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專題15平行四邊形(強(qiáng)化-基礎(chǔ))
一、單選題(共40分)
1.(本題4分)(2020?浙江八年級(jí)期中)下列條件中,能判斷四邊形ABC。是平行四邊形
的是()
A.AB/1CD、AD=BCB.NA=NB,NC=ND
C.AB=AD,CB=CDD.AB//CD,AB=CD
【答案】D
【分析】
根據(jù)平行四邊形的判定定理可直接進(jìn)行排除選項(xiàng).
【詳解】
解:如圖,
山=不是同一條對(duì)應(yīng)邊的關(guān)系,故不一定能判定四邊形ABCD是平行四
邊形,故A選項(xiàng)不符合題意;
由NA=NB,NC=N£>,NA+4+NC+Z£>=360°可得:ABHDC,所以不一定能
判定四邊形ABC。是平行四邊形,故B選項(xiàng)不符合題意;
由AB=A£>,C3=CZ)不符合兩組對(duì)應(yīng)邊相等,所以不一定能判定四邊形A8CD是平行四
邊形,故C選項(xiàng)不符合題意;
山AB!/CD,AB=CD可得四邊形ABC。是平行四邊形,故D選項(xiàng)符合題意;
故選D.
【點(diǎn)睛】
本題主要考查平行四邊形的判定,熟練掌握平行四邊形的判定定理是解題的關(guān)鍵.
2.(本題4分)(2021?山東威海市?八年級(jí)期末)如圖,在口筋。。中,CELAB,E為垂
足,如果NA=120。,那么ZBCE的度數(shù)是()
【答案】B
【分析】
因?yàn)槠叫兴倪呅螌?duì)邊平行,所以由兩直線平行,同旁內(nèi)角互補(bǔ),可得「:A+iB=180°,由已知
易證IBEC=90。,所以在RtBEC中,由三角形的內(nèi)角和定理知:BCE=30。;
【詳解】
平行四邊形ABCO中,NA=120。,
AD//BC
ZB=180°-120°=60°,
又CE1AB,
BEC=90°,
ZBCE=9O°—N5=30°.
故選:B.
【點(diǎn)睛】
本題直接通過平行四邊形性質(zhì)的應(yīng)用,判斷出正確的選項(xiàng),屬于基礎(chǔ)題;
3.(本題4分)(2021?上海九年級(jí)專題練習(xí))四邊形ABCD中,對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)。.給
出下列四組條件:
□ABJCD,ADJBC;
□AB=CD,AD=BC;
UAO=CO,BO=DO;
□ABCD,AD=BC.
其中一定能判定這個(gè)四邊形是平行四邊形的條件共有()
A.1組;B.2組;C.3組;D.4組.
【答案】C
【分析】
根據(jù)平行四邊形的判定方法對(duì)口:」分別作出判斷即可求解.
【詳解】
解:ABCD,ADBC,根據(jù)兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形即可得到四
邊形是平行四邊形:
AB=CD,A£>=6C,根據(jù)兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形即可得到四邊形是
平行四邊形;;
AO^CO,BO=DO,根據(jù)對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形即可得到四邊形是
平行四邊形;
ABCD.AD=BC,無法判定四邊形是平行四邊形.
故選:C
【點(diǎn)睛】
本題考查了平行四邊形的判定,熟練掌握平行四邊形的定義和判定定理是解題關(guān)鍵.
4.(本題4分)(2021?山東煙臺(tái)市?八年級(jí)期末)如圖1,平行四邊形紙片ABC。的面積為
120,AO=2().今沿兩對(duì)角線將四邊形A8CZ)剪成甲、乙、丙、丁四個(gè)三角形紙片.若
將甲、丙合并(A。、CB重合)形成一軸對(duì)稱圖形(戊),如圖2所示,則圖形戊的兩對(duì)
角線長(zhǎng)度和為()
AD
>B(D)
BC
圖1圖2
2
A.26B.29C.24-D.25-
33
【答案】A
【分析】
由題意可得對(duì)角線EFAD,且EF與平行四邊形的高相等,進(jìn)而利用面積與邊的關(guān)系求出
BC邊的高即可.
【詳解】
解:如圖,連接AD、EF,
則可得對(duì)角線EFAD,且EF與平行四邊形的高相等.
」平行四邊形紙片ABCD的面積為120,AD=20,
BC=AD=20,—EFxAD=—xi20,
22
□EF=6,
又AD=20,
則圖形戊中的四邊形兩對(duì)角線之和為20+6=26,
故選:A.
【點(diǎn)睛】
本題考查了平行四邊形的性質(zhì)以及圖形的對(duì)稱問題,熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)
鍵.
5.(本題4分)(2021?全國(guó)九年級(jí)專題練習(xí))如圖,E是直線CO上的一點(diǎn),且=.已
知EABCD的面積為52cm2,則DACE的面積為()
A.52B.26C.13D.39
【答案】C
【分析】
設(shè)平行四邊形AB邊上的高為h,分別表示出DACE的面積和平行四邊形ABCD的面積,從
而求出結(jié)果.
【詳解】
解:四邊形ABCD是平行四邊形,CE,CD,
2
設(shè)平行四邊形AB邊上的高為h,
ACE的面積為:-CEh,平行四邊形ABCD的面積為2CE7,
2
ACE的面積為平行四邊形ABCD的面積的,,
4
XDABCD的面積為52cm2,
ACE的面積為13cm2.
故選C.
【點(diǎn)睛】
本題考查平行四邊形的性質(zhì),比較簡(jiǎn)單,解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)圖形的形狀得出ACE的面
積為平行四邊形ABCD的面積的上.
4
6.(本題4分)(2020?蘇州高新區(qū)實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué)七年級(jí)期中)如圖,在平行四邊形ABCD中,
AB=a,BC=b,AB邊上的高為c,BC邊上的高為d,則下列式子成立的是()
A.a:c=b:dB.a:b=c:dC.ab=cdD.ac=bd
【答案】D
【分析】
根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得,SABCD=BODF=AB?DE,代入數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算即可得出結(jié)論.
【詳解】
解:因?yàn)槠叫兴倪呅蝍邊上的高為b,c邊上的高為d,所以ac=bd,
A、由a:c=b:d,得bc=ad,
與題意ac=bd不符,此選項(xiàng)錯(cuò)誤;
B、由a:b=c:d,得bc=ad,
與題意ac=bd不符,此選項(xiàng)錯(cuò)誤;
C、ab=cd,與題意ac=bd不符,此選項(xiàng)錯(cuò)誤;
D、ac=bd,符合題意,
故選:D.
【點(diǎn)睛】
本題考查了平行四邊形的性質(zhì)的運(yùn)用,解題時(shí)注意:平行四邊形的面積等于它的底和這個(gè)底
上的高的積.
7.(本題4分)(2020?渠縣瑯珊中學(xué)九年級(jí)月考)如圖,平行四邊形ABC。中,已知
ZAOB=90°,AC=8cm,AD=5cm,則的長(zhǎng)為()
A.3cmB.4cmC.6cmD.8cm
【答案】C
【分析】
由平行四邊形ABCD中,AC=8cm,根據(jù)平行四邊形的對(duì)角線互相平分,即可求得OA的長(zhǎng),
然后由勾股定理求得OD的長(zhǎng),繼而求得答案.
【詳解】
解:四邊形ABCD是平行四邊形,
OA=—AC=—x8=4(cm),
22
AOB=90°,
AOD=180°-AOB=90°,
A£)=5cm
OD=VAD2-OA2=452-42=3(cm)
BD=2OD=6cm.
故選:c.
【點(diǎn)睛】
此題考查了平行四邊形的性質(zhì)以及勾股定理.注意平行四邊形的對(duì)角線互相平分.
8.體題4分)(2019?浙江杭州市?八年級(jí)其他模擬)已知平行四邊形ABCD,對(duì)角線AC=6、
BD=8,則該平行四邊形四條邊中曩冷邊”的取值范圍是()
A.y/1<a<7B.54a<7C.1<。<7D.^43<a<7
【答案】B
【分析】
根據(jù)平行四邊形的對(duì)角線互相平分,即可求得OA與OD的值,又由三角形的三邊關(guān)系,即
可求得答案.
【詳解】
解:如圖所示:四邊形ABCD是平行四邊形,AD>AB,
-----
0
R
:.OA=-AC=3,OD=-BD=4,
22
在!AOD中,由三角形的三邊關(guān)系得:4-3<AD<4+3,
r1<AD<7,
當(dāng)四邊相等時(shí)易得邊長(zhǎng)為5,
□5<AD<7.
故選:B.
【點(diǎn)睛】
此題考查了平行四邊形的性質(zhì)以及三角形三邊關(guān)系.熟記平行四邊形的對(duì)角線互相平分是解
此題的關(guān)鍵.
9.(本題4分)(2021?昆明市?云南師大附中九年級(jí)期末)如圖,在DABC。中,AD=6,
ZADB=300,按以下步驟作圖:以點(diǎn)C為圓心,以CO長(zhǎng)為半徑作弧,交BD于點(diǎn)F;
口分別以點(diǎn)O,F為圓心,以。。長(zhǎng)為半徑作弧,兩弧相交于點(diǎn)G,作射線CG交30于
點(diǎn)£,則3E的長(zhǎng)為()
5百
D.3g
"V
【答案】D
【分析】
先根據(jù)題目描述可確定CGBD,再由平行確定EBC=30。,從而在RtBEC中計(jì)算即可
【詳解】
根據(jù)題意描述,CG垂直平分線段DF,即□BEC=90。,
ZA06=3O°,四邊形ABCD為平行四邊形,
AD//BC,AD=BC=6
LHEBC=30°,
在RtBEC中,CE=工BC=3,
2
BE=yjBC2-CE2=373,
故選:D.
【點(diǎn)睛】
本題考查平行四邊形的性質(zhì),垂直平分線的判定,以及勾股定理,充分理解題中描述的作圖
過程是解題關(guān)鍵.
10.(本題4分)(2021?山東臨沂市?九年級(jí)一模)如圖,在口488中,ZABC>ZBCD
的平分線5E、CT分別與“。相交于點(diǎn)E、F,5E與b相交于點(diǎn)G,若,AB=6,BC
=10,CF=4,則8E的長(zhǎng)為()
A.472B.8C.8夜D.10
【答案】C
【分析】
根據(jù)平行四邊形兩組對(duì)邊分別平行可得口28。+;38=180。,再根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得
EBC+UFCB=90。,可得AEBCa過/作4WUFC,交8。于“,交BE于O,證明
是等腰三角形,進(jìn)而得到8O=EO,再利用勾股定理計(jì)算出EO的長(zhǎng),進(jìn)而可得答案.
【詳解】
解:四邊形ABCD是平行四邊形,
JABQCDf
JD^C+L5C£)=180°,
□□/8C、口8。。的平分線BE、Cb分別與力。相交于點(diǎn)E、F,
EBC+lFCB=-ABC+—DCB=90°
22f
QEBLFC,
□□產(chǎn)G5=90°.
過4作4M二FC,交BC于M,交BE于O,如圖所示:
□JMTFC,
UDAOB=nFGB=90°f
8石平分ABC,
UDABE^EBC,
HADBCf
nOAEB=CBE,
\J\JABE=QAEB,
□4B=AE=6,
DAOBE,
口BO=EO,
在XOE和MO8中,
ZAEO=ZMBO
<EO=BO,
ZAOE=/MOB
UDAOEUUMOB(ASA)f
AO=MO,
3AFUCM,AMJFC,
四邊形/MC/是平行四邊形,
U\AM=FC=4f
□40=2,
EO=yjAE2-AO2=V62-22=4V2,
BE=86.
【點(diǎn)睛】
此題考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)
以及勾股定理;證明/O=MO,8O=EO是解決問題的關(guān)鍵.
二、填空題(共20分)
11.體題5分)(2019?云南玉溪市?八年級(jí)期中)已知必BCD的對(duì)角線AC=8,BD=10,
BC邊上的高為6,則6BCD的面積為_.
【答案】24+65/7
【分析】
畫出符合題意的示意圖,過點(diǎn)。作。尸_L5C于點(diǎn)尸,由中位線的性質(zhì)得到8=3,
RrCORC與昭DBR9中,分別利用勾股定理解得ECB廠的長(zhǎng),繼而得到6c的長(zhǎng),最
后根據(jù)平行四邊形的面積公式解題.
【詳解】
解:如圖,過點(diǎn)。作。尸,8c于點(diǎn)尸,
在必BCD中,
AO=OC=^AC=4,BO=OD=^BD=5,AE=6
由題意知OF//AE,。為AC中點(diǎn),
OF=-AE=-x6=3
22
在及「OFC中,
FC=y]0C2-0F2="—32=#j
在RmBEO中,
BF=4OB1-OF2=V52-32=4
BC=BF+FC=4"
S4gcz)=BC-AE-(4+>/7)x6=24+6^7.
【點(diǎn)睛】
本題考查平行四邊形的性質(zhì)、中位線的性質(zhì)、勾股定理、平行四邊形的面積等知識(shí),是重要
考點(diǎn),難度較易,掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵.
12.體題5分)(2019?陜西寶雞市?八年級(jí)期末)如圖,在口ABC。中,BELCD于點(diǎn)E,
于點(diǎn)R口£5尸=60。,貝!]口。=.
【答案】600
【分析】
根據(jù)四邊形的內(nèi)角和等于360。即可求出。,再根據(jù)平行四邊形的鄰角互補(bǔ)即可求出C.
【詳解】
BECD,BFAD,
□BED=CBFD=9Q:
在四邊形BEDF中,口。=360。一匚BED-QBFD-□£5F=360o-90o-90o-60°=120°,
在Ei/BCD中,180°-II£>=180°-120°=60°.
故答案為:60°.
【點(diǎn)睛】
本題考查四邊形內(nèi)角和以及平行四邊形的性質(zhì),掌握四邊形內(nèi)角和為360。與平行四邊形的
性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
13.(本題5分)(2021?長(zhǎng)春吉大附中力旺實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級(jí)月考)如圖,為了測(cè)量池塘邊工、
6兩地之間的距離,在線段Z5的同側(cè)取一點(diǎn)C,連結(jié)C4并延長(zhǎng)至點(diǎn)O,連結(jié)C8并延長(zhǎng)
至點(diǎn)E,使得4、5分別是C。、OE的中點(diǎn),若。E=16〃?,則線段N5的長(zhǎng)度是m.
【答案】8
【分析】
根據(jù)三角形中位線定理解答即可.
【詳解】
解:點(diǎn)/、點(diǎn)8分別是CD、OE的中點(diǎn),
□48是ICDE的中位線,
UAB=—DE=8(〃?),
2
故答案為:8.
【點(diǎn)睛】
本題考查了三角形中位線,解題關(guān)鍵是熟練運(yùn)用中位線的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算.
14.(本題5分)(2020?浙江溫州市?實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級(jí)期中)如圖,在nZBCZ)中,P為4B上
的一點(diǎn),E、尸分別是。P、CP的中點(diǎn),G、,為CD上的點(diǎn),連接EG、FH,若□Z5C0
的面積為24c77,GH=-AB,則圖中陰影部分的面積為.
2
D
E
H
【答案】6cm2?
【分析】
設(shè)EG,FH交于點(diǎn)O,根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得求解S尸8=12。m2,利用三角形的中位
線可求解SPEF=3cm2?由平行線的性質(zhì)可求解SOEF=SOGH=SPEF=1.5cm2?進(jìn)而
可求解.
【詳解】
解:如圖,設(shè)EG,FH交于點(diǎn)0,
四邊形Z8CQ為平行四邊形,且48co的面積為24cm2,
1)
SPCD=——SABCD=\2cm~>AB=CD,ABCD,
2
□£>F分別是。尸、。尸的中點(diǎn),
£產(chǎn)為」PC。的中位線,
QCD=2EF,EFUCDQAB,
SPEF:SPCD=1:4,
SPEF=3cm2,
GH=—AB,
2
EF=GH,EFGH,
_1_
SOEF=SOGH——SPEF—1.5C77廠,
Smtn—3+2x1.5=6cm2>
故答案為6c"2.
【點(diǎn)睛】
本題主要考查平行四邊形的性質(zhì),三角形的中位線,三角形的面積等知識(shí)的綜合運(yùn)用.
三、解答題(共90分)
15.(本題8分)(2020?浙江八年級(jí)期中)如圖,E、尸是平行四邊形ABCD的對(duì)角線BO所
在直線上的兩點(diǎn),且DE=BF,求證:四邊形AEC戶是平行四邊形.
【答案】見詳解
【分析】
由題意易得AD〃BC,AD^CB,則有NAT>E=NCBF,然后可證VADE且VC3F,進(jìn)
而可得AE=CF,ZDEA=NBFC,則可得NAEF=NCFE,所以AE〃。/,最后問
題得證.
【詳解】
證明:四邊形ABC。是平行四邊形,
AD!IBC,AD=CB.
ZADE=/CBF,
DE=BF,
NADE^/CBF(SAS),
AE^CF,NDEA=4BFC,
ZDEA+ZAEF=NMC+NCEE=180。,
ZAEF=ZCFE,
AE//CF,
四邊形AECF是平行四邊形.
【點(diǎn)睛】
本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)與判定,熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵.
16.(本題8分)(2020?福建廈門市?廈門雙十中學(xué)九年級(jí)月考)如圖,在二438中,點(diǎn)E,
廠分別在BC,A。上,AC與所相交于點(diǎn)。,且AO=CO.
求證:四邊形AEC6是平行四邊形.
【答案】見解析
【分析】
先由AS4證明AAO尸烏△")£,得出FO=EO,再由AO=CO,即可得出結(jié)論.
【詳解】
證明:四邊形A8CD是平行四邊形,
AD!IBC,
ZOAF=ZOCE,
ZOAF=ZOCE
在口4。/和口COE中,|AO=C。,
ZAOF^ZCOE
△AOFmACOE(ASA)
FO=EO,
又LAO-CO,
:四邊形AECF是平行四邊形.
【點(diǎn)睛】
本題主要考查平行四邊形的判定,掌握全等三角形的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
17.(本題8分)(2020?浙江杭州市?八年級(jí)開學(xué)考試)如圖是一個(gè)平行四邊形土地ABC。,
后來在其邊緣挖了一個(gè)小平行四邊形水塘瓦、G”,現(xiàn)準(zhǔn)備將其分成兩塊,并使其滿足:兩
塊地的面積相等,分割線恰好做成水渠,便于灌溉,請(qǐng)你在圖中畫出分界線所在的直線(保
留作圖痕跡).
AEHD
【答案】見解析
【分析】
由題意分割使兩塊地的面積相等,分割線恰好做成水渠,根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)知:過平行
四邊形對(duì)角線交點(diǎn)的直線等分其面積,從而進(jìn)行求解.
【詳解】
解:作兩個(gè)平行四邊形的兩對(duì)對(duì)角線,其交點(diǎn)分別為M、N.即AC與BD交于點(diǎn)N,EG
與FH交于點(diǎn)M,
連接MN,直線MN即為所求的分割線.
因?yàn)椋^平行四邊形對(duì)角線交點(diǎn)的直線等分其面積.
如圖:
【點(diǎn)睛】
此題主要考查平行四邊形的性質(zhì)及其面積公式,作圖比較復(fù)雜,要認(rèn)真作圖.
18.(本題8分)(2020?浙江杭州市?八年級(jí)月考)如圖,在DABCD中,AE1BCTE,
LCD于尸,若A3與AO的長(zhǎng)度之比為3:4,求的值.
【答案】3:4
【分析】
由四邊形ABCD是平行四邊形,可得AB=CD,AD=BC,又由AEBC于E,AFDC于F,
可得平行四邊形ABCD的面積的兩種表示方法,結(jié)合AB:AD=3:4可得結(jié)果.
【詳解】
解:證明:四邊形ABCD是平行四邊形,
AB=CD,AD=BC,
又匚AEBC,AFDC,
平行四邊形ABCD的面積=BCxAE=CDxAF,即ADxAE=ABxAF,
又AB:AD=3:4,
AE---.AB…—_3
AF~AD~4'
【點(diǎn)睛】
此題考查了平行四邊形的性質(zhì),解題的關(guān)鍵是利用兩種方法表示平行四邊形的面積.
19.(本題10分)(2021?重慶巴蜀中學(xué)九年級(jí)月考)已知:如圖,在平行四邊形ABCO中,
E、尸為對(duì)角線80上的點(diǎn),BE=DF.
(1)請(qǐng)用直尺和圓規(guī)作出N3/C的角平分線FH,并標(biāo)出FH與BC的交點(diǎn)H;(請(qǐng)用2B
鉛筆作圖并保留作圖痕跡)
(2)在(1)的前提下,若NAE3=110。,求NCFH的度數(shù).
【答案】(1)見解析;(2)35。.
【分析】
(1)以尸為圓心,任意長(zhǎng)為半徑畫弧,分別交8尸、FC于"、N兩點(diǎn),再分別以M、N
為圓心,大于為半徑畫弧,兩弧交于點(diǎn)。,最后作射線尸。與5c的交點(diǎn)H即可解
2
題;
(2)先根據(jù)平行四邊形的性偵解得AB//CD.AB=CD,再利用平行線的性質(zhì)得到
ZABE=NCDF,接著證明△A5E四△CDF(SAS),由全等三角形對(duì)應(yīng)角相等的性質(zhì)得
到NA£8=NCED=110°,再由鄰補(bǔ)角定義解得N8FC=70°,最后根據(jù)角平分線的定
義解題即可.
【詳解】
解:(1)如圖,F(xiàn)H為所作:
(2)四邊形A8CO為平行四邊形,
ABUCD,AB=CD,
ZABE=NCDF,
AB=CD
在AAB£和口CD/7中,NABE=ZCDF,
BE=DF
△AB£^ACDF(SAS),
ZAEB=ZCFD=\10°,
/BFC=180。一ZCFD=70°,
FH平分NBFC,
NCFH=、NBFC=35。.
2
【點(diǎn)睛】
本題考查基本作圖一作角平分線、全等三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、平行線的
性質(zhì)等知識(shí),是重要考點(diǎn),難度較易,掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵.
20.(本題1()分)(2020?吉林長(zhǎng)春市?長(zhǎng)春外國(guó)語(yǔ)學(xué)校八年級(jí)月考)如圖,點(diǎn)5、F、C、E
在一條直線上,F(xiàn)B=CE,ABUED,ACGFD,4D交BE于點(diǎn)0.
(1)求證:與8E互相平分;
(2)若4BUAC,AC=BF,5E=8,FC=2,求Z5的長(zhǎng).
【答案】(1)見解析;(2)45=4.
【分析】
(1)連接4瓦8。,證明口48。9:。石廠,可得:AB=DE,再證明四邊形4BQE是平行四
邊形,利用平行四邊形的性質(zhì)可得答案;
(2)由2E=8,FC=2,結(jié)合BF=CE,AC=BF,求解BRAGBC,再利用48/C,由
勾股定理可得答案.
【詳解】
證明:(1)連接AE,8D,
\-FB=CE,
BC=EF,
AB//DE,AC//DF,
:.ZABC=ZDEF,ZACB=ZDFE,
在DABC與口QEE中,
ZABC=ZDEF
<BC=EF
NACB=NDFE
:OABC^]DEF,
:.AB=DE,
AB//DE,
,四邊形A3OE是平行四邊形,
ZD與8E互相平分;
(2)-.-BE=S,FC=2,
/.BF+CE=6,
???BF=CE,
.,.BF=CE=3,
?;AC=BF,
AC=3,
BC=3+2=5,
vAB±AC,
AB=\lBC2-AC2=底吁=4.
【點(diǎn)睛】
本題考查的是三角形全等的判定與性質(zhì),平行四邊形的判定與性質(zhì),勾股定理的應(yīng)用,掌握
以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵.
21.(本題12分)(2020?四川成都市?八年級(jí)期中)在平行四邊形ABC。中,點(diǎn)E為AB邊
的中點(diǎn),連接CE,將nBCE沿著CE翻折,點(diǎn)3落在點(diǎn)G處,連接AG并延長(zhǎng),交CD于
(1)求證:四邊形AEC尸是平行四邊形.
(2)若。/=5,口8后的周長(zhǎng)為20,求四邊形ABC戶的周長(zhǎng).
【答案】(1)證明見解析;(2)30
【分析】
(1)連接BG,根據(jù)題意得到£3=EG=AE,證明AF7/EC,又根據(jù)
即可證明結(jié)論;
(2)先求出4F=CE,AE=CF=5,根據(jù)C^GCE=GE+GC+CE=20,進(jìn)行線段代換即可
求解.
【詳解】
解:(1)證明:連接BG.
點(diǎn)E為AB邊的中點(diǎn),口8。石沿著CE翻折得到GCE,
EB=EG=AE,
QDGAE=UAGE,EBGEEGB,
】三角形內(nèi)角和為180。,
ZAGB=90。,
且3GLEC,
AF//EC,
FC//AE,
四邊形AECF是平行四邊形.
(2)四邊形AEC尸是平行四邊形,
QAF=CE,AE=CF=5,
CACCE=GE+GC+CE=2Q,
口BE+BC+EC=20,
□BE+BC+4F=20,
[JCF=AE=5,
C四邊形A“CF=AB+BC+AF+FC=AE+BE+BC+CF+AF=20+5+5=30.
【點(diǎn)睛】
本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì),軸對(duì)稱等知識(shí),熟練掌握平行四邊形的判定定理和性
質(zhì)定理是解題關(guān)鍵.
22.(本題12分)(2020?浙江杭州市?八年級(jí)期末)操作探究:
(1)現(xiàn)有一塊等腰三角形紙板,8c為底邊,量得周長(zhǎng)為32cm,底比一腰多2cm.若把
這個(gè)三角形紙板沿其對(duì)稱軸剪開,拼成一個(gè)四邊形,請(qǐng)?jiān)谙铝蟹娇蛑挟嫵瞿隳芷闯傻母鞣N
四邊形的示意圖,并在圖中標(biāo)出四邊形的各邊長(zhǎng);
(2)計(jì)算拼成的各個(gè)四邊形的兩條對(duì)角線長(zhǎng)的平方和.
【答案】(1)見解析;(2)200或328或272或192.16
【分析】
(I)正確畫出圖形:
(2)分別根據(jù)勾股定理計(jì)算四個(gè)圖形中對(duì)角線長(zhǎng)的平方和.
【詳解】
解:(1)如圖所示:
(2)設(shè)N8=/C=xc"?,則8C=(x+2)cm,
由題意得(x+2)+2x=32,解得x=10c7?.
因此C=1Ocm,則BC=\2cm,
過點(diǎn)A作AD8c于D,
BD=CD=6cm,
JAD=Scm.
可以拼成四種四邊形,如上圖所示.
如圖1,兩對(duì)角線長(zhǎng)的平方和為102+102=200;
如圖2,J<?=4(82+32),
U兩對(duì)角線長(zhǎng)的平方和為4儂+32)+62=328;
如圖3,5^=122+82.
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