2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第6章概率§5正態(tài)分布學(xué)案北師大版選擇性必修第一冊(cè)

PAGE§5正態(tài)分布學(xué)習(xí)任務(wù)核心素養(yǎng)1．了解連續(xù)型隨機(jī)變量的概念以及連續(xù)型隨機(jī)變量的分布密度函數(shù)．(重點(diǎn))2．相識(shí)正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義．(重點(diǎn))1．通過(guò)正態(tài)分布的學(xué)習(xí)，培育邏輯推理素養(yǎng)．2．借助正態(tài)曲線的應(yīng)用，培育數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．1．離散型隨機(jī)變量的取值有何特點(diǎn)？如何刻畫(huà)離散型隨機(jī)變量取值的分布規(guī)律？2．一件產(chǎn)品的運(yùn)用壽命是否為隨機(jī)變量？它能一一列舉出來(lái)嗎？1．正態(tài)分布在頻率分布直方圖中，為了了解得更多，圖中的區(qū)間會(huì)分得更細(xì)，假如將區(qū)間無(wú)限細(xì)分，最終得到一條曲線，這條曲線稱(chēng)為隨機(jī)變量X的正態(tài)分布密度曲線，這條曲線對(duì)應(yīng)的函數(shù)稱(chēng)為X的正態(tài)分布密度(函數(shù))，簡(jiǎn)稱(chēng)正態(tài)分布．正態(tài)分布的密度函數(shù)解析式為φμ，σ(x)＝eq\f(1,\r(2π)σ)eeq\s\up8(－eq\f(x－μ2,2σ2))，x∈(－∞，＋∞)．它有兩個(gè)重要的參數(shù)：均值μ和方差σ2(σ>0)，通常用X～N(μ，σ2)表示X聽(tīng)從參數(shù)為μ和σ2的正態(tài)分布．2．正態(tài)曲線滿意的性質(zhì)(1)正態(tài)曲線有如下性質(zhì)①曲線在x軸的上方，與x軸不相交．②曲線是單峰的，關(guān)于直線x＝μ對(duì)稱(chēng)．③曲線的最高點(diǎn)位于x＝μ處．④當(dāng)x＜μ時(shí)，曲線上升；當(dāng)x＞μ時(shí)，曲線下降；并且當(dāng)曲線向左、右兩邊無(wú)限延長(zhǎng)時(shí)，以x軸為漸近線．(2)正態(tài)曲線的特點(diǎn)①當(dāng)σ肯定時(shí)，曲線的位置由μ確定，曲線隨著μ的改變而沿x軸平移．②當(dāng)μ肯定時(shí)，曲線的形態(tài)由σ確定．σ越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散；σ越小，曲線越“高瘦”，表示總體的分布越集中．(3)3σ原則P(μ－σ＜X≤μ＋σ)≈0.6826，P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)≈0.9544，P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)≈0.9974．正態(tài)分布密度函數(shù)中μ與σ的意義分別是什么？[提示]μ表示隨機(jī)變量的平均水平，σ是衡量隨機(jī)變量的總體波動(dòng)大?。?．思索辨析(正確的畫(huà)“√”，錯(cuò)誤的畫(huà)“×”)(1)函數(shù)φμ，σ(x)中參數(shù)μ，σ的意義分別是樣本的均值與標(biāo)準(zhǔn)差． ()(2)正態(tài)曲線是單峰的，其與x軸圍成的面積是隨參數(shù)μ，σ的改變而改變的． ()(3)正態(tài)曲線可以關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)． ()(4)正態(tài)曲線的“高瘦”與“矮胖”只與σ的大小有關(guān)． ()[答案](1)√(2)×(3)√(4)√2．設(shè)隨機(jī)變量X～N(μ，σ2)，且P(X≤C)＝P(X＞C)，則C＝()A．0B．σC．－μD．μ[答案]D3．已知正態(tài)分布密度函數(shù)為f(x)＝eq\f(1,2π)eeq\s\up8(－eq\f(x2,4π))，x∈(－∞，＋∞)，則該正態(tài)分布的均值為_(kāi)_______，標(biāo)準(zhǔn)差為_(kāi)_______．[答案]0eq\r(2π)4．一臺(tái)機(jī)床生產(chǎn)一種尺寸為10mm的零件，現(xiàn)在從中抽測(cè)10個(gè)，它們的尺寸分別如下(單位：mm)：10.2，10.1，10，9.8，9.9，10.3，9.7，10，9.9，10.1，假如機(jī)床生產(chǎn)零件的尺寸Y聽(tīng)從正態(tài)分布，求正態(tài)分布密度函數(shù)解析式．[解]由題意得μ＝eq\f(1,10)(10.2＋10.1＋10＋9.8＋9.9＋10.3＋9.7＋10＋9.9＋10.1)＝10，σ2＝eq\f(1,10)[(10.2－10)2＋(10.1－10)2＋(10－10)2＋(9.8－10)2＋(9.9－10)2＋(10.3－10)2＋(9.7－10)2＋(10－10)2＋(9.9－10)2＋(10.1－10)2]＝0.03，即μ＝10，σ2＝0.03．所以Y的正態(tài)分布密度函數(shù)為φ(x)＝eq\f(10,\r(6π))eeq\s\up8(－eq\f(50x－102,3))，x∈R．類(lèi)型1正態(tài)曲線【例1】如圖是一個(gè)正態(tài)曲線，試依據(jù)該圖象寫(xiě)出其正態(tài)分布密度曲線的函數(shù)解析式，求出總體隨機(jī)變量的均值和方差．[思路點(diǎn)撥]給出一個(gè)正態(tài)曲線，就給出了該曲線的對(duì)稱(chēng)軸和最大值，從而就能求出總體隨機(jī)變量的均值、標(biāo)準(zhǔn)差以及解析式．[解]從正態(tài)曲線的圖象可知，該正態(tài)曲線關(guān)于直線x＝20對(duì)稱(chēng)，最大值為eq\f(1,2\r(π))，所以μ＝20，eq\f(1,\r(2π)·σ)＝eq\f(1,2\r(π))，解得σ＝eq\r(2)．于是正態(tài)分布密度曲線的函數(shù)解析式為φμ，σ(x)＝eq\f(1,2\r(π))eeq\s\up8(－eq\f(x－202,4))，x∈(－∞，＋∞)．總體隨機(jī)變量的均值是μ＝20，方差是σ2＝(eq\r(2))2＝2．1．用待定系數(shù)法求正態(tài)分布密度曲線的函數(shù)表達(dá)式，關(guān)鍵是確定參數(shù)μ與σ的值．2．當(dāng)x＝μ時(shí)，正態(tài)分布密度函數(shù)取得最大值，即f(μ)＝eq\f(1,\r(2π)σ)，留意該式在解題中的運(yùn)用．[跟進(jìn)訓(xùn)練]1．如圖是σ取三個(gè)不同值σ1，σ2，σ3時(shí)的三種正態(tài)曲線N(0，σ2)的圖象，那么σ1，σ2，σ3的大小關(guān)系是()A．σ1>1>σ2>σ3>0 B．0<σ1<σ2<1<σ3C．σ1>σ2>1>σ3>0 D．0<σ1<σ2＝1<σ3D[當(dāng)μ＝0，σ＝1時(shí)，正態(tài)分布密度函數(shù)φ(x)＝eq\f(1,\r(2π))eeq\s\up8(－eq\f(x2,2))，x∈(－∞，＋∞)，當(dāng)x＝0時(shí)，取得最大值eq\f(1,\r(2π))，所以σ2＝1，即σ2＝1，由正態(tài)曲線的特點(diǎn)知：當(dāng)μ肯定時(shí)，曲線的形態(tài)由σ確定，σ越小，曲線越“瘦高”；σ越大，曲線越“矮小”，于是有0<σ1<σ2＝1<σ3，故選D．]類(lèi)型2正態(tài)分布下的概率計(jì)算【例2】在某項(xiàng)測(cè)量中，測(cè)量結(jié)果X聽(tīng)從正態(tài)分布N(1，σ2)(σ>0)．若X在(0，1)內(nèi)取值的概率為0.4，則X在(0，2)內(nèi)取值的概率為_(kāi)_______．[思路點(diǎn)撥]由題意知，正態(tài)曲線關(guān)于x＝1對(duì)稱(chēng)，而區(qū)間(0，1)與區(qū)間(1，2)關(guān)于x＝1對(duì)稱(chēng)，故由正態(tài)曲線性質(zhì)得X在區(qū)間(0，1)和(1，2)上取值的概率相等．0.8[∵X～N(1，σ2)，∴正態(tài)曲線關(guān)于x＝1對(duì)稱(chēng)．∴P(1<X<2)＝P(0<X<1)＝0.4．∴P(0<X<2)＝P(0<X<1)＋P(1<X<2)＝0.4＋0.4＝0.8．]1．解答此題的關(guān)鍵是利用正態(tài)曲線的對(duì)稱(chēng)性，把待求區(qū)間內(nèi)的概率向已知區(qū)間內(nèi)的概率進(jìn)行轉(zhuǎn)化．2．正態(tài)分布在某個(gè)區(qū)間內(nèi)取值的概率求法(1)熟記P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)的值．(2)利用P(X<μ－a)＝P(X>μ＋a)，P(X<a)＝1－P(X≥a)求解．[跟進(jìn)訓(xùn)練]2．設(shè)ξ～N(1，22)，試求：(1)P(－1<ξ≤3)；(2)P(3<ξ≤5)；(3)P(ξ≥5)．[解]∵ξ～N(1，22)，∴μ＝1，σ＝2．(1)P(－1<ξ≤3)＝P(1－2<ξ≤1＋2)＝P(μ－σ<ξ≤μ＋σ)＝0.683．(2)∵P(3<ξ≤5)＝P(－3<ξ≤－1)，∴P(3<ξ≤5)＝eq\f(1,2)[P(－3<ξ≤5)－P(－1<ξ≤3)]＝eq\f(1,2)[P(1－4<ξ≤1＋4)－P(1－2<ξ≤1＋2)]＝eq\f(1,2)[P(μ－2σ<ξ≤μ＋2σ)－P(μ－σ<ξ≤μ＋σ)]＝eq\f(1,2)(0.954－0.683)＝0.1355．(3)∵P(ξ≥5)＝P(ξ≤－3)，∴P(ξ≥5)＝eq\f(1,2)[1－P(－3<ξ≤5)]＝eq\f(1,2)[1－P(1－4<ξ≤1＋4)]＝eq\f(1,2)[1－P(μ－2σ<ξ≤μ＋2σ)]＝eq\f(1,2)(1－0.954)＝0.023．類(lèi)型3正態(tài)分布的應(yīng)用【例3】設(shè)在一次數(shù)學(xué)考試中，某班學(xué)生的分?jǐn)?shù)聽(tīng)從X～N(110，202)，且知滿分150分，這個(gè)班的學(xué)生共54人．求這個(gè)班在這次數(shù)學(xué)考試中及格(不低于90分)的人數(shù)和130分以上的人數(shù)．[思路點(diǎn)撥]要求及格的人數(shù)，即要求出P(90≤X≤150)，而求此概率需將問(wèn)題化為正態(tài)分布中幾種特別值的概率形式，然后利用對(duì)稱(chēng)性求解．[解]∵X～N(110，202)，∴μ＝110，σ＝20，∴P(110－20<X<110＋20)＝0.683．∴130<X≤150的概率為eq\f(1,2)×(1－0.683)＝0.1585．90≤X≤150的概率為0.683＋0.1585＝0.8415，∴及格的人數(shù)為54×0.8415≈45人，130分以上的人數(shù)為54×0.1585≈9人．正態(tài)曲線的應(yīng)用及求解策略解答此類(lèi)題目的關(guān)鍵在于將待求的問(wèn)題向(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)這三個(gè)區(qū)間進(jìn)行轉(zhuǎn)化，然后利用上述區(qū)間的概率求出相應(yīng)概率，在此過(guò)程中依舊會(huì)用到化歸思想及數(shù)形結(jié)合思想．[跟進(jìn)訓(xùn)練]3．某人從某城市的南郊乘公交車(chē)前往北區(qū)火車(chē)站，由于交通擁擠，所需時(shí)間X(單位：分)近似聽(tīng)從正態(tài)分布X～N(50，102)，求他在(30，60]分內(nèi)趕到火車(chē)站的概率．[解]∵X～N(50，102)，∴μ＝50，σ＝10．∴P(30<X≤60)＝P(30<X≤50)＋P(50<X≤60)＝eq\f(1,2)P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＋eq\f(1,2)P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝eq\f(1,2)×0.954＋eq\f(1,2)×0.683＝0.8185，即他在(30，60]分內(nèi)趕到火車(chē)站的概率是0.8185．1．類(lèi)比函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合正態(tài)分布密度曲線的特點(diǎn)駕馭正態(tài)分布曲線的性質(zhì)．2．求正態(tài)分布在給定區(qū)間上的概率問(wèn)題時(shí)，要將所給區(qū)間化為已知其概率的區(qū)間．3．由正態(tài)分布的對(duì)稱(chēng)性知：若ξ～N(μ，σ2)，則P(ξ>μ)＝P(ξ<μ)＝0.5．1．下列變量中，是連續(xù)型隨機(jī)變量的是()A．投擲五枚硬幣出現(xiàn)的正面次數(shù)B．某工廠生產(chǎn)的某種零件的長(zhǎng)度C．拋擲兩枚骰子，所得點(diǎn)數(shù)之差D．某人的手機(jī)在一周內(nèi)接到的電話次數(shù)B[B中的變量的取值不能一一列出，所以它是連續(xù)型隨機(jī)變量，而A、C、D中的變量均是離散型隨機(jī)變量．]2．在正態(tài)分布總體聽(tīng)從N(μ，σ2)中，其參數(shù)μ，σ分別是這個(gè)總體的()A．方差與標(biāo)準(zhǔn)差 B．期望與方差C．期望與標(biāo)準(zhǔn)差 D．標(biāo)準(zhǔn)差與期望C[由正態(tài)分布概念可知C正確．]3．設(shè)隨機(jī)變量X～N(0，1)，則P(X<0)＝________．eq\f(1,2)[由正態(tài)分布曲線的對(duì)稱(chēng)性知P(X<0)＝eq\f(1,2)．]4．一