勾股定理的逆定理

專題17.2勾股定理的逆定理

一、單選題

1.（2022?江蘇?南京鐘英中學八年級期末）下列長度的三條線段能組成直角三角形的是（）

111

A.3,4,5B.2,3,5C.0.2,0.3,0.5D.—,一,—

345

【答案】A

【解析】

【分析】

只要驗證兩小邊的平方和等于最長邊的平方即可判斷是直角三角形.

【詳解】

解：A.Q3?+42=52；.能組成直角三角形，故A符合題意；

B.Q22+3?工5〉.不能組成直角三角形，故B不符合題意；

C.Q0。+0.32w0S;.不能組成直角三角形,故c不符合題意;

D.Q（g）2+（；）2x（$2.-.不能組成直角三角形，故D不符合題意，

故選：A.

【點睛】

本題考查勾股定理的逆定理，是重要考點，掌握相關知識是解題關鍵.

2.（2022?遼寧本溪?八年級期末）AABC中，乙4,D8,NC的對邊分別為a,b,c,下列條件能判斷AABC

是直角三角形的是（）

A.ZA-Z.B-ZCB.a=6,b—1,c=8

C.ZA:ZB:ZC=3:4:5D.a2+h2=c2

【答案】D

【解析】

【分析】

利用直角三角形的定義和勾股定理的逆定理逐項判斷即可.

【詳解】

解：4ZA=N3=NC,且NA+N8+NC=180°,,ZA=/3=NC=60°,故△ABC不是直角三角形；

B.'：a=6,6=7,c=8,.'.a^+b^c2,故△>48C不是直角三角形；

C、'：ZA：ZB：NC=3：4：5,且NA+N8+NC=180°,

最大角/C=75,90。，故△A8C不是直角三角形；

D,'：a2+b2=c2,故△A8C是直角三角形;

故選：D.

【點睛】

本題考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長a,b,c滿足02+〃=人，那么這個三角形就是直

角三角形.也考查了三角形內(nèi)角和定理.

3.（2022?廣東福田?八年級期末）下列條件：?b2=c2-a2;②NC=ZA—N3；③=④

NA:NB:NC=3:4:5,能判定AABC是直角三角形的有（）

A.4個B.3個C.2個D.1個

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理以及勾股定理的逆定理即可得到結論.

【詳解】

解：?b2=c2-a2^a2+b2=c2,△ABC是直角三角形，故①符合題意;

(2)VZA+ZB+ZC=180°,NC=/A-/8,

/.ZA+ZB+ZA-ZB=180°,即NA=90°,

...△A8C是直角三角形，故②符合題意;

^3)*：a:b:c=—:一:一,

J345

k,kk

墳a=—,b=:，c=—,

345

.?.△ABC不是直角三角形，故③不合題意；

④：ZA:ZB:ZC=3:4:5,

AZC=-^—xl800=75%故不是直角三角形：故④不合題意.

綜上，符合題意的有①②，共2個，

故選：C.

【點睛】

本題主要考查「直角三角形的判定方法.①如果三角形中有一個角是直角，那么這個三角形是直角三

角形；②如果一個三角形的三邊a,b,c滿足出+〃=〃，那么這個三角形是直角三角形.

4.（2021?浙江蕭山?八年級階段練習）有下列四個命題是真命題的個數(shù)有（）個.

①垂直于同一條直線的兩條直線互相垂直；②有一個角為6（）。的等腰三角形是等邊三角形；③三邊長

為曲，亞,3的三角形為直角三角形；④頂角和底邊對應相等的兩個等腰三角形全等.

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)等邊三角形的判定定理、勾股定理逆定理、全等三角形的判定判斷即可.

【詳解】

①：在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線互相垂直，故①錯誤：

②：有一個角為60。的等腰三角形是等邊三角形，故②正確：

③：3?+（石尸=14=（板了，邊長為拒，后,3的三角形為直角三角形，故③正確；

④：頂角相等則等腰三角形三個角都對應相等，再加上底邊對應相等，這兩個等腰三角形全等，故④

正確；

綜上是真命題的有3個；

故選：C.

【點睛】

本題考查命題的真假，結合等邊三角形的判定、勾股定理逆定理、全等三角形的判定等知識綜合判斷

是解題的關鍵.

5.（2022?全國?八年級）如圖，在AABC中，-48=12,8c=13,AC=5,則8c邊上的高為（）

A.3B.4C.—D.4.8

13

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)勾股定理逆定理可證明AAfiC是直角三角形，再利用直角三角形的面積公式可得《><12x5=913x4。，

解可得答案.

【詳解】

解：?.?52+122=132,

/.AC2+AB2=BC2,

.?-43C是直角三角形，

SMBC=^AB.AC=^BC.AD,

-xl2x5=-xl3x/lD,

22

.3叱

13

故選：C.

【點睛】

本題主要考查了勾股定理逆定理，關鍵是掌握如果三角形的三邊長。，b,C滿足/+〃=°2,那么這

個三角形就是直角三角形.

6.（2022?貴州畢節(jié)?八年級期末）已知AABC的三邊分別為a、b、c,K7^5+（/>-12）2+|c-13|=0,

則AABC的面積為（）

A.30B.60C.65D.無法計算

【答案】A

【解析】

【分析】

根據(jù)算術平方根、絕對值、偶次方的非負性求出a、b、c的值，根據(jù)勾股定理的逆定理得出aABC是

直角三角形，再根據(jù)三角形的面積公式求出答案即可.

【詳解】

AABC的三邊分別為a、b、c,FLV^5+（/7-12）2+|C-13|=0

/.a-5=0,12=0,c-13=0

a-5,b-12,c=13

a2+h2=\69=c2

...△ABC是直角三角形，且邊c的對角NC=90。，

/.S.=—ab=—x5xl2=30

皿Rr22

故選：A.

【點睛】

本題考查了算術平方根、絕對值、偶次方的非負性，勾股定理的逆定理和三角形的面積等知識點，能

求出。、b、c的值是解此題的關鍵.

7.（2021?貴州六盤水?八年級階段練習）如圖，在4x4的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1,

點A,B,C都在格點上，ADLBC于點D,則4。的長為（）

A.>/2B.2C.逐D.3

【答案】B

【解析】

【分析】

首先由勾股定理得A8,AC,8c的三邊長，從而有A82+AC2=8C2,得N8AC=90。，再根據(jù)5笳8c

=-ACAB^-BCAD,代入計算即可.

22

【詳解】

22

解:由勾股定理得：A8=廬不=2石，解=4+22=5fiC=A/3+4=5-

'：AB2+AC2=25,BC2=25,

：.AB2+AC2=BC2,

：.ZBAC=90°,

：.SAABC=^ACAB=^BCAD,

.?.氐2逐=5xA。，

；.AD=2,

故選：B.

【點睛】

本題主要考查了勾股定理，通過勾股定理計算出三邊長度，判斷出/847=90。是解題的關鍵.

8.（2021?湖南?長沙市實驗中學八年級期中）已知在等腰三角形A8C中，D為8c的中點AD=12,BD=S,

A8=13,點P為49邊上的動點，點E為AB邊上的動點，則PE+PB的最小值是（）

【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)勾股定理的逆定理得到/AD8=90。，得到點B,點C關于直線AD對稱，過C作CEH8交4）于P,

則此時PE+P8=CE的值最小，根據(jù)三角形的面積公式即可得到結論.

【詳解】

解：'：AD=12,BD=S,>48=13,

：.AB2=AD2+BD2,

：.ZADB=90°,

?.?。為BC的中點，BD=CD,

.'.AD垂直平分BC,

：.點8,點C關于直線AD對稱，

過C作CE±AB交AD于P,則此時PE+PB=CE的值最小,

/.13*CF=10x12,

13

：.PE+PB的最小值為三,

故選：D.

【點睛】

本題考查了軸對稱-最短路線問題，勾股定理的逆定理，兩點這間線段最短，線段垂直平分線的性質(zhì),

三角形的面積公式，利用兩點之間線段最短來解答本題.

第H卷（非選擇題）

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二、填空題

9.（2021?四川省巴中中學八年級期中）已知，如圖，ZC=90,8c=4,8=3,AD=i2,AB=13,

則四邊形ABC。的面積是.

A

【答案】36

【解析】

【分析】

根據(jù)勾股定理求出B。，根據(jù)勾股定理的逆定理求出/AD8=90。，根據(jù)三角形的面積公式求出△BCD和

/\ABD的面積即可.

【詳解】

解：連接BD,

VZC=90°,8=3,BC=4,

：.BD=y/BC2+CD2=5,

'：AB=13,AD=12,

：.AD2+BD2^AB2,

：.ZADB=90°,

，四邊形A8CD的面積S=SABCD+SAABD=；x3x4+gx5xl2=36,

故答案為：36.

A

【點睛】

本題考查「三角形的面積，勾股定理和勾股定理的逆定理的應用；解此題的關鍵是求出NADB=90。，難

度適中.

10.（2021?福建大田?八年級期中）已知在AABC中，AB=\3,BC=14,AC=15,則AABC的面積為

【答案】84

【解析】

【分析】

根據(jù)題意，可以由勾股定理判定的逆定理判定△A8C的形狀，作高線，利用勾股定理根據(jù)高線列方程，

再求高，根據(jù)三角形的面積公式計算得到△ABC的面積即可.

【詳解】

解：過點8作8DJ_AC于D,

4B2+BC2=132+142=365,/^C2=152=225,

：.AB2+BC2>AC2,

：.△八8c不是直角三角形，

設AD長為x,CD=AC-AD=15-x,

：.BgABZ-AgBCZ-CD2,

A132-X2=142-(15-X)2,

解得x=日33,

33?_56

.,.BD=I132-

~5)~~5

.,.S^eC=^ACBD=|xl5xy=84.

故答案為:84.

B

【點睛】

本題考查的知識點是勾股定理和勾股定理的逆定理的應用，利用三角形的高列方程，運用勾股定理逆

定理得出三角形不是直角三角形，作高線，用勾股定理列出方程是解題的關鍵.

11.（2022?江西九江?八年級期末）已知在平面直角坐標系中A（-26，0）、8（2,0）、C（0,2）.點

P在x軸上運動，當點P與點A、B、C三點中任意兩點構成直角三角形時，點P的坐標為.

【答案】（0,0）,（友，0）,（-2,0）

3

【解析】

【分析】

因為點P、4B在x軸上，所以P、4B三點不能構成三角形.再分RtaPAC和TtaPBC兩種情況進

行分析即可.

【詳解】

解：二,點P、A、8在x軸上，

，P、A、8三點不能構成三角形.

設點P的坐標為（m,0）.

當△打（?為直角三角形時，

①NAPC=90。，易知點P在原點處坐標為（0,0）；

②NACP=90。時，如圖，

■:ZACP=90°

：.AC2+PC2=AP2,

（2>/3）2+22+nr+22=（m+2>/3）2,

解得，m二空,

3

.?.點P的坐標為（亞，0）；

3

當△P8C為直角三角形時，

①/8PC=90。，易知點P在原點處坐標為（0,0）；

②N8cp=90。時，

VZeCP=90",COLPB,

：.PO=BO=2,

點P的坐標為（-2,0）.

綜上所述點P的坐標為（0,0）,（/，0）,（-2,0）.

3

本題考查了勾股定理及其逆定理，涉及到了數(shù)形結合和分類討論思想.解題的關鍵是不重復不遺漏的

進行分類.

12.（2021?湖南?長沙市湘一芙蓉中學八年級階段練習）如圖，在中，NACB=90。，A。平分

NCA8交邊BC于點OE,E,F分別是AD,AC上的點，連接CE,EF.若A8=10,BC=6,AC=8,則

CE+EF的最小值是.

【答案】4.8##245

【解析】

【分析】

如圖所示：在A8上取點尸，使AF'=AF,過點C作垂足為從因為￡F+CE=EF+EC,推出當C、

￡、戶共線，且點尸與“重合時，F(xiàn)E+EC的值最小.

【詳解】

解：如圖所示：在上取點尸，使AF，=AF,過點C作SLAB,垂足為H.

:?AC2+BC2=82+62=l(X)=IO2=AB2

???A4CB是直角三角形，且NAC5=90。

S.ABC=-ACBC=-ABCH

△ABC22

...CT=A，

?；EF+CE=EF'+EC,

...當C、E、9共線，且點廣與H重合時，F(xiàn)E+EC的值最小，最小值為4.8,

故答案為：4.8.

【點睛】

本題主要考查的是軸對稱的性質(zhì)、勾股定理逆定理的應用、垂線段最短等知識，解題的關鍵是學利用

對稱，解決最短問題.

13.（2021?河南?焦作市中站區(qū)基礎教育教學研究室八年級期中）如圖，AABC的周長為36cm,

45:3C:C4=3:4:5,點P從點A出發(fā)，以lcm/s的速度向點8移動；點Q從點8出發(fā)，以2cm/s的速

度向點C移動.如果P,Q兩點同時出發(fā)，那么經(jīng)過3s后，V3PQ的面積為cm2.

【答案】18

【解析】

【分析】

根據(jù)三角形的周長公式求出三邊長，根據(jù)勾股定理的逆定理得出/8=90。，根據(jù)三角形的面積公式求出

△BPQ的面積；

【詳解】

解：(1)設A8、BC、CA分別為3x、4x、5x,

由題意得：3x+4x+5x=36,

解得：x=3,

則A8=3x=9,8c=4x=12,AC=5x=lS,

'：AB2+BC2=92+122=215,AC2=152=225,

：.AB2+BC2=AC2,

AZ8=90",

當t=3時,AP-3cm,BQ=6cm,

則BP=9-3=6cm,

12

S^BPQ=yx6x6=18(c").

故答案為：18.

【點睛】

本題考查勾股定理的逆定理.能正確判斷△8PQ為直角三角形

14.(2021?江蘇常州?八年級期中)如圖，在△A8C中，AB=12,AC=16,BC=20.將△ABC沿射線

BM折疊，使點A與BC邊上的點D重合,E為射線BM上一個動點，當△CDE周長最小時,CE的長為—.

【答案】10

【解析】

【分析】

設與AC的交點為點廣，連接AE,先根據(jù)折疊的性質(zhì)可得

BD=AB=\2,DF=AF,DE=AE,NBDF=ZBAF,再根據(jù)兩點之間線段最短可得當點E與點尸重合時,

△CDE周長最小，此時CE=CF,然后根據(jù)勾股定理的逆定理得出的C=90。，最后設CF=x(x>0),

從而可得OE=AF=16-x,在用AC￡>F中，利用勾股定理即可得.

【詳解】

解：如圖，設BM與AC的交點為點p，連接AE,

由折疊的性質(zhì)得：BD=AB=12,DF=AF,DE=AE,NBDF=NBAF,

:.CD=BC-BD=20-\2=S,

:.ACDE周長=CD+DE+CE=8+AE+CE,

要使周長最小，只需AE+CE最小，

由兩點之間線段最短可知，當點E與點尸重合時，他+CE取最小值，最小值為AC,此時CE=CF,

又AB=12,AC=16,8C=20,

AB2+AC2=BC2.

.?.△ABC是直角三角形，ZBAC=90°,

:./BDF=90。,即㈤J_8C,

設CF=x(x>0),則。F=AF=AC-CF=16—x,

在HACDF中，CD2+DF2=CF2,g|J82+(16-x)2=x2,

解得x=10,

即當△(?￡)￡周氏最小時，CE的長為10,

故答案為：10.

【點睛】

本題考查了勾股定理、勾股定理的逆定理、折疊的性質(zhì)等知識點，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解題關鍵.

15.(2021?浙江金華?八年級期中)如圖，A。是AABC的中線，把AAZX?沿著直線AD對折，點C落在

點E處.如果=K'JZADC=.

【答案】45°##45度

【解析】

【分析】

根據(jù)折疊和中線的性質(zhì)可得皿=8=。及再根據(jù)=利用勾股定理的逆定理可得4BDE為

直角三角形/BDE=90。，最后利用折疊前后對應角相等可得N4OC的度數(shù).

【詳解】

解：是AABC的中線，把AADC沿著直線AD對折，

,BD=CD=DE,ZADC=ZADE,

BD2+DE2=2BD-，

又；BC=yf2BE,

二BE=—BC=yf2BD,

2

BE2=2BD2,

-'-BD?+DE2=BE?,

...△8DE為直角三角形，ZBDE=90°,

.?.ZEDC=90°,ZADC=ZADE=45°,

故答案為：45。.

【點睛】

本題考查勾股定理的逆定理，折疊的性質(zhì).能利用折疊和中線的性質(zhì)得出再利用勾股

定理的逆定理得出aBDE為直角三角形是解題關鍵.

16.（2021?廣東?紅嶺中學八年級期中）如圖，。是等邊△ABC內(nèi)一點，04=3,08=4,0c=5,則5Moe

+SAA0B=.

O

BC

【答案】6+氈

4

【解析】

【分析】

將aAOB繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60。，使48與AC重合，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)以及直角

三角形的性質(zhì)解答即可.

【詳解】

解：如圖所示，將aAOB繞點人逆時針旋轉(zhuǎn)60。，使48與AC重合，點O旋轉(zhuǎn)至。，，

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得^AOB^^AO'C,

AO=AOf=3,OB=OfC=4,

"：NO4O=60。，

可得△A。。，是邊長為3的等邊三角形，

△COO,是三邊分別為3、4、5的直角三角形，

由勾股定理可得等邊三角形△AO。'的高為：業(yè)-審=平,

故SAAOC+SAAOB=S^AOCO^S^AOO'+S^COO^-X3X—+LX3X4=6+也.

2224

故答案為：6+也.

4

【點睛】

本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)以及勾股定理，正確作出輔助線是解答本題的關鍵.

三、解答題

17.(2021?江蘇,無錫市天一實驗學校八年級期中)已知AMC中，AC=8cm,BC=6cm,AB=10cm,CD

為AB邊上的高.

(備用圖)

⑴判斷AABC的形狀，并說明理由.

⑵求。的長；

(3)若動點P從點A出發(fā)，沿著運動，最后回到A點，速度為lcm/s,設運動時間為：s.t為

何值時，ABCP為等腰三角形(直接寫出t的值).

【答案】⑴AABC是直角三角形，見解析

(2)ycm

⑶4s或16s或5s或15s或2.8s或17.2s

【解析】

【分析】

(1)利用勾股定理的逆定理判斷即可.

(2)利用面積法可知，S^ABC=^?CD?AB=^?AC?BC,由此求出CD即可.

(3)分情況討論兩邊相等時8P的長，再利用即可求解.

V

⑴

△ABC是直角三角形，

理由：：AC=8cm,BC=6cm,A8=10cm,

：.AC2+BC2=AB2,

：.ZACB=90°,

.??△ABC是直角三角形.

(2)

,：CD1.AB,AABC是直角三角形,

：.S^ABC=^?CD?AB^y?AC?BC,

|xCDx10=yx8x6,

.24

??CD=一cm；

5

⑶

①3C=即時，

VBC=6,

:.BP=6,

當P從A-3時工=AB]BP=4(s),當P從Af5.A時)=AB；BP=.(5),

②PC=PB時，過P作PE_L5CrE,

A

'：PC=PB,

：.CE=BE,

:.PE為△ABC中位線,

ABP=-AB=5,

2

當P從時4=告用=5(s),當P從Af3TA時。=絲絲=15(s),

③當CP=CB時，

由①知8￡>=3.6,

:.PB=2BD=72,

當P從A'B時)=A'8P=2.8(s),當p從A.8.A時=^^=17.2(s),

綜上當t為4s或16s或5s或15s或2.8s或17.2s時，ABCP為等腰三角形.

【點睛】

本題屬于三角形綜合題，考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理的逆定理，三角形的面積等知識，

解題的關鍵是會用分類討論的思想思考問題，屬于中考常考題型.

18.(2022?重慶一中八年級期末)沙塵暴是指強風將地面塵沙吹起使空氣很混濁，水平能見度很低的

一種天氣現(xiàn)象.人類在發(fā)展經(jīng)濟過程中大肆破壞植被，導致沙塵暴爆發(fā)頻數(shù)增加?如圖，某氣象局監(jiān)

測到一個沙塵暴中心沿東西方向A8由A向8移動，已知點C為一城鎮(zhèn)，且點C與直線AB上的兩點4

B的距離分別為：AC=30km,BC=40km,AB=50km,以沙塵暴中心為圓心周圍25km以內(nèi)為受影

響區(qū)域.

⑴請通過計算說明城鎮(zhèn)C會受到沙塵暴影響的原因；

(2)若沙塵暴中心的移動速度為20km/h,則沙塵暴影響該城鎮(zhèn)持續(xù)的時間有多長？

【答案】⑴理由見解析；

(2)沙塵暴影響該城鎮(zhèn)持續(xù)的時間為0.7〃.

【解析】

【分析】

(1)過點(7作81.48,根據(jù)勾股定理逆定理可得AABC為直角三角形，利用等面積法得出8=24加，

根據(jù)題意以沙塵暴中心為圓心周圍25km以內(nèi)為受影響區(qū)域，即可證明：

(2)在A8邊上找E、F兩點，連接CE、CF,當CE=25km,FC=25加時，沙塵暴正好影響城鎮(zhèn)C,

根據(jù)勾股定理可得即=7版，利用直角三角形全等的判定及性質(zhì)可得孜-COE三用“DF,EF=14km,

由速度與時間、路程的關系即可得出影響的時間.

⑴

解：如圖所示：過點(:作CE>J_AB,

■.■AC=30km,BC=40km,AB=50km,

???AC2+BC2=AB2,

???△43C為直角三角形，

.-.-xACxBC=-xABxCD,

22

即30x40=50xCD,

CD=24fon,

???以沙塵暴中心為圓心周圍25km以內(nèi)為受影響區(qū)域，24<25,

???城鎮(zhèn)C會受到沙塵暴影響；

⑵

解：如圖所示：在A8邊上找￡、F兩點，連接CE、CF,

當CE=25b〃，fC=25切?時，沙塵暴正好影響城鎮(zhèn)C,

?1?ED=7EC2-CD2=V252-242=1km，

在Rt^CDE與Rt^CDF中，

JC￡)=C￡>

\CE=CF'

:.Rt?CDE=Rt^CDF,

，DE:DF,

:?EF=2ED=14km,

???沙塵暴中心的移動速度為20k%/〃，

—=0.7〃,

20

.??沙塵暴影響該城鎮(zhèn)持續(xù)的時間為0.7〃.

【點睛】

題目主要考查勾股定理及其逆定理的應用，全等三角形的判定和性質(zhì)等，理解題意，利用勾股定理定

理解決實際問題是解題關鍵.

19.（2022?四川簡陽?八年級期末）如圖1,在△AB2中,AB=AC,/a4c=90。,。為AC邊上一動點,

且不與點八、點C重合，連接B。并延長，在BD延長線上取一點￡,使AE=AB,連接C￡.

⑴若N4EO=20。，則N0EC=度;

⑵若NA￡D=a,試探索N4ED與/AEC有怎樣的數(shù)量關系？并證明你的猜想;

⑶如圖2,延長EC到點H,連接8乎+（："2=2八￡2,連接A"與8E交于F,試探究BE與FH的關系.

【答案】（1）45

{2}ZAEC-ZAED=4S°,證明見解析

(3)BELFH,BE=2FH.

【解析】

【分析】

(1)由等腰三角形的性質(zhì)可求/BA￡=140。，可得NCA￡=50。，由等腰三角形的性質(zhì)可得NA￡C=NAC￡=65。,

即可求解；

(2)