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1矩陣理論與方法第5章廣義逆矩陣莊伯金B(yǎng)jzhuang@2主要內(nèi)容投影矩陣投影算子的概念和投影矩陣計算正交投影算子和正交投影矩陣計算廣義逆矩陣廣義逆矩陣定義廣義逆矩陣的性質(zhì)廣義逆矩陣的構(gòu)造方法廣義逆矩陣的計算方法3投影算子定義：設(shè)和是的子空間，且有，對任意，則存在唯一的分解，則稱是沿著到的投影。將映射成的變換稱為沿著到的投影算子，記為

，即性質(zhì)1.；2.投影算子是線性算子。定義：投影算子在的基下的矩陣稱為投影矩陣，記為。4投影矩陣的性質(zhì)引理：設(shè)是冪等矩陣，則有。定理：矩陣為投影矩陣的充要條件是為冪等矩陣。注：投影矩陣與冪等矩陣一一對應(yīng)。投影矩陣的構(gòu)造方法：在子空間和分別取基：。構(gòu)造分塊矩陣。得到投影矩陣。例：設(shè)是由向量張成的子空間，是由向量張成的子空間，求。5正交投影算子與正交投影矩陣定義：設(shè)是的子空間，則稱沿到的投影算子為正交投影算子，簡記為。正交投影算子在的基下的矩陣稱為正交投影矩陣，記為。定理：矩陣為正交投影矩陣的充要條件是為冪等Hermite矩陣。正交投影矩陣的構(gòu)造方法：在子空間取基：。構(gòu)造矩陣。得到正交投影矩陣。例：是由和張成的子空間，求正交投影矩陣以及向量沿到的投影。6Penrose廣義逆矩陣定義：矩陣，若矩陣滿足如下四個Penrose方程1.

2.

3.4.則稱是的Moore-Penrose逆，記為。例：矩陣和的例子7Penrose廣義逆矩陣定理：對任意，存在且唯一。定義：對任意，若滿足Penrose方程中的等方程，則稱為的-逆，記為，其全體記為。注：由于，所以，即總存在。注：的廣義逆矩陣共有類。注：應(yīng)用較多的廣義逆矩陣為以下5類：8廣義逆矩陣的性質(zhì)及構(gòu)造定理：矩陣有唯一的-逆的充要條件是為非奇異矩陣，且這個-逆與一致。任給，定義定理：設(shè)，則1.2.3.若非奇異，則

。4.5.和均為冪等矩陣，且與同秩。6.9廣義逆矩陣的性質(zhì)及構(gòu)造7.等價于，等價于。8.等價于，等價于定理：設(shè)矩陣，令，

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