強(qiáng)化訓(xùn)練三 導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的經(jīng)典題型突破（單調(diào)性、不等式、零點(diǎn)、恒成立）-2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)《考點(diǎn)題型 技巧》精講與精練高分突破系列人

強(qiáng)化訓(xùn)練三：導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的經(jīng)典題型突破(單調(diào)性、不等式、零點(diǎn)、恒成立)

題型一、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性問題

1.(2023秋?山東濰坊?高二統(tǒng)考期末)已知.f(x)=x2-2x+a\nx

(1)若函數(shù)/(x)在x=2處取得極值，求實(shí)數(shù)。的值；

⑵若g(力=/(力-公，求函數(shù)g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；

2.(2023秋.江蘇鹽城.高二鹽城中學(xué)?？计谀?設(shè)函數(shù)〃x)=aln(x+2)+；(x2-l)"為非

零常數(shù))

⑴若曲線”X)在點(diǎn)(0,.“0))處的切線經(jīng)過點(diǎn)(l,ln2),求實(shí)數(shù)〃的值；

⑵討論函數(shù)y=的單調(diào)性.

3.(2023秋?安徽阜陽(yáng)?高二安徽省潁上第一中學(xué)?？计谀?已知函數(shù)f(x)=lnx+@(aeR).

X

(1)討論函數(shù)/(X)的單調(diào)性；

(2)若方程J'(x)=］有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根“電，證明：丐+%>2”.

題型二、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值與最值問題

4.(2023?全國(guó)?高二專題練習(xí))己知函數(shù)〃》)=竺1于口.

(1)若x=2是“X)的極小值點(diǎn)，求。的取值范圍；

(2)若只有唯一的極值點(diǎn)，求證：+aK+”.

5.(2023秋?浙江寧波?高二校聯(lián)考期末)已知函數(shù)〃x)=d+加+?蚊4

(1)若函數(shù)/(x)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，求。的取值范圍；

(2)若/(x)Nxlnx+x在(。,+8)恒成立，求”的最小值.

6.(2023秋?重慶沙坪壩?高二重慶南開中學(xué)校考期末)設(shè)函數(shù)

/(x)=31nx~—,g(x)=—%2+3,aeR

⑴若x=2是函數(shù)〃x)的極值點(diǎn)，求“X)在\e上的最大值;

⑵若曲線y=/(x)在x=l處的切線/與曲線y=g(x)也相切，求實(shí)數(shù)”的值.

題型三、利用導(dǎo)數(shù)研究恒成立問題

7.(2023.全國(guó).高二專題練習(xí))若Vx>0,不等式提+武1+的力-2加屋0恒成立，則實(shí)數(shù)

機(jī)的最大值為()

1「113ln2-?

A.-B.一+—C.-+——D.1

222e84

8.(2022春?安徽滁州?高二校考期中)已知函數(shù)〃x)=xln?+4e*,g(x)=-f+x,當(dāng)

xe(O,m)時(shí),/(x)2g(x)恒成立,則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

A.B.C.[l,+oo)D.[e,+oo)

9.(2021春?天津薊州?高二?？计谀?已知函數(shù)/滿足叫/'(耳+2/(切=4，

/(g)=，若對(duì)任意正數(shù)“，匕都有/￡?+馬廬+中，則x的取值范

圍是()

A.(YO,1)B.(T?,0)C.(0,1)D.(l,+oo)

題型四：利用導(dǎo)數(shù)研究零點(diǎn)問題

10.(2023?全國(guó)?高二專題練習(xí))已知函數(shù)Ax)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x>0時(shí)，

/(x)=xlnx+-,若關(guān)于x的函數(shù)F(x)="(x)f+4(x)恰有4個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范

圍為()

11.(2022春?青海海東?高二統(tǒng)考期末)已知函數(shù)""=/-111%+3(〃-1)在1,2上有零點(diǎn),

則。的最小值是()

A.-In2B.--21n2C.In2-1D.21n2-7

2

12.(2023?全國(guó)?高二專題練習(xí))已知函數(shù)/(x)=史+-丘，若x=l是/(x)在區(qū)間(0,+8)

x2

上的唯一的極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)&的取值范圍是()

題型五：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)和圖像問題

13.(2022春?江蘇揚(yáng)州?高二江蘇省江都中學(xué)階段練習(xí))已知函數(shù)

〃x)=，Mg(x)=3欣+2e@4x4e3),若〃x)與g(x)的圖像上分別存在點(diǎn)M,N,使得

M,N關(guān)于直線y=e對(duì)稱，則實(shí)數(shù)小的取值范圍是()

-9)r39-

Le2)Leej

91r3i

C.—7,3eD.——,3e

e2LeJ

14.(2022春?四川成都?高二樹德中學(xué)?？茧A段練習(xí))已知1〃(3,若方程

31?

x-lnx+-+—--=0在[1,2]上有唯一實(shí)根，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為()

XXX

A.■^-―In2,3^B.-In2,3C.^-In2,3^D.-In2,3

15.(2022春?江西贛州?高二贛州市贛縣第三中學(xué)?？茧A段練習(xí))已知定義在R上的奇函數(shù)

“6滿足f(2+x)=/(—x),且當(dāng)xe[0,l]時(shí)r(X)>I,則不等式〃X)4sing在[-3,3]上

的解集為()

A.[-2,0]u[2,3]B.[-1,3]

C.[-1,2]D.[-3,-2]u[0,2]

題型四、利用導(dǎo)數(shù)研究不等式問題

16.(2023秋?北京?高二北京市H"一學(xué)校?？计谀?已知函數(shù)/(x)=e"(2x-l)-ar+a.

(1)若aVl且僅存在兩個(gè)的整數(shù)，使得/(“<0,求〃的取值范圍；

(2)討論/(x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

⑶證明片,々€Vfw(O,l),有/(4+(1-0々)4/(與)+(1-。〃々).

17.(2023秋?山西大同?高二大同一中?？计谀?設(shè)函數(shù)

/(耳=--4(》+(71時(shí)(4€11,4工0)/3是函數(shù)/(力的導(dǎo)函數(shù).

⑴討論了⑺的單調(diào)性；

(2)若4>0,且/(1)+7(1)=0,結(jié)合(1)的結(jié)論，你能得到怎樣的不等式?

⑶利用⑵中的不等式證明：(+/+...+竽>ln(〃+D(〃eN").

18.(2023?全國(guó)?高二專題練習(xí))已知函數(shù)〃x)=e'—方—l(awR).

⑴若〃x)20在xc(Yo,yo)上恒成立，求實(shí)數(shù)a的值；

(2)證明：當(dāng)xe(O,l)時(shí)，M1”X)<X+1-X2.

專題強(qiáng)化訓(xùn)練

一、單選題(

19.(2023秋?北京?高二北京市十一學(xué)校?？计谀?已知函數(shù)〃x)=xln(I+x),則()

A.是偶函數(shù)

B.曲線y=/(x)在點(diǎn)處切線的斜率為-l+ln2

C./(x)在上單調(diào)遞增

D./(x)有一個(gè)零點(diǎn)

20.(2023秋?山西大同?高二大同一中?？计谀?若對(duì)于VApW?y,/??),且不vx?,都有

在>],則小的取值范圍是()

e--ex,

A.(-8,0)B.(-<?,0]C.(0,+??)D.[0,+a?)

21.(2023秋?山西大同?高二大同一中校考期末)設(shè)函數(shù)是定義在(0,+8)上的可導(dǎo)函數(shù),

且滿足2礦(x)+f(x)<0,其中尸(力為〃x)的導(dǎo)函數(shù)則對(duì)于任意a>b>0,必有()

A.a2f(a)<b2f(b)B.a2f(a)>b2f(b)

C.af^a2)<hf(h2)D.af(a2)>hf(h2)

22.(2023?全國(guó)?高二專題練習(xí))已知/(x)是定義在(Y),0)U(0,+O))上的奇函數(shù)，尸(力是

，(x)的導(dǎo)函數(shù),當(dāng)x>0時(shí)，#,(x)+2/(x)>0.若"2)=0,則不等式x3/(x)>0的解集

是()

A.(—00,—2)：(0,2)B.(―co,—2)u(2,+<x>)

C.(-2,0)(2,—)D.(-2,0)^(0,2)

23.(2023?全國(guó)?高二專題練習(xí))設(shè)函數(shù)/(x)在R上存在導(dǎo)數(shù)尸(x),對(duì)任意的xeR,有

/(-x)-/(x)=0,且xe[0,M)時(shí)r(x)<2x,若/(2a—2)—f(a—4)23/72,則實(shí)數(shù)a

的取值范圍為().

A.[-2,2]B.(F,-2]U[2,E)

C.S，-2]D.[-2,+oo)

24.(2023?全國(guó)?高二專題練習(xí))已知函數(shù)/(x)是定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為尸(x),

若〃2)=e2,且〃力一則關(guān)于*的不等式/(lnx)2x的解集為()

A.(0,e]B.(0,e2]

C.[e,+<x))D.[e2,+a>)

25.(2023秋?山東荷澤?高二山東省鄴城縣第一中學(xué)?？计谀?已知函數(shù)/(x)=ar-xlnr與

函數(shù)g(x)=e*-l的圖像上恰有兩對(duì)關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為()

A.(-oo,l-e]B.C.(-a),l-e)D.

26.(2023秋?重慶沙坪壩?高二重慶一中?？计谀?設(shè)函數(shù)/(x)=e'-加+奴(aeR)

(e=2.718為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，若恰好存在兩個(gè)正整數(shù)加，〃使得/(加)<0,/(〃)<0,

則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

C.—,—D.—,—

162」|_212j

27.（2023秋?浙江寧波?高二校聯(lián)考期末）已知〃x）=e'+ar+6N0對(duì)任意xeR恒成立，其

中。泊為常數(shù)且則（）

A.ab＞0B.b＞—\

C.a-b＜a\n（-a）D.h-a＜-a\na

2

28.（2022秋?新疆巴音郭楞?高二新疆和靜高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）關(guān)于函數(shù)/（k=[+lnx,

下列判斷正確的是（）

①x=2是/（X）的極小值點(diǎn)

②函數(shù)＞=/（x）-x有2個(gè)零點(diǎn)

③存在正實(shí)數(shù)%，使得/（x）＞去成立

④對(duì)任意兩個(gè)正實(shí)數(shù)X1,巧，且為＞々，若/（%）=/（9），則占+々＞4

A.①④B.②③C.②④D.①③

29.（2022春?上海普陀?高二曹楊二中?？计谀┮阎瘮?shù)/（x）=lnx+l-s有兩個(gè)零點(diǎn)

2

西,々（百＜々），對(duì)于下列結(jié)論：①②貝IJ（）

A.①②均對(duì)B.①②均錯(cuò)C.①對(duì)②錯(cuò)D.①錯(cuò)②對(duì)

2

30.（2022?全國(guó)?高二假期作業(yè)）關(guān)于函數(shù)f（x）=—+lnx,下列判斷正確的是（）

X

①x=2是/（x）的極大值點(diǎn)

②函數(shù)y=/（x）-x有且只有1個(gè)零點(diǎn)

③存在正實(shí)數(shù)女，使得/。）＞收成立

④對(duì)任意兩個(gè)正實(shí)數(shù)與工，且再＞*2，若/（百）=/。2），則西+々＞4

A.@@B.②③C.②④D.①③

二、多選題

31.（2023秋?江蘇南通?高二?？计谀┘褐瘮?shù)f（x）=x2-lnx,則下列說法正確的是（）

A./（x）的單調(diào)減區(qū)間是（「65、B./（x）的單調(diào)增區(qū)間是（J[5事,包\

c./（X）的最小值是U詈D.“X）21恒成立

32.（2023?全國(guó)?高二專題練習(xí)）若函數(shù)〃力=2/-4限+1在區(qū)間（“一3㈤上不單調(diào)，則實(shí)

數(shù)。的值可能是（）

A.2B.3C.2上D.4

33.（2023秋?山東荷澤?高二山東省鄴城縣第一中學(xué)校考期末）已知函數(shù)

/（x）=gx2-ar+ahLt的兩個(gè)極值點(diǎn)分別是為,電，則（）

A.a<0或“>4B.

C.存在實(shí)數(shù)。，使得/（5）+/（%）>0D.〃西）+〃々）<；（芭2+￥）-6

34.（2023秋?江蘇蘇州?高二常熟中學(xué)?？计谀┮阎瘮?shù)〃x）=hu-/（aeR）,則下列

說法正確的是（）

A.當(dāng)時(shí),函數(shù)/（x）恰有兩個(gè)零點(diǎn)

B.當(dāng)時(shí)，不等式/（x）<0對(duì)任意x>0恒成立

C.若函數(shù)/（x）有兩個(gè)零點(diǎn)Wd,則xd2>e

D.當(dāng)a=0時(shí)，若不等式爐一/（〃吠）“帆-1卜對(duì)方€（0,物）恒成立，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍

為（0,e]

35.（2022春?福建?高二福建師大附中?？计谥校╆P(guān)于函數(shù)/（x）="e*-cosx,xw（-兀,兀），下

列說法正確的是（）

A.若/（x）為增函數(shù)，則孝￡*B.若函數(shù)/（x）恰有一個(gè)極值，則a=0

C.對(duì)任意。>0,”x）zo恒成立D.當(dāng)4=1時(shí)，/（X）恰有2個(gè)零點(diǎn)

36.（2022秋.廣東茂名.高二茂名市第一中學(xué)?？计谥校┮阎瘮?shù)/（x）=（3x2-l）2-8/_a,

則（）

A.f（x）的極大值為1一。

B.〃x）的最小值為-5-a

C.當(dāng)/（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)最多時(shí)，〃的取值范圍為（9,1）

D.不等式/（%）4-a的解的最大值與最小值之差小于1.2

37.（2022秋?浙江?高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)/（"是定義在R上的奇函數(shù)，且其圖象

連續(xù).當(dāng)x>0時(shí)，隈-1勺''（x）<（x+l）e*-4,則關(guān)于x的不等式〃力<0的解集可能為（）

A.（0,1）B.（-co,-e）U（0,e）

C.（-a）,-4）（0,4）D.（-a）,-3e）（0,3e）

三、填空題

38.（2023秋?湖南岳陽(yáng)?高二統(tǒng)考期末）f（x）^xi-3x+m,若關(guān)于x的方程〃x）=0在[0,2]

上有根，則實(shí)數(shù)，力的取值范圍是.

39.（2023秋?浙江寧波?高二校聯(lián)考期末）已知不等式e?，-丘z+xwiar+gin-AX））恒成立,

則女的最大值為.

Ax>（）

40.（2023?全國(guó)?高二專題練習(xí)）已知〃x）=一，若關(guān)于x的方程〃力=“有3個(gè)

3X-X3,X<0

不同實(shí)根，則實(shí)數(shù)〃取值范圍為.

41.（2022秋.陜西漢中?高二校聯(lián)考期末）若不等式a>等在xe[e2,+8）上恒成立，則實(shí)數(shù)

。的取值范圍是.

fInx

42.（2022秋?湖南長(zhǎng)沙?高二湖南師大附中?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù),

|^X3-4X-2,X<0

若方程/（￡=以有四個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)〃的取值范圍是.

x+3,x<l/、

1則使/⑴―

{—x+2x+3,x>1

恒成立的用的范圍是.

44.（2022秋?福建莆田?高二莆田一中?？计谥校┮阎坏仁?/p>

意xe(O,M)恒成立，則實(shí)數(shù)。的最大值是.

四、解答題

45.(2023秋?江蘇宿遷?高二統(tǒng)考開學(xué)考試)已知函數(shù)/(x)=q+lnx.

(1)討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性；

⑵若函數(shù)/(x)有兩個(gè)零點(diǎn)不集且再<%,；

(i)求〃的取值范圍；

(ii)證明：|⑼-0￥2|>2百工2\/1-訛.

46.(2023?全國(guó)?高二專題練習(xí))已知函數(shù)"x)=(x-l)e、+l.

(1)證明：/(x)+^x2>0；

⑵若xWO時(shí)，〃x)2，nrln(x+l)恒成立，求實(shí)數(shù)小的取值范圍.

47.(2023?全國(guó)?高二專題練習(xí))已知函數(shù)/("=加+以+4,當(dāng)x=2時(shí)，函數(shù)/(x)有極小

值0.

⑴求函數(shù)“X)的解析式；

⑵若存在xe[3,4],使不等式/(?+〃秣>0成立，求實(shí)數(shù)加的取值范圍.

48.(2023?全國(guó)?高二專題練習(xí))設(shè)/(x)=xe'-mxt/?eR.

(1)設(shè)8(力=/(》)一2〃式(n€/?),討論函數(shù)y=g(x)的單調(diào)性；

(2)若函數(shù)y=f(x)在(0,+℃)有兩個(gè)零點(diǎn)A,々，證明：占+々>2.

49.(2023?全國(guó)?高二專題練習(xí))已知a>0,/(x)=xex-a(x2+2x),xeR,尸(x)為/(x)

的導(dǎo)函數(shù).

(1)討論函數(shù)/(X)的單調(diào)性；

(2)若存在a使得r(x)26-2”對(duì)任意x恒成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

50.(2023?全國(guó)?高二專題練習(xí))已知函數(shù)/(x)=lnv+a—l,aeR.

⑴若求。的取值范圍；

⑵當(dāng)時(shí)，證明：〃x)4(l)e'.

51.(2023?全國(guó)?高二專題練習(xí))已知函數(shù)〃力=三~+("+21nx,awR.

⑴當(dāng)a=Y時(shí)，求的極值；

(2)當(dāng)0<a<；時(shí)，設(shè)函數(shù)〃x)的兩個(gè)極值點(diǎn)為毛，巧，證明："?”*)>9卷+2a.

參考答案:

1.(l)a=^

(2)答案見解析

【分析】(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)r(2)=0,求出〃的值，檢驗(yàn)即可；

(2)求出g(x)的導(dǎo)數(shù)，通過討論。的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間即可；

【詳解】(1)解：因?yàn)?(x)=x2-2x+ahu\

所以尸(x)=2x-2+g依題意r(2)=0,BP2x2-2+j=0,解得a=4

2

此時(shí)/(x)=x-2x-41nx,則f'(x\=2x-2--==2(》-2)6+1),

XXX

所以當(dāng)x〉2時(shí)/什勾>0,當(dāng)0<x<2時(shí)r(x)<0,

所以“刈在(0,2)上單調(diào)遞減，在(2,+8)上單調(diào)遞增，則“X)在>2處取得極小值，符合題意，所以〃=T.

(2)解：Hf(x)=x2-2x+a\nx,

所以g(x)=/(x)-分=d-2x+Hnx-辦，xe(0,+oo),

則/(x)=2x-(2+?)+-=2.1(2+“■+"=(2r)(x-l),

XXX

令g<x)=。，則％=1或x=￡,

1。當(dāng)a?0時(shí)，令g'(x)>0可得x>l,

???函數(shù)g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(1，”):

2。當(dāng)0<。<2時(shí)，令，(幻>。，可得Ovx,或x>l,

函數(shù)g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,2,。收)；

3。當(dāng)a=2時(shí)，8'(外之。在了€(0,+00)上恒成立，

函數(shù)g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+<?)；

4。當(dāng)a>2時(shí)，令g'(x)>0可得：Ovxvl或eg,

???函數(shù)g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1),e，+°°)；

綜上可得：當(dāng)a40時(shí)單調(diào)遞增區(qū)間為。,一),當(dāng)0<a<2時(shí)單調(diào)遞增區(qū)間為10,^),(1,+8),

12

當(dāng)4=2時(shí)單調(diào)遞增區(qū)間為(0收)，當(dāng)”>2時(shí)單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1),仁,+8

2.(1)1;

(2)分類討論，答案見解析.

【分析】(1)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求出曲線/")在點(diǎn)(0J(0))處的切線方程，再代入計(jì)算作答.

(2)求出函數(shù)定義域，利用導(dǎo)數(shù)結(jié)合分類討論求解單調(diào)區(qū)間作答.

【詳解】(1)函數(shù)〃x)=aln(x+2)+；(x2-l),求導(dǎo)得：=+則有尸(0)=?，而/(0)="In2-；,

乙人I-乙乙乙

因此曲線/(x)在點(diǎn)(OJ(O))處的切線方程為y-(aln2-；)=p,則有In2-(aln2-g)=|,

即(—FIn2)<?=In2H—>而—I-In2>0,貝!]a=1,

222

所以實(shí)數(shù)〃的值為1.

(2)函數(shù)〃*)=如。+2)+；(/-1)的定義域?yàn)?-2,4<0),/")=:+2x+JQ+U,

2x+2x+2

當(dāng)時(shí)，恒有/'(x)±O,當(dāng)且僅當(dāng)戶-1且。=1取等號(hào)，則函數(shù)/(x)在(-2,+8)上單調(diào)遞增，

當(dāng)a<l時(shí)，由x2+2x+a=0解得士=-l-Jl-a,x,=—l+Vl-a,

當(dāng)F=_17"a>-2,即0<。<1時(shí)，當(dāng)-2<x<X]或x>x?時(shí)，f\x)>0,當(dāng)士<^<三時(shí)，f'(x)<0,

因此函數(shù)/(x)在(-2,—1-Ji-a),(-1+Ji-a,+co)上單調(diào)遞增,在(-1-Ji-a,-1+>/l-a)上單調(diào)遞減,

當(dāng)a?0,即4-2時(shí),當(dāng)-2<*<々時(shí)，f\x)<0,當(dāng)*>當(dāng)時(shí)，f\x)>0,

因此函數(shù)Ax)在(-2,-1+上單調(diào)遞減，在(-1+^/^^,+oo)上單調(diào)遞增，

所以當(dāng)a40時(shí)，/(x)遞減區(qū)間是(—2,-1+J1-a),遞增區(qū)間是(-1+—“,+<?)；

當(dāng)0<a<l時(shí)，/(x)遞增區(qū)間是(-2,-1--a),(-1+y/1—a,+oo),遞減區(qū)間是(―1-Jl-a,-1+，—a)；

當(dāng)aNl時(shí)，f(x)遞增區(qū)間是

3.(1)見解析.

(2)見解析.

【分析】(1)求出f(x)的導(dǎo)數(shù)，通過討論。的范圍，判斷尸(x)的符號(hào)，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可.

(2)根據(jù)〃x)不單調(diào)，令尸(x)=/(x)\,4g(x)=F(2?-x)-F(x),x^[a,2a),求出g(x)的單調(diào)性，得到

13

/(X2)>/(2?-XI),從而證出結(jié)論.

【詳解】(1)函數(shù)〃x)的定義域?yàn)椋?0,+e)

、1ax-a

當(dāng)a?0時(shí)，f\x)>0,的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+紇)

當(dāng)a>0時(shí)，當(dāng)時(shí)，用勾>0,/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(凡物)；

當(dāng)xe(O,a)時(shí)，.[(“<0,的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,a)；

綜上所述，當(dāng)時(shí)，/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,y)，無單調(diào)遞減區(qū)間，

當(dāng)a〉0時(shí)，“X)的單調(diào)遞增區(qū)間為(。,+8),單調(diào)遞減區(qū)間為(0,。).

(2)因?yàn)榉匠蘤(x)=^存在兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解占％,

因此/(x)不為單調(diào)函數(shù)，所以”>0,

令F(x)=〃x)-j則F(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,。)，單調(diào)遞增區(qū)間為(。,物)，最小值F(a)<0,

:.0<xl<a<x2,令g(x)="(2?—x)—尸(x),xe\a,2a),

g\x)=F'(2a-x)-F\x)f'(2a-x)-f(x)=2"

[2a-x)x~

???g(x)在[4,2a)上單調(diào)遞增，且g(a)=O,

???當(dāng)xc(a,2a)時(shí)，g(x)>0,

2a-x1g(2a-xy)>0,

g(2〃-%)=尸(%)一尸(2一%)=/(%)-〃五-％)>0

f(xj=/(々)=?，???/(￡)>〃24-XJ

f(X)的單調(diào)遞增區(qū)間為(a,+oo),巧、2a-xte(a,+a))

/.x2>2a-x,f+x2>2a.

4.(l)L|a<-||

(2)證明見解析

14

【分析】(1)利用導(dǎo)數(shù)分4=0,4>0和。<0討論函數(shù)單調(diào)性即可求解；

(2)由(1)可知當(dāng)。=0時(shí)，“X)此時(shí)有唯一的極大值點(diǎn)，題意轉(zhuǎn)化成三Ulnx-《x,令g(x)=W-lnx+《x,

e2e-2

利用導(dǎo)數(shù)求其最值即可

［詳解］(1)由可得/(x)=/-+3+尸*=_0?+(24_1〃+2__(>2)(公+1),

er(e‘)exex

當(dāng)a=0時(shí)，一(以+1)<0,

則當(dāng)x<2時(shí)，盟x)>0,〃x)單調(diào)遞增；當(dāng)x>2時(shí)，〃x)<0,“X)單調(diào)遞減，

故x=2是〃x)的極大值點(diǎn)，不符合題意，舍去；

當(dāng)a>0時(shí)、令/'(x)=0,則x=2或x=-L；

a

由一1<0<2可得當(dāng)-2<x<2時(shí)，/^x)>0,/(x)單調(diào)遞增；當(dāng)xv-1■或*>2時(shí)，/'(x)<0,/(x)單調(diào)遞減,

aav7a

故x=2是“X)的極大值點(diǎn)，不符合題意，舍去；

當(dāng)。<0時(shí)，…-始-2)1+1，

小)=--------------

2

①若-：=2,即。=-(Z>(x)=l^~)->Q,故〃x)在R上單調(diào)遞增，不符合題意，舍去；

②若-，>2,即a>_，時(shí)，

a2

當(dāng)x>-1或x<2時(shí)，/”)>0,/(x)單調(diào)遞增；當(dāng)2<x<-：時(shí)，r(x)<0,〃x)單調(diào)遞減，

故x=2是“X)的極大值點(diǎn)，不符合題意，舍去；

③若」<2,即時(shí)，

a2

當(dāng)-：<x<2時(shí)，/'(x)<0,〃x)單調(diào)遞減；當(dāng)或x>2時(shí)，f")>0,單調(diào)遞增，

故x=2是〃x)的極小值點(diǎn)，符合題意.

綜上所述，“的取值范圍卜.<-；｝.

y_11

(2)由(1)可知，當(dāng)〃=0時(shí)，“X)此時(shí)有唯一的極大值點(diǎn)，要證：—>lnx--x,

e2

,八(\x-111/\2—x%—2小\2x—e、

設(shè)g(x)=h-lnx+5-gz(力=丁+云=(2一

設(shè)/z(x)=2x—e',x>0,/2r(x)=2—eA,

15

當(dāng)x?0,ln2),〃'(x)>0;當(dāng)xe(ln2,+oo),/z'(x)<0;

于是/?(x)在(O,ln2)單調(diào)遞增，在(In2,內(nèi))單調(diào)遞減，

于是Mx)?Mln2)=21n2-2<0,

則由g'(x)=O可得x=2,

當(dāng)XG(O,2),g[x)<0;當(dāng)XG(2,+OO),g[x)>0;

且g(x)在(0,2)單調(diào)遞減，在(2,+8)單調(diào)遞增，

那么g(x)Ng⑵=5-ln2+l>0,即證

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的綜合問題的求解策略：

1、通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；

2、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題.

3、根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時(shí)，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)

能直接求出最值點(diǎn)的情況，進(jìn)行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立

與存在性問題的區(qū)別.

5.⑴百或

⑵一1

【分析】(1)函數(shù)/(x)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，等價(jià)于3/+2依+1=0有兩個(gè)不同的解，利用判別式大于零求解即可；

(2)在(0,+8)恒成立，即丁+以24=。2/7,轉(zhuǎn)化為求g(x)=?-x的最大值，利用導(dǎo)數(shù)

即可得答案.

【詳解】(1)因?yàn)?(力=丁+加+x(aeR),

所以/'(司=3/+2011

因?yàn)楹瘮?shù)/(x)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，

所以3/+2必+1=0有兩個(gè)不同的解，

所以4a2-12>0,解得。<-6或。>6

(2)f(x)2xlnx+x在(0,+8)恒成立，即f+?21m=>42^^—工恒成立，

X

16

令g(x)=U/_x,則?>g(x)inax

1—Inx-

因?yàn)間'(x)=

設(shè)〃(x)=l-Inx-%?=>//(l)=0,

y=-Inx,y=1-爐在(0,+e)上都遞減，

所以人(%)=1-如x-x2在(0,y)上遞減,

所以，當(dāng)Ovxvl時(shí)，A(x)>0,此時(shí)g(x)>0,g(x)在(0,1)上遞增,

當(dāng)x>l時(shí)，〃(力<0,此時(shí)g(x)<0,g(x)在(1,物)上遞減，

所以g(X)max=g#=T，

所以〃之一1,即。min=-l

6.⑴-3+6e

⑵a=-3或a=1

【分析】⑴求出/（X）后，根據(jù)廣（2）=0可求出。=-6,再利用導(dǎo)數(shù)可求出〃力在1,e上的最大值；

（2）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出曲線y=〃x）在x=l處的切線/,以及曲線y=g（x）在點(diǎn)（%,%）處的切線方程，根

據(jù)兩直線重合列式可求出結(jié)果.

【詳解】（1）因?yàn)?（x）=31nx-0,所以:（處=3+彳=更等*>0）,

XXXX

因?yàn)閤=2是函數(shù)“X）的極值點(diǎn)，所以尸（2）=號(hào)=0,得a=-6,

此時(shí)/（x）=3Inx+9,尸=

XX"

當(dāng)0<x<2時(shí),r（x）<0,當(dāng)x>2時(shí),r（x）>0,

所以/（X）在（（）⑵上為減函數(shù)，在（2,+8）上為增函數(shù)，

所以x=2是Ax）的一個(gè)極小值點(diǎn)，所以。=-6符合題意.

由以上可知，/（x）在2）上為減函數(shù)，在（2,e］上為增函數(shù)，

e

/（-）=31n-+Y=-3+6e66

又ee1，/（e）=31ne+-=3+-,

ee

17

所以/(3_/(e)=_3+6e_3_9=6e_6_9>0,

eee

所以/(x)在pe上的最大值為-3+6e.

(2)由(1)知，尸(%)=圭孚。>0),所以(⑴=3+a,

廠

X/(I)=-a,所以切線/:y+a=(3+a)(x_l),即y=(3+a)x_2a—3,

假設(shè)直線/與曲線y=g(x)=；/+3切于(%,%),

因?yàn)間'(x)=x,所以g'(x())=X0,又％=1：+3,

所以y=g(x)在(%,%)處的切線方程為〉-(；片+3)=%(》-%),即y=XoX+[x：+3卜;片+3,

因?yàn)橹本€3?=(3+。>-24-3與直線〉=入/-；片+3重合,

3+。=%

所以,_1))，消去看,得a?+2?！?=()，

-2tz-3=--xj4-3

解得。=一3或。=1.

7.A

【分析】不等式萼+x(l+lnx)-2/nre0恒成立，等價(jià)于Vx>0,不等式

e

eA-2

e'-2+x(l+lnx)二j+1+lnxj2，\1+1門恒成立，構(gòu)造函數(shù)證明e*2x+l恒成立，再轉(zhuǎn)換推理即可得出

2m<----\----=-------=---------

XXX

答案.

【詳解】解：Vx>0,不等式1+x(l+lnx)-2如22o恒成立，

ev~2

等價(jià)于Vx>0,不等式。/e'-2+x(l+lnx)丁+1+lnxj?5，+1+也、恒成立，

2m<---1----=------=-------

xx

令/i(x)=e*-x-l,則〃'(x)=e*-l,

當(dāng)x<0時(shí)，A,(x)<0,當(dāng)x>0時(shí)，〃(x)>0,

所以函數(shù)4x)在(-少,0)上遞減,在(0,+8)上遞增,

所以⑼=0,

即e，2x+l恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)，取等號(hào),

所以當(dāng)x>0時(shí)，e-+1+*11g+1+1+心=],

XX

當(dāng)且僅當(dāng)x-2-lnx=0時(shí)，取等號(hào),

18

☆g(x)=x-2—lnx,(x>0),貝！|g<x)=--,

當(dāng)Ovxvl時(shí)，g'(x)<0,當(dāng)x>l時(shí)，g'(x)>0,

所以函數(shù)g(x)在(0,1)上遞減，在上遞增，

所以g(x)哂=g(l)=T，

又g(e-2)=e-2>0,g(4)=2(l-ln2)>0,

所以存在與e(O,l),使得g(芭)=與一2—lnX1=0,

存在王G(1,4),使得g(%)=々-2—ln&=0,

即方程x-2-lnx=0有解，

x-2-ln.ri.i

因?yàn)椴坏仁絕-----+l+mnr.i2］可以取到等號(hào),

X

?2-In*,1,l

所以￡——士處nr的最小值為1,

X

所以2m41,即加41,

2

所以實(shí)數(shù)，"的最大值為3.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和不等式恒成立問題，考查了轉(zhuǎn)化思想和函數(shù)思想及放縮思想，考

查了邏輯推理能力和數(shù)據(jù)分析能力，有一定的難度.

8.B

【分析】將所求不等式變形為e'+mm'+x+lna-lnx-iwo,令，=x+lna—lnx,〃(f)=e'+f—1,其中feR,利用

導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)人⑺的單調(diào)性，可得出此0,可得出lna21nx-x對(duì)任意的x>0恒成立，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)

p(x)=lnx-x的最大值，即可求得實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【詳解】當(dāng)xe(O,問時(shí)，由/(x)2g(x),可得》釁+彼―*+%,

不等式兩邊同時(shí)除以x可得Ina-lnx+e-MM、N-x+1,

即6"+|-"-"'+》+111。―111；?:—120,

令f=x+lna-lnx,=其中feR,〃(f)=e'+l>0,

所以，函數(shù)/?⑺在R上為增函數(shù)，且〃(0)=0,由/?)20,可得此0,

所以，對(duì)任意的x>。，x+lna—InxNO,EP\na>lnx-x9

19

1I—r

令p(x)=lnx-x,其中x>0,則p'(x)=--l=——,

當(dāng)Ovxvl時(shí)，p'(x)>0,此時(shí)函數(shù)p(x)單調(diào)遞增,

當(dāng)x>l時(shí)，p(x)<0,此時(shí)函數(shù)p(x)單調(diào)遞減,

所以，1(14"(同皿=/7⑴=一1,解得a吳.

故選：B.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：在求解有關(guān)x與e'的組合函數(shù)綜合題時(shí)要把握三點(diǎn)：

(1)靈活運(yùn)用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，由外向內(nèi)，層層求導(dǎo)；

(2)把相關(guān)問題轉(zhuǎn)化為熟悉易解的函數(shù)模型來處理；

(3)函數(shù)最值不易求解時(shí)，可重新拆分、組合，構(gòu)建新函數(shù)，通過分類討論新函數(shù)的單調(diào)性求最值.

9.D

【分析】構(gòu)造函數(shù)g(x)=e2，.〃x),利用多次求導(dǎo)的方法判斷出的單調(diào)性，結(jié)合基本不等式化簡(jiǎn)不等式

解二次型不等式求得x的取值范圍.

I2yae64b8

【詳解】依題意，e'[r(x)+2f(x)]=五，e^[r(x)+2/(x)]=e'77,

構(gòu)造函數(shù)g(x)=e2x-f(x),則g'(x)=e2v[/r(x)+2/(x)]=ex-Vx.

由〃x)=用得：

_g，(x).e2=g(X).2e2r_g，(x)-2g(x)_e*.4_2g(x)

)(%)—，

令〃(x)=e*.4-2g(x),

f-1lP*L

h\x)=ex?\/x+—x2C-2e'?=2j-泉(心)，

所以/7(x)在區(qū)間(0,；)，〃(彳)>0,6(司遞增；在區(qū)間(；,+8,7〈X)<O，Mx)遞減,

所以〃(x)在區(qū)間(0,+e)上的最大值是/(￡)=&-￥-2xex+=0,

所以/'(x)WO,所以〃x)在(0,+8)上單調(diào)遞減.

11ab11abab

----1-----1---=-----1-----1---1---

a2e264b28a2e2Mb21616

Fl1abab1

2V壽?斯?記?記=詼；=/匕)

20

史

史￡

=-=

當(dāng)且僅當(dāng)在=而*4/=手時(shí)等號(hào)成立,

1616

/1\32

所以/卜一2丁￡)<-—

L27—2

（2A-2）（2x+l）>0,2r-2>0,x>l,

所以x的取值范圍是(1,內(nèi)).

故選：D

【點(diǎn)睛】本題的難點(diǎn)有兩個(gè)地方，一個(gè)是/(x)的單調(diào)性的判斷，另一個(gè)是++焉+?的最小值.對(duì)于函數(shù)/(x)

單調(diào)性的判斷，利用的是構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合多次求導(dǎo)的方法來求得了(X)的單調(diào)性.而對(duì)于*+焉+g,是變型

后利用基本不等式來求得最小值.

10.A

【分析】利用導(dǎo)數(shù)分析/(x)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)是奇函數(shù)，數(shù)形結(jié)合即可求得參數(shù)的范圍.

【詳解】如圖，當(dāng)x>0時(shí)，/(x)=xlnx+：,/'(x)=lnx+l=/(x)在(0，B上單調(diào)遞減，在(5+8)上單調(diào)遞增,

且當(dāng)x>0,x.0時(shí)，Xf+oo時(shí)，+00；

其函數(shù)圖象如下所示:

尸(x)的零點(diǎn)，即［零勸+句=0的根;

數(shù)形結(jié)合可知，/(x)=o有3個(gè)根，故只需y=-?與y=/(x)的圖象有一個(gè)交點(diǎn)即可.

即滿足條件-aW-J或解得

eeIe」|_eJ

故選：A.

11.D

【分析】由參變量分離法可知關(guān)于x的方程x2-inx+g(a-l)=0在g,2上有解，令

〃(x)=21nx-2f+生.2),利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)〃(x)的最小值，即為實(shí)數(shù)。的最小值.

【詳解】函數(shù)〃x)=x2-lnx+；(a-l)在1,2上有零點(diǎn)，

21

等價(jià)于關(guān)于X的方程x2-lnx+；(a-l)=0在g,2上有解，

即a=21nx-2/+1在；,2上有解.

4>/i(x)=21nx-2x2+1[^1<x<2^|,則=2-4x=一生^生2

由/(力<0,得與<x<2;由廳(x)>0,得gwxv*.

則力(力在提圖上單調(diào)遞增，在乎，2上單調(diào)遞減.

因?yàn)槌?=21n；-2x[；j+l=g-21n2,A(2)=21n2-2x22+1=21n2-7,

所以｝/z(2)=/_41n2>0,則〃(x%,=M2)=21n2_7,

即“的最小值為21n2-7.

故選：D.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點(diǎn)問題的方法：

(1)直接法：先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的方法求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值，根據(jù)函數(shù)的基本性質(zhì)作出圖象，然后

將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與*軸的交點(diǎn)問題，突出導(dǎo)數(shù)的工具作用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想和分類討

論思想的應(yīng)用；

(2)構(gòu)造新函數(shù)法：將問題轉(zhuǎn)化為研究?jī)珊瘮?shù)圖象的交點(diǎn)問題；

(3)參變量分離法：由〃力=0分離變量得出a=g(x),將問題等價(jià)轉(zhuǎn)化為直線y="與函數(shù)y=g(x)的圖象的交

點(diǎn)問題.

12.C

【分析】求出函數(shù)導(dǎo)數(shù)r(x)=C+收小王二，由題可知需使得何x)=e*+小在