2024八年級數(shù)學上冊第12章整式的乘除練素養(yǎng)1.因式分解的方法習題課件新版華東師大版

華師版八年級上第12章整式的乘除集訓課堂練素養(yǎng)1.因式分解的方法

因式分解時通常采用一“提”、二“公”、三“分”、

四“變”的步驟，即首先看有無公因式可提，其次看能否直

接利用乘法公式.如前兩個步驟不能實施，可用分組分解

法，分組的目的是使得分組后有公因式可提或可利用公式法

繼續(xù)分解.若上述方法都行不通，則可以嘗試用配方法、換

元法、待定系數(shù)法、試除法、拆項(添項)法等方法.方法1提公因式法1.

因式分解：

x2＋

xy

－

xz

－

yz

＝

?.【點撥】

x2＋

xy

－

xz

－

yz

＝

x

(

x

＋

y

)－

z

(

x

＋

y

)＝(

x

＋

y

)(

x

－

z

).(

x

＋

y

)(

x

－

z

)

123456789102.

把下列各式因式分解：(1)－3

ma3＋6

ma2－12

ma

；【解】原式＝－3

ma

(

a2－2

a

＋4).(2)

x

(

x

－

y

)(

a

－

b

)－

y

(

y

－

x

)(

b

－

a

).【解】原式＝

x

(

x

－

y

)(

a

－

b

)－

y

(

x

－

y

)(

a

－

b

)＝(

x

－

y

)·(

a

－

b

)(

x

－

y

)＝(

x

－

y

)2(

a

－

b

).123456789103.

先因式分解，再計算求值：4

x

(

m

－2)－3

x

(

m

－2)，其

中

x

＝1.5，

m

＝6.【解】原式＝

x

(

m

－2)，把

x

＝1.5，

m

＝6代入得，原式＝1.5×(6－2)＝6.12345678910方法2公式法4.

[2024·北師大附中開學考試]把下列各式因式分解：(1)3

x2－6

xy

＋3

y2；【解】3

x2－6

xy

＋3

y2＝3(

x2－2

xy

＋

y2)＝3(

x

－

y

)2.12345678910(2)4

amx3－

am5

x

.【解】4

amx3－

am5

x

＝

amx

(4

x2－

m4)＝

amx

(2

x

－

m2)(2

x

＋

m2).123456789105.

利用因式分解計算：662－6

600＋2

500.【解】原式＝662－2×66×50＋502＝(66－50)2＝256.12345678910方法3分組分解法6.

[2024·清華附中期中]閱讀下面的材料：常用的因式分解的方法有提取公因式法、公式法等，但

有的多項式只用上述方法無法分解，如

x2－4

y2－2

x

＋4

y

，細心觀察這個式子，會發(fā)現(xiàn)前兩項符合平方差公式，

后兩項可提取公因式，前后兩部分分別因式分解后又出

現(xiàn)新的公因式，提取公因式就可以完成整個式子的因式

分解，具體過程如下：12345678910x2－4

y2－2

x

＋4

y

＝(

x2－4

y2)－(2

x

－4

y

)＝(

x

＋2

y

)(

x

－2

y

)－2(

x

－2

y

)＝(

x

－2

y

)(

x

＋2

y

－2)像這種將一個多項式適當分組后，進行分解因式的方法

叫做分組分解法.12345678910利用分組分解法解決下面的問題：(1)因式分解：

a2－

b2＋4

a

－4

b

；【解】原式＝(

a

－

b

)(

a

＋

b

)＋4(

a

－

b

)＝(

a

－

b

)(

a

＋

b

＋4).(2)已知等腰三角形的三邊長

a

，

b

，

c

均為整數(shù)，且

a

＋

bc

＋

b

＋

ca

＝12，則滿足該條件的等腰三角形共

有

個，請說明理由.2

12345678910【解】理由：∵

a

＋

bc

＋

b

＋

ca

＝

a

(

c

＋1)＋

b

(

c

＋1)

＝(

a

＋

b

)·(

c

＋1)，∴(

a

＋

b

)(

c

＋1)＝12.令

A

＝

a

＋

b

，

B

＝

c

＋1，即

AB

＝12.∵

a

，

b

，

c

均為整數(shù)，∴

A

，

B

均為整數(shù).①當

A

＝1，

B

＝12時，即

a

＋

b

＝1，

c

＝11，

a

＋

b

＜

c

，不成立，舍去；12345678910②當

A

＝2，

B

＝6時，即

a

＋

b

＝2，

c

＝5，

a

＋

b

＜

c

，不成立，舍去；③當

A

＝3，

B

＝4時，即

a

＋

b

＝3，

c

＝3，

a

＋

b

＝

c

，不成立，舍去；④當

A

＝4，

B

＝3時，即

a

＋

b

＝4，

c

＝2，

a

＋

b

＞

c

，成立，此時

a

＝

b

＝

c

＝2；⑤當

A

＝6，

B

＝2時，即

a

＋

b

＝6，

c

＝1，

a

＋

b

＞

c

，成立，此時

a

＝

b

＝3，

c

＝1；⑥當

A

＝12，

B

＝1時，即

a

＋

b

＝12，

c

＝0，不成

立，舍去.綜上，共有2種情況滿足題意條件.12345678910方法4十字相乘法7.

[新考法·閱讀類比法]多項式乘法：(

x

＋

a

)(

x

＋

b

)＝

x2＋

(

a

＋

b

)

x

＋

ab

，將該式從右到左使用，即可得到“十字

相乘法”分解因式的公式

x2＋(

a

＋

b

)

x

＋

ab

＝(

x

＋

a

)(

x

＋

b

).示例：分解因式

x2＋5

x

＋6＝

x2＋(2＋3)

x

＋2×3＝(

x

＋

2)(

x

＋3).嘗試分解因式：12345678910(1)

x2＋6

x

－27＝

?；(2)6

x2－7

x

－3＝

?；(3)20(

x

＋

y

)2＋7(

x

＋

y

)－6＝

?

?.【點撥】20(

x

＋

y

)2＋7(

x

＋

y

)－6＝[4(

x

＋

y

)＋3][5(

x

＋

y

)

－2]＝(4

x

＋4

y

＋3)(5

x

＋5

y

－2).(

x

－3)(

x

＋9)

(2

x

－3)(3

x

＋1)

(4

x

＋4

y

＋3)(5

x

＋5

y

－

2)

12345678910方法5換元法8.

下面是某同學對多項式(

x2－4

x

＋2)(

x2－4

x

＋6)＋4進行

因式分解的過程.解：設(shè)

x2－4

x

＝

y

，則原式＝(

y

＋2)(

y

＋6)＋4

(第一步)＝

y2＋8

y

＋16(第二步)＝(

y

＋4)2(第三步)＝(

x2－4

x

＋4)2.(第四步)12345678910回答下列問題：(1)該同學因式分解的結(jié)果是否徹底？

(填“徹

底”或“不徹底”).若不徹底，請你直接寫出因式分解

的最后結(jié)果：

?.不徹底(

x

－2)4

12345678910【解】設(shè)

m2－2

m

＝

n

，則原式＝

n

(

n

＋2)＋1＝

n2＋2

n

＋1＝(

n

＋1)2＝(

m2－2

m

＋1)2＝(

m

－1)4.(2)請你仿照以上方法嘗試對多項式(

m2－2

m

)·(

m2－2

m

＋2)＋1進行因式分解.12345678910方法6拆項法9.

閱讀并解答.在分解因式

x2－5

x

＋6時，李老師是這樣做的：

x2－5

x

＋6＝

x2－4

x

＋4－

x

＋2

(第一步)＝(

x

－2)2－(

x

－2) (第二步)＝(

x

－2)(

x

－2－1) (第三步)＝(

x

－2)(

x

－3). (第四步)(1)從第一步到第二步運用了

公式；完全平方12345678910(2)從第二步到第三步運用了

?；(3)仿照上面的方法分解因式：

x2＋2

x

－3.【解】

x2＋2

x

－3＝

x2＋2

x

＋1－4＝(

x

＋1)2－22＝(

x

＋1＋2)·(

x

＋1－2)＝(

x

＋3)(

x

－1).提公因式法12345678910方法7配方法10.

[新考法·閱讀類比法]閱讀下面文字內(nèi)容：對于二次三項式

x2＋4

x

－5，我們可以添上一項4，使它

與

x2＋4

x

構(gòu)成一個完全平方式，然后再減去4，這樣整

個多項式的值不變，即

x2＋4

x

－5＝(

x2＋4

x

＋4)－4－5

＝(

x

＋2)2－9＝(

x

＋2＋3)(

x

＋2－3)＝(

x

＋5)(

x

－1).像

這