高考數學復習解答題提高第一輪專題復習專題07利用導函數研究函數零點問題(典型題型歸類訓練)(學生版+解析)

專題07利用導函數研究函數零點問題(典型題型歸類訓練)目錄TOC\o"1-2"\h\u一、必備秘籍 1二、典型題型 2題型一：判斷（討論）零點（根）個數問題 2題型二：證明唯一零點問題 3題型三：根據零點（根）的個數求參數 4三、專項訓練 6一、必備秘籍1、函數的零點（1）函數零點的定義：對于函數，把使的實數叫做函數的零點．（2）三個等價關系方程有實數根函數的圖象與軸有交點的橫坐標函數有零點．2、函數零點的判定如果函數在區(qū)間上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有，那么函數在區(qū)間內有零點，即存在，使得，這個也就是的根．我們把這一結論稱為函數零點存在性定理．注意：單調性+存在零點=唯一零點3、利用導數確定函數零點的常用方法(1)圖象法：根據題目要求畫出函數的圖象，標明函數極(最)值的位置，借助數形結合的思想分析問題（畫草圖時注意有時候需使用極限）．(2)利用函數零點存在定理：先用該定理判定函數在某區(qū)間上有零點，然后利用導數研究函數的單調性、極值(最值)及區(qū)間端點值的符號，進而判斷函數在該區(qū)間上零點的個數．4、利用函數的零點求參數范圍的方法(1)分離參數()后，將原問題轉化為的值域(最值)問題或轉化為直線與的圖象的交點個數問題(優(yōu)選分離、次選分類)求解；(2)利用函數零點存在定理構建不等式求解；(3)轉化為兩個熟悉的函數圖象的位置關系問題，從而構建不等式求解．二、典型題型題型一：判斷（討論）零點（根）個數問題1．（2023·河北邯鄲·統(tǒng)考模擬預測）已知函數．(1)若，求曲線在點處的切線方程；(2)討論函數的零點個數．2．（2023·陜西渭南·?？寄M預測）已知函數，其中e為自然對數的底數．(1)求的單調區(qū)間：(2)討論函數在區(qū)間上零點的個數．3．（2023上·廣東中山·高三?？茧A段練習）設函數，，.(1)求函數的單調區(qū)間；(2)當時，討論與圖象的交點個數．4．（2023上·上海虹口·高三?？计谥校┖瘮?，(1)求函數在點的切線方程；(2)函數，，是否存在極值點，若存在求出極值點，若不存在，請說明理由；(3)若，請討論關于x的方程解的個數情況．5．（2023上·廣東揭陽·高三統(tǒng)考期中）給定函數.(1)討論函數的單調性，并求出的極值；(2)討論方程解的個數.題型二：證明唯一零點問題1．（2023上·廣東珠?！じ呷？茧A段練習）已知函數，為的導數．(1)求曲線在處的切線方程：(2)證明：在區(qū)間存在唯一零點；2．（2023上·黑龍江·高三校聯考階段練習）已知函數，，且函數的零點是函數的零點．(1)求實數a的值；(2)證明：有唯一零點．3．（2023下·河南·高三校聯考階段練習）已知函數，．(1)過坐標原點作的切線，求該切線的方程；(2)證明：當時，只有一個實數根．題型三：根據零點（根）的個數求參數1．（2023上·北京·高三景山學校?？计谥校┮阎瘮?(1)當時，求曲線在點處的切線方程；(2)討論函數的單調性；(3)當時，設，若有兩個不同的零點，求參數的取值范圍.三、專項訓練一、單選題1．（2024上·廣東江門·高三統(tǒng)考階段練習）直線與函數的圖象公共點的個數為（

）A．0 B．1 C．2 D．32．（2023上·河北·高三校聯考期末）已知函數有兩個零點，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．3．（2023下·廣東陽江·高二?？计谥校┤艉瘮翟谏现挥幸粋€零點，則常數的取值范圍是（

）A． B．C． D．二、填空題4．（2023上·江蘇常州·高三統(tǒng)考期中）若關于的方程有兩個不相等的實數根，則實數的取值范圍是．5．（2023·貴州遵義·統(tǒng)考模擬預測）已知函數，若關于的不等式恰有一個整數解，則實數的取值范圍為.6．（2023下·重慶江北·高二重慶十八中校考期中）已知函數的圖象與函數的圖象有兩個交點，則實數的取值范圍是．三、問答題7．（2023上·山東·高三濟南一中校聯考期中）已知函數．(1)若函數在上單調遞增，求的取值范圍；(2)若函數的圖象與有且只有一個交點，求的取值范圍．8．（2023上·吉林長春·高一吉林省實驗?？计谥校┮阎瘮?，(1)求函數的單調區(qū)間與極值點；(2)若，方程有三個不同的根，求的取值范圍．9．（2023上·江蘇·高三校聯考階段練習）已知函數．(1)若曲線在點處的切線與軸平行，求該切線方程；(2)討論曲線與直線的交點個數．10．（2023下·山東菏澤·高二?？茧A段練習）給定函數(1)判斷的單調性并求極值；(2)討論解的個數．專題07利用導函數研究函數零點問題(典型題型歸類訓練)目錄TOC\o"1-2"\h\u一、必備秘籍 1二、典型題型 2題型一：判斷（討論）零點（根）個數問題 2題型二：證明唯一零點問題 6題型三：根據零點（根）的個數求參數 9三、專項訓練 14一、必備秘籍1、函數的零點（1）函數零點的定義：對于函數，把使的實數叫做函數的零點．（2）三個等價關系方程有實數根函數的圖象與軸有交點的橫坐標函數有零點．2、函數零點的判定如果函數在區(qū)間上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有，那么函數在區(qū)間內有零點，即存在，使得，這個也就是的根．我們把這一結論稱為函數零點存在性定理．注意：單調性+存在零點=唯一零點3、利用導數確定函數零點的常用方法(1)圖象法：根據題目要求畫出函數的圖象，標明函數極(最)值的位置，借助數形結合的思想分析問題（畫草圖時注意有時候需使用極限）．(2)利用函數零點存在定理：先用該定理判定函數在某區(qū)間上有零點，然后利用導數研究函數的單調性、極值(最值)及區(qū)間端點值的符號，進而判斷函數在該區(qū)間上零點的個數．4、利用函數的零點求參數范圍的方法(1)分離參數()后，將原問題轉化為的值域(最值)問題或轉化為直線與的圖象的交點個數問題(優(yōu)選分離、次選分類)求解；(2)利用函數零點存在定理構建不等式求解；(3)轉化為兩個熟悉的函數圖象的位置關系問題，從而構建不等式求解．二、典型題型題型一：判斷（討論）零點（根）個數問題1．（2023·河北邯鄲·統(tǒng)考模擬預測）已知函數．(1)若，求曲線在點處的切線方程；(2)討論函數的零點個數．【答案】(1)(2)答案見解析【詳解】（1）當時，則，，所以，所以曲線在點處的切線方程為，即.（2）函數定義域為，，當，即時恒成立，所以在上單調遞增，又當趨向于0時，，所以函數有一個零點；當，即時令，解得，所以當時，當時，所以在上單調遞增，在上單調遞減，當趨向于0時，當趨向于正無窮時，又，令，則，所以在上單調遞增，且，若，即時函數有兩個零點；若，即時函數有一個零點；若，即時函數沒有零點；綜上，當時函數沒有零點，當或時函數有一個零點，當時函數有兩個零點.2．（2023·陜西渭南·?？寄M預測）已知函數，其中e為自然對數的底數．(1)求的單調區(qū)間：(2)討論函數在區(qū)間上零點的個數．【答案】(1)答案見解析(2)答案見解析【詳解】（1）因為，所以，當時，恒成立，所以的單調增區(qū)間為，無單調減區(qū)間．當時，令，得，令，得，所以的單調遞減區(qū)間為，單調遞增區(qū)間為．（2）由（1）知，．①當時，在區(qū)間上單調遞增且，所以在區(qū)間上有一個零點．②當時，在區(qū)間上單調遞減且，所以在區(qū)間上有一個零點．③當時，在區(qū)間上單調遞減，在上單調遞增，而．當，即時，在區(qū)間上有兩個零點．當，即時，在區(qū)間上有一個零點．綜上可知，當或時，在上有一個零點，當時，在區(qū)間上有兩個零點．【點睛】方法點睛：利用導數處理函數零點常用方法（1）構造新函數，利用導數研究的性質，結合的圖象，判斷函數零點的個數.（2）利用零點存在定理，先判斷函數在某區(qū)間有零點，再結合圖象與性質確定函數有多少個零點.3．（2023上·廣東中山·高三?？茧A段練習）設函數，，.(1)求函數的單調區(qū)間；(2)當時，討論與圖象的交點個數．【答案】(1)單調遞增區(qū)間是，單調遞減區(qū)間是(2)函數與的圖象總有一個交點【詳解】（1）函數的定義域為，.當時，，函數單調遞減；當時，，函數單調遞增．綜上，函數的單調遞增區(qū)間是，單調遞減區(qū)間是．（2）令，，題中問題等價于求函數的零點個數．，當時，，函數為減函數，因為，，所以有唯一零點；當時，或時，；時，，所以函數在和上單調遞減，在上單調遞增，因為，，所以有唯一零點．綜上，函數有唯一零點，即函數與的圖象總有一個交點．4．（2023上·上海虹口·高三?？计谥校┖瘮?，(1)求函數在點的切線方程；(2)函數，，是否存在極值點，若存在求出極值點，若不存在，請說明理由；(3)若，請討論關于x的方程解的個數情況．【答案】(1)；(2)時無極值點；時有極小值點，無極大值點.(3)答案見解析.【詳解】（1）由題設，則，而，所以，切線方為，即.（2）由題設，則，且，當時，恒成立，故在上遞增，無極值；當時，時，時，則在上遞減，在上遞增；此時有極小值點為，無極大值點.（3）由題意，只需討論在上根的情況，令，則，而，當時，遞增；當時，遞減；且趨向0或時趨向，極大值為，綜上，當，原方程有無解；當，原方程有一個解；當，原方程有兩個解；5．（2023上·廣東揭陽·高三統(tǒng)考期中）給定函數.(1)討論函數的單調性，并求出的極值；(2)討論方程解的個數.【答案】(1)在區(qū)間上單調遞減，在區(qū)間上單調遞增；極小值為，無極大值(2)答案見解析【詳解】（1）函數的定義域為..令，解得，，的變化情況如表所示.-3-0+單調遞減單調遞增所以，在區(qū)間上單調遞減，在區(qū)間上單調遞增.當時，有極小值，無極大值（2）方程的解的個數為函數的圖象與直線的交點個數.令，解得.當時，；當時，.又由（1）可知，在時有唯一極小值，也是最小值.所以，的圖象經過特殊點，，.且當時，有；當時，有.如圖，作出函數的圖象由圖象可得，當時，與的圖象沒有交點，所以方程的解為0個；當或時，與的圖象只有一個交點，所以方程的解為1個；當時，與的圖象有兩個交點，所以方程的解為2個.題型二：證明唯一零點問題1．（2023上·廣東珠?！じ呷？茧A段練習）已知函數，為的導數．(1)求曲線在處的切線方程：(2)證明：在區(qū)間存在唯一零點；【答案】(1)；(2)證明見解析.【詳解】（1），所以切點為，又，所以，所以切線方程為，即；（2）由（1）知，令則，令，解得，此時單調遞增，令，解得，此時單調遞減，所以，又，所以在區(qū)間上恒成立，，所以存在使得，所以在上存在唯一的零點，即在區(qū)間存在唯一零點，得證.【點睛】方法點睛：導數問題一般可以先通過求導得到函數的單調性，再由單調性判斷函數的圖像，根據圖像解決相關問題.2．（2023上·黑龍江·高三校聯考階段練習）已知函數，，且函數的零點是函數的零點．(1)求實數a的值；(2)證明：有唯一零點．【答案】(1)1(2)證明見詳解【詳解】（1）由易判斷在單調遞增，且，，所以可令，得，所以，由題意，即，所以；（2），則，令，則，所以當時，，單調遞減，當時，，單調遞增，所以，所以，結合（1）可得存在唯一，使得，即函數有唯一零點.【點睛】關鍵點點睛：解決本題（1）的關鍵是通過同構得出；（2）的關鍵是二次求導確定函數的單調性.3．（2023下·河南·高三校聯考階段練習）已知函數，．(1)過坐標原點作的切線，求該切線的方程；(2)證明：當時，只有一個實數根．【答案】(1)(2)證明見解析【詳解】（1）函數的定義域為，設切點為，，則，故切線方程為，由切線過原點，得，所以所求切線方程為；（2）要證明時，只有一個實數根，即證只有一個實數根，令，則，即單調遞減，當時，，又，由此可知，的圖象在上有且只有一個公共點，從而時，只有一個實數根．【點睛】思路點睛：本題第二問解題思路是構造函數令，結合零點存在性定理求解．題型三：根據零點（根）的個數求參數1．（2023上·北京·高三景山學校?？计谥校┮阎瘮?(1)當時，求曲線在點處的切線方程；(2)討論函數的單調性；(3)當時，設，若有兩個不同的零點，求參數的取值范圍.【答案】(1)；(2)答案見解析；(3).【詳解】（1）由題設，則，故，，所以在點處的切線方程為，即.（2）由，當，定義域為，此時，故，即在上遞減；當，定義域為，若，則，在上遞增；若，則，在上遞減；（3）由題設，，故在有兩個不同零點，所以在在有兩個不同根，令，則，在，則，在上遞減，在，則，在上遞增，且，趨向于0或時都趨向于，故只需，滿足題設.2．（2023·陜西咸陽·?？寄M預測）已知函數.(1)當時，求函數在上的值域；(2)若函數在上僅有兩個零點，求實數的取值范圍.【答案】(1)(2)【詳解】（1）當時，，所以，令，則，0單調遞減極小值單調遞增所以，又，所以在上的值域為.（2）函數在上僅有兩個零點，令，則問題等價于在上僅有兩個零點，易求，因為，所以.①當時，在上恒成立，所以在上單調遞增，所以，所以在上沒有零點，不符合題意；②當時，令，得，所以在上，在上，所以在上單調遞減，在上單調遞增，所以的最小值為，因為在上有兩個零點，所以，所以.因為，令，所以在上，在上，，所以在上單調遞減，在上單調遞增；所以，所以，所以當時，在和內各有一個零點，即當時，在上僅有兩個零點.綜上，實數的取值范圍是.3．（2023上·重慶涪陵·高三重慶市涪陵高級中學校?？奸_學考試）已知函數.(1)若函數在上單調遞增，求的最小值；(2)若函數的圖象與有且只有一個交點，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【詳解】（1），，因函數在上單調遞增，所以在恒成立，即，，的最小值為．（2）與有且只有一個交點，即只有一個根，只有一個根，令，所以的圖象與的圖象只有一個交點，，令，解得或，令，解得，所以在，上單調遞增，上單調遞減，的圖象如下所示：

，又的圖象與的圖象只有一個交點，.4．（2023下·湖南衡陽·高二?？茧A段練習）已知函數，其中．(1)討論函數的單調性；(2)若方程有三個根，求的取值范圍．【答案】(1)答案見解析(2)．【詳解】（1）解：由題意得函數的定義域為，，當時，，即在上單調遞增；當時，由，得或，由，得，在上單調遞減，在和上單調遞增；當時，由得或，由得，在上單調遞減，在和上單調遞增，綜上所述，當時，在上單調遞增；當時，在上單調遞減，在和上單調遞增；當時，在上單調遞減，在和上單調遞增；（2）方程有三個根，即有三個根，有三個根，顯然不是方程的根，則有三個根，即與函數的圖象有三個交點，，令，可得，由，可得或，由，可得，則在和上單調遞增，在上單調遞減，在處取得極大值為，當時，，當時，，當時，，當時，，如圖所示：

要使與函數的圖象有三個交點，只需，的取值范圍是．5．（2023下·浙江衢州·高二統(tǒng)考期末）已知函數(1)若過點作函數的切線有且僅有兩條，求的值；(2)若對于任意，直線與曲線都有唯一交點，求實數的取值范圍.【答案】(1)(2)【詳解】（1）設過點作函數切線的切點為，因為，所以切線方程為，即，又因為切線過點，所以.令，則，所以，，遞減；，，遞增；，，遞減.當時，取極小值；當時，取極小值，，時；時，根據以上信息作出的大致圖象，

由題意，直線與的圖象有且僅有兩個交點，所以.（2）由題可得有唯一解，即有唯一解．令，若，則與題設，矛盾，故.又因為，；，，結合題意可得在上單調遞增，即，所以，結合（1）可得，所以.三、專項訓練一、單選題1．（2024上·廣東江門·高三統(tǒng)考階段練習）直線與函數的圖象公共點的個數為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【詳解】聯立與，消去y得，，令，求導得，當時，單調遞減；當時，單調遞增，因此，函數有唯一零點1，所以直線與函數的圖象公共點的個數為1．故選：B2．（2023上·河北·高三校聯考期末）已知函數有兩個零點，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】令，則，注意函數與函數互為反函數，它們的圖象關于直線對稱，則要使函數有兩個零點，只需與直線有兩個交點即可，即關于的方程有兩個根，即在上有兩個根，設，則，易知當時，，單調遞減，當時，，單調遞增，則，且時，，當時，，故，故選：A．3．（2023下·廣東陽江·高二?？计谥校┤艉瘮翟谏现挥幸粋€零點，則常數的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】令，則，構建，原題意等價于與有且僅有一個交點，因為，令，解得或；令，解得；則在上單調遞增，在上單調遞減，可得在處取到極大值，在處取到極小值，且當趨近于時，趨近于，當趨近于時，趨近于，

結合的圖象可知：若與有且僅有一個交點，則或，所以常數的取值范圍是.故選：D.二、填空題4．（2023上·江蘇常州·高三統(tǒng)考期中）若關于的方程有兩個不相等的實數根，則實數的取值范圍是．【答案】【詳解】令且，則，令，則，當時，即遞增；當時，即遞減；所以，故恒成立，即在、上遞減，而時；時；時；所以的圖象如下圖示，故有兩個根．

故答案為：5．（2023·貴州遵義·統(tǒng)考模擬預測）已知函數，若關于的不等式恰有一個整數解，則實數的取值范圍為.【答案】【詳解】當時，，即函數在上單調遞增函數的圖像如下圖所示：

由得出，當時，顯然不成立.但時，解得，使得不等式只有唯一整數解，此時.即時，唯一整數解是，當時，，使得不等式只有唯一整數解，此時，即時，唯一整數解是.綜上，.故答案為：6．（2023下·重慶江北·高二重慶十八中?？计谥校┮阎瘮档膱D象與函數的圖象有兩個交點，則實數的取值范圍是．【答案】【詳解】因為，，且在上單調遞增，可知在上單調遞增，由題意可知：函數的圖象與函數的圖象有兩個交點，又因為，設切點坐標為，則切線斜率，切線方程為，若切線過原點，則，解得，結合圖象可知：若函數的圖象與函數的圖象有兩個交點，則，所以實數的取值范圍是.故答案為：.

三、問答題7．（2023上·山東·高三濟南一中校聯考期中）已知函數．(1)若函數在上單調遞增，求的取值范圍；(2)若函數的圖象與有且只有一個交點，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【詳解】（1）由，則，因為函數在上單調遞增，所以在恒成立，即，而在上單調遞增，當時，，所以的取值范圍．（2）與有且只有一個交點，即只有一個根，只有一個根，令，所以的圖像與的圖像只有一個交點，，令，解得或，令，解得，所以在上單調遞增，上單調遞減，所以，，又因為的圖像與的圖像只有一個交點，所以.8．（2023上·吉林長春·高一吉林省實驗?？计谥校┮阎瘮?，(1)求函數的單調區(qū)間與極值點；(2)若，方程有三個不同的根，求的取值范圍．【答案】(1)答案見解析(2)【詳解】（1）定義域為，，令得或，當即時，，，在區(qū)間上單調遞減；，，在區(qū)間上單調遞增；故有極小值點，無極大值點，當即時，時，，在區(qū)間單調遞增，當時，，在區(qū)間單調遞減；當時，，在區(qū)間上單調遞增；當極小值點為，極大值點為；當即時，時，，在區(qū)間單調遞增，當時，，在區(qū)間單調遞減；當時，，fx在區(qū)間單調遞增；故有極小值點，有極大值點為；當時，即時，，在單調遞增，無減區(qū)間，無極值點．（2）當時，即，由（1）可知，時，單調遞增，時，單調遞減，時，單調遞增；極大值，極小值，要使有三個不同的根，則.故的取值范圍為9．（2023上·江蘇·高三校聯考階段練習）已知函數．(1)若曲線在點處的切線與軸平行，求該切線方程；(2)討論曲線與直線的交點個數．【答案】(1)(2)答案見解析【詳解】（1），因為曲線在點處的切線與軸平行，所以，因為，所以．所以所求切線方程為．（2）由（1）可知，當時，當時，所以在上單調遞增，在上單調遞減，所以．所以當時，曲線與直線無交點；當時，曲線與直線有且僅有一個交點；當時，在上，，令，得舍去，則，又所以在上，曲線與直線有且僅有一個交點，又因為，即為偶函數，所以在上，曲線與直線有兩個交點．綜上所述，當時，曲線與直線無交點；當時，曲線與直線有且僅有一個交點；當時，曲線與直