，故①正確；如圖1，作于點G，于點H，則，∵與不一定相等，∴與不一定相等，即：與不一定相等，故②錯誤；如圖1，延長到點K，使，連接，∵，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，故③正確；如圖2，在上截取，連接，∵，∴，在和中，，∴，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴，故④正確；如圖2，作于點M，于點N，∵，∴，∴，∵，∴，故⑤正確，故選：D．【點睛】此題重點考查三角形內(nèi)角和定理、角平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的“三線合一”等知識，正確地作出所需要的輔助線是解題的關(guān)鍵．二、填空題（共6題，24分）11.（1）______；（2）______；（3）______；（4）______．【答案】①.②.③.④.【解析】【分析】（1）根據(jù)同底數(shù)冪的乘法進行計算即可求解；（2）根據(jù)積的乘方進行計算即可求解；（3）根據(jù)單項式乘以單項式進行計算即可求解；（4）根據(jù)單項式乘以多項式進行計算即可求解．【詳解】解：（1）；故答案為：．（2）；故答案為：．（3）；故答案為：．（4）．故答案為：．【點睛】本題考查了整式的乘法運算，熟練掌握整式的乘法運算法則是解題的關(guān)鍵．12.如圖，這是蠟燭的平面鏡成像的原理圖，若以桌面為x軸，鏡面?zhèn)让鏋閥軸（鏡面厚度忽略不計）建立平面直角坐標(biāo)系．如果某刻火焰頂尖S點的坐標(biāo)是，那么此時對應(yīng)的虛像頂尖點的坐標(biāo)是__________．【答案】【解析】【分析】由圖可知，S點與點關(guān)于軸對稱，根據(jù)關(guān)于軸對稱的點的特點，即可得解．【詳解】解：由圖可知：S點與點關(guān)于軸對稱，∵S點的坐標(biāo)是，∴點的坐標(biāo)是；故答案為：．【點睛】本題考查坐標(biāo)與軸對稱．熟練掌握關(guān)于軸對稱的點的特點：橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)相同是解題的關(guān)鍵．13.如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，DC=AD，BD平分∠ABC，求D到AB的距離等于_______．【答案】2cm【解析】【分析】過點D作DH⊥AB，垂足為H，由角平分線性質(zhì)即可完成解答．【詳解】解：如圖，過點D作DH⊥AB，垂足為H，∵AC＝8cm，DC＝AD，∴DC＝AC＝2cm，∵BD平分∠ABC，∠C＝90°，DH⊥AB，∴CD＝DH＝2cm，∴點D到AB的距離等于2cm，故答案為:2cm【點睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，靈活運用角平分線的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．14.如圖，在中，，過點B作，交于點D，若，則的長度為_________．【答案】2【解析】【分析】過點B作BE⊥AC于點E，設(shè)DE=x，然后通過直角三角形30°角的性質(zhì)求得BD=2x，CD=4x，CE=3x，再運用由等腰三角形的性質(zhì)得到AE=CE，列方程求解x，即可求出CD的長．【詳解】解：如圖，過點B作BE⊥AC于點E，設(shè)DE=x，則AE=AD+DE=1+x．∵AB=BC，∠ABC=120°，∴∠A=∠C=30°∵，∴∠DBC=90°∴∠EDB=60°，∠DBE=30°∴BD=2DE=2x，DC=2DB=4x∴CE=DC-DE=3x∵AB=BC，BE⊥AC，∴AE=CE∴1+x=3x，解得x=∴CD=4x=2．【點睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)和直角三角形30°所對的邊等于斜邊的一般，需要熟練運用考查的性質(zhì)進行解題．15.如圖，在中，，直線垂直平分，點為的中點，點為線段上一動點，若，等腰面積為12，則的周長的最小值為______．【答案】8【解析】【分析】連接，利用垂直平分線的性質(zhì)得到，再利用兩點之間線段最短得到的和的最小值為的長，根據(jù)的面積計算出的長，從而求出的周長的最小值．【詳解】解：連接，，直線垂直平分，，點為的中點，，，，的周長，當(dāng)在上時，的周長的最小，，，的周長的最小值為：，故答案為：8．【點睛】本題主要考查了軸對稱的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、兩點之間線段最短，熟練掌握軸對稱的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、兩點之間線段最短是解題的關(guān)鍵．16.如圖，RtABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=2，D為BC上一動點，EF垂直平分AD分別交AC于E、交AB于F，則BF的最大值為_________【答案】【解析】【分析】要使BF最大，則AF需要最小，而AF=FD，根據(jù)FD≥FH，可求出FD的最小值，從而解決問題．【詳解】解：如圖，過點F作FH⊥BC，連接DF，設(shè)AF=x，則BF=4－x，∵EF垂直平分AD分別交AC于E、交AB于F，∴DF=AF=x，∵，∴，∵FD≥FH，∴，解得：，∴AF最小值是，∴BF最大值是．故答案為：．【點睛】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)、30°角所對直角邊是斜邊的一半以及點到直線的距離，將BF的最大值轉(zhuǎn)化為AF最小值是解決本題的關(guān)鍵，屬于壓軸題．三、解答題（共9題，共86分）17.計算：（1）（2）【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)單項式乘多項式運算法則進行計算即可；（2）根據(jù)多項式乘多項式運算法則進行計算即可．【小問1詳解】解：；小問2詳解】解：．【點睛】本題主要考查了整式乘法運算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握整式乘法運算法則，準(zhǔn)確計算．18.如圖，某海岸沿線有，兩個碼頭，在該海域內(nèi)有兩座小島，，航線與相交于點，經(jīng)測量，，，求證：．【答案】見解析【解析】【分析】根據(jù)已知條件得出，進而根據(jù)證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，即可得證．【詳解】證明：∵，，∴,∴在中，,∴,∴．19.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，的頂點坐標(biāo)分別為，，，網(wǎng)格中每個小正方形的邊長都是1個單位長度．（1）畫出關(guān)于x軸對稱的；（2）、、的坐標(biāo)分別為______，______，______；（3）的面積是______．【答案】（1）見解析（2），，（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，找到的對應(yīng)點，順次連接即可求解；（2）根據(jù)坐標(biāo)系寫出點的坐標(biāo)，即可求解；（3）根據(jù)三角形的面積公式，即可求解．【小問1詳解】解：如圖所示，即為所求；【小問2詳解】解：根據(jù)坐標(biāo)系可得、、的坐標(biāo)分別為，，，故答案為：，，．【小問3詳解】解：的面積是，故答案為：．【點睛】本題考查了畫軸對稱圖形，寫出坐標(biāo)系中點的坐標(biāo)，根據(jù)網(wǎng)格求三角形的面積，熟練掌握軸對稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．20.如圖，為等邊三角形，邊長為3，（1）尺規(guī)作圖：請畫出邊的中點D（保留作圖痕跡，不寫作法）；（2）延長至E，連接，，使得，求的長．【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】（1）尺規(guī)作線段的垂直平分線即可；（2）根據(jù)等邊三角形性質(zhì)得出，，根據(jù)為的中點，得出，平分，，，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出，根據(jù)三角形的外角求出，得出，根據(jù)等角對等邊得出結(jié)果即可．【小問1詳解】解：如圖，點D即為所求；【小問2詳解】解：∵為等邊三角形，∴，，∵為的中點，∴，平分，，∴，∵，∴，∴，∴，∴．【點睛】本題主要考查了基本作圖－作垂線，等邊三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)和判定，數(shù)形結(jié)合．21.如圖，中，的平分線上有一點，點恰好在線段的垂直平分線上，點在邊上，，求證：點在線段的垂直平分線上．【答案】見解析【解析】【分析】先證明得出，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得出，則，根據(jù)垂直平分線的判定定理，即可得證．【詳解】證明：∵平分∴又∵∴，∴又∵點恰好在線段的垂直平分線上，∴∴∴點在線段的垂直平分線上．【點睛】本題考查了垂直平分線的性質(zhì)與判定，熟練掌握垂直平分線的性質(zhì)與判定定理是解題的關(guān)鍵．22.如圖：已知在中，，D為BC邊的中點，過點D作，，垂足分別為E，F(xiàn)．（1）求證：；（2）若，，求AB的長．【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】（1）連接，可得平分，再根據(jù)垂直即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)已知條件證明為等邊三角形，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到，即可得到結(jié)果；【小問1詳解】證明：連接，，為邊的中點，平分，于點于點，；【小問2詳解】解：，為等邊三角形，，，，，，，∵平分∴．【點睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．23.我們定義：在一個三角形中，若一個角的度數(shù)是另一個角度數(shù)的4倍，則這樣的三角形稱之為“和諧三角形”．如：三個內(nèi)角分別為105°，60°，15°的三角形是“和諧三角形”．【概念理解】如圖1，∠MON＝60°，點A在邊OM上，過點A作AB⊥OM交ON于點B，以A為端點作射線AD，交線段OB于點C（點C不與O，B重合）（1）∠ABO的度數(shù)為__________，△AOB__________（填“是”或“不是”）“和諧三角形”；（2）若∠ACB＝84°，試說明：△AOC“和諧三角形”．【應(yīng)用拓展】如圖2，點D在△ABC的邊AB上，連結(jié)DC，作∠ADC的平分線交AC于點E，在DC上取點F，使∠EFC+∠BDC＝180°，∠DEF＝∠B．若△BCD是“和諧三角形”，請直接寫出∠B的度數(shù)．【答案】（1）30°，不是；(2)△AOC是“和諧三角形”；(3)∠B=30°或者∠B=80°【解析】【分析】(1)根據(jù)AB⊥OM，得到∠OAB=90，求得∠ABO=90°-∠MON=30°，得到∠OAB=3∠ABO，所以AOB不是“和諧三角形”；(2)因為∠ACB是△AOC的一個外角，得到∠ACB=∠O+∠OAC，求出∠OAC=24°，∠ACO=96°，所以∠ACO=4∠OAC，所以得到△AOC是“和諧三角形”；(3)由∠EFC+∠BDC=180°，∠ADC+∠BDC=180°，得到∠EFC=∠ADC，可以證明AD//EF，得到∠DEF=∠ADE，而∠DEF=∠B，得到∠B=∠ADE，由DE//BC，得到∠CDE=∠BCD，根據(jù)△BCD是“和諧三角形”，即可求解．【詳解】(1)∵AB⊥OM，∴∠OAB=90，∴∠ABO=90°-∠MON=30°，∴∠OAB=3∠ABO，∴AOB不是“和諧三角形”；故答案為：30°，不是；(2)∵∠ACB是△AOC的一個外角，∴∠ACB=∠O+∠OAC，又∠O=60°，∠ACB=84°∴∠OAC=24°，∠ACO=180°-84°=96°∴∠ACO=4∠OAC，∴△AOC是“和諧三角形”；(3)∵∠EFC+∠BDC=180°，∠ADC+∠BDC=180°，∴∠EFC=∠ADC，∴AD//EF，∴∠DEF=∠ADE，而∠DEF=∠B，∴∠B=∠ADE，∵DE//BC，∴∠CDE=∠BCD，∵DE平分∠ADC，∴∠ADE=∠CDE，∴∠B=∠BCD，∵△BCD是“和諧三角形”，∴∠BDC=4∠B或者∠B=4∠BDC∵∠BDC+∠BCD+∠B=180°∴∠B=30°或者∠B=80°【點睛】本題主要考查三角形的內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，以及平行線的性質(zhì)，理解和諧三角形的概念，用分類討論的思想解決問題是解本題的關(guān)鍵．24.如圖，在三角形中，，，點A，B分別在坐標(biāo)軸上．（1）如圖①，若點C的橫坐標(biāo)為，點B的坐標(biāo)為；（2）如圖②，若x軸恰好平分，交x軸于點M，過點C作垂直x軸于D點，試猜想線段與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）如圖③，，，連接交y軸于P點，點B在y軸的正半軸上運動時，與的面積比是否變化？若不變，請求出這個值，若變化，請說明理由．【答案】（1）（2），理由見解析（3）不變，【解析】【分析】（1）如圖①，過作軸于點，則，證明，則，根據(jù)點C的橫坐標(biāo)為，求解作答即可；（2）由x軸恰好平分，三角形內(nèi)角和定理，可得，，如圖②，過作軸于點，延長交于點，同理（1）可得，，，證明，，證明，如圖2，連接，由等邊對等角，三角形內(nèi)角和定理求，由三角形的外角的性質(zhì)可求，，可得，，根據(jù)，作答即可；（3）如圖3，過作軸于，同理（1），，則，，證明，則，根據(jù)，作答即可．【小問1詳解】解：如圖①，過作軸于點，則，∵，∴，∵，，，∴，∴，∵點C的橫坐標(biāo)為，∴，∴，∴點B的坐標(biāo)為，故答案為：；【小問2詳解】解：